第十九章 一次函数 讲义-2024-2025学年人教版数学八年级下册

第十九章 一次函数 19.1函数 19.1.1变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值变化的量为变量（通常为未知字母。注：不包括参数字母） 常量：在一个变化过程中，数值不变的量为常量（通常为数字或参数字母） 例：s=2t 变量为s和t，常量为2 C=2πr 变量为c和r，常量为2π 关于x 和y的等式y=kx中，变量为x和y，常量为k 观察发现一个变化的过程中有两个变量。 两个变量相互联系，当一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应。 函数的定义 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中x是自变量。 如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量为a时的函数值。 “y随x的变化而变化”这句话中，x是自变量。 例：y=3x 自变量x每取一个值y均有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数。当x=4时，函数值y=12. 反例：y²=2x 变量x取2时，y有±2两个数值与其对应，不是唯一确定的值，所以y不是x的函数。 IyI=4x 变量x取1时，y有±4两个数值与其对应，不是唯一确定的值，所以y不是x的函数。 函数解析式 例：汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶路程x(单 位:km)的增加而减少，耗油量为0.1L/km. (1) 写出表示y与x的函数关系的式子； (2)指出自变量x的取值范围; (3)汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少汽油? （1）（即写出一个关于x和y的二元一次方程，整理为用x表示y的式子。） y=-0.1x+50 (2)（自变量的取值范围问题，即式子中x的取值范围问题，常见形式有①x在根号内为 被开方数，如，则x≥0；② x在分母上，如，则x≠1；③x既在根号又在分 母上，如，则x＞1.④对于实际问题要按照实际情况进行取值范围的确定） y=-0.1x+50 对于该关系式，要考虑实际问题，x为形式路程，不能为负数，则x≥0. y为油箱中的油量，不能为负数，所以y≥0，即-0.1x+50≥0，解得x≤500 因此，自变量x的取值范围是 0≤x≤500 （3）当x=200时，y=-0.1x200+50=30 所以油箱中还有30L汽油。 解析式定义：像y=-0.1x+50这样用一个式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫 做函数的解析式。 函数的三种表现形式 1、 解析式法（表达式法） 2、 列表法 3、 图像法 典例分析 1．（2024春•中原区校级月考）我们知道，圆的周长公式是：C=2πr,那么在这个公式中，以下关于变量和常量的说法正确的是（　　） A．2是常量，C，π，r是变量 B．2π是常量，C，r是变量 C．2是常量，r是变量 D．2是常量，C，r是变量 答案：B 2．（2024春•承德县期末）司机王师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 答案：C 3．（2024春•辛集市期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中的自变量是（　　） A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器 答案:C 4．（2024春•宝安区期末）酗酒对人体有害吗？如表是某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据（心率是心脏每分钟跳动的次数，因水蚤心跳太快，为减少误差，实验中计算10秒内心跳次数）．根据表格，下列结论错误的是（　　） 酒精浓度 0 1% 5% 10% 15% 20% 10s内心跳次数 33 30 24 18 15 0 A．酒精浓度越高，水蚤心率越低 B．自变量是水蚤心率，因变量是酒精溶液浓度 C．酒精浓度达到20%时水蚤10s内心跳次数为0 D．酗酒对人体的心跳可能有不利影响 答案：B （注：在表格表示的变量关系中，通常情况下表格第一行表示的量为自变量） 5．（2024秋•中站区期中）下列四个图象中，能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 答案：A （任意取x的值，与图像有两个及以上交点时，则不是函数图像） 6．（2024秋•太和区期中）下列式子中，y不是x的函数的是（　　） A．y2=3x B．y=x C．y=2x+1 D．y=x2 答案：A 7．（2024•新市区校级三模）观察下列4个表格，能表示为y是x的函数的是（　　） A． x 2 2 2 2 2 2 …… y -1 0 1 2 3 4 …… B． x 10 20 30 40 50 60 …… y -10 -10 -10 -10 -10 -10 …… C． x 1 2 3 2 1 0 …… y 1 1 2 2 3 3 …… D． x 10 10 20 20 30 30 …… y 10 20 30 40 50 60 …… 答案:B 8．（2022春•栾城区期末）下列所描述的四个变化过程中，变量之间的关系不能看成函数关系的是（　　） A．三角形的一个外角度数x度和与它相邻的内角度数y度的关系 B．树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后树的高度为y厘米，x与y的关系 C．正方形的面积y（平方厘米）和它的边长x（厘米）的关系 D．一个正数x的平方根是y,y随着这个数x的变化而变化，y与x之间的关系 答案：D （满足函数的条件：①两个变量②一个变量随着另一个变量的变化而变化③每取一个自变量，有且只有一个函数值与之对应） 9．（2024春•西岗区期末）汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量Q（升）与行驶时间t（时）的关系式为（　　） A．Q=5t B．Q=5t+40 C．Q=40-5t（0≤t≤8） D．以上答案都不对 答案：C 10．（2024春•滑县校级期末）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡，测得x与y的几组对应数据如表所示： x/克 1 3 5 7 9 y/毫米 10 14 18 22 26 由表中数据可知，y与x的函数关系式为（　　） A．y=2x+8 B．y=x+9 C．y=-x+11 D．y=-2x+12 答案：A 11.（2024秋•弥勒市校级期中）函数中自变量x的取值不可以是（　　） y = √ 中自变量x的取值不可以是（　　） A．2 B．3 C．5 D．2024 答案：A 12.在函数中，自变量x的取值范围是________ 答案:x≥-1且x≠1 13.（2024春•惠安县校级月考）已知等腰三角形的周长为10cm,将底边长y cm表示为腰长x cm的关系式是y=10-2x,则其自变量x的取值范围是（　　） A．0＜x＜5 B．2.5＜x＜5 C．一切实数 D．x＞0 答案：B 14．（2024春•遵化市期末）当x=_____时，函数y=3x+1与函数y=2x-4的函数值相等． 答案：-5 19.1.2函数图像 函数：每取一个确定的自变量x的值，有且只有一个y与之对应。x和y存在一一对应的关系。 有序数对：（x,y）对应平面坐标系中的一个坐标，存在一一对应的关系。 将函数中的自变量x看做横坐标，y看做纵坐标。一个x和y的对应值就是坐标系中的一个点。 函数图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量和函数每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。 画图像的步骤：i列表；ii描点；iii连线 例：画出函数y=x+0.5的图像 i列表：表中写出一些自变量与其对应的函数值y x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …… y …… -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 …… ii描点：坐标系中x作为横坐标，y作为纵坐标，描出表中对应的点。 ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) iii连线：将描出的点用光滑线条（直线或曲线）连接起来。 ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) 思考：点（4，4.5）在这个函数图像上么？ 观察：图像从左到右呈上升趋势，即x在变大，同时y也在变大。即y随着x的增大而增大。 小试牛刀： 1. 画出函数y=2x-1的图像。 2. 画出函数的图像。 3. 判断点A（-2.5，-4）B（1,3）C（2.5,4）是否在函数y=2x-1的图像上？ 4. 画出函数y=x²的图像；观察图像，当x＜0时，y随x的增大而增大，还是增大而减小？当x＞0时呢？ 5. 正方形的面积S与边长x的函数解析式为S=x²，根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围x＞0.请画出它的图像。（画图像时注意自变量的取值范围） 函数的应用 通过图像读取相关信息 上图是自动测温仪记录的图像，它反应了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，你从图像中得到了哪些信息？ 1) 该图像表示的是函数关系么？ 2) 最高温度与最低温度分别是多少？ 3) 请说出T随t是如何变化的？ 例：如图，小明家、食堂、图书馆在同一直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家。图像反应了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系。 根据图像回答下列问题： (1) 食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2) 小明吃早餐用了多少时间？ (3) 食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？ (4) 小明读报用了多少时间？ (5) 图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 分析：该图像为典型的S-t图像，图像特征如下。 图像中的斜线表示匀速运动，越陡说明速度越快。直线是静止状态。 读取图像最重要的信息是：小明离家的距离y与时间x之间的对应关系。通过这句话可以理解每一个坐标的意义。 例如点（8,0.6）表示8min时，小明离家的距离是0.6km。并做匀速运动。 8min~25min没有距离产生，即静止状态。 平均速度=总路程÷总时间 函数表示法之间的互相转化 例：一个水库的水位在最近5h内持续上涨。下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度。 t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1) 在坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此发现水位变化有什么规律吗？ (2) y是否是t的函数？如果是，试写出符合表中数据的函数解析式，并尝试画出它的图像，这个图像能说明水位的变化规律么？（注意自变量的取值范围） (3) 据估计这种上涨规律还会持续2h，预测再过2h水位高度将会为多少米？ 复习巩固 1. 购买一些铅笔，单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化。指出其中的常量与变量。自变量与函数，并写出表示函数与自变量关系的式子。 2. 一个三角形的底边长为5，高h可以任意伸缩。写出面积S随h变化的解析式。并指出其中的常量与变量。自变量与函数以及自变量的取值范围。 3. 下列式子中的y是x的函数吗？为什么？ (1) (2) (3) 4. 已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图像反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家。图中x表示时间，y表示张强离家的距离。 根据图像回答下列问题： (1) 体育场离张强家多远？张强从家到体育场用了多少时间？ (2) 体育场离文具店多远？ (3) 张强在文具店停留了多少时间？ (4) 张强从文具店回家的平均速度是多少？ 5. 某种活期储蓄的月利率是0.06%。存入100元本金，求本息和y（本金与利息的和，单位：元）随所存月数x变化的函数解析式，并计算存期为4个月时的本息和。 6. 正方形边长为3，若边长增加x，则面积增加y。求y随x变化的函数解析式，指出自变量与函数,，并以表格形式表示当x等于1，2，3，4时，y的值。 7. 甲，乙两车沿直入同向行驶，车速分别为20m/s和25m/s。现甲车在乙车前500m处，设x s （0≤x≤100）后两车相距y m，用解析式和图像表示y与x的对应关系。 8. 甲乙两车从A城出发前往N城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时间t的对应关系如下图所示。 (1) B两城相距多远？ (2) 哪辆车先出发，哪辆车先到B城？ (3) 甲乙两车的平均速度分别是多少？ (4) 你还能从途中得到哪些信息？ 9. 在同一直角坐标系中分别画出函数与的图像。利用这两个图像回答： (1) x取什么值时，x比大？ (2) x取什么值时，x比小？ 10. 四边形有两条对角线，五边形，六边形分别有几条对角线？n边形呢？多边形对角线的条数是边数的函数吗？ 19.2一次函数 19.2.1正比例函数 找出下列各式的变量与常量，并观察式子的结构特征。 （1） （2） （3） （4） 结构特征：函数值=常量·自变量 正比例函数：一般地，形如（是常数，≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 例1：（通过表达式判断） 下列各式中，哪些表示y是x的正比例函数？并写出每个正比例函数的比例系数。 (1) (2) (3) (4) 例2：（通过描述判断） (1) 正方形的边长为xcm，周长为ycm。 (2) 某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元。 (3) 一个长方形的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm，体积为ycm³。 正比例函数的图像 复习：画图像的三个步骤：i列表；ii描点；iii连线 例1：分别画出正比例函数的图像和的图像。（比例系数k均＞0） x …… -2 -1 0 1 2 …… y …… -4 -2 0 2 4 …… x …… -2 -1 0 1 2 …… y …… -2 -1 0 1 2 …… K＞0时 图像是一条经过原点的直线，过第一、三象限 从左向右上升，y随x的增大而增大 k越大图像与x轴的夹角越大 例2：分别画出正比例函数的图像和的图像。（比例系数k均＜0） x …… -2 -1 0 1 2 …… y …… 4 2 0 -2 -4 …… x …… -2 -1 0 1 2 …… y …… 2 1 0 -1 -2 …… K＞0时 图像是一条经过原点的直线，过第二、四象限 从左向右下降，y随x的增大而减小 k越小图像与x轴的夹角越大 总结归纳 一般地，正比例函数的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线。 当k＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即y随着x的增大而增大； 当k＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 越大，直线与x轴的夹角越大 K，经过的象限，增减性。三个量知一推二 正比例函数的画法:因为正比例函数是一条直线，两点确定一条直线，已知函数必过原点（0,0），所以只需要再取一个点即可。一般取点（1，k） 例3：已知函数是正比例函数，且图像在第二，四象限，则m=_________ 小试牛刀 1. 画出下列正比例函数的图像。 (1) (2) 2. 下列变量之间的关系，是正比例函数关系的是（ ） A. 圆的面积S随半径r的变化而变化 B. 用10m长的绳子围成一个矩形，其中一边长用、随它的邻边x的变化而变化 C. 铁的密度为7.8g/cm³，铁块的质量m随它的体积v的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油50L，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 3. 下列图象哪个可能是函数y=-8x的图象（　　） A． B． C． D． 4. 如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y=ax,②y=bx,③y=cx,下列用“＜”表示a,b,c的不等关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 19.2.2一次函数 找出下列各式的变量与常量，观察式子的结构特征。 (1) (2) (3) (4) 结构特征：函数值=常量·自变量+常量 一次函数：一般地，形如（为常数，）的函数，叫做一次函数。 当b=0时，即为正比例函数，所以正比例函数是特殊的一次函数。 例1：下列函数中，哪些是一次函数，又有哪些是正比例函数？ (1) (2) (3) (4) 例2：若函数时正比例函数，则k的值为_________ 例3：一个小球由静止开始沿着一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s。 (1) 求小球的速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式。并说一说它是一次函数么？ (2) 求第2.5s时小球的速度。 一次函数的图像 例1：分别画出函数y=-2x和y=-2x+3的图像。 x -2 -1 0 1 2 y=-2x 4 2 0 -2 -4 y=-2x+3 7 5 3 1 -1 比较两个函数图像的相同点与不同点，并填空。 这两个函数图像形状都是_________，并且倾斜程度_________，函数y=-2x的图像经过原点，函数y=-2x+3的图像与y轴的交于点___________，即它可以看做是由直线y=-2x向_____平移_______个单位长度得到的。 由此可见，一次函数的图像可以通过正比例函数图像平移得到。 试一试 (1) y=3x+1是由正比例函数____________，向_________平移_________个单位长度得到的。 (2) 请根据正比例函数的图像与一次函数图像平移关系，画出函数y=3x-1的图像。 结论： 一次函数y=kx+b（k≠0）的图像可以由直线y=kx平移个单位长度得到，当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移。一次函数y=kx+b（k≠0）的图像也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b。 例1：画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图像。 思考：有两种画图像的方法：i平移法；ii两点法 x 0 1 y=2x-1 -1 1 y=-0.5x+1 1 0.5 练一练： 画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的图像。 一次函数的性质 由上题中的一次函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1可知，k的正负对函数图像的影响。 当k＞0时，y随x的增大而增大；（从左向右呈上升） 当k＜0时，y随x的增大而减小。（从左向右呈下降） 练一练 1. 点A（1，y1），B（2，y2）在一次函数y=2x-1的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能确定 2. 正比例函数y=（a-3）x图象中，y的值随着x的值增大而增大，那么a的取值范围是________ 一次函数图像与系数关系 例1： (1) 直线y=2x-3与x轴的交点坐标为_____________，与y轴的交点坐标为_____________; (2) 直线y=x+1与x轴的交点坐标为_____________，与y轴的交点坐标为_____________; (3) 直线y=-2x+4与x轴的交点坐标为_____________，与y轴的交点坐标为_____________; 由此可知，k决定图像的变化趋势，b决定图像与y轴的交点纵坐标。 练一练 1. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y=3x+5，则它的图象经过的象限正确的是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 2. 下列关于直线y=3x-1的说法不正确的是（　　） A．一定经过点（1，2） B．与y轴交于点（-1，0） C．y随x的增大而增大 D．图象过一、三、四象限 3. 已知函数y=kx+b,其中常数k＞0、b＞0，那么这个函数的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4. 已知一次函数y=kx-b与y=-kbx（k,b为常数，且kb≠0），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 5. 请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，-2），则此一次函数的解析式可以是_________  例2：在同一直角坐标系中画出下列函数的图像，并指出每小题中三个函数的图像有什么关系。 (1) (2) 由图像可知，k相同的图像间存在平移关系，则平移前后位置关系为：平行 练一练 1. 关于函数y=-2x+1，下列结论错误的是（　　） A．图象经过点（0，1） B．y随着x的增大而减小 C．图象与直线y=-2x+3平行 D．图象经过第一、三、四象限 2. 若正比例函数y=2x的图象向下平移t个单位长度后经过点（1，-2），则t= ______ 3. 若把一次函数y=2x-3的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（　　） A．y=2x B．y=2x-6 C．y=5x-3 D．y=-x-3 4. 要使直线y=x-1向上平移后过点（-2，2），那么直线应向上平移（　　）个单位． A．1 B．3 C．5 D．7 待定系数法求一次函数解析式 一次函数图像即坐标系中的一条直线，直线有无数个点坐标，横纵坐标符合一次函数的解析式。 例：正比例函数图像经过点（3,6），求这个正比例函数的解析式。 分析：正比例函数的图像即一条直线，直线上点的横坐标就是函数中的自变量x，纵坐标就是函数值y，则代入点坐标可得 解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0） 将点（3,6）代入y=kx可得 6=3k 解得k=2 因此可得，求解一个正比例函数的解析式仅需要一个点坐标即可。 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得到函数解析式的方法，叫做待定系数法。 例：已知一次函数的图像经过点（3,5）和（-4，-9），求这个一次函数的解析式。 解设：这个一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0） 因为y=kx+b的图像经过点（3,5）与（-4，-9），所以 解方程组得 这个一次函数的解析式为y=2x-1 结论：一次函数解析式中含有k，b两个参数字母时，需要已知两个点，即可得到二元一次方程组，进而求得两个参数字母的值，得到函数解析式。 探究讨论：（k·b≠0） y=kx 含有一个参数字母，需要____个点坐标可求解析式。 y=kx+b 含有两个参数字母，需要____个点坐标可求解析式。 y=kx+1 含有一个参数字母，需要____个点坐标可求解析式。 y=2x-b 含有一个参数字母，需要____个点坐标可求解析式。 结论：求解解析式时，未知几个参数字母即需要几个点坐标。 练一练： 1. 已知一次函数的图像经过点（9,0）和点（24,20），写出这个函数的解析式。 2. 点P（6，m）是直线上一点，则点P在（　　） y = - 3 4 x + 4 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 已知直线y=kx+b（k,b为常数，k≠0）经过点（1，1），且y随x的增大而减小，则b的值可以是（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 4. 已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y=（m-1）x图象上的两点，当x1＜x2时，y1＜y2，则m的可能取值为（　　） A．-2 B．-1 C．1 D．2 5. 一个正比例函数的图象经过点（3，-6），那么下列各点在函数图象上的是（　　） A．（4，2） B．（-1，-2） C．（-3，6） D．（6，-3） 6. 已知一次函数y=kx-k的图象过点（-1，6），则下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．k=3 C．直线过点（1，0） D．直线与坐标轴围成的三角形面积是3 分段函数的简单应用 例：“黄金一号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次性购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折。 (1) 请写出付款金额关于购买数量的函数解析式，并画出图像。 分析：分类讨论思想i一次性购买不超过2kg的种子；ii一次性购买超过2kg的种子。 “付款金额关于购买数量的函数解析式”可知付款金额为函数值y，购买数量为自变量x i一次性购买不超过2kg的种子，即0≤x≤2时，y=5x ii一次性购买超过2kg的种子，即x＞2时，y=0.8x5·（x-2）+2x5=4x+2 像这样y与x的解析式在x取不同范围的情况下，可以将解析式写成分段函数形式，形如 （注意每一段的取值范围必须要写） 分段函数图像 (2) 一次性购买1.5kg的种子需要付款多少元？ (3) 一次性购买3kg的种子需要付款多少元？ 练一练 一个实验室在0:00~2:00保持20℃的恒温，在2:00~4:00匀速升温，每小时升高5℃，写出实验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式，并画出图像。 19.2.3一次函数与方程、不等式 一次函数与方程关系 求一次函数y=2x-4与x轴的交点坐标。 函数与x轴交点纵坐标为0，即y=0，则2x-4=0 解得x=2，所以与x轴的交点坐标为（2,0） 一次函数y=2x-4 一元一次方程2x-4=0 求一次函数求与x轴的交点坐标时，即y=0，此时函数即为关于x的一次方程。 已知一次函数y=2x-6经过点A（x，4），求点A的坐标。 解：将A（x，4）代入函数解析式y=2x-6得 2x-6=4 解得x=5 所以点A的坐标为（5,4） 一次函数y=2x-6 一元一次方程2x-6=4 当已知函数上某点的纵坐标时，即函数y已知，函数即转换为关于x的一元一次方程。 练一练 (1) 若关于x的方程2x+b=0的解是x=2，则直线y=2x+b一定经过点（　　） A．（2，0） B．（0，2） C．（1，0） D．（0，1） (2) 已知一次函数y=ax+b（a,b是常数且a≠0）中，x与y的部分对应值如表： x -2 -1 0 1 2 3 y 3 2.5 2 1.5 1 0.5 则关于x的方程ax+b=2的解是（　　） A．x=-1 B．x=0 C．x=1 D．x=2 (3) 关于x的方程kx+b=3的解为x=7，则直线y=kx+b的图象一定过点（　　） A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3） (4) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+b经过点（0，-1），（2，0）和 （4，1），则关于x的方程ax+b=1的解为x= ________ 一次函数与一元一次不等式 例 已知一次函数y=2x-4，其图像如下图所示。求当2x-4＞0时，x的取值范围。 方法一：解不等式法 2x-4＞0 x＞2 方法二：图像法 2x-4=y 2x-4＞0即y＞0 确定y=0的点对应的横坐标，即可得y=0是x对应的值 如图，因为过（2,0）点，所以y=0时，x=2 y＞0时，即在该点以上部分的图像，此段图像可知x＞2 所以该函数相关的不等式的解集为x＞2 练一练 1. 一次函数y=ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 2. 如图，直线y=kx+b与坐标轴的交点坐标分别为A（2，0），B（0，-3），则不等式kx+b＜0的解集为（　　） A．x＞-3 B．x＜2 C．x＞2 D．x＜-3 3. 如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点（-1，3），则关于x的不等式kx+b≥3的解集为（　　） A．x＞-1 B．x＜-1 C．x≤-1 D．x≥-1 4. 已知不等式kx+b＞0的解集是x＜-2，则一次函数y=kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5. 一次函数y=kx+b（k≠0）中两个变量x,y的部分对应值如下表所示： x … -4 -3 -2 -1 0 … y … 9 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式kx+b≥7的解集是__________ 6. 一次函数y=2x-4，当2≤x≤4时，求y的取值范围是____________ 7. 一次函数y=kx+1，当a≤x≤a+4时，y的最大值与最小值的差为8，则k的值为 ________ 一次函数与二元一次方程组 想一想： i. 一次函数与二元一次方程组的关系 ii. 两个一次函数，当k相同时，则两直线平行，当k不相同时，则两直线相交。必有一个交点，交点坐标同时满足两个一次函数。 iii. 二元一次方程组与相交的两条直线的交点坐标是否有关系呢？ 探究： (1) 求方程组的解。 (2) 两个k值不同的一次函数y=x-2和y=2x-4有一个交点，求交点坐标。 想一想，以上两题是否有关联。 总结：求两函数的交点坐标，即将两个函数联立方程组，求得的方程组的解即为两函数图像的交点坐标。 即方程组的解为交点坐标；交点坐标即方程组的解。 例 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升。两个气球都上升了1h。 (1) 用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系？（注意x的取值范围） (2) 在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升多长时间？位于什么高度？ 练一练 1. 考虑下面两种移动电话计费方式，用函数方法解答何时两种计费方式费用相等。 方式一 方式二 月租费/（元/月） 30 0 本地通话费/（元/min） 0.30 0.40 2. 如图，直线y=3x和直线y=ax+b交于点（1，3），根据图象分析，关于x的方程3x=ax+b的解为（　　） A．x=1 B．x=-1 C．x=3 D．x=-3 答案A 3. 如图，一次函数y=-2x和y=kx+b的图象相交于点A（-2，4），则关于x的方程kx+b+2x=0的解是__________ 答案：x=-2 4. 如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点P（m,2），则关于x的方程2x=kx+b的解是 _________ 答案：x=1 5. 如图，正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P（m,3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求D点的坐标； （3）求△COP的面积； （4）不解关于x、y的方程（k+3）x+b=0，直接写出方程的解． 答案： （1）一次函数解析式是y=-x+2； （2）D（0，2）； （3）3； （4）x=-1． 19.2复习巩固 1. 一列火车以90km/h的速度匀速前进，求它的行驶路程s（单位：km）关于行驶时间t（单位：h）的函数关系式，并画出函数图像。 2. 函数y=-5x的图像在第____象限内，经过点（0，___）与点（1，_______），y随x的增大而_______。 3. 一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm。求弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式。 4. 分别画出下列函数的图像。 (1) (2) (3) (4) 5. 在同一直角坐标系中，画出函数y=2x+4与y=-2x+4的图像，并指出每个函数中当x增大时y如何变化。 6. 已知一次函数y=kx+b，当x=2时y的值为4，当x=-2时y的值为-2，求k和b。 7. 已知一次函数的图像经过点（-4,9）和点（6,3），求这个函数的解析式。 8. 当自变量x取何值时，函数与y=5x+17的值相等？这个函数值为多少？ 9. 点P（x，y）在第一象限，且x+y=8，点A的坐标为（6,0）。设△OPA的面积为S。 (1) 用含x的式子表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图像。 (2) 当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？ (3) △OPA的面积能大于24吗？为什么？ 10. 不画图像，仅从函数解析式是否能看出直线y=3x+4与y=3x-4具有什么样的位置关系？ 11. 从A地向B地打长途电话，通话时间不超过3min收费2.4元，超过3min后每分钟加收1元。写出通话费用y（单位：元）关于通话时间x（单位：min）的函数解析式。有10元钱时，打一次电话最多可以通话多长时间？（本题中x取整数，不足1min的通话时间按1min计费） 12. (1) 当b＞0时，函数y=x+b的图像经过哪几个象限？ (2) 当b＜0时，函数y=-x+b的图像经过哪几个象限？ (3) 当k＞0时，函数y=kx+1的图像经过哪几个象限？ (4) 当k＜0时，函数y=kx+1的图像经过哪几个象限？ 13. 在同一直角坐标系中，画出函数和y=5x+17的图像，并结合图像比较两个函数的函数值的大小关系。 （考察两个函数间的大小比较） 14. 图中的折线表示一骑车人离家的距离y与时刻x的关系。骑车人9:00离开家，15:00回到家。请你根据这个折线图回答下列问题： (1) 这个人何时离家最远？这时他离家多远？ (2) 何时他开始第一次休息？休息多长时间？这时他离家多远？ (3) 11:00~12:30他骑了多少千米？ (4) 他在9:00~10:30和10:30~12:30的平均速度各是多少？ (5) 他返家时的平均速度是多少？ (6) 14:00时他离家多远？回家路上，何时他离家9km？ 15. 甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品。春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次性购物中超过200元后的价格部分打7折。 (1) 以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式。 (2) 在同一平面直角坐标系中画出（1）中的函数图像。 (3) 出借期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 19.3选择方案 首先了解一下函数与函数间的大小比较问题。 例 两个一次函数分别为和，因为k值不相等，可知两个函数的图像有一个交点。 问题： (1) 试着比较当时，x的取值范围。 (2) 试着比较当时，x的取值范围。 (3) 试着比较当时，x的取值范围。 方法一：因为两个函数的解析式已知，比较函数值的大小关系，可以直接列不等式。 (1) 当时，即 解得不等式解集为x＞3 （2）（3）方法相同。 方法二：数形结合法，通过图像求解 如图：当x=3时，两函数图像相交，此时 当x＞3时， 当x＜3时， 由此可见，两个函数间的大小关系只需要确定，即交点时的横坐标x的值，比此x值大或者小时，就是两个函数值有大小关系的时候。 练一练 1. 根据图象，可得关于x的不等式k2x+b＞k1x的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＞3 D．x＜4 答案：A 2. 根据图象，可得关于x的不等式kx＜-x+3的解集是___________ 【答案】x＜1． 选择方案 下表中给出A，B，C三种上网宽带的收费方式，哪种上网方式能节省上网费用？ 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/min） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 设上网时间为xh，A,B,C费用分别用表示，由表可知每种收费方式的收费情况如下 A： 0≤x≤25时， x＞25时，= B： 0≤x≤50时， x＞50时，= C： 整理可得A,B为分段函数 比较的大小关系，可以通过图像，进行数形结合来研究。 上网时间为___________________时，选择方式A最省钱； 上网时间为___________________时，选择方式B最省钱； 上网时间为___________________时，选择方式C最省钱； 复习题19 1. 小亮现已存款100元，他计划今后三年每月存款10元，存款金额y（单位：元）将随时间x（单位：月）的变化而变化。指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出函数解析式。 2. 判断下列各点是否在直线y=2x+6上，这条直线与坐标轴交于何处？ （-5，-4），（-7,20），（，1），（） 3. 填空 (1) 直线经过第_________象限，y随x的增大而__________； (2) 直线y=3x-2经过第______________象限，y随x的增大而_________。 4. 根据下列条件分别确定函数y=kx+b的解析式： (1) y与x成正比例，当x=5时，y=6； (2) 直线y=kx+b经过点（3,6）与点（）。 5. 试根据函数y=3x-15的性质或图像，确定x取何值时： (1) y＞0； (2) y＜0. 6. 在某回车站托运物品时，不超过1kg的物品需付2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元。设托运pkg（p为整数）物品费用为c元，试写出c的计算公式。 7. 某水果批发市场规定，批发苹果不少于100kg时，批发价为2.5元/kg，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果，并以批发价买进，设购买的苹果味xkg，小王付款后还剩余现金y元，试写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围。 8. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满。在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）。这个容器的形状是下图中的哪一个？匀速地向另两个容器注水时，你能画出水面高度h随时间t变化的图像（草图）吗？ 9. 已知等腰三角形周长为20. (1) 写出底边长y关于腰长x的函数解析式（x为自变量）； (2) 写出自变量的取值范围 (3) 在直角坐标系中，画出函数图像 10. 已知点A（8,0）及第一象限的动点P（x，y），且x+y=10.设△OPA的面积为S。 (1) 求S关于x的函数解析式 (2) 求x的取值范围 (3) 当S=12时，求P点坐标 (4) 画出函数S的图像 11. (1) 画出函数的图像。 (2) 设P（x，0）时x轴上的一动点，它与x轴上表示-3的点的距离为y，求y关于x的函数解析式，并画出这个函数的图像。 12. A,B两地相距25km，甲8:00由A地出发骑自行车去B地，速度为10km/h；乙9:30由A地出发乘汽车也去B地，速度为40km/h。 (1) 分别写出两个人的行程关于时刻的函数解析式 (2) 乙能否在图中超过甲？如果能超过，何时超过？ 13. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示。 (1) 当0≤x≤4时，求y关于x的函数解析式； (2) 当4＜x≤12时，求y关于x的函数解析式； (3) 每分进水、出水各多少升？ 14. 一次越野赛跑中，当小明跑了1600m时，小刚跑了1450m，此后两人分别以am/s和bm/s匀速跑。又过了100s时小刚追上小明，200s时小刚到达终点，300s时小明到达终点。这次越野跑的全称为多少米？ 15. A城有肥料200t，B城有肥料300t，现要把这些肥料全部运往C,D来两乡。从A城往C,D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t；从B城往C,D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t，现C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，怎样调运可使总运费最少？ y = √ x + 1 1 - x 学科网（北京）股份有限公司 $$