上海市上海大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

2024 学年第一学期上大附中期末考试高一年级数学试卷 一. 填空题 (第 1-6 题每小题 3 分, 第 7-10 题每小题 4 分, 共 34 分) 1. 已知集合 ,则实数 的取值范围为_____. 【答案】 2. 函数 的定义域是_____. 【答案】 3. 若角 的终边过点(4,3),则 _____. 【答案】 4. 当 时,化简: _____. 【答案】 5. 方程 在 上的解为_____. 【答案】 6. 已知函数 的图象不经过第四象限,则 的取值范围为_____. 【答案】 7. 设 ,若幂函数 的定义域与值域相同,则 的所有可能取值为_____. 【答案】 8. 已知 ,且 的终边与 的终边关于 轴对称,则 _____. 【答案】 9. 已知实数 满足 ,则 的最小值为_____ 【答案】 10. 若函数 的表达式 (常数 ),对任意两个不同的 , 当 时,均有 ( 为常数, ) 成立,如果满足条件的最小自然数 为 4,则实数的取值范围是_____ 【答案】 二、单选题 (每小题 4 分, 共 16 分) 11. 若 下列不等式中:① ②| ; ③ ; ④ ,成立的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 12. 已知 ,则 “ ”是“ ” 的( )条件. A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】 13. 设扇形的圆心角为,半径为 ,弧长为 ,面积为 ,周长为 ,则下列说法不正确 的是( ) A. 若 确定,则 唯一确定 B. 若 确定,则 唯一确定 C. 若 确定,则 唯一确定 D. 若 确定,则 唯一确定 【答案】 14. 已知定义在 上的函数 满足 ,且对任意的 , 都有 ,则满足不等式 的 的取值范 围是( ) A. B. C. D. 【答案】 三、解答题 (第 15 题 8 分, 第 16 题 10 分, 第 17 题 10 分, 第 18 题 10 分, 第 19 题 12 分, 共 50 分) 15. 已知集合 . (1) 求 ； (2) 若全集 ,求 . 【答案】 解: , . . . 16. 如图,在直角坐标系中,角 的顶点是原点,始边与 轴的正半轴重合,终边交单位圆于点 ,且 ,将角 的终边按逆时针方向旋转 ,交单位圆于点 ,设 、 ,分别过 作 轴的垂线,垂足依次为 ,记 的面积为 的面积为 . (1) 若 ,求点 的坐标; (2) 若 ,求 的值. 【答案】 （1） 所以B（） （2）由三角函数定义,得 , 所以 , 依题意 得 , 即 整理得 . 因为 ,所以 ,所以 ,即 . 17. 已知定义在 上的奇函数 ,当 时, . (1) 求函数 在 上的解析式; (2)在坐标系中作出函数 的图象,并根据图象写出函数的单调区间; (3)若函数 在区间 上是严格增函数,求实数 的取值范围. 【答案】 (1)当 时, , 因为函数是奇函数,所以 , 且 , 所以函数 在 上的解析式为 ; (2)根据函数的解析式,作出函数的图象, (3)函数 在区间 上是单调函数,根据图象可知, ,或 ,或 , 解得: 或 或 . 18. 新冠肺炎疫情发生以后, 口罩供不应求, 某口罩厂日夜加班生产, 为抗击疫情做贡献, 生产口罩的固定成本为 400 万元,每生产 万箱 ,需另投入成本 万元,当产量不足 60 万箱时, ,当产量不小于 60 万箱, 1860 , 若每箱口罩售价 100 元, 通过市场分析, 该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. ( 1 )求口罩销售利润 (万元)关于产量 (万箱)的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时, 该口罩生产厂在生产中所获得利润最大? 【答案】 (1) 当 时, 当 时, ; (2)当 时, , 当 时, 取得最大值,最大值为850万元； 当 时, . 当且仅当 ,即 时, 取得最大值,最大值为1300万元. 综上,当产量为 80 万箱时,该口罩生产厂在生产中获得的利润最大, 最大利润为 1300 万元. 19. 定义: 已知函数 ,对给定的正整数 ,若在其定义域内存在实数 ,使得 ,则称函数 为 “ 性质函数”。 (1)判断函数 是否为“ 性质函数”？说明理由； (2)若函数 为“ 2 性质函数”,求实数 的取值范围； (3)已知函数 与 的图像有公共点,求证: 为“1 性质函数”。 【答案】 (1)若存在 满足条件,则 即 , 方程无实数根,与假 设矛盾. 不能为“ 性质函数”. (2)由条件得: , 即 ,化简得 当 时, , 当 时,由 , ,即 , . 综上, (3)证明:由条件存在 使 , , , 令 ,则 , , 为“1性质函数” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 学年第一学期上大附中期末考试高一年级数学试卷 一. 填空题 (第 1-6 题每小题 3 分, 第 7-10 题每小题 4 分, 共 34 分) 1. 已知集合 ,则实数 的取值范围为_____. 2. 函数 的定义域是_____. 3. 若角 的终边过点(4,3),则 _____. 4. 当 时,化简: _____. 5. 方程 在 上的解为_____. 6. 已知函数 的图象不经过第四象限,则 的取值范围为_____. 7. 设 ,若幂函数 的定义域与值域相同,则 的所有可能取值为_____. 8. 已知 ,且 的终边与 的终边关于 轴对称,则 _____. 9. 已知实数 满足 ,则 的最小值为_____ 10. 若函数 的表达式 (常数 ),对任意两个不同的 , 当 时,均有 ( 为常数, ) 成立,如果满足条件的最小自然数 为 4,则实数1的取值范围是_____ 二、单选题 (每小题 4 分, 共 16 分) 11. 若 下列不等式中:① ②| ; ③ ; ④ ,成立的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知 ,则 “ ”是“ ” 的( )条件. A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 13. 设扇形的圆心角为 ,半径为 ,弧长为,面积为 ,周长为 ,则下列说法不正确 的是( ) A. 若 确定,则 唯一确定 B. 若 确定,则 唯一确定 C. 若 确定,则 唯一确定 D. 若 确定,则 唯一确定 14. 已知定义在 上的函数 满足 ,且对任意的 , 都有 ,则满足不等式 的 的取值范 围是( ) A. B. C. D. 三、解答题 (第 15 题 8 分, 第 16 题 10 分, 第 17 题 10 分, 第 18 题 10 分, 第 19 题 12 分, 共 50 分) 15. 已知集合 . (1) 求 ； (2) 若全集 ,求 . 16. 如图,在直角坐标系中,角 的顶点是原点,始边与 轴的正半轴重合,终边交单位圆于点 ,且 ,将角 的终边按逆时针方向旋转 ,交单位圆于点 ,设 、 ,分别过 作 轴的垂线,垂足依次为 ,记 的面积为 的面积为 . (1) 若 ,求点 的坐标; (2) 若 ,求 的值. 17. 已知定义在 上的奇函数 ,当 时, . (1) 求函数 在 上的解析式; (2)在坐标系中作出函数 的图象,并根据图象写出函数的单调区间; (3)若函数 在区间 上是严格增函数,求实数 的取值范围. 18. 新冠肺炎疫情发生以后, 口罩供不应求, 某口罩厂日夜加班生产, 为抗击疫情做贡献, 生产口罩的固定成本为 400 万元,每生产 万箱 ,需另投入成本 万元,当产量不足 60 万箱时, ,当产量不小于 60 万箱, 1860 , 若每箱口罩售价 100 元, 通过市场分析, 该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. ( 1 )求口罩销售利润 (万元)关于产量 (万箱)的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时, 该口罩生产厂在生产中所获得利润最大? 19. 定义: 已知函数 ,对给定的正整数 ,若在其定义域内存在实数 ,使得 ,则称函数 为 “ 性质函数”。 (1)判断函数 是否为“ 性质函数”？说明理由； (2)若函数 为“ 2 性质函数”,求实数 的取值范围； (3)已知函数 与 的图像有公共点,求证: 为“1 性质函数”。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$