27.2与圆有关的位置关系同步练习 2024-2025学年华东师大版数学九年级下学期

27.2与圆有关的位置关系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．已知是的直径，点是的三等分点，过点可作的切线条数为（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 3．如图，在中，D是上的一点，以为直径的半圆O恰好切于点E，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知是的直径，是的切线，交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知是的两条切线，为切点．是的直径，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 6．已知：如图，〇O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上的一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝0.8，则DE的长是（　　） A．1.2 B．0.9 C．1 D．0.6 7．如图，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（  ） A． B． C．7.5 D．7.2 8．如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为（    ） A． B．1.5 C．1 D． 9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②CD＝8；③tan∠E＝；④S△ADE＝6，其中正确的有个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P(3,-4) 与⊙O的位置关系是（    ） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O外部 C．点P在⊙O内部 D．不能确定 11．如图，四边形ABCD内接于圆O，AB为圆O的直径，CM切圆O于点C，∠BCM=60º，则∠B的正切值是（    ) A． B． C． D． 12．如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD=20，则△ABC的周长为（　　） A．20 B．30 C．40 D．50 二、填空题 13．如图，、分别与相切于A、两点，是优弧上的一个动点，若，则 °． 14．点A到⊙O的最小距离为1，最大距离为3，则⊙O的半径长为 ． 15．在Rt中，，，分别以点为圆心画圆，如果点在上，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是 ． 16．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上异于A、B的一点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数为 . 17．如图，AB为圆O的切线，点A为切点，OB交圆O于点C，点D在圆O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=25°，则∠B的度数为 ． 三、解答题 18．如图，是的直径，弦与相交，       图①                      图② (1)如图①，若,求和的度数； (2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点P,若,求的度数． 19．如图，点A是外一点，过点A作出的一条切线．（使用尺规作图，作出一条即可，不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹） 20．问题提出 (1)如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ． 问题探究 (2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值． 问题解决 (3)如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．                21．矩形在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为、，直线与边相交于点D． (1)若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式； (2)若以点A为圆心的与直线相切，试求的半径； (3)设（1）中抛物线的对称轴与直线交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与相似．若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由． 22．综合与实践： 任务一：确定弦的长度．如图2，求所对弦的长度． 任务二：设计甲组扇面．如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．请运用所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据． 任务三：确定卡纸大小．如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）． 活动主题 扇面制作 活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2，扇面形状为扇环，且，，．    活动小组 甲组 乙组 制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀 制作材料       23．如图①，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E. (1)求证：AC平分∠DAB； (2)若AB＝4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长； (3)如图②，连接OD交AC于点G，若，求sinE的值． 24．如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，点E是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线， (2)若，求的长． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《27.2与圆有关的位置关系》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B B D D A B A 题号 11 12 答案 D C 1．B 【分析】根据切线的性质定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查切线的性质定理，掌握上述定理，是解题的关键． 2．C 【分析】根据已知条件得到点C的个数，根据切线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，点C是半圆AB的三等分点， ∴这样的点C有两个， ∴过点C可作⊙O的2条切线， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 3．D 【分析】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．利用切线的性质求得的度数，利用等腰三角形的性质求得的度数，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵是半圆O的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了切线的性质．根据切线的性质求得，推出，利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵是的切线，是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．B 【分析】连接，根据是的两条切线，可得，，即有，进而可得，问题随之得解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的两条切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解答本题的关键． 6．D 【分析】根据题意确定AB是直径及AB＝4，根据勾股定理求出BD，利用两组角相等证明△ADE∽△BCE，由此求出答案. 【详解】在等腰Rt△ABC中，BC＝4， ∴AB是⊙O的直径，AB＝4， ∴∠D＝90°， ∵AD＝0.8，AB＝4， ∴BD＝, ∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE， ∴△ADE∽△BCE， ∴，即CE＝5DE， 在Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，即（5DE）2+42＝（﹣DE）2， 解得，DE＝0.6， 故选：D． 【点睛】此题考查圆周角定理，勾股定理，三角形相似的判定及性质定理，证明三角形相似求出再利用勾股定理求出DE是解题的关键. 7．D 【分析】作 ，垂足为H， 为直径，由勾股定理的逆定理得∠ACB=90°，即可得 为直径，从而求得EF长度的最小值． 【详解】解：作 ，垂足为H， 为直径． 为直角三角形，且 为直径 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，切线定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 8．A 【分析】此题重点考查垂径定理、直角三角形的两个锐角互余、“等角对等边”、勾股定理、切线的性质定理等知识，求得并且证明是解题的关键．根据垂径定理得，可证明，则，求得，由是的切线，证明，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的半径，是的弦，且，于点， ，， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， 故选：A 9．B 【分析】①利用垂径定理可知弧AC=弧AD，可知∠ADF=∠AED，结合公共角可证明△ADF∽△AED； ②结合CF=2，且=，可求得DF=6，且CG=DG，可求得CD=8； ③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tanADG=，且∠E=∠ADG，可判断出③； ④可先求得S△ADF，再求得△ADF∽△AED的相似比和面积比的关系，可求出S△ADE=7． 【详解】解：①∵AB为直径，AB⊥CD， ∴弧AC=弧AD， ∴∠ADF=∠AED，且∠FAD=∠DAE， ∴△ADF∽△AED， ∴①正确； ②∵AB为直径，AB⊥CD， ∴CG=DG， ∵=，且CF=2， ∴FD=6， ∴CD=8， ∴②正确； ③在Rt△AGF中，FG=CG-CF=4-2=2， ∵AF=3， ∴AG===，且DG=4， ∴tan∠ADG=＝， ∵∠E=∠ADG， ∴tan∠E=， ∴③错误； ④在Rt△ADG中，AG=，DG=4， ∴AD===， 由①知：△ADF∽△AED， ∴=()2， ∵S△ADF=DF•AG=×6×=3， ∴=()2=， ∴S△ADE=7， ∴④错误； ∴正确的有①②，两个． 故选B． 【点睛】本题主要考查垂径定理、相似三角形的判定和性质及三角函数的定义，由垂径定理得到G是CD的中点是解题的关键，判断③时注意利用等角的三角函数也相等，在判断④时求出相似比是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性较强，解题时注意知识的灵活运用． 10．A 【详解】由题意得，OP=5，由于⊙O的半径为5，圆心O为坐标原点，则点P在⊙O上 ．故选A. 11．D 【分析】连接OC， CM切圆O于点C， ∠BCM=60º， 即可求出∠B的正切值． 【详解】连接OC， CM切圆O于点C， ∠BCM=60º， 故选：D． 【点睛】考查切线的性质以及特殊角的三角函数值，作出辅助线是解题的关键． 12．C 【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，将△ABC的周长转化为切线长求解． 【详解】解：据切线长定理有AD=AE，BE=BF，CD=CF； 则△ABC的周长=AB+BC+AC =AB+BF+CF+AC =AB+BE+AC+CD =AD+AE=2AD =40． 故选C． 【点睛】本题考查切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，解题关键是分析图形、仔细探索，找出图形的各对切线长相等的线段． 13．55 【分析】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理． 连接、，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵，分别与相切于A，B两点， ∴，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：55． 14．1或2 【分析】分类讨论：点在圆内，点在圆外，根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案． 【详解】点在圆内，圆的直径为1+3=4，圆的半径为2； 点在圆外，圆的直径为3−1=2，圆的半径为1， 故答案为1或2. 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，关键是分类讨论：点在圆内，点在圆外. 15． 【分析】根据勾股定理求出斜边，根据点和圆的位置关系求出的半径，再求出的半径的取值范围即可． 【详解】解：在Rt中，，，由勾股定理得：， 点在上， 的半径是6， 设交于，则， ∵与相交， ∴， 点在外，， 的半径小于10， 即的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点与圆以及圆与圆的位置关系，求出斜边的长是解题的关键． 16．110° 【分析】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD，如图所示，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，在四边形APBO中，根据四边形的内角和求出∠AOB的度数，再利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出∠ADB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求出∠ACB的度数． 【详解】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合）， 连接BD，AD，如图所示： ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠OAP=∠OBP=90°， 又∵∠P=40°， ∴∠AOB=360°-（∠OAP+∠OBP+∠P）=140°， ∵圆周角∠ADB与圆心角∠AOB都对， ∴∠ADB=∠AOB=70°， ∵四边形ACBD为圆内接四边形， ∴∠ADB+∠ACB=180°， 则∠ACB=110°． 故答案为110°． 【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 17．40° 【分析】根据圆周角和圆心角的关系，可以得到∠AOC的度数，然后根据AB为⊙O的切线和直角三角形的两个锐角互余，即可求得∠B的度数． 【详解】解：∵∠ADC=25°， ∴∠AOC=50°， ∵AB为⊙O的切线，点A为切点， ∴∠OAB=90°， ∴∠B=90°-∠AOC=90°-50°=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键． 18．(1)， (2) 【分析】（1）根据是的直径，得到， 结合，可求；结合,可求． （2）连接，则，根据得， 继而得到，根据得到，继而得到求得，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）∵是的直径， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴． （2）连接，∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握圆周角定理，切线性质定理是解题的关键． 19．见解析 【分析】先作线段的垂直平分线．确定的中点，再以中点为圆心，一半为半径作圆交于点，然后作直线，则根据圆周角定理可得为所求． 【详解】如图，直线AB就是所求作的， （作法不唯一，作出一条即可，需要有作图痕迹） 【点睛】本题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 20．（1）5；（2）18；（3）（3－9）km． 【详解】【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，根据已知条件可得△AOB是等边三角形，由此即可得半径； （2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MN即为MP的最大值，根据垂径定理求得OM的长即可求得MN的最大值； （3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂，则P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度， 根据题意正确画出图形，得到点P的位置，根据等边三角形、勾股定理等进行求解即可得PE＋EF＋FP的最小值. 【详解】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB， ∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC， ∴∠BAO=∠OAC=∠BAC==60°， ∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB=5， 故答案为5；    （2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP， 显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝＝5，MN＝18， ∴PM的最大值为18；      （3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂ 由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，    如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°， ∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3， BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3， ∴∠ABO＝90°，AO＝3，PA＝3－3， ∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂， ∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂， ∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°， ∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝P´A＝3－9， 所以PE＋EF＋FP的最小值为3－9km． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到垂径定理、最短路径问题等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键. 21．(1) (2) (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）已知直线与交于点，把代入可得点D的坐标；如图抛物线经过、两点，把已知坐标代入解析式得出a，b的值即可； （2）由可得，设，则，由勾股定理得，从而可求出，即可得圆的半径； （3）证明以及后推出得出符合条件的坐标． 【详解】（1）由题知，线与交于点， 把代入中得，， ∴； ∵抛物线经过、两点， ，分别代入中，得 解得 ． ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴， 设与切于H，则，如图， 设则， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴当直线OD与相切时，． （3）如图2：抛物线的对称轴与x轴交于点，符合条件． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴该点坐标为． 过点O作的垂线交抛物线的对称轴于点， ∵对称轴平行于y轴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵点位于第四象限， ∴． 因此，符合条件的点有两个，分别是，． 【点睛】本题考查函数性质与坐标关系，待定系数法，切线的性质，三角函数以及勾股定理等知识，最后一问探究点的存在性问题，几何图形形式问题和直角三角形性质． 22．任务一：， 任务二：见解析；任务三：矩形的边长为、． 【分析】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解， 任务二：以直径为底边，构造底角为30度的等腰三角形，则得到的三角形和任务一三角形全等，再按要求取点，再以为圆心，分别以、为半径画弧，得到的扇面图形与图2相同； 任务三：在上取一点使，以为圆心，为半径的圆与相切，此时点与点重合，在圆上取一点A，使，即可得到扇面．过点作，则矩形为最小规格矩形， 【详解】任务一：解：过点O作，交于点，   ，， ， ， ，， ， 任务二：如图，是以直径为底边，底角为度，由任务一可知，，取，以O为圆心，分别以、为半径画弧，即可得到扇面．    任务三：如图所示：当与矩形两边相切时，过点作，则矩形为最小规格矩形，    ∵，，， ∴，，， ∵当与矩形两边相切， ∴最小规格矩形的边长为、， 23．(1)证明见解析；(2)CF＝；(3) sinE＝. 【详解】试题分析：（1）连结OC，如图1，根据切线的性质得OC⊥DE，而AD⊥DE，根据平行线的性质得OC∥AD，所以∠2=∠3，加上∠1=∠3，则∠1=∠2，所以AC平分∠DAB； （2）如图1，由B为OE的中点，AB为直径得到OB=BE=2，OC=2，在Rt△OCE中，由于OE=2OC，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OEC=30°，则∠COE=60°，由CF⊥AB得∠OFC=90°，所以∠OCF=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OF=OC=1，CF=OF=； （3）连结OC，如图2，先证明△OCG∽△DAG，利用相似的性质得==，再证明△ECO∽△EDA，利用相似比得到==，设⊙O的半径为R，OE=x，代入求得OE=3R；最后在Rt△OCE中，根据正弦的定义求解． 试题解析：（1）连结OC，如图1，∵DE与⊙O切于点C，∴OC⊥DE， ∵AD⊥DE，∴OC∥AD，∴∠2=∠3，∵OA=OC，∴∠1=∠3， ∴∠1=∠2， 即AC平分∠DAB； （2）如图1， ∵直径AB=4，B为OE的中点， ∴OB=BE=2，OC=2， 在Rt△OCE中，OE=2OC， ∴∠OEC=30°， ∴∠COE=60°，∵CF⊥AB，∴∠OFC=90°，∴∠OCF=30°，∴OF=OC=1，CF=OF=； （3）连结OC，如图2，∵OC∥AD，∴△OCG∽△DAG，∴==，∵OC∥AD， ∴△ECO∽△EDA，∴==，设⊙O的半径为R，OE=x，∴=，解得OE=3R， 在Rt△OCE中，sin∠E===． 考点：切线的性质；平行线的性质；锐角三角函数的定义． 24．(1)见解析 (2)4 【分析】（1）首先根据等量代换得到，然后根据同角的余角相等得到，进而证明即可； （2）连接，首先根据点D是的中点得到，然后根据勾股定理求出，最后利用角直接三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，      ∴，即：， ∵是的半径， ∴CE是的切线， （2）连接， ∵点D是的中点，AC是的直径， ∴， ∴，， 在中，设， 由勾股定理可得：，， 解得：， ∴， ∵，， ∴，则有， 故的长为4． 【点睛】此题考查了切线的证明，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$