第12节-二次函数课件 2025年中考数学一轮考点精讲（广东）

第12节 二次函数 1 立标明方向 2 循本知脉络 3 精讲通考点 4 精练提思维 5 课后作业 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 课标结果 目标 >了解 （知道，初步认识） 理解 （认识，会） 掌握 （能） 运用 （证明，应用） 课程内容 ·通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系 ·知道二次函数和一元二次方程之间的关系 ·会求二次函数的最大值或最小值 ·会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 ·能画二次函数的图象 ·会用配方法将数字系数的二次函数化为y = a（x - h）² + k的形式，能由此得到二次函 数图象的顶点坐标、开口方向、对称轴 —— 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 二次函数 一、二次函数及相关概念（5年2考） 定义；二次函数表达式的三种形式；待定系数法确定函数的表达式 二、二次函数的图象与性质（5年5考） 图象的形状、开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性；图象与系数的关系；图象的平移 三、二次函数与一元二次方程及不等式的关系（5年1考） 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 基础巩固 重点突破 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 一、二次函数及其相关概念（5年2考） 1. 定义：一般地，若两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示为 y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数，a ≠ 0）的形式，则称y是x的二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 2. 二次函数表达式的三种形式： 一般式 y = ax2 + bx + c（a，b，c是常数，a ≠ 0） 对称轴：直线 x = . 顶点坐标： 顶点式 y = a（x - h）2 + k（a ≠ 0）， 其中顶点坐标为（h，k） 对称轴：直线 x = h 交点式 y = a（x - x1）（x - x2）（a ≠ 0），其中 x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标 对称轴：直线 x 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 3. 待定系数法确定二次函数的表达式： 一设：已知顶点坐标，设为顶点式 y = a（x - h）2 + k（a ≠ 0）； 已知除顶点以外的其他点的坐标，设为一般式 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）； 已知与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）， 设为交点式 y = a（x - x1）（x - x2）（a ≠ 0）. 二代：将已知点的坐标代入表达式，得到方程（组）. 三解：解方程（组），得待定系数a，h，k或a，b，c的值. 四写：将待定系数值代回所设表达式，求出表达式. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 1. 下列各关系式中，属于二次函数的是（x为自变量） （ ） A. y = x2 　　　B. y = 　　　C. y = 1　　　 D. y = ax2 A 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 2.二次函数 y = ax2 + c（a ≠ 0）过点（0，2）和（1，1），则这个二次函数的表达式为 答案答案答案 . y = -x2 + 2 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 3. 已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-2），可设交点式为 y = a（x + 2）（x - 1），解得二次函数的表达式为 答案答案答案答案答案 . y =（x + 2）（x - 1） 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 4. 已知二次函数的图象经过点（4，-3），顶点坐标为（3，4），可设顶点式为 答案答案答案答案案 ，则二次函数的表达式为 答案答案答案答案案案 . y = a（x - 3）2 + 4 y = -7（x - 3）2 + 4 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 二、二次函数的图象与性质（5年5考） 1. 二次函数的图象与性质： 二次函数y = ax2 + bx + c（a，b，c是常数，a ≠ 0） 图象 开口方向 a > 0，开口向上 a < 0，开口向下 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 1. 二次函数的图象与性质： 二次函数y = ax2 + bx + c（a，b，c是常数，a ≠ 0） 增减性 当x < 时，y随x的增大而 答案答 当x > 时，y随x的增大而 答案答 当x < 答案答 时，y随x的增大而增大 当x > 答案答 时，y随x的增大而减小 续表 减小 增大 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 1. 二次函数的图象与性质： 二次函数y = ax2 + bx + c（a，b，c是常数，a ≠ 0） 最值 当 x = 答案答 时，y有最 案答 值 答案答案答 当 x = 答案答 时，y有最 案答 值 答案答案答 续表 小 大 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 2. 二次函数图象与系数 a，b，c 之间的关系： a，b c b = 0 对称轴为 答案答 c = 0 抛物线过 答案答 ab > 0 对称轴在y轴 答案 侧 c > 0 抛物线与y轴交于 答案 半轴 ab < 0 对称轴在y轴 答案 侧 c < 0 抛物线与y轴交于 答案 半轴 y轴 左 右 原点 正 负 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 3. 二次函数图象的平移： 一转化 二平移 y = 2x2 + 4x + 1 配方法↓ 答案答案答案答案 向左平移 2 个单位长度 y = 2（x + 1 + 2）2 - 1， 即 y = 2（x + 3）2 - 1 左加 向右平移 2 个单位长度 答案答案答案答案答案，即答案答案答案答案答 右减 y = 2（x + 1）2 - 1 y = 2（x + 1 - 2）2 - 1 y = 2（x - 1）2 - 1 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 3. 二次函数图象的平移： 一转化 二平移 y = 2x2 + 4x + 1 配方法↓ 答案答案答案答案 向上平移 2 个单位长度 y = 2（x + 1 ）2 - 1 + 2， 即 y = 2（x + 1）2 + 1 上加 向下平移 2 个单位长度 答案答案答案答案答案，即答案答案答案答案答 下减 y = 2（x + 1）2 - 1 y = 2（x + 1 ）2 - 1 - 2 y = 2（x + 1）2 - 3 续表 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 5. 若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数 y = x2的图象上，则 （ ） A. y3 > y2 > y1 　　B. y2 > y1 > y3 　　C. y1 > y3 > y2　　 D. y3 > y1 > y2 A 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 6. 关于抛物线y = -（x - 1）2 - 2的判断，下列说法正确的是 （ ） A.抛物线的开口向上　　 B.抛物线的对称轴是直线 x = -1　　 C.抛物线的顶点坐标为（1，-2）　　 D.当 x < 1时，y 随 x 的增大而减小 C 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 7. 抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A.a < 0　　 B.ab > 0　　 C.ac > 0　　 D.2a + b > 0 D 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 8. 将抛物线 y = 2x2 + 1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式为 答案答案答案 . y = 2x2 + 4x 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 三、二次函数与一元二次方程及不等式的关系（5年1考） 1. 方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的解是二次函数 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）与 x 轴交点横坐标的值. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 2. 观察二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图象可以直接得出不等式ax2 + bx + c > 0（a ≠ 0）或 ax2 + bx + c < 0（a ≠ 0）的解集. 图示 Δ = b2 - 4ac的正负 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）与 x 轴的交点 两个交点：（m，0）和（n，0） 一个交点： （z，0） 没有交点 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）根的情况 两个不相等的实数根 ： x1 = m，x2 = n 两个相等的实数根 ：x1 = x2 = z 没有实数根 ax2 + bx + c > 0（a ≠ 0）的解集 x < m 或 x > n x ≠ z x可以取任何实数 ax2 + bx + c < 0（a ≠ 0）的解集 m < x < n 无解 无解 续表 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 9. 二次函数 y = x2 - 6x + 9 与x 轴有1个交点，则方程 x2 - 6x + 9 = 0有答案答案答案实数根. 两个相等的 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 10. 二次函数 y = x2 - 2x + k 的图象如图所示，若关于 x 的一元二次方程 x2 - 2x + k = 0 的一个根是 x1 = 3，则另一个根是答案答答；当 x2 - 2x + k < 0时，x 的取值范围为 答案答案答 . x2 = -1 -1 < x < 3 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 突破点1 待定系数法确定二次函数的表达式 1.（2024江苏扬州）如图，已知二次函数 y = -x2 + bx + c 的图象与 x 轴 交于 A（-2，0），B（1，0）两点.求二次函数的表达式. 解：∵二次函数y = -x2 + bx + c的图象与x轴交于A（-2，0），B（1，0）两点， ∴解得 ∴二次函数的表达式为y = -x2 - x + 2. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 2.下表给出了某抛物线中两个变量 x，y 的部分对应关系: x … -3 -2 -1 0 1 2 … y … -12 -5 0 3 4 3 … （1）求该抛物线的表达式. 思路引导 特殊点 坐标 顶点 答案答案 与x轴的交点 答案答案答案答案 与y轴的交点 答案答案 （-1，0），（3，0） （1，4） （0，3） 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 解：∵该抛物线经过点（0，3）， ∴设该抛物线的表达式为 y = ax2 + bx + 3（a ≠ 0）， 将（-1，0），（1，4）分别代入y = x2 + bx + 3， 得解得 ∴该抛物线的表达式为 y = -x2 + 2x + 3. 另解： 由顶点式可得 y = -（x - 1）2 + 4； 由交点式可得 y = -（x + 1）（x - 3）. （1）求该抛物线的表达式. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 解：将 y = -5代入y = -x2 + 2x + 3 得-5 = -x2 + 2x + 3， 解得x1 = 4，x2 = -2. ∴点P的坐标为（4，-5）或（-2，-5）. （2）当点 P 的纵坐标为 -5 时，求点 P 的坐标. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 突破点2 二次函数的图象与性质 3.（2024贵州改编）如图，二次函数 y = ax2 + bx + c 的部分图象与 x 轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标为（-1，4），请根据图象填空： （1）二次函数图象的对称轴是直线 答案答案. （2）二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是答. （3）二次函数有最答答值，为 答. （4）当x < -1时，y随x的增大而 答案答案. （5）二次函数图象与y轴的交点坐标为 答案答案. x = -1 1 4 增大 （0，3） 大 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 4.（2024 四川内江）已知二次函数 y = x2 - 2x + 1 的图象向左平移两个单位得到抛物线 C，点 P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1 答案（填“<”或“>”） y2. < 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 5.已知二次函数y = x2 - 2x（-1 ≤ x ≤ t - 1），当x = -1时，函数取得最大值；当x = 1时，函数取得最小值，则t的取值范围是 （ ） 　A. 0 < t ≤ 2 　　　B. 0 < t ≤ 4 　　　C. 2 ≤ t ≤ 4 　　　D. t ≥ 2 C 点拨：抛物线的对称轴为直线 x = 1，则 t - 1 ≥ 1 得 t ≥ 2； 当 x = -1 时，y 取得最大值，2 × 1 - （-1） = 3， 则 t - 1 ≤ 3，解得 t ≤ 4. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 突破点3 二次函数与一元二次方程及不等式的关系 6. 如图，一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）与二次函数 y = ax2（a ≠ 0）的图象分别交于点 A（-2，2），B（4，8），则关于 x 的方程 ax2 = kx + b 的解为 答案答案答案答. x1 = -2，x2 = 4 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 7. 二次函数 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图象如图所示. 思路引导 方法 举例 赋值法 当x = 答时，y = a + b + c 当x = -1时，y = 答案答案 当x = 2时，y = 答案答案答 当- = 1时，b = 答案 ，2a + b = 答 当- = -1 时，b = 2a，2a - b = 0 1 a - b + c 4a + 2b + c -2a 0 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 7. 二次函数 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图象如图所示. 思路引导 方法 举例 消元法 已知a + b + c = m， 当- = 1时，c - a = 答 当- = -1时，3a + c = 答 m m 续表 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 7. 二次函数 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图象如图所示. （1）以下结论正确的是答案 答.（填序号） ①abc < 0；②2a + b = 0；③4ac - b2 < 0；④a + b + c > 0； ⑤4a + 2b + c > 0；⑥对于任意m都有m（am + b）≥ a + b. ②③⑥ 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 7. 二次函数 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图象如图所示. 拓展问 3a + c 答 0，9a + 3b + c 答 0，4a - 2b + c 答 0. = = > x1 = -1，x2 = 3 （2）一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的解为 _______________. （3）不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 答答答答答答答 . （4）方程 ax2 + bx + c = n（n > 0）根的情况是 有两个不相等的实数根 . x > 3 或 x < -1 有两个不相等的实数根 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 精练提思维 促进自我评价 快速对答案 返回目录 1.（2020 广东）把函数 y = （ x - 1） 2 + 2 的图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的函数表达式为 （ ） C A. y = x2 + 2 B. y = （ x - 1） 2 + 1 C. y = （ x - 2） 2 + 2 D. y = （ x - 1） 2 + 3 1 2 3 4 5 6 7 精练提思维 促进自我评价 返回目录 2.如图，抛物线 y = a（x + 1）2 + k与 x 轴交于A（-3，0），B两点，下列说法错误的是 （ ） A. a < 0 B.抛物线的对称轴为直线 x = -1 C.点 B 的坐标为（1，0） D.当 x < 0时，y 随 x 的增大而增大 D 1 2 3 4 5 6 7 精练提思维 促进自我评价 返回目录 3.已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线 y = -x2 - 4x + 1上的点，则 （ ） A. y3 < y2 < y1 B. y3 < y1 < y2 C. y2 < y3 < y1 D. y1 < y3 < y2 B 1 2 3 4 5 6 7 精练提思维 促进自我评价 返回目录 4.已知二次函数 y = ax2 + bx - c（a ≠ 0），其中b > 0，c > 0，则该函数的图象可能是 （ ） C A B C D 1 2 3 4 5 6 7 精练提思维 促进自我评价 返回目录 5.（2023 广东）如图，抛物线 y = ax2 + c 经过正方形 OABC 的三个顶点 A，B，C，点 B 在 y 轴上，则 ac 的值为 答案 . -2 点拨：由题知 B（0，c），则 A . 将 A代入 y = ax2 + c 得 = + c， 解得 ac = -2. 1 2 3 4 5 6 7 精练提思维 促进自我评价 返回目录 素养提升 6.（2024江苏连云港）已知抛物线 y = ax2 + bx + c（a，b，c是常数，a < 0）的顶点为（1，2）.小烨同学得出以下结论：① abc < 0；②当 x > 1 时， y 随 x 的增大而减小；③若 ax2 + bx + c = 0 的一个根为3，则a = - ；④抛物线 y = ax2 + 2 是由抛物线 y = ax2 + bx + c向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的.其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ B 1 2 3 4 5 6 7 精练提思维 促进自我评价 返回目录 素养提升 7.（2024 广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于 x 的二次函数 y = x2 + 2mx + m - 3的最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. （1）老师给出 m = -4，求二次函数 y = x2 + 2mx + m - 3的最小值. ①请你直接写出对应的函数表达式. ②求当 x 取何值时，函数 y 有最小值，并写出此时的 y 值. 解：① m = -4，则 y = x2 + 2mx + m - 3 = x2 - 8x - 7. ②∵1 > 0，∴当 x = - = 4时，y 有最小值，为16 - 32 - 7 = -23. 1 2 3 4 5 6 7 精练提思维 促进自我评价 返回目录 素养提升 1 2 3 4 5 6 7 8 【举一反三】老师给出更多 m 的值，同学们求出对应的函数在 x 取何值时，y 的最小值.记录结果，并整理成下表： 解：（1）① m = -4，则 y = x2 + 2mx + m - 3 = x2 - 8x - 7. ②∵1 > 0，∴当 x = - = 4时，y 有最小值，为16 - 32 - 7 = -23. m … -4 -2 0 2 4 … x … * 2 0 -2 -4 … y的最小值 … * -9 -3 -5 -15 … 注：*为②的计算结果. 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.” 甲同学：“我发现，老师给了m值后，我们只要取 x = -m，就能得到 y的最小值.” 1 2 3 4 5 6 7 精练提思维 促进自我评价 返回目录 素养提升 解：合理，理由如下： ∵1 > 0，∴函数有最小值. 当 x = - = -m 时，y取得最小值，故甲同学的说法合理. 乙同学：“我发现，y 的最小值随 m 值的变化而变化，当 m 由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想 y 的最小值中存在最大值.” （2）请结合函数表达式 y = x2 + 2mx + m - 3，解释甲同学的说法是否合理. 1 2 3 4 5 6 7 精练提思维 促进自我评价 返回目录 素养提升 1 2 3 4 5 6 7 8 解：正确，理由如下： 当 x = -m 时，y = x2 + 2mx + m - 3 = -m2 + m - 3. ∵-1 < 0，∴ y 的最小值中存在最大值. 当m = 时，最大值为- + - 3 = - . （3）乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 精练提思维 促进自我评价 返回目录 快速对答案 C D B 1 2 3 4 5 6 C -2 B 7 略 1 2 3 4 5 6 7 精练提思维 促进自我评价 返回目录 $$