2025年九年级中考数学一轮专题复习 反比例函数 课件

反比例函数 中考一轮复习 知识点一 反比例函数的概念 1、反比例函数三种解析式 2、自变量x取值范围是 反比例函数图象的对称性 中心对称图形(关于原点对称) 轴对称图形（两条对称轴） 知识点二 反比例函数的图像和性质 例1、（莱芜中考）已知反比例函数 ,下列结论不正确的是( ) A．图象必经过点(－1,2) B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则－2＜y＜0 B B 1 x y 0 例2、已知点A(-1、y1）、B(2、y2）、C(3、y3）在反比例函数 的图像上，下列结论正确的是（ ） A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y3>y1>y2 D. y2>y3>y1 方法一：代入法 方法二：性质法 x y 0 知识点三 k的几何意义 x y 0 矩形面积 S矩形 =|k| 三角形面积 P Q 0 x y 反比例函数图象任 一点向坐标轴作垂线 例3.如图，在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，过A作x轴的平行线，交函数 的图象于B，交函数 的图象于C，过C作y轴的平行线交x轴于D．四边形BODC的面积为 ． 7 例4、如图：点A是反比例函数 的图像上的一点，过点A作AB∥y轴交x轴于点B,点C为y轴上的一点，连接AC,BC,△ABC的面积为5，则反比例函数的解析式为 x o A B C y 链接中考 思维点拨 平行线间距离处处相等 同底等高 双曲线所在象限决定k的正负 4．如图，点A是反比例函数y＝ (x＜0)图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为 ． 6．如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 (k≠0）上，AB∥x轴，交y轴于点C.若AB＝2AC，则k的值为 ． 例6. （永州中考）函数 y=x+k与 在同一条直角坐标系中的图象可能是（ ） B 反比例函数与一次函数的综合运用 图像共存问题 A B C D 例7、观察图象，直接写出关于x的不等式 的解集______________ 0 y x (-2,4) (4,-1) ① 区 域 ③ 区 域 ④ 区 域 ② 区 域 思路 分区域 找范围 比高低 比较函数值 例8．(2020·天水)如图所示，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数 的图象交于第二、四象限的点A(－2，a)和点B(b，－1)，过A点作x轴的垂线，垂足为C，△AOC的面积为4. (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出mx＋n>中x的取值范围； (3)求△AOB的面积. ✮拓展延伸： (4)在y轴上取点P，使PB－PA取得最大值时， 求出点P的坐标． D A' P ① 区 域 ② 区 域 ③ 区 域 ④ 区 域 考点梳理 考点二　反比例函数的图象与性质 1.图象： 反比例函数的图象是双曲线. 2.性质 (1)当k>0时,双曲线的两支分别在第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,双曲线的两支分别在第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近,但永远不能相交. (2)双曲线是轴对称图形,直线y=x或y=-x是它的对称轴;双曲线也是中心对称图形,对称中心是坐标原点. 考点一　反比例函数的概念 一般地,形如_______ (k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数.自变量x的取值范围是x≠0,函数图象与x轴、y轴无交点. 注意:反比例函数的表达式除 外,还可以写成y=kx-1或xy=k(k≠0). 2.如上图,过双曲线上的任意一点E作EF垂直于其中一坐标轴,垂足为F,连接EO,则S△EOF= ,即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为 . 考点梳理 考点三　反比例函数 (k≠0)中k的几何意义 1.如图,过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM,PN, 所得的矩形PMON的面积S=PM•PN=|y|•|x|=|xy|. ∵ ,∴xy=k. ∴S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面积为|k|. 基础自主导学 考点四　用待定系数法求函数解析式 利用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是:(1)设出反比例函数的解析式;(2)将适合函数的x与y的值代入所设的反比例函数解析式;(3)计算出k值;(4)将所得的k值代入一开始所设出的函数解析式. 考点梳理 自主测试 1.已知点M(-2,3)在双曲线 上,则下列各点一定在该双曲线上的是(　　) A.(3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2) 2.已知反比例函数 ,下列结论不正确的是(　　) A.该函数的图象经过点(1,1) B.该函数的图象在第一、三象限 C.当x>1时,0<y<1 D.当x<0时,y随着x的增大而增大 A D 自主测试 3.若反比例函数 的图象经过点(2,-1),则该反比例函数的图象在(　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 4.已知反比例函数 (k为常数,k≠0)的图象位于第一、三象限,写出一个符合条件的k的值为　　　　　.  D 1 命题点1 命题点1　反比例函数的概念 【例1】 当k为何值时, 是反比例函数? 分析:反比例函数的解析式 (k≠0),也可以写成y=kx-1(k≠0)的形式,后一种表达方式中x的次数为-1. 由此可知函数是反比例函数,要具备的两个条件为k2-2=-1,且k-1≠0,二者必须同时满足,缺一不可. 解:由题意可得 由①得,k=±1,由②得,k≠1. 综上,当k=-1时, 是反比例函数. 反比例函数的图象与性质 【例2】 已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数 的图象上.下列结论中正确的是(　　) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1 B 解析:因为-k2-1<0,所以两个分支在第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.当x=-1时,y1>0. 因为2<3,所以y2<y3<0.所以y1>y3>y2. 变式训练 在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx-k与反比例函数 (k≠0)的图象大致是(　　) 命题点2 A 解析:当k>0时,一次函数y=kx-k经过第一、三、四象限,反比例函数y=k/x的图象位于第一、三象限,观察各选项,没有符合的选项;当k<0时,一次函数y=kx-k经过第一、二、四象限,反比例函数y=k/x的图象位于第二、四象限,观察各选项,选项A符合要求,故选A. 命题点3 命题点3　反比例函数 (k≠0)中k的几何意义 【例3】 在平面直角坐标系中,若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线 和 于A,B两点,P是x轴上任意一点,则△ABP的面积等于　　　　　. 命题点3 解析:(方法一)设直线l交y轴于点C,如图, 连接PC,OA,OB. ∵l∥x轴, ∴S△OAC= ×|-6|=3. 同理,S△OBC= ×|2|=1. ∴S△PAB=S△PAC+S△PBC=S△OAC+S△OBC=3+1=4. (方法二)如图,设C(0,b),则A( ,b),B( , b),从而AB=, 故S△PAB= AB•OC= • •b=4. 命题点4 命题点4　反比例函数解析式的确定 【例4】 如图,若双曲线 (x>0)与边长为5的等边三角形AOB的边OA,AB分别相交于C,D两点,且OC=3BD,则实数k的值为　　　. 命题点4 解析:如图,过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F, 设BF=x,则DF= ,BD=2x. 因为OC=3BD, 所以OE=3x,CE= , 所以C(3x,3 ),D(5-x, ). 因为点C,D都在双曲线上,所以3x• = •(5-x), 解得:x1= ,x2=0(舍去),所以C , 故k= . 命题点5 命题点5　反比例函数与一次函数的综合运用 【例5】 如图,在平面直角坐标系中,点A是反比例函数 (x>0)图象上的一点,AB⊥x轴的正半轴于点B,C是OB的中点;一次函数y2=ax+b的图象经过A,C两点,并交y轴于点D(0,-2),若S△AOD=4. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)观察图象,请指出在y轴的右侧, 当y1>y2时,x的取值范围. 命题点5   将A(4,2)代入 (x>0)中,得k=8,∴ (x>0). 将A(4,2)和D(0,-2)代入y2=ax+b, 得 ∴y2=x-2. (2)在y轴的右侧,当y1>y2时,0<x<4. 命题点6 命题点6　反比例函数的实际应用 【例6】 据媒体报道,春秋季是“手足口病”的发病高峰期,某校根据《学校卫生工作条例》,为预防“手足口病”,对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中,室内空气中每立方米含药量y(单位:mg)与燃烧时间x(单位:min)之间的关系如图(即图中线段OA和双曲线在点A及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题: (1)写出从药物释放开始,y与x之间的函数解析式及自变量的取值范围. (2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2 mg时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室? 命题点6 解:(1)设反比例函数解析式为 (k≠0). 将(25,6)代入解析式得k=25×6=150. 将y=10代入解析式得 ,即x=15. 故反比例函数解析式为 (x≥15),点A坐标为(15,10). 设正比例函数解析式为y=nx,将A(15,10)代入,得n= ,因此正比例函数解析式为y= (0≤x≤15). 故y与x之间的函数解析式为 (2)由 =2,解得:x=75(min). 答:从药物释放开始,师生至少在75 min内不能进入教室. 课堂小结 变式：如图，在直角坐标系xoy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数 的图象 交于A(1，4)、B(3，m)两点。 (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出 (3)求△AOB的面积 (4)在x轴上找一点P，使PA＋PB最短，求点P的坐标. 拓展延伸 $$