2024--2025学年浙教版九年级数学上册期末专项突破《第3讲 二次函数与一次函数的综合问题》课件

让天下学子共享优质教育！ 第3讲 二次函数与一次函数的综合问题 期末专项突破 浙教版 九年级上册 一、选择题 1.如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝x2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝x2＋(b－1)x＋c的图象可能是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　 【解析】 ∵一次函数y1＝x与二次函数y2＝x2＋bx＋c的图象相交于第一象限的P，Q两点，∴方程x2＋bx＋c＝x，即x2＋(b－1)x＋c＝0有两个不相等的正实数根，∴函数y＝x2＋(b－1)x＋c的图象与x轴的正半轴有两个交点. 【答案】 A 2.如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线Cn：y＝(x－n)2＋n2(n为正整数).若C1和Cn的顶点的连线平行于直线y＝10x，则该条抛物线对应的n的值是 (　　) A. 8　 B. 9　 C. 10　 D. 11 【解析】 设C1和Cn的顶点所在直线的函数表达式为y＝kx＋b. ∵C1和Cn的顶点的连线平行于直线y＝10x，∴k＝10，∴y＝10x＋b.∵抛物线y＝(x－n)2＋n2的顶点坐标为(n，n2)，∴当n＝1时，顶点坐标为(1，1).将点(1，1)的坐标代入y＝10x＋b，解得b＝－9，∴y＝10x－9.把点(n，n2)的坐标代入y＝10x－9，解得n1＝1(不合题意，舍去)，n2＝9，∴n＝9. 【答案】 B 3.(2023秋·嘉兴市平湖市期末)定义{a，b，c}为函数y＝ax2＋bx＋c的特征数，下面给出了特征数为{2m，1－m，－1－m}时关于函数的一些结论，其中错误的是 (　　) A. 当m＝－3时，函数的最大值为 B. 当m＝－3时，函数图象的顶点到直线y＝x－1的距离为 C. 函数图象恒过两个定点(1，0)和 D. 若m＜0，则当x＜时，函数y随x的增大而增大 【解析】 当m＝－3时，y＝－6x2＋4x＋2＝－6＋，函数的最大值为，故A正确，但不符合题意；当m＝－3时，y＝－6x2＋4x＋2＝－6＋，顶点坐标是，∴过顶点的平行于直线y＝x－1的直线为y＝x＋， ∴直线y＝x＋与y轴的交点为，而直线y＝x－1与y轴的交点为(0，－1)，两交点之间的距离为，∴顶点到直线y＝x－1的距离为×＝，故B正确，但不符合题意；当x＝1时，y＝2mx2＋(1－m)x＋(－1－m) ＝2m＋(1－m)＋(－1－m)＝0，当x＝－时，y＝2mx2＋(1－m)x＋(－1－m)＝m－(1－m)＋(－1－m)＝－，即函数图象恒过两个定点(1，0)和，故C错误，符合题意；当m＜0时，y＝2mx2＋(1－m)x＋(－1－m) 是一条开口向下的抛物线，其对称轴是直线x＝，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.∵当m＜0时，＝－＞，即当x＜时，函数y随x的增大而增大，故D正确，但不符合题意. 【答案】 C 4.(2022秋·湖州市长兴县期末改编)如图，将二次函数y＝－x2＋x＋6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象.当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 (　　) A. －＜m＜3 B. －＜m＜2 C. －2＜m＜3 D. －6＜m＜－2 【解析】 如解图，当y＝0时，－x2＋x＋6＝0，解得x1＝－2，x2＝3，则点A(－2，0)，B(3，0).易知将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的函数表达式为y＝(x＋2)(x－3)，即y＝x2－x－6(－2≤x≤3).当直线y＝－x＋m经过点A(－2，0)时，2＋m＝0，解得m＝－2.当直线y＝－x＋m与抛物线y＝x2－x－6(－2≤x≤3)有唯一公共点时，即方程x2－x－6＝－x＋m有两个相等的实数根，∴x2－6－m＝0，∴Δ＝0－4×1×(－6－m)＝0，解得m＝－6，∴当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围是－6＜m＜－2. 【答案】 D 二、填空题 5.(2023·绍兴市柯桥区模拟)已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点P(t，t)，则称P为函数图象上的“平衡点”.例如：直线y＝－2x＋3上存在“平衡点”P(1，1).若函数y＝(m－1)x2－3x＋2m的图象上存在唯一“平衡点”，则m＝________. 【解析】 由题意可知，方程t＝(m－1)t2－3t＋2m有唯一解.当该方程是关于t的一元二次方程时，整理，得(m－1)t2－4t＋2m＝0，且Δ＝0，即(－4)2－4(m－1)×2m＝0，解得m1＝2，m2＝－1；当该方程是关于t的一元一次方程时，m＝1，此时方程为t＝－3t＋2，有唯一解.综上所述，m＝2或－1或1. 【答案】 2或－1或1 6.(2022秋·衢州市江山市期末改编)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点A(－1，0)，B(3，0).若直线y＝x＋1与抛物线相交于A，D两点，则当一次函数值小于二次函数值时，x的取值范围是________. 【解析】 将点A(－1，0)，B(3，0)的坐标分别代入 y＝x2＋bx＋c，得解得 ∴此抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3.令x＋1＝x2－2x－3，解得x1＝－1，x2＝4.由图象可知，当一次函数值小于二次函数值时，x的取值范围是x＜－1或x＞4. 【答案】 x＜－1或x＞4 7.(2023秋·绍兴市上虞区期末)若抛物线与x轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在x轴上截得的“弦长”.有下列抛物线：①y1＝－5(x－3)(x＋2)；②y2＝x2－4x－5；③y3＝(x－2)2－2.其中“弦长”最短的是抛物线________(填序号). 【解析】 ①y1＝－5(x－3)(x＋2)，当y1＝0时，－5(x－3)(x＋2)＝0，解得x1＝3，x2＝－2，∴抛物线y1与x轴的两个交点的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，∴该抛物线在x轴上截得的“弦长”为3－(－2)＝5；②y2＝x2－4x－5，当y2＝0时，x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，∴抛物线y2与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)，(5，0)，∴该抛物线在x轴上截得的“弦长”为5－(－1)＝6；③y3＝(x－2)2－2，当y3＝0时，(x－2)2－2＝0，解得x1＝0，x2＝4，∴抛物线y3与x轴的两个交点的坐标分别为(0，0)，(4，0)， ∴该抛物线在x轴上截得的“弦长”为4－0＝4，∴“弦长”最短的是抛物线③. 【答案】 ③ 8.(2023秋·宁波市慈溪市期末)如图，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(2，0)和点B(－1，－3).作射线BA，P是线段AB上的动点，将射线BA绕点P按逆时针方向旋转90°得到射线B′A′.若射线B′A′与抛物线y＝ax2＋bx只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围是________. 【解析】 ∵抛物线y＝ax2＋bx与x轴的交点是A(2，0)和O(0，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.当点P与点B重合时，射线B′A′与抛物线y＝ax2＋bx只有一个公共点，此时点P的横坐标为－1；如解图，当点P在对称轴上时，则点B′在抛物线上，射线B′A′与抛物线y＝ax2＋bx有2个公共点，此时点P的横坐标为1.综上所述，若射线B′A′与抛物线y＝ax2＋bx只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围是－1≤x＜1. 【答案】 －1≤x＜1 9.在平面直角坐标系中，已知函数y1＝ax2＋bx＋c，y2＝ax＋b，y3＝ax＋c，其中a，b，c为常数，且a＜0.函数y1的图象经过点A(1，0)，B(x1，0)，且满足－4＜x1＜－3；函数y2的图象经过点(x2，0)；函数y3的图象经过点(x3，0).若m＜x2＜m＋1，n＜x3＜n＋1，且m，n是整数，则m＝________，n＝________. 【解析】 ∵函数y2的图象经过点(x2，0)，函数y3的图象经过点(x3，0)，∴x2＝－，x3＝－.把点A(1，0)的坐标代入y1＝ax2＋bx＋c，得a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.∵－4<x1<－3，∴<＝－<，∴－3<－<－2，∴－3＜x2＜－2.又∵m＜x2＜m＋1，m是整数，∴m＝－3.∵x3＝－＝＝1＋，2<<3，∴3＜x3＜4. 又∵n＜x3＜n＋1，n是整数，∴n＝3. 【答案】 －3　3 10.(2023·绍兴市中考)在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形被称为该图形的“关联矩形”.例如：如图，函数y＝(x－2)2(0≤x≤3)的图象(抛物线中的实线部分)，它的“关联矩形”为矩形OABC.若二次函数y＝x2＋bx＋c(0≤x≤3)的图象的“关联矩形”恰好也是矩形OABC，则b＝________. 【解析】 由y＝(x－2)2(0≤x≤3)可得，当x＝0时，y＝4，∴点C(0，4).∵点A(3，0)，四边形OABC是矩形， ∴点B(3，4).分三种情况讨论：①当抛物线经过点O，B时，将点O(0，0)，B(3，4)的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c(0≤x≤3)中，得解得b＝，经检验，b＝符合题意.②当抛物线经过点A，C时，将点A(3，0)，C(0，4)的坐标代入y＝x2＋bx＋c(0≤x≤3)中，得解得b＝－，经检验，b＝－符合题意. ③当抛物线的顶点在线段OA上时，b2－c＝0，∴c＝b2，∴y＝x2＋bx＋b2.∵对称轴为直线x＝－2b，∴0≤－2b≤3.ⅰ.若抛物线经过点C，则b2＝4，解得b＝±2(不合题意，舍去).ⅱ.若抛物线经过点B，则＋3b＋b2＝4，解得b1＝(不合题意，舍去)，b2＝－(不合题意，舍去).综上所述，b＝或－. 【答案】 或－ 11.(2023秋·宁波市海曙区期末)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，D为直线BC下方的抛物线上一动点. (1)求抛物线的函数表达式. (2)过点D作y轴的平行线，交BC于点P，小明认为当D为抛物线的顶点时，DP的长取最大值，试判断小明的说法是否正确，并说明理由. 三、解答题 【解析】 (1)当x＝0时，y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3). ∵抛物线y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴抛物线的函数表达式可设为y＝a(x－3)(x＋1)， 把点C(0，－3)代入，得－3a＝－3，解得a＝1， ∴抛物线的函数表达式为y＝(x－3)(x＋1)＝x2－2x－3. (2)小明的说法不正确.理由如下：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，－4).设直线BC的函数表达式为y＝mx＋n，把点B(3，0)，C(0，－3)分别代入，得解得 ∴直线BC的函数表达式为y＝x－3.设点D的坐标为(t，t2－2t－3)(0＜t＜3)，则点P的坐标为(t，t－3)，∴DP＝t－3－(t2－2t－3)＝－t2＋3t＝－＋，∴当t＝时，DP的长取最大值，而抛物线的顶点坐标为(1，－4)，∴小明的说法不正确. 12.(2023秋·嘉兴市平湖市期末)如图，二次函数y＝a(x＋1)(x－3)(a＞0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线x＝1与x轴交于点D，与抛物线交于点E. (1)若AC⊥BC，求二次函数的表达式. (2)设P为抛物线上位于x轴下方的动点，直线PA，PB分别与直线DE交于点M，N，求证：DM＋DN＝2DE. 【解析】 (1)当y＝0时，a(x＋1)(x－3)＝0，解得x1＝－1，x2＝3， ∴点A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4.∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°. ∵OC⊥AB，易证△OAC∽△OCB，∴＝， ∴OC2＝OA·OB＝1×3，解得OC＝(负值已舍去)，∴点C(0，－).把点C(0，－)代入y＝a(x＋1)(x－3)中，得－3a＝－，解得a＝， ∴二次函数的表达式为y＝(x＋1)(x－3)，即y＝x2－x－. (2)当x＝1时，y＝a(x＋1)(x－3)＝－4a，∴点E的坐标为(1，－4a)， ∴DE＝4a.设点P的坐标为(t，a(t＋1)(t－3))(－1<t<3)，直线AP的函数表达式为y＝mx＋n，把点A(－1，0)，P(t，a(t＋1)(t－3))分别代入，得解得∴直线AP的函数表达式为y＝a(t－3)x＋a(t－3).当x＝1时，y＝2a(t－3)＝2at－6a，∴点M的坐标为(1，2at－6a)，∴DM＝－2at＋6a.同理可得，直线BP的函数表达式为y＝a(t＋1)x－3a(t＋1)，当x＝1时，y＝－2a(t＋1)＝－2at－2a，∴点N的坐标为(1，－2at－2a)，∴DN＝2at＋2a，∴DM＋DN＝－2at＋6a＋2at＋2a＝8a，∴DM＋DN＝2DE. $$