精品解析：甘肃省天水市第一中学2025届高三上学期第五次诊断考试数学试题

天水一中高三第五次诊断考试试卷 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考查内容：高考全部内容. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知函数为奇函数，则的值是（ ） A. 0 B. C. 12 D. 10 4. 已知数列为等比数列，为的前项和，且，，则（ ） A. 8 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 压缩袋（真空压缩袋）也叫PE拉链复合袋．在我们的日常生活中，各类大小的压缩袋不但能把衣柜解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果．其中抽气式压缩袋是通过外接抽气用具如抽气泵或吸尘器，来进行排气的．现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，已知该型号的抽气泵每次可以抽出压缩袋内气体的，则（ ）（参考数据：取） A. 要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽5次 B. 要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽9次 C. 抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的 D. 抽3次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的 10. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（ ） A. C的准线方程为 B. C. 若点，则 D. 设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上 11. 在正方体中，，点满足，.下列结论正确的有（ ） A. 直线与一定为异面直线 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 四面体的体积恒定且为2 D. 当时，的最小值为 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是______． 13. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______． 14. 双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为_________． 四.解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，且AC边上的高为，求的周长． 16. 手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用. （1）若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率； （2）若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值. 17. 在四棱锥中，平面平面，侧面是等边三角形，，，在棱上，且满足. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知在平面直角坐标系中，点，，的周长为定值． （1）设动点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程； （2）过点A作直线l交C于M、N两点，连接BM、BN分别与y轴交于D、E两点，若，求直线l的方程． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若在区间上存在唯一零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水一中高三第五次诊断考试试卷 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考查内容：高考全部内容. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由得，或，可知“”是“”充分不必要条件. 【详解】充分性：若，则； 必要性：若则， 则，得，或，故不满足必要性 综上“”是“”充分不必要条件， 故选：A 2. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，运用集合的交运算即可求得结果. 【详解】因为或， 所以. 故选：C. 3. 已知函数为奇函数，则的值是（ ） A. 0 B. C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，即，即或， 显然函数的定义域为关于原点对称， 且当时，有，从而有， 当时，有，但， 所以，即， 所以. 故选：D. 4. 已知数列为等比数列，为的前项和，且，，则（ ） A. 8 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等比数列前n项和求出公比，再列式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，，解得， 所以. 故选：A 5. 已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率及，建立关于的等式即可得解. 【详解】显然离心率，解得，即， 分别为C的左右顶点，B为上顶点，则，， 于是，而， 即，又，因此联立解得， 所以椭圆的方程为. 故选：B 6. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量加减法的几何意义即三角形法则与平行四边形法则，进行运算即可. 【详解】点F在BE上且为中点，且E是对角线AC上靠近点的三等分点， 则 ， 故选：A. 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由三角函数平方关系结合已知求出，从而求出，再由即可求出，最后由两角和的正切公式代入表达式即可求解. 【详解】一方面由题意，且注意到， 联立得，解得， 所以， 另一方面不妨设，且， 所以有，解得或（舍去），即， 由两角和的正切公式有， 所以 . 故选：B. 8. 如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出圆台上下底面半径，圆台的高，代入圆台的体积计算公式即可求解. 【详解】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为， 则其面积为，解得， 所以扇环的两个圆弧长分别为和， 设圆台上下底面的半径分别为，高为，所以，解得， ，解得，作出圆台的轴截面，如图所示： 图中，，过点向作垂线，垂足为，则， 所以圆台的高，则上底面面积，， 由圆台的体积计算公式可得：. 故选：A. 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 压缩袋（真空压缩袋）也叫PE拉链复合袋．在我们的日常生活中，各类大小的压缩袋不但能把衣柜解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果．其中抽气式压缩袋是通过外接抽气用具如抽气泵或吸尘器，来进行排气的．现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，已知该型号的抽气泵每次可以抽出压缩袋内气体的，则（ ）（参考数据：取） A. 要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽5次 B. 要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽9次 C. 抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的 D. 抽3次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意建立函数模型，利用指对函数的性质一一计算即可判定选项. 【详解】设抽气泵抽了次，若要使压缩袋内的气体少于原来的，则， 即，则．因为， 所以至少要抽5次，A正确，B错误． 抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的， C正确． ，D正确． 故选：ACD 10. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（ ） A. C的准线方程为 B. C. 若点，则 D. 设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，可判定A正确；设直线，联立方程组，结合韦达定理，可判定B错误；根据，求得，可判定C错误；由，联立方程组得到，结合，可判定D正确. 【详解】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，所以A正确； 由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0， 设直线，联立方程组，整理得， 可得，所以，所以B错误； 若点，则，所以，所以，， 所以，所以C错误； 又由直线，联立方程组，解得， 由，得，所以，所以点N在直线上，所以D正确. 故选：AD. 11. 在正方体中，，点满足，.下列结论正确的有（ ） A. 直线与一定为异面直线 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 四面体的体积恒定且为2 D. 当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用向量的坐标运算求得F坐标，确定F点位置，结合异面直线的概念即可判断A；根据空间角的向量求法可判断B；根据棱锥的体积公式判断C；将绕翻折到和四边形到同一平面内，将转化为线段的长，求得其最小值判断D. 【详解】由题意在正方体中，，， 即E为的中点； 以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 由得， 则点，由于，则， 故点F落在四边形的内部， 而在平面内，即和平面相交， 而平面，直线，故直线与一定为异面直线，A正确； 设平面的法向量为，， 则，令，则， 又，故， 设线与平面所成角为， 故，B正确； 由于点F落在四边形的内部，故F到平面的距离为2， 则四面体的体积, 即四面体的体积为定值，C错误； 当时，，此时点F在上（不含端点）， 如图将绕翻折到和四边形到同一平面内， 连接交即为F点，则的最小值为的长； 由题意可知， 故 ， 故，即的最小值为，D正确， 故选：ABD 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正四棱台的对称性得到外接球的球心所在位置，根据垂直关系列出方程组，解方程组得外接球半径，最后求出外接球表面积即可． 【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为， 由棱台的性质可知，外接球的球心落在线段上， 由题意该四棱台上下底面边长分别为8和6，侧棱长为10， 则，，， 所以， 设外接球的半径为，，则， 因为垂直于上下底面， 所以，即， 又，即， 联立解得，， 所以该米斗的外接球的表面积为． 故答案为： 13. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直得到，再利用向量夹角公式求出答案. 【详解】因为，所以， 则，， 则与的夹角为． 故答案为：. 14. 双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，，再由双曲线的定义，求得，结合勾股定理和双曲线的离心率公式，计算可得. 【详解】由题可知，A，D共线，，B，C共线，如图， 设，则，又， 所以，， 又，所以， 所以，解得， 则， 而， 则， 化简得， 所以． 故答案为：. 四.解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，且AC边上的高为，求的周长． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和及诱导公式得到，再利用余弦的倍角公式得到，解得，从而得到； （2）由比例引入常数，利用三角形面积相等得到，从而利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得到，由此得解. 【小问1详解】 因为， 所以由得， 所以，解得或， 因为，所以，则，故， 则，故． 【小问2详解】 因为，令，则， 由三角形面积公式可得，则，故， 由余弦定理可得，则，解得， 从而，，，故的周长为． 16. 手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用. （1）若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率； （2）若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，分别讨论小李完成工序的情况并计算各类情况的概率最后求和即可； （2）设小李最终收益为X，列出其所有取值，并计算概率求期望值即可. 【小问1详解】 记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”， 当技术员完成工序A时，小李成功完成三道工序的概率为：, 当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为：, 当技术员完成工序C时，小李成功完成三道工序的概率为：, 当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为：， 故小李成功完成三道工序的概率为； 【小问2详解】 设小李最终收益为X，小李聘请两位技术员参与比赛， 有如下几种情况： 两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时，； 两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时，； 只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时，; 技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时，； 故. 17. 在四棱锥中，平面平面，侧面是等边三角形，，，在棱上，且满足. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， ∵，∴， 又∵，，∴， ∴四边形是平行四边形，而， 故平行四边形是矩形， ∴， 又∵为等边三角形且为中点.∴， 平面，， ∴面，面，∴. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，先证明平面，根据线面垂直的性质定理即可证明结论； （2）法一，建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法即可求得答案；法二，根据线面角的定义作出二面角的平面角，解三角形即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：∵平面平面，且平面平面，， 平面，∴平面，平面， ∴，，两两垂直， 连接、，以中点为坐标原点，、、分别为、、轴，建立如上图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ∴，， 平面的一个法向量可取为， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则取， 设二面角的平面角为， 则， 由图知：二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 法二：由（1）知，∵面面，且面面， 平面，又∵，∴平面， 而平面，故， 如图，连接、，作于，连接， 平面，故平面， 平面，故， 则即为二面角的平面角， 设，在中，, 故， 是等边三角形，则，, 故. 18. 已知在平面直角坐标系中，点，，的周长为定值． （1）设动点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程； （2）过点A作直线l交C于M、N两点，连接BM、BN分别与y轴交于D、E两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得出轨迹为椭圆，设出椭圆方程，根据已知条件求出的值，即可得出答案； （2）设直线l：，，，将直线l方程代入椭圆，整理得到.然后根据韦达定理得出.求出BM的方程，得出点坐标.表示出面积，根据已知条件得出方程，求解得出的值. 【小问1详解】 周长为， 可得为定值， 所以点P的轨迹是一个椭圆（去掉左右顶点）， 设方程为， 于是，，解得. 又因为是，所以点P不能位于x轴上， 所以点P的轨迹方程为. 【小问2详解】 由题意，直线l的斜率不为0， 设直线l：，，， 将直线l方程代入椭圆，整理得到， 由韦达定理，得. 直线BM：， 令可得，同理. 由可得， 化简得到， 即， 即. 代入韦达定理整理得，，即， 解得，， 所以直线l的方程为. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若在区间上存在唯一零点，求证：. 【答案】（1） 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 因为，所以由题意， 又因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需， 不妨设，求导得， 令，继续求导得， 所以当时，单调递增， 所以， 所以当时，单调递增， 所以， 即当时，有不等式成立， 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则. 【解析】 【分析】（1）对求导得，所以首先分和两种情况，在讨论时，以的两个零点为分界点又可以分三种小情况来讨论，根据导数与原函数单调性的关系即可求解. （2）由题意可得，若要证明，则只需，即只需，通过构造函数，连续求导即可得证. 【小问1详解】 对求导得，，分以下两大情形来讨论的单调性： 情形一：当时，有，令，解得， 所以当时，有，此时单调递减， 当时，有，此时单调递增； 所以在单调递减，在单调递增； 情形二：当时，令，解得， 接下来又分三种小情形来讨论的单调性： 情形（1）：当时，有，此时随的变化情况如下表： 由上表可知在和上单调递增，在上单调递减； 情形（2）：当时，有，此时，所以此时在上单调递增； 情形（3）：当时，有，此时随的变化情况如下表： 由上表可知在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是明确含参的函数的单调性首先要分类讨论， 在讨论时，通过比较的两个零点的大小关系可知又要分三种小情况来讨论； 而第二问的关键是首先得到，然后分析出只需证明即可， 对此构造函数，连续求导即可顺利得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $