第13节-二次函数的实际应用课件 2025年中考数学一轮考点精讲（广东）

第13节 二次函数的实际应用 1 立标明方向 2 循本知脉络 3 精讲通考点 4 精练提思维 5 课后作业 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 课标结果 目标 了解 （知道，初步认识） 理解 （认识，会） 掌握 （能） 运用 （证明，应用） 课程内容 ·通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义 —— ·能确定相应自变量的值，能解决简单的实际问题 —— 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 全等三角形 一、抛物线形问题 抛球、拱桥、喷水问题 二、销售类问题 （5年2考） 由图象得二次函数模型、由文字表述得二次函数模型 三、与几何图形相关的问题 设计最大面积的苗圃、动线背景下得二次函数模型 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 重点突破 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 突破点1 抛物线形问题定 1. 如图，一位篮球运动员投篮，建立如图所示的平面直角坐标系，球沿抛物线 y = -0.2 x2 + x + 2.25 运动.若他在距篮圈中心的水平距离OH为4 m处投球，球准确落入篮圈内，则篮圈的中心离地面的高度约为 答案答 m. 3.05 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 2.榕江特大桥（图1）位于广东揭阳市、汕头市的榕江河段，大桥主桥上的钢桁梁柔性拱可近似地看做抛物线，示意图如图 2所示 .以 AB的中垂线所在的直线为 y轴，AB所在直线为 x轴建立平面直角坐标系.已知AB = 220 m，OC = 44 m，求抛物线的函数表达式. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 解：∵OC垂直平分AB，∴AO = BO = 110 m.∴B（110，0）. ∵OC = 44，∴C（0，44）. 设抛物线的表达式为 y = ax2 + c（a ≠ 0）. 将B，C两点的坐标代入得 解得 ∴抛物线的函数表达式为 y = - x2 + 44. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 3.【教材变式】（母题源自人教版九上P36例4）如图，某小区计划修建一个圆形喷水池，在池中心O竖直安装一根水管OA，在水管的顶端A处安一个喷头.以池中心O为原点，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴，建立平面直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平 距离为 1 m处达到最高，高度为3 m，且水柱落地处 离池中心3 m，则水管OA的长为多少？ 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 解：由题可知该抛物线的顶点坐标为（1，3）， 设抛物线的表达式为 y = a（x - 1）2 + 3（a ≠ 0）. ∵抛物线与 x 轴交于点（3，0）， ∴将（3，0）代入 y = a（x - 1）2 + 3， 得 4a + 3 = 0.解得a = - . ∴该抛物线的函数表达式为 y = - （x - 1）2 + 3. 当x = 0时，y = 2.25.∴水管OA的长应为 2.25 m. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 4. 某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示.当10 ≤ x ≤ 20时，其图象是线段AB，则y与x的函数关系是为___________ .设每天的利润为 w 元，则 w 关于 x 的关系式为______________________ .该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为____ 元（利润 = 总销售额 - 总成本）. w = （x - 8）（-x + 30） y = -x + 30 121 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 5. 广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2 万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5 万元出售，平均每天可售出100 吨.市场调查反映：如果每吨降价1 万元，每天销售量相应增加50 吨.售价定为多少时才能使每天的利润或销售收入最大？请求出其最大值.（题中“元”为人民币） 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 思路引导 主干等量关系：每吨利润 × 销量 = 总利润 特征量 每吨利润/万元 销量/吨 总利润/万元 新售价 x - 2 答案答案答案答案 答案答案答案答案答案答案答 100 + 50（5 - x） （x - 2）［100 + 50（5 - x）］ 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 解：设每吨荔枝售价 x 万元时，每天的利润为 w 万元，每天的销售收入为 y 万元. w =（x - 2）［100 + 50（5 - x）］ = -50（x - 4.5）2 + 312.5， ∵-50 < 0，∴当 x = 4.5 时，w有最大值，为312.5. y = x［100 + 50（5 - x）］= -50（x - 3.5）2 + 612.5， ∵-50 < 0，∴当 x = 3.5 时，y 有最大值，最大值为612.5. 答：每吨荔枝售价4.5 万元时，才能使每天的利润最大，最大利润为312.5 万元；每吨荔枝售价3.5 万元时，才能使每天的销售收入最大，最大收入为 612.5 万元. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 突破点3 几何图形相关问题 6.【教材变式】（母题源自人教版九上 P57 题 7）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由周长为 30 m的篱笆围成 .已知墙长为 18 m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x m. （1）若苗圃园的面积为72 m2，求 x 的值. 80 解：苗圃园与墙平行的一边长为（30 - 2x）m. 依题意可列方程x（30 - 2x）= 72，解得x1 = 3，x2 = 12. 当 x = 3时，30 - 2x = 24 > 18，不符合题意，舍去. 当 x = 12时，30 - 2x = 6，符合题意.∴x = 12. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 （2）若平行于墙的一边长不小于8 m，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由. 解：由题意得8 ≤ 30 - 2x ≤ 18.解得6 ≤ x ≤ 11. 苗圃园的面积S = x（30 - 2x） = -2 + . 思路引导 在实际情境中利用二次函数求最值时，需要考虑自变量的取值范围，比如（2）中需要先明确平行于墙的篱笆的长度范围是 答案答案答案答案 ，再利用草图研究对应范围内函数的最值. 8 ≤ 30 - 2x ≤ 18 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 （2）若平行于墙的一边长不小于8 m，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由. 解：由题意得8 ≤ 30 - 2x ≤ 18. 解得6 ≤ x ≤ 11. 苗圃园的面积S = x（30 - 2x） = -2 + . ∵-2 < 0， ∴当x = 时，S有最大值，为 . 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 （2）若平行于墙的一边长不小于8 m，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由. 当x < 时，S随x增大而增大， 当x = 6时，S = 108. 当x > 时，S随x增大而减小， 当x = 11时，S = 88. ∴当x = 11时，S有最小值，为88. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 （3）若在平行于墙的一边留一扇宽度为 1 m的门，求此时苗圃园的最大面积. 解：S = x （30 - 2x + 1） = - 2 . ∵-2 < 0，∴当 x = 时，S有最大值， 即苗圃园有最大面积，为 m2. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 二次函数应用题解题策略 1.已知函数模型 2.未知函数模型 方法总结 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 精练提思维 促进自我评价 快速对答案 返回目录 1. 如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB的长为 x m，BC的长 y m，菜园的面积为 S m2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是 （ ） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 A 1 2 3 4 6 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 2. 某茶杯过最低点B的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面ABC呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），点A，点C位于杯口处，且AC = 10 cm，点B是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度（点B到AC的距离）为4 cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2 cm（点B到EF的距离），则此时EF的长度为（ ） A. 5 cm B. cm C. cm D. cm A 1 2 3 4 6 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 3. 【新课标跨学科探究】 生物学研究表明：在一定的温度范围内，酶的活性会随着温度的升高逐步增强，在最适宜温度时，酶的活性最强；超过一定温度范围后，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至失去活性.现在已知某种酶的活性值 y（单位：IU）与温度t（单位：℃）的关系可近似用二次函数y = 来表示，则当温度为最适宜时，该种酶的活性值为 答案答. 240 1 2 3 4 6 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 4. 如图，等边三角形ABC的边长为1，D是AC边上的一点，过D作BC边的垂线，交BC于点G，用x表示线段BG的长度，用y表示Rt△CGD的 面积，y关于x的函数表达式是 答案答案答案答 . 1 2 3 4 6 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 5. 某超市经销一种商品，其进价为50元/千克.经试销发现，该种商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元 /千克）满足一次函数关系，其每天销售价、销售量的四组对应值如下表所示： （1）y与x之间的函数关系式为案答案答案答案. y = -2x + 180 1 2 3 4 6 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 （2）当销售价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解：设当天的销售利润为w元， 则w = （x - 50）（-2x + 180） = -2（x - 70）2 + 800， ∵-2 < 0， ∴当x = 70时，w有最大值800. 答：当销售价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元. 1 2 3 4 6 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 （3）物价部门规定，销售利润率不得高于30%，销售价定为多少时，才能使得当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解：依题意得 ≤ . ∴x ≤ 65. 由（2）知，w = -2（x - 70）2 + 800. ∵-2 < 0， ∴当x < 70时，w随x的增大而增大. ∴当x = 65时，w最大 = -2（65 - 70）2 + 800 = 750. 答：销售价定为65元/千克时，销售利润最大，为750元. 1 2 3 4 6 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 素养提升 6. 如图1，某景区为提升景区品质，沿人行道打造喷水景观.为保持人行道干燥（要求水柱不能喷射到人行道和护栏上），水柱要喷入河中，水柱可近似看做抛物线.如图2是截面图，已知水平人行道宽OA = 3.5 m，AE是河道坝高，坝面AB的坡比为i = 1∶0.5，水柱在距离喷水口O点右侧2 m位置处时，水柱距离人行道地面的高度达到最大值3 m.以点O为原点，直线OA为 x 轴建立平面直角坐标系. 1 2 3 4 6 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 素养提升 （1）出于安全考虑，在坝顶A处安装护栏，若护栏高度为1.2 m，试判断是否符合要求. 解：根据题意得抛物线的顶点坐标为（2，3）， 设抛物线的函数表达式为 y = a（x - 2）2 + 3（a ≠ 0）， ∵抛物线经过原点O（0，0），∴0 = a ×（-2）2 + 3，解得 a = - . ∴抛物线的函数表达式为 y = - （x - 2）2 + 3. ∵OA = 3.5，∴将x = 3.5代入y = （x - 2）2 + 3，得 y = . ∵1.2 < ，即水柱不能喷射到护栏上，∴符合要求. 1 2 3 4 6 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 素养提升 （2）水柱恰好直接落在河水中（水面与AB交于点F处）时，求点F到人行道OA的距离. 解：如答图，过点F作FG⊥AE于点G，则i = . 设AG = b m，则FG = 0.5b.∴点F的坐标为（0.5b + 3.5，-b）. 将（0.5b + 3.5，-b）代入y = （x - 2）2 + 3， 得（0.5b + 1.5）2 + 3 = -b， 解得b1 = -3（舍），b2 = . ∴点F到人行道OA的距离为 m. 1 2 3 4 6 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 快速对答案 A A 1 2 3 4 240 5 略 6 略 1 2 3 4 6 5 精练提思维 促进自我评价 返回目录 $$