四川省南充市2024-2025学年高二上学期学业质量监测数学试题

秘密★启封并使用完毕前【考试时间：2025年1月15日下午3：35-5：35】 南充市2024一2025学年度上期普通高中二年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2。回答选择题时，选出每小题答素后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本武卷上无效。 3.考试结来后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求. 1.已知向量a=(←12,2)，6=(2,3，z),且a16,则 A.10 B.2W5 c.7 D.5 2.如图所示，直线4，，的斜率分别为无，k,片，则下列结论正确的是 A.k>k B. C.k2>飞>k D.k>k2>k 3.某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 不大于30 (30,60 (60,100 (100,110 (110,130 (130,140 概率P 25 1 1 6 3 10 30 其中当污染指数T≤30时，空气质量为优：当30<T≤100时，空气质量为良：当 100<T≤130时，空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到优或良的概率为 4 A.15 B c 19 D.30 1 4.已知数列{an}满足4=2，am=1-。,则a2s= a. A.-1 B. C.1 D.2 5。若双曲线经过点(2瓦，)，且它的两条渐近线方程是y=号，则双曲线的离心率是 A.5 B.5 c D.5 高二数学试卷第1页（共4页） 6.如图，空间四边形OABC中，OA=ā，OB=i,OC=,点M在OA上，且OA=30M, 点N为BC中点，则M等于 B.1 2 c.2a+5+e 3 22 3 2 7.若直线x+by-2=0(a>0,b>0)被圆+y-2x-2y+1=0截得的弦长为2，则二+2的 最小值为 A B.月 C.2 D.4 8.已知两定点M(-1,0),N(1,0),若某直线上存在点P,使PM|+1PW上4，则该直线称 为“L型直线”，给出下列直线，其中是“L型直线”的是 ①x+2y-4=0:②x-3=0；③x-y-3=0；④3x-y-6=0 A.①③ B.①② C.③④ D.①④ 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列给出的命题中正确的有 A.已知两个向量a=(Lm,2),b=(21,,且a/石，则m=2 B.三棱锥0-ABC中，点P为平面ABC上的一点，且O丽=OA+xO丽+y0 dx yeR), 则x+y月 C.已知a=(0,12),b=(0,0,1),则a在i上的投影向量坐标为(0,0,2) D.若{a,6,是空间的一组基底，则{ā+6,6+c,a+2b+武也是空间的一组基底 10.已知线段4B是圆C:(x-2+(y-=3的一条动弦，T为弦AB的中点，A=22, 直线：m-y+3m+】=0与直线：x+m心+3m+1=0相交于点P,下列说法正确的是 A.直线恒过定点(-3，-1) B.弦AB的中点T的轨迹方程为(x-2}+(y-1=1 C.若0为坐标原点，则OT的最大值为1+√5 D.直线4,4的交点P的轨迹方程为x2+y+4x+2y=0(去掉点-3，-3) 高二数学试卷第2页（共4页） 山、已知动点M是双曲线C:。二=1上的点，点R,乃是C的左、右焦点，，B是双曲线C 98 的左、右顶点，下列结论正确的是 A.若M织⊥ME,则△MRF的面积为8 B。点M到两渐近线的距离之积为背 C.点M在双曲线的右支时， MF 0-疗的最大值为 D.设△MAB的面积为S,则S,tan∠AMB为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知抛物线C:x2=8y,则抛物线的准线方程为 13.如图，正方体ABCD-ABGD的棱长为2， E、F分别为CD与AB的中点， (第13枢图 则点B,到平面AFCE的距离为 14.已知椭圆C号苦-e>60的左、右焦点分别为R(一5,0叭、￡5,0，经过5的直线 1与椭圆C交于A、B两点，且△EAB的周长为4N5.则椭圆C的方程为 若在x轴上存在一定点P,使得过点P的任意直线与椭圆相交于两点M、N,都有 IPMF+IPNE为定值，则定点P坐标为 1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 为了迎接学校百年华诞，学生参加某项志愿者面试活动，为此学生会在报名的学生中组织 了志愿者面试活动，面试有两道题，两道题都答对者才能成为志愿者.假设两题作答相互 独立，现有甲、乙、丙三名学生报名并进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是{，】，！ 32'4' 答对第二题的概率分别是，. 2'33 (1)求甲、乙两位同学都通过面试成为志愿者的概率： (2)求甲、乙、丙三人中至少有一人通过面试成为志愿者的概率 16.(15分) 已知数列问的前a项和公式为，-方女+片， (1)求数列{4}的通项公式： (2)若bn=2-8a,求数列{b}中的最小项， 高二数学试卷第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方 形，△PAD为等边三角形，点E是线段D的中点，点M满足CW-C示， (1)求证：PAW平面BDM: (2)求二面角M-AB-D的余弦值. 18.(17分) 已知在直角坐标系xOy中，动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等. (1)求动点P的轨迹方程W; (2)过点M(2,0)的直线与W交于A,B两点，连接F,BF延长与W分别交于C、D两点， (i)求△FAB面积的最小值： (ii)求证：直线CD恒过定点. 19.(17分) 已知椭圆B:女+ a+6 -=1(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为B(0,),O为坐标原点，△AOB 的面积为2 (1)求椭圆E的方程： C2）若直线/交椭圆B于R,S两点，Rs的中点坐标为T0宁 求直线1的方程： (3)如图所示，过点P(-√2,1)的直线与椭圆E交于不同的两 点C,D,过点C作x轴的垂线分别与直线AD,AB交于点 M,N,判断点N是否为线段CM的中点，说明理由. 9题第3问图) 高二数学试卷第4页（共4页）南充市2024一-2025学年度上期普通高中二年级学业质量监测 数学参考答案及评分标准 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 Q B 0 A A B C D 二、多选题 9 10 11 ABC BCD AD 三、填空题 12.y=-2 13. 2w6 3 6 0) 15.解：(1)设甲、乙通过面试为分别事件A,B则 -X…2分 444分 P(4B)=P()×P()=36 6分 (2)设丙通过面试为事件C,则P(C)*号后 121 8分 则甲、乙、丙三人中无人通过面试为事件A.B.C, 得Pa可-（--器 12分 12591 则甲、乙、内三人中至少有一人通过面试的概率为：一 216216 13分 16.解：(1)当n22时， a.-S.-S-+in-(a-1+(n-1)-n 3分 当n=1时，a=S=1,满足上式， 46分 所以an=n,neN” 7分 (2)6=2”"-8n,b-b.=[21-8(n+10]-(2"-8n）=2”-8 9分 当n≤2时，bt-bn<0,即b<h,所以么>6>4：…。 11分 当n=3时，b1一bn=0,即6=b:4413分 当m≥4时，b4-b>0,即b>bn,所以h<h<h与<…<bn:…14分 所以列{b.}中最小的项为九=b.=23-24=-1615分 17.解：(1)证明：如图，连接AC与BD相交于O,连接OM, 因为OA=OC,MP=MC, 2分 所以PA/OM,又PA工平面D小MB,OMS平面DMB,4分 所以PA/平面D八MB6分 (2)因为△PAD为等边三角形，点E是线段AD的中点， 所以PE⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,PEC平面PAD 所以PE⊥平面ABCD9分 设点Q是线段BC的中点，以E为坐标原点，EA、EQ、EP所在直线分别为x轴，y轴，：轴， 建立如图所示的空间直角坐标系E一…。 10分 则4a,0.Bt2,0.P0.cl2.0),-15 由于PE⊥平面ABCD.则平面ABD的法向量可设为m=(0,0,)… 11分 设平面ABM的法向量为n=(x,y,)· 20(19 AB.n=0 y=0 则 8M.n=0 即3 2 令x=1,则y=0,=√5， 12分 则平面4BM的一个法向量为”=电，0，√5，则 cOS<m,>= m疗_5 刷同2 14分 由图可得二面角M-AB-D为锐角， 则二面角M-AB-D的余弦值为 2 4415分 18.解：(1)设点P(x,y),则由题意可知： x-1+y2=x+ 化简得y2=4x, 综上可知动点P的轨迹方程W为：y2=4x:… 5分 2(1》餐器a严y红，由超意可设直线8：你+2任小4荐为月 不妨令A在第一象限，则B,C在第四象限，D在第一象限，如图所示， 联立抛物线方程 y=4→y-4w-8=0, x=0+2 △>0 显然+乃=41， 8分 5=-8 所以5w=MF-y+为广-4 5w-an---i+2≥25 10分 当且仅当1=0时，SAa的最小值2√2 11分 (i) c小停小 设AF直线为x=+1, 与抛物线联立有y2-4y-4=0, 4>0 显然 以男=4同理可得%=-4. 所以c片y0乃2=16，又片乃2=-8 所以%yD=-2 13分 设直线CD为x=y+n 联立y2=4x得 y2-4-4n=0 △>0 yc+yp=4k 15分 Ycyo =-4n=-2 得n 1 所以直线CD为x=+ 2 .16分 直线CD恒过定点G(行，0)… 17分 b=1 19.解：(1)由题可知 2 得a=√2，b=1. 所以椭圆E的方程为号+y=1 4分 2 (2)设R(x,y),S(s,,已知Rs的中点坐标为T0,),则 +=1 2 += 2 x+&=1 2 y+丛=1 24 所以任-名）上6++0-为)-0+为)=06分 所以ks=-2 1 直线1的方程为：y- 4-2x-少，即8x+4y-9=0 9分 联粒号护=1，经检验A>0 所以直线1的方程为：8x十4y-9=010分 (3)方法一：点N为线段CM的中点，理由如下： 由题知直线的斜率存在，如下图所示： 设过点P√2，的直线CD的方程为y-1=k(x+√2)，即 y=k(x+V2)+1. =x+21.得r2+2+2k+1P-2=0 联立 19题第3问图) x2+2y2=2 整理得(0+2k2)x2+(4W2k2+4k)x+42+4√2k=C11分 由△=(4V2k2+4k)-41+22(42+4V2k)>0,得k<0. 设C(x,),D(x,乃)， 则x+名= 1+25=报+44 42k2+4k 1+2k2 13分 直线AD的方程为y=,当Gx+2). x2+V2 令x=,得点M的纵坐标w=伍+② +迈 直线B的方程为y=5+2, 令=，得点N的纵坐标人 2+2. 要证点N为线段CM的中点，只需证明头-0w+）,即之=1…14分 2y 因为 兽 .+2+6+2.[6+②++2)+[+2+s+ 2y2(x+V2) V2(x+√2，+√2) N2(x+V2x+√2) X+x+22 42k2+4k+22 =脉+万+2+习 =2k+ 1+22 2习 L1+2k2 (42k2+4k)+2√2+4W2k k..4+2022a+1-2 2V5 即yy+片=2yx 所以点N为线段CM的中点17分 方法二：要证点N为线段CM的中点，只需证明：(Ow+)=2yw· 只需证明：+2y=26+… 11分 (:+V2) 只需证明点5 12分 设直线CD的方程为y-1=k(x+V2),即y-k(x+√2)=1. 由号+少=1箱+5y 2 (x+2-√2y2+2y2-2=0 整理得(x+√2)2-2√2(x+V2)+2y2=014分 由y-k(x+√2)=1得 (x+2)°-22(x+V2[y-k(x+V2)]+2y2=0 所以25-25540+25=0 5 △=8-81+2√2k)>0 16分 x+√2x2+√2 显然k<0,原命题为真 …17分 D 19题第3问图) 6