第27节 与圆有关的位置关系 课件 2025年九年级中考数学一轮考点精讲（广东）

第27节 与圆有关的位置关系 1 立标明方向 2 循本知脉络 3 精讲通考点 4 精练提思维 5 课后作业 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 课标结果 目标 >了解 （知道，初步认识） >>理解 （认识，会） >>>掌握 （能） >>>>运用 （证明，应用） 课程内容 ·了解三角形的内心与外心 ·了解直线与圆的位置关系 —— ·点与圆的位置关系 ·掌握切线的概念 ·*探索并证明切线长定理 立标明方向 备考有的放矢 返回目录 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 与圆有关的 位置关系 一、点、直线与圆的位置关系 （5年2考） 二、切线 （5年4考） 三、三角形的内心与外心 切线的定义、性质、判定 *切线长定理 判定切线的一般思路 循本知脉络 构建知识体系 返回目录 基础巩固 重点突破 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 基础巩固 一、点、直线与圆的位置关系（5年2考） 1. 点和圆的位置关系（设☉O的半径为r，点到圆心的距离为d） （1）点在☉O外 ⇔ d r，如右图，点A在☉O外. （2）点在☉O上 ⇔ d r，如右图，点B在☉O上. （3）点在☉O内 ⇔ d r，如右图，点C在☉O内. （4）如图，圆上任意一点 P到圆外一定点 A的所有 连线中，当点 P在 P1位置时，PA存在最小值，其长度为 ；当点P在P2位置时，PA存在最大值，其长度为 . > = < d - r d + r 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 2. 直线和圆的位置关系（设☉O的半径为r，圆心到直线的距离为d） （1）直线和☉O相交 ⇔ d < r，如右图，直线l1与☉O有 个公共点. （2）直线和☉O ⇔ d = r，如右图，直线l2与☉O有 个公共点. （3）直线和☉O相离 ⇔ d > r，如右图，直线l3与☉O 公共点. 2 相切 1 没有 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 1. 如图，在矩形ABCD中，AB = 4 cm，BC = 3 cm. 以顶点B为圆心作☉B，半径为r. （1）若 r = 4，则点 A在☉B ，点 C在☉B ， 点 D在☉B （填“上”“内”“外”）. （2）若A，C，D三点中至少有一点在☉B内，且至少有一点在☉B外， 则r的取值范围为 . （3）若☉B与直线AD相离，且与直线CD相交，则r的取值范围 是 . （4）当☉B与△ACD的边有交点时，则r的取值范围是 . 上 内 外 3 < r < 5 3 < r < 4 ≤ r ≤ 5 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 二、切线（5年4考） 1. 定义：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切，这条 直线叫做圆的 ，这个点叫做 . 2. 性质：圆的切线垂直于过切点的半径（圆心到切线的距离等于半径）. 3. 切线的判定： （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 . 4. *切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角 . 如图，P 是☉O外一点，PA，PB是由 点P引出的☉O的两条切线，则有 PA = . 切点 切线 切线 PB 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 2. 如图，AB是☉O的直径，AC与☉O相切，A为切点，连接BC.已知 ∠ACB = 50°，则∠B的度数为 °. 3. 如图，PA，PB 是☉O 的切线，A，B 为切点，AC 是☉O 的直径 . 若∠BAC = 25°，则∠P 的度数为 °. 40 50 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 三、三角形的内心与外心 圆心 定义 特征 图示 内心 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做三角形的内心 内心到三角形 的距离相等，即 OD = OE = OF = r 外心 过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边 的交点，叫做三角形的外心 外心到三角形的 . 的距离相等，即 OA = OB = OC = r 角平分线 三条边 垂直平分线 三个顶点 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 跟踪训练 4. 若直角三角形两条直角边长分别为 6 和 8，则此直角三角形的外接 圆面积为 . 5. 如图，点 O 是△ABC 外接圆的圆心，点 I 是△ABC 的内心，连接 OB，IA.若∠CAI = 35°，则∠OBC的度数为 °. 25π 20 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 重点突破 突破点1 切线的性质与判定 1.（2024天津）在△AOB中，∠ABO = 30°，AB，BC为☉O的弦，直线MN与☉O相切于点C. （1）如图1，若AB∥MN，直径CE与 AB相交于点D，则∠AOB = °，∠BCE = °. 120 30 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 （2）如图2，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F， OA = 3，求线段OF的长. 思路引导 已知直线与圆相切， 连接 与切点，则所 连线段与切线 . 圆心 垂直 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 （2）如图2，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F， OA = 3，求线段OF的长. 解：如答图，连接OC. ∵直线MN与☉O相切于点C. ∴∠OCM = 90°. ∵OB∥MN，∴∠OCM = ∠COB = 90°. ∵CG⊥AB，∴∠FGB = 90°. ∵∠ABO = 30°， ∴∠BFG = 90° - ∠ABO = 60°. ∴∠CFO = ∠BFG = 60°. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 （2）如图2，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA = 3，求线段OF的长. 在Rt△COF中，tan∠CFO = ，OC = OA = 3， ∴OF = . 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 2. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD = 90°，CB = CD，连接 BD.以点 B为圆心，BA长为半径作☉B，交BD于点E. （1）试判断CD与☉B的位置关系，并说明理由. 解：CD与☉B相切.理由如下： 如答图，过点B作BF⊥CD，垂足为F，则∠BFD = 90°. ∵AD∥BC，∴∠ADB = ∠CBD. ∵CB = CD，∴∠CBD = ∠CDB. ∴∠ADB = ∠CDB. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 （1）试判断CD与☉B的位置关系，并说明理由. 又∵∠BAD = ∠BFD = 90°，BD = BD， ∴△ABD ≌ △FBD（AAS）. ∴BF = BA，则点F在☉B上. ∴CD与☉B相切. （2）若 AB = 2，∠BCD = 60°，则 图中阴影部分的面积为 . 2 - π 思路引导 本题圆与待证切线的公共点 ，所以用到的方法是“公共点 ，作 ，证 ” 未知 未知 垂直 半径 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 3. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，☉O经过B，C两点，与AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交☉O于点D，连接BD，过点E作EF∥CD，交AC于点F.求证：EF是☉O的切线. 思路引导 本题圆与待证切线的公 共点 ，所以用到的方法是“公共点 ，连 ，证 ”. 已知 已知 垂直 半径 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 3. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，☉O经过B，C两点，与AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交☉O于点D，连接BD，过点E作EF∥CD，交AC于点F.求证：EF是☉O的切线. 证明：如答图，连接EO. ∵AB = BC，∠ACB = 90°， ∴△ABC是等腰直角三角形. ∴∠ABC = 45°. ∵CD是☉O的直径， ∴∠CBD = 90°. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 求证：EF是☉O的切线. ∴∠DBE = ∠CBD - ∠ABC = 90° - 45° = 45°. ∴∠DOE = 2∠DBE = 2 × 45° = 90°. ∵EF∥CD， ∴∠FEO = ∠DOE = 90°，即OE⊥EF. ∵OE是☉O的半径， ∴EF是☉O的切线. 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 判定切线的一般思路 1. 有公共点,作半径,证垂直:当直线和圆有公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径即可. 2. 无公共点,作垂直,证半径:如果已知条件中未指出直线与圆是否有公共点,其作法是先过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长等于半径即可. 方法总结 精讲通考点 掌握通性通法 返回目录 快速对答案 精练提思维 促进自我评价 返回目录 1 2 3 4 5 6 1. （2024广东广州）如图，在☉O中，弦AB的长为4，点C在☉O上， OC⊥AB，∠ABC = 30°.☉O所在的平面内有一点P，若OP = 5，则点P与☉O的位置关系是 （ ） A. 点P在☉O上 B. 点P在☉O内 C. 点P在☉O外 D. 无法确定 C 精练提思维 促进自我评价 返回目录 2.（2024 四川泸州）如图，EA，ED 是☉O 的切线，切点分别为 A，D，点 B，C 在☉O 上，若∠BAE + ∠BCD = 236°，则∠E的度数为 （ ） A. 56° B. 60° C. 68° D. 70° C 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 3. 如图，有一个圆内切于四边形ABCD，且AB = 16，CD = 10，则四边形ABCD的周长为 . 52 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 4. 若Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别是5和12，则此直角三 角形的内切圆半径为 . 2 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 5. （2024湖北武汉）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边 BC的中点，腰 AC与半圆 O相切于点 D，底边BC与半圆O交于E，F两点. （1）求证：AB与半圆O相切. 证明：如答图，连接OD，作ON⊥AB交AB于点N. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC. ∵AC与半圆O相切于点D， ∴OD⊥AC. ∵ON⊥AB，∴ON = OD. ∴AC是半圆O的切线. 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 （2）连接OA.若CD = 4，CF = 2，求sin∠OAC的值. 解：由（1）可知AO⊥BC，OD⊥AC， ∴∠AOC = 90°，∠ODC = 90°. ∴∠OAC + ∠OCA = 180° - ∠AOC = 90°， ∠COD + ∠OCA = 180° - ∠ODC = 90°. ∴∠OAC = ∠COD ，sin∠OAC = sin∠COD = . 又∵OF = OD，CF = 2， ∴在Rt△ODC中，CD = 4，OC = OF + FC = OD + 2. ∵OC2 = CD2 + OD2，∴（OD + 2）2 = 42 + OD2.解得OD = 3. ∴sin∠OAC = sin∠COD = . 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 6. 如图，AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的一点，点 P 是 BA 延长线上的一点，连接 AC，BC，∠PCA = ∠B. （1）求证：PC是☉O的切线. 解：如答图，连接OC. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB = 90°. ∴∠BCO + ∠OCA = 90°. ∵OB = OC，∴∠B = ∠BCO. ∵∠PCA = ∠B，∴∠PCA = ∠BCO， ∴∠PCA + ∠OCA = 90°，即∠OCP = 90°. ∴OC⊥PC，∴PC是☉O的切线. 素养提升 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 （2）若sin ∠B = ，求证：AC = AP. 证明：∵sin∠B = ，∴∠B = 30°. ∴∠PCA = ∠B = 30°. 由（1）知∠ACB = 90°，∴∠CAB = 60°. ∴∠P = ∠CAB - ∠PCA = 30°. ∴∠PCA = ∠P. ∴AC = AP. 素养提升 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 （3）若CD⊥AB于点D，PA = 4，BD = 6，则AD的长为 . 点拨：设AD = x，易证△BDC ∽ △CDA， 易得CD2 = AD · BD = 6x，易证△PAC ∽ △PCB， ∴PC2 = PA·PB = 4（6 + 4 + x） = 4（10 + x）， 在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2 + CD2 = PC2， 即（4 + x）2 + 6x = 4（10 + x）， 整理得x2 + 10x - 24 = 0， 解得x1 = 2，x2 = -12（舍去）， 故AD = 2. 素养提升 2 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 快速对答案 C C 52 1 2 3 4 5 6 2 （1）略 （2） （1）略 （2）略 （3）2 1 2 3 4 5 6 精练提思维 促进自我评价 返回目录 $$