精品解析：黑龙江省绥化市肇东市第四中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

高二上数学期末试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知空间向量，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 在四面体PABC中，（ ） A. B. C. D. 3. 圆的圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与垂直，则实数（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. 1 5. 已知圆上一点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知椭圆与双曲线离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 若双曲线的离心率为，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、多选题 9. 对于直线，下列说法正确有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左右焦点分别为，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于A，B两点，则下列结论正确的有，（ ） A. 若，则或9 B. 左焦点到渐近线距离为 C. 若A，B两点分别位于两支，则 D. 点不可能是线段AB的中点 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知向量，，若，则____. 13. 已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为________． 14. 已知双曲线一个焦点，渐近线为，则的标准方程是_____________. 四、解答题 15. 已知空间向量， ，，，. （1）求向量，，的坐标; （2）求与夹角的余弦值. 16. 如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点. （1）求直线与直线所成角的大小. （2）求证：平面. 17. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积. 18. 已知直线：和圆：. （1）求圆C的圆心坐标和半径； （2）求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 19. 已知直线，椭圆. （1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； （2）当时，求直线被椭圆截得的弦长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二上数学期末试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知空间向量，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接计算空间向量数量积. 【详解】由题意得：. 故选：B 2. 在四面体PABC中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的计算法则计算即可. 【详解】由题可知 故选：A 3. 圆的圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的一般方程求圆心坐标即可. 【详解】由题可知圆的标准方程为，所以圆心坐标为， 故选：B 4. 已知直线与垂直，则实数（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件计算即可得解。 【详解】因为，所以，所以。 故答案为：B 5. 已知圆上一点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的标准方程求出圆心坐标和半径，进而求出圆心到直线的距离，结合圆的几何性质可求最值. 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离为，则直线与圆相离， 所以最小值为， 故选：A. 6. 已知椭圆与双曲线离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆方程写出其离心率，结合已知有双曲线的离心率为3，再由双曲线离心率求法求得，即可得渐近线. 【详解】由，知椭圆离心率，故双曲线的离心率为3， 所以，可得，故渐近线为. 故选：A 7. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解. 【详解】由，因为椭圆的焦点在轴上，所以，， 因为长轴长是短轴长的两倍，所以， 所以，得. 故选：D. 8. 若双曲线的离心率为，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程结合离心率公式运算求解即可. 【详解】由题意知，双曲线的离心率，所以． 故选：D． 二、多选题 9. 对于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 【答案】AB 【解析】 【分析】由直线方程易于判断A项；将其化成斜截式，易得其斜率，利用两直线垂直的充要条件易判断B项；利用直线的方向向量和斜率的关系即可判断C项；由点到直线的距离公式可判断D项. 【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确； 对于B，由可得，直线的斜率为，而直线的斜率为1，故直线l与直线互相垂直，故B正确； 对于C，若直线l的一个方向向量为，则其斜率应该是，显然错误，故C错误； 对于D，由原点到直线的距离为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算、数量积、模的坐标表示计算，依次判断选项即可. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D正确. 故选：ACD 11. 已知双曲线的左右焦点分别为，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于A，B两点，则下列结论正确的有，（ ） A. 若，则或9 B. 左焦点到渐近线距离为 C. 若A，B两点分别位于的两支，则 D. 点不可能是线段AB的中点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，根据双曲线的定义判断；对于选项B，根据点到直线距离公式判断；对于选项C，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，两横坐标的一正一负可求得的范围；对于选项D，，假设点是线段AB的中点，结合C选项可得，求解可得，检验可得结论. 【详解】对于选项A，根据双曲线定义，又， 则，解得或， 但，所以，所以选项A错误. 对于选项B，由双曲线，得渐近线方程为，即.， 左焦点，左焦点到渐近线距离，选项B正确. 对于选项C，直线的方程为， 联立，消去得， 展开并整理得， 若A，B两点分别位于的两支，则方程有一正根与一负根， 所以，解得，故C正确； 对于选项D，设，由C选项可得， 若点是线段AB的中点，则，则， 解得，代入，矛盾. 所以点不可能是线段AB的中点，选项D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知向量，，若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 由得，解得. 故答案为：. 13. 已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为________． 【答案】和 【解析】 【分析】根据相切，结合点到直线的距离，分类讨论即可求解. 【详解】圆的圆心和半径分别为， 当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意， 当直线有斜率时，设， 此时圆心到直线的距离为，解得， 此时直线方程为，即， 综上可得和 故答案为：和 14. 已知双曲线的一个焦点，渐近线为，则的标准方程是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点，可知焦点在x轴上，且，渐近线为，建立的方程组即可求解. 【详解】由双曲线的焦点坐标知，，且焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为， 又渐近线方程为，所以， 又， 所以双曲线的标准方程为 ， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知空间向量， ，，，. （1）求向量，，的坐标; （2）求与夹角的余弦值. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知根据，的坐标运算求解即可； （2）由（1）可得与的坐标，利用向量的坐标运算求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以，所以，， 所以，， 因为，， 所以， 所以，所以； 【小问2详解】 ，， 所以，，， 设与夹角为， 所以， 所以与夹角余弦值为. 16. 如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点. （1）求直线与直线所成角的大小. （2）求证：平面. 【答案】（1） （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两直线夹角的余弦值，得到角的大小； （2）计算出，故⊥，⊥，从而证明出线面垂直. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 则， 故直线与直线所成角的大小为； 【小问2详解】 ， ，故⊥， ，故⊥， 因为，平面， 所以平面. 17. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程； （2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积. 【小问1详解】 因为，，所以BC所在的直线方程为， 即. 【小问2详解】 B，C两点间的距离为， 点A到直线BC的距离， 所以的面积为. 18. 已知直线：和圆：. （1）求圆C的圆心坐标和半径； （2）求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 【答案】（1）半径2，圆心坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，即可求解； （2）首先利用垂直关系设所求直线方程为，再代入圆心坐标，即可求解. 【小问1详解】 圆可化为，则圆心为，半径为2； 【小问2详解】 设与直线垂直的直线的方程为 已求出圆的圆心坐标为， 又因为直线经过圆心，所以，即， 故所求直线方程为 19. 已知直线，椭圆. （1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； （2）当时，求直线被椭圆截得的弦长. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）整理直线方程，建立方程组，可得答案； （2）联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式，可得答案 【小问1详解】 因为，整理可得， 由，解得， 此时，不管取何值，必成立. 所以直线必过定点. 【小问2详解】 当时，直线的方程为， 设直线与椭圆的交点为， 由，消去得：， ，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$