第4章图形的相似单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是（　　） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．8：27 2．已知b=2a,则的值为（　　） A． B． C． D．3 3．如图，△ACP∽△ABC，若∠A=100°，∠ACP=20°，则∠ACB的度数是（　　） A．80° B．60° C．50° D．30° 4．在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF=1：2，那么下列结论中，正确的是（　　） A．AC：AE=1：3 B．CE：EA=1：3 C．CD：EF=1：2 D．AB：EF=1：2 6．如图，已知直线a∥b∥c,若AB=2，BC=3，EF=2.5，则DE=（　　） A． B． C． D． 7．两个相似三角形的对应边上的中线比为1：，则它们面积比的为（　　） A．2：1 B．1：2 C．1： D．：1 8．如图，点D是等边△ABC的边BC上的一点，下面四个条件不能判定△BDF∽△CED是（　　） A．∠EDF=60° B． C．DE∥AB，DF∥AC D． 9．如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，且AC∥DG∥EF，点H为CE与DG的交点．若AC=12，则GH的长为（　　） A． B．2 C． D．3 10．如图，B，F，C三点共线，AC与BD交于点E，EF∥AB∥DC，若BF：CF=5：7，则的值为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE=FC，②∠PDE=15°，③=，④=，⑤DE2=PF•FC，其中正确的为​（　　） A．①②③ B．①②⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 12．如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①AH⊥EF；②MF=MC；③EF2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题） 13．若3x=2y（xy≠0），则= ______． 14．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC和AB上的点，且DE≠BC，请你添加一个条件，使得△ABC与△AED相似，你添加的条件是______（任填一个）． 15．如图，在△ABC中，，则AC的长是 ______． 16．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB=40cm,BD=20cm,AQ=10m,则树高PQ=______m. 17．如图，在等腰△ABC中，，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则AD= ______，DQ的最小值为 ______cm. 三．解答题（共5小题） 18．如图，点D，E分别是AB和AC上的点，△ADE∽△ABC，AD=2a cm,DB=a cm,BC=b cm,∠A=70°，∠B=50°． （1）求∠ADE的度数； （2）求∠AED的度数； （3）求DE的长． 19．如图所示，已知△ABE≌△ACD，且AB=AC． （1）说明△ABE经过怎样的变换后可与△ACD重合； （2）∠BAD与∠CAE有何关系？请说明理由； （3）BD与CE相等吗？为什么？ 20．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF． （1）求证：AF2=EF•GF； （2）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，求FG的长． 21．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,点P从点B开始沿BA边向点A以2cm/s的速度移动，同时点Q从点A开始沿AC边向点C以1cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为t s. （1）当t=______时△PAQ与△ABC相似； （2）当△PAQ的面积等于时，求t的值． 22．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足∠MAN=90°，联结MN，AC，MN与边AD交于点E． （1）求证：AM=AN； （2）如果∠CAD=2∠NAD，求证：AM2=AB•AE； （3）MN交AC点O，若=k,则=______（直接写答案、用含k的代数式表示）． 北师大版九年级上第4章图形的相似单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、A 2、D 3、B 4、C 5、A 6、B 7、B 8、D 9、B 10、B 11、D 12、C  二．填空题（共5小题） 13、； 14、∠AED=∠ACB（∠AED=∠ABC或=或=或DE∥BC）； 15、6； 16、5； 17、；；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）∵∠A=70°，∠B=50°， ∴∠C=60°， ∵△ADE∽△ABC， ∴∠ADE=∠B=50°， （2）∵△ADE∽△ABC， ∴∠AED=∠C=70°； （3）∵△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD=2a cm,DB=a cm, ∴AB=3a cm, ∴DE=b, 19、解：（1）：（Ⅰ）沿BE边上的高向右翻折即可得到． （Ⅱ）沿过E（B）点垂直BE所在的直线向右（左）翻折，再向右（左）平移即可得到△ACD （2）∠BAD=∠CAE． ∵△ABE≌△ACD， ∴∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， （3）BD=CE， ∵△ABE≌△ACD， ∴BE=CD， ∴BE-DE=CD-DE， ∴BD=CE． 20、（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，∠ABF=∠CBF， ∵BF=BF， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴AF=CF． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAD=∠BCD，AD∥BE， ∴∠DAF=∠FEC， ∵△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠BCF， ∴∠DAF=∠DCF， ∴∠GCF=∠CEF， ∵∠CFG=∠EFC， ∴△CFG∽△EFC， ∴， ∴CF2=EF•GF， ∵AF=CF， ∴AF2=EF•GF． （3）解：∵∠BAD=120°， ∴∠DCE=60°， ∵菱形边长为2， ∴CD=AD=2， ∵DE⊥BC， ∴∠ADE=∠CED=90°， ∴∠CDE=30°， ∴CE==1，DE=， ∴AE==，BE=BC+CE=2+1=3， ∵AD∥BE， ∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC， ∴=，=， ∴AF==，AG=AE=， ∴FG=AG-AF=-=． 21、解：在△ABC中，∠C=90°， ∵BC=6cm,AC=8cm, ∴AB==10（cm）， 设运动时间为t秒，则BP=2t cm,AP=AB-BP=（10-2t）cm,AQ=t cm, （1）当△APQ∽△ABC时，=， ∴=， 解得：t=； 当△AQP∽△ABC时，=， ∴=， 解得：t=． 答：秒或秒后，△PAQ与△ABC相似 故答案为：或； （2）如图，过点P作PD⊥AC于点D， ∴PD∥BC， ∴△APD∽△ABC， ∴=， ∴=， ∴PD=（10-2t）， ∵△PAQ的面积等于， ∴AQ•PD=， ∴t•（10-2t）=， 整理得：t2-5t+6=0， ∴t1=2或t2=3， ∴t的值为2或3． 22、证明（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠CAD=∠ACB=45°，∠BAD=∠CDA=∠B=90°， ∴∠BAM+∠MAD=90°， ∵∠MAN=90°， ∴∠MAD+∠DAN=90°， ∴∠BAM=∠DAN， ∵AD=AB，∠ABC=∠ADN=90°， ∴△ABM≌△ADN（ASA）， ∴AM=AN． （2）∵AM=AN，∠MAN=90°， ∴∠MNA=45°， ∵∠CAD=2∠NAD=45°， ∴∠NAD=22.5° ∴∠CAM=∠MAN-∠CAD-∠NAD=22.5° ∴∠CAM=∠NAD，∠ACB=∠MNA=45°， ∴△AMC∽△AEN， ∴， ∴AM•AN=AC•AE， ∵AN=AM，AC=AB， ∴AM2=AB•AE； （3）=． 理由：如图，过点M作MF∥AB交AC于点F， 设BM=a, ∵=k, ∴BM=a,BC=（k+1）a, 即ND=BM=a,AB=CD=BC=（k+1）a, ∵MF∥AB∥CD， ∴， ∴MF=ka, ∴==． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$