第10节 一次函数及其应用 课件 2025年中考数学一轮考点精讲（广东）

第10节 一次函数及其应用 1 立标明方向 2 循本知脉络 3 精讲通考点 4 精练提思维 5 课后作业 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 课标结果 目标 >了解 （知道，初步认识） >>理解 （认识，会） >>>掌握 （能） >>>>运用 （证明，应用） 课程内容 ·结合具体情境体会一次函数的意义 ·体会一次函数与二元一次方程的关系 ·理解正比例函数 ·会运用待定系数法确定一次函数的表达式 ·能根据已知条件确定一次函数的表达式 ·能画一次函数的图象 ·能用一次函数解决简单实际问题 ·根据图象和表达式 y = kx + b（k ≠0）探 索 并 理 解k >0和k<0时图象的变化情况 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 一次函数及其应用 一、一次函数（5年5考） 定义、函数的表达式及图象与性质 二、一次函数与方程（组）、不等式的关系（5年1考） 三、一次函数的应用（5年1考） 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 基础巩固 重点突破 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 一、一次函数（5年5考） 1. 一次函数的定义： 若两个变量x，y间的对应关系可以表示为y = kx + b（k，b是常数， k ≠ 0）的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b = 0时，y = kx（k ≠ 0）是正比例函数. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 2. 待定系数法确定一次函数的表达式： 一设：一次函数设为y = kx + b（k ≠ 0），正比例函数设为 y = kx（k ≠ 0）. 二代：将已知点的坐标代入表达式，得到方程（组）. 三解：解方程（组），得k，b的值. 四写：将k，b的值代回所设的表达式，从而写出表达式. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 3. 一次函数的图象与性质： 名称 一次函数 正比例函数 函数 y = kx（k ≠ 0），图象是经过原点的一条直线 k，b的符号 k > 0 k < 0 图象 经过的象限 一、三 二、四 性质 y随x增大而增大 y随x增大而减少 （1）图象与性质 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 续表 名称 一次函数 其他一次函数 函数 y = kx + b（k ≠ 0），图象是经过（0，b），（- 0），0 两点的一条直线 k，b的符号 k > 0 b > 0 b < 0 图象 经过的象限 一、二、三 一、三、四 性质 y随x增大而增大 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 续表 名称 一次函数 其他一次函数 函数 y = kx + b（k ≠ 0），图象是经过（0，b），（-0），0 两点的一条直线 k，b的符号 k < 0 b > 0 b < 0 图象 经过的象限 一、二、四 二、三、四 性质 y随x增大而减少 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 拓展：已知直线l1：y = k1x + b1，l2：y = k2x + b2，l1∥l2 ⇔ k1 = k2， b1 ≠ b2. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 平移前 平移方向 平移后 口诀 直线 y = 2x + 1 向左平移2个单位长度 y = 2（x + 2） + 1 左加 向右平移2个单位长度 y = 2（x - 2） + 1 右减 向上平移2个单位长度 y = 2x + 1 + 2 上加 向下平移2个单位长度 y = 2x + 1 - 2 下减 （2）平移规律. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 1. 下列说法错误的是（ ） D A. y = 2 - x是一次函数 B. y = x是正比例函数 C. 函数y = -3x + 3的图象过点（1，0） D. 直线y = -x过点（0，-1） 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 2. 已知一次函数表达式为y = 2x - 3. （1）该函数的图象与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 . （2）请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象. （3）该函数的图象经过第 象限，y随x的增大而 . （0，-3） 一、三、四 增大 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 2. 已知一次函数表达式为y = 2x - 3. （4）若点A（-1，y1 ），B（2，y2 ）在该函数的图象上，则y1 （填“>”“<”“=”）y2. （5）将一次函数 y = 2x - 3 的图象向上平移 2 个单位长度，得到新的一次函数的表达式为 . y = 2x - 1 < 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 3. 【教材变式】【母题源自2023广东题16（2）】已知一次函数 l1：y = kx + b 的图象经过点（0，1）与点（2，5）. （1）求该一次函数的表达式. （2）已知直线l2：y = mx + n，若l1∥l2，且直线l2经过点（2，1），则m的值为 ，n的值为 . 解：（1）将（0，1）与（2，5）代入y = kx + b， ∴一次函数的表达式为y = 2x + 1. b = 1， 2k + b = 5， 得 k = 2， b = 1. 解得 2 -3 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 二、一次函数与方程（组）、不等式的关系（5年1考） 示意图 函数图象交点情况 方程（组）解的情况 不等式（组）解集的情况 直线 y = ax + b 与 x 轴的交点的横坐标为m 方程 ax + b = 0 的解 为x = m 结合图象得，不等式ax + b > 0 的解集为x > m；不等式 ax + b < 0的解集为x < m 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 二、一次函数与方程（组）、不等式的关系（5年1考） 示意图 函数图象交点情况 方程（组）解的情况 不等式（组）解集的情况 直线y = a1 x + b1与直线y = a2 x + b2（a1 ≠ a2 ）的交点坐标为（m，n） 方程组 的解为 结合图象得，不等式 a1 x + b1 > a2 x + b2的解集为x > m；不等式 a1 x + b1 < a2 x + b2的解集为x < m 续表 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 4. 直线y = kx + b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx + b ≤ 1的解集是（ ） C A. x ≤ 0 B. x ≤ 2 C. x ≥ 0 D. x ≥ 2 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 5. 如图所示，直线y = kx + b（k ≠ 0）与直线y = x - 1分别与x轴交于点（-2，0），（1，0），两直线都与y轴交于点（0，-1），观察函数图象，解决下列问题： 本题主要体现的数学思想是数形结合，“由形到数”是从图象上直观地找到对应自变量的取值或取值范围. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 5. 如图所示，直线y = kx + b（k ≠ 0）与直线y = x - 1分别与x轴交于点（-2，0），（1，0），两直线都与y轴交于点（0，-1），观察函数图象，解决下列问题： （1）关于x的方程kx + b = 0的解是x = . （2）关于x的不等式kx + b > 0的解集是1111111. （3）关于x的不等式kx + b ≤ x - 1的解集是1111111. （4）二元一次方程组的解为1 1111111 -2 x < -2 x ≥ 0 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 三、一次函数的应用（5年1考） 在解决实际问题前，若不确定函数的模型，应先作出判断 .若自变量等距离变化时，因变量也等距离变化，则它很可能是一次函数模型. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 6. （2022广东）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y = kx + 15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系. （1）求y与x的函数关系式. （2）当弹簧长度为20 cm时，求所挂物体的质量. x/kg 0 2 5 y/cm 15 19 25 解：（1）把x = 2，y = 19代入y = kx + 15中， 得19 = 2k + 15， 解得k = 2， ∴y与x的函数关系式为y = 2x + 15. （2）把y = 20代入y = 2x + 15中，得20 = 2x + 15，解得x = 2.5. 答：所挂物体的质量为2.5 kg. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 1. （2024湖南长沙）对于一次函数y = 2x - 1，下列结论正确的是（ ） 突破点1 一次函数的图象与性质 A A. 它的图象与y轴交于点（0，-1） B. y随x的增大而减小 C. 当x > 12 时，y< 0 D. 它的图象经过第一、二、三象限 注意数形结合，k > 0，y随 x的增大而增大；k < 0，y随 x的增大而减小 .b决定一次函数图象与y轴的交点. 2. 一次函数y = （3m + 1）x - 2的值随x的增大而增大，则m的取值范围是1111111111 . m ＞ - 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 突破点2 一次函数与方程（组）、不等式的关系 3. 已知一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）的图象分别与 x轴、y轴交于 A（-2，0），B（0，1）两点，则关于 x的方程kx + b = 0的解为 . x = -2 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 4.（2024广东）已知不等式kx + b < 0的解集是x < 2，则一次函数y = kx + b的图象大致是（ ） B 5. （2024呼伦贝尔改编）点P（a，b）在直线上，是二元一次方程5x - 6y = 33的解，则点P的坐标为111111111. . （6 ，-） 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 突破点3 一次函数的应用 6.【新课标 跨学科探究】 从地面竖直向上抛射一个物体，在上升过程中，物体向上的速度 v（m/s）是运 动时间t（ s）的一次函数 .经测量，该物体的初始速度（t = 0时物体的速度）为 20 m/s，第 5 s时物体的速度为3 m/s，则v关于t的一次函数为 ，第 s时，物体到达最高点. V = -t + 20 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 7. 某市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升 .为促进生产，公司给生产线员工提供了支付月报酬的方案 .如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同 .看图解答下列问题： （1）求方案二中y关于x的函数表达式. （2）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择最佳方案. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 得 解得 解：设方案二的函数表达式为y = kx + b（k ≠ 0）， 将点（0，600），（30，1 200）代入函数表达式中， 答：方案二中y关于x的函数表达式 为y = 20x + 600. （1）求方案二中y关于x的函数表达式. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 思路引导 在方案选择的应用题中，函数图象的 就是函数值大小比较的分界点（找 ，分左右，谁高则谁大），结合图象选择对应的取值范围，就是选择最佳方案的依据. （2）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择最佳方案. 交点 交点 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 解：估计自己的能力，量力而行. 若生产量x的取值范围为0 < x < 30， 则选择方案二； 若生产量x = 30， 则两个方案都可以选择； 若生产量x的取值范围为x > 30， 则选择方案一. （2）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择最佳方案. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 8.（2020广东节选）某社区拟建造 A，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 A 类摊位的占地面积为 5 m2 ，每个 B类摊位的占地面积为 3 m2 ，建 A类摊位的费用为 40元/m2，建 B类摊位的费用为 30元/m2.该社区拟建造 A，B两类摊位共 90个，且 B类摊位的数量不少于 A类摊位数量的 3倍 .求建造这90个摊位的最大费用. 思路引导 在实际生活中，受人力、物力、资金的影响，地摊的个数就会被限制.要求能够合理解释不等式中取整数解的意义. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 解：设建造这90个摊位的费用为y元，建造A类摊位a个，则建造B类摊位（90 - a）个. 根据题意得y = 5 × 40a + 3 × 30（90 - a） = 110a + 8 100. ∵110 > 0， ∴y随a的增大而增大. 由题意得90 - a ≥ 3a，解得a ≤ 22.5. ∵a为整数， ∴a最大为22. ∴当a = 22时费用最大，最大费用为110 × 22 + 8 100 = 10 520（元）. 答：建造这90个摊位的最大费用10 520元. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 精练提思维 促进自我评价 快速对答案 返回目录 1.（2024甘肃临夏）一次函数y = kx - 1（k ≠ 0）的函数值y随x的增大而减小，则它的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 2. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y = 5x + 2，将x轴向左平移2个单位长度，则得到新的直线表达式为 . y = 5x - 8 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 3.（2024四川凉山）如图，一次函数y = kx + b的图象经过A（3，6），B（0，3）两点，交x轴于点C，连接OA，则△AOC的面积为 . 9 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 4. 如图，直线y = k1x + b（k1 ≠ 0），与直线y = k2x + b（k2 ≠ 0）分别与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），则不等式组的解集为1 111111111. . -1＜ x ＜ 3 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 5. 王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 80 kW·h，行驶了 240 km 后，从 B 市一高速公路出口驶出 .已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（kW·h）与行驶路程x（km）之间的关系如图所示，则王师傅驾车从B市高速公路出口驶出时，该车的剩余电量为 kW·h. 32 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 素养提升 6.（2024河南）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50 g，营养成分表如下： 营养成分表 食品 热量/kJ 蛋白质/g 脂肪/g 碳水化合物/g 钠/mg A食品/50 g 700 10 5.3 28.7 205 B食品/50 g 900 15 18.2 6.3 236 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 （1）若要从这两种食品中摄入4 600 kJ热量和70 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 根据题意得 解：设选用A种食品x包，B种食品y包. 解得 答：选用A种食品4包，B种食品2包. 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90 g，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 解：设选用A种食品a包，B种食品（7 - a）包. 根据题意得10a + 15（7 - a）≥ 90.解得a ≤ 3. 设总热量为w kJ，则w = 700a + 900（7 - a） = -200a + 6 300. ∵-200 < 0，∴w随a的增大而减小.∴当a = 3时，w有最小值.此时7 - a = 4. 答：选用A种食品3包，B种食品4包. 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 快速对答案 A 1 2 3 4 5 9 32 y = 5x - 8 -1＜ x ＜ 3 6 略 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 $$