第1章 解直角三角形 单元巩固 课件 2024—2025学年浙教版数学九年级下册

让天下学子共享优质教育！ 第1章 解直角三角形 单元巩固 浙教版 九年级下册 思维导图 建体系 一、选择题 1. cos 60°的值为（　B　） A. B. C. D. 解析： cos 60°＝ . 故选B. B 2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a＝ 6，b＝8，c＝10，则 cos A的值为（　C　） A. B. C. D. 解析：在△ABC中， ∵a＝6，b＝8，c＝10，a2＋b2＝62＋82＝36＋64＝100，c2＝100. ∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形. ∴ cos A＝ ＝ ＝ . 故选C. C 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5， cos B＝ ，则AC等于 （　B　） A. B. 3 C. 4 D. 5 B 解析：如图所示， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴ cos B＝ ＝ ， ∵AB＝5， ∴BC＝4， ∴AC＝ ＝3. 故选B. 4. 如图，某商场大厅电梯的横截面示意图中，AB的长为12米，AB 与BC的夹角为α，则高AC为（　A　） A. 12 sin α米 B. 12 cos α米 C. 米 D. 米 解析：由题意得AC⊥BC， 在Rt△ABC中，AB＝12米，∠ABC＝α， ∴AC＝AB· sin α＝12 sin α（米）， 故选A. A 5. 图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中 选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形 OABC. 若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则tan∠BOC的值为（　A　） A. sin α B. cos α C. tan α D. A 解析：∵AB＝BC＝1， 在Rt△OAB中， sin α＝ ，∴OB＝ ， 在Rt△OBC中，tan∠BOC＝ ＝ ＝ sin α. 故选A. 6. 如图，在正方形网格中有△ABC，则 sin ∠ABC的值等于 （　B　） A. B. C. D. 解析：∵AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ， ∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠ACB＝90°. ∴ sin ∠ABC＝ ＝ ＝ . 故选B. B 7. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1 700多年前中国古 代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形 （△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连结BE. 设∠BAF＝ α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为 1∶n，tan α＝tan2 β，则n＝（　C　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 C 解析：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b， ∵tan α＝ ，tan β＝ ，tan α＝tan2 β， ∴ ＝（ ）2， ∴（b－a）2＝ab， ∴a2＋b2＝3ab， ∵a2＋b2＝AD2＝S正方形ABCD，S正方形EFGH＝（b－a）2， ∴S正方形EFGH∶S正方形ABCD＝ab∶3ab＝1∶3， ∵S正方形EFGH∶S正方形ABCD＝1∶n， ∴n＝3. 故选C. 二、填空题 8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则 cos A ＝ ⁠. 解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝13，AC＝12， ∴ cos A＝ ＝ . ​ 9. 如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若 △ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ⁠. 解析：由图形知：tan∠ACB＝ ＝ . ​ 10. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改 造.已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1∶ ，将 步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1∶4，则斜坡AF的长度 是 m.（结果精确到0.01 m，参考数据： ≈1.732， ≈4.123） 20.62 解析：∵斜坡DE的坡度为i1＝1∶ ， ∴tan∠DEC＝ ＝ ， ∴∠DEC＝30°， ∴DC＝ DE＝5（m）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝5 m， ∵斜坡AF的坡度为i2＝1∶4，AB＝5 m， ∴BF＝4AB＝20（m）， 在Rt△ABF中，AF＝ ＝ ≈20.62（m）， ∴斜坡AF的长度约为20.62 m. 11. 某商场引进消毒机器人每天进行全场消毒工作，该机器人采取精 准直线喷射技术，实现了准确、快速和节约的目标.在设置参数的时 候，工作人员通过对商场门口身形高大的“大黄蜂”进行多次消毒试 验发现：如图，若对A点进行消毒，适当调整机器人CD到AB的距 离，使得 sin （α－β）的值尽可能的大，能提高消毒的效率.已知 “大黄蜂” AB身高2.5米，机器人CD高0.4米.则当 sin （α－β）最 大时，机器人CD和“大黄蜂” AB之间距离BC等于 m. ​ 解析：如图，过点C作CF⊥AE于点F， 设BC＝x m， 根据题意得CD⊥BE，AB⊥BE，AB＝2.5 m，CD＝0.4 m， ∴CD∥AB，∴△CDE∽△BAE， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得CE＝ x m， ∵α＝β＋∠CAF，∴∠CAF＝α－β， ∴当 sin （α－β）最大时， sin ∠CAF最大， ∴（ sin ∠CAF）2最大，即 最大， 在Rt△ABC中，AC2＝BC2＋AB2＝x2＋ ＝ ， 在Rt△CDE中，DE2＝CE2＋CD2＝ x2＋ ， ∵ CD·CE＝ DE·CF， ∴CD2·CE2＝DE2·CF2， ∴CF2＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∵x≠0，∴ ＝ ， ∵ 最大，∴400x2＋ ＋4 264最小，即400x2＋ 最小， ∵（ － ）2≥0，即400x2＋ －2≥0， ∴400x2＋ ≥2 ， ∴当 ＝ ，即x＝ 或－ （舍去）时，400x2＋ 最小， 即当 sin （α－β）最大时，机器人CD和“大黄蜂” AB之间距离BC 为 m. 三、解答题 12. 阳光下，电线杆AB落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是CD 和BC，小亮量得CD＝8 m，BC＝20 m，斜坡CD的坡度为 1∶ ，小亮的身高1.65 m，此时他在水平地面上的影子长为3.3 m，求电线杆的高度（结果保留根号）. 解：过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，DF⊥AB于F， 则四边形BFDE为矩形， ∴BF＝DE，DF＝BE， 在Rt△DCE中，斜坡CD的坡度为1∶ ， 则tan∠DCE＝ ＝ ， ∴∠DCE＝30°， ∴DE＝ CD＝4 m，CE＝CD· cos ∠DCE＝8× ＝4 m， ∴BF＝DE＝4 m，DF＝BE＝BC＋CE＝（20＋4 ）m， ∵小亮的身高1.65 m，此时他在水平地面上的影子长为3.3 m， ∴AF＝ DF＝（10＋2 ）m， ∴AB＝AF＋BF＝（14＋2 ）m. 答：电线杆的高度为（14＋2 ）m. 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC 的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连结 AE. （1）求线段CD的长； 解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H，设 CD＝x， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°， ∴DH＝DC＝x，则AD＝3－x. ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5， ∵ sin ∠BAC＝ ＝ ，∴ ＝ ， ∴x＝ ，即CD＝ . （2）求△ADE的面积. 解：（2）S△ABD＝ AB·DH＝ ×5× ＝ ， ∵BD＝2DE，∴ ＝ ＝2， ∴S△ADE＝ × ＝ . 14. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械 臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB，BC为机械臂，OA＝1 m，AB＝ 5 m，BC＝2 m，∠ABC＝143°.机械臂端点C到工作台的距离CD ＝6 m. （1）求A，C两点之间的距离； 解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，连结AC， 在Rt△ABE中，AB＝5 m，∠ABE＝37°， ∵ sin ∠ABE＝ ， cos ∠ABE＝ ， ∴ ≈0.60， ≈0.80， ∴AE＝3 m，BE＝4 m， ∴CE＝6 m， 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC＝ ＝3 ≈6.7 m. （2）求OD长.（结果精确到0.1 m，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， ≈2.24） 解：（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F， ∴FD＝AO＝1 m， ∴CF＝5 m， 在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF＝ ＝2 m. ∴OD＝2 m≈4.5 m. 15. “和平使命”系列军演是具有战略影响的国际联合军事演习.在 一次行动中，我军主力部队在A处驻扎，发现敌军在我军的东北方向 的B处，遂立即通知位于我军北偏东75°，距离（6 ＋6 ） km，在C处执行任务的侦查小队，侦查小队测得敌军在北偏西 60°，迅速沿着路线CA向主力部队靠近，并在途中选取距离敌军最 近的地方对敌军进行监测活动. （1）求点B到路线CA的最短距离；（精确到0.1 km，参考数据： ≈1.414， ≈1.732） 解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E， 根据题意可知∠BAC＝75°－45°＝30°，∠BCA＝30°＋15°＝45°， ∴BE＝CE，AB＝2BE， 设BE＝CE＝x km，则AE＝ x km， ∵AE＋EC＝AC＝（6 ＋6 ）km， ∴ x＋x＝6 ＋6 ， ∴x＝6 ≈8.5 km， ∴BE≈8.5 km， ∴点B到路线CA的最短距离约为8.5 km. （2）上午6：00时，我军发现敌军开始沿BD向正西方向以6 km/h的 速度行进，敌军现有探测设备的有效侦测半径为15 km，请问在敌军 行进过程中，我军主力部队所在A地是否在敌军的侦测范围内？如果 在，我军需要从什么时间开始进行战略隐蔽，什么时间即可结束战略 隐蔽？ 解：（2）∵点B到路线CA的最短距离为BE的长度等于6 km， AB＝2BE＝12 km＞15 km， ∴此时我军主力部队所在A地不在敌军的侦测范围内. 如图，过点A作AF⊥BD于点F， ∵∠FBA＝45°， ∴AF＝ AB＝ ×12 ＝12（km）， ∴此时我军主力部队所在A地在敌军的侦测范围，设在点F两侧 的GH之间距离范围内， 根据题意可知AH＝AG＝15 km， ∴FH＝ ＝ ＝9 km， ∴GF＝9 km， ∴BH＝BF－FH＝AF－FH＝12－9＝3 km， ∴BG＝2FH＋BH＝18＋3＝21（km）， ∴t1＝ ＝0.5 h，t2＝ ＝ ＝3.5 h. ∴我军需要从6点30分开始进行战略隐蔽，9点30分即可结束战略 隐蔽. $$