4.角平分线 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

4. 角平分线 一、角平分线的性质 1.角平分线可以得到两个相等的角。 2.角平分线上的点到角两边的距离相等。 二、角平分线的逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 三、三角形中的角平分线 1.三角形的三条角平分线交于一点，这一点称为三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 四、角平分线的常见辅助线方法 在解决角平分线相关的问题时，常需要作一些辅助线，如过角平分线上的某一点作角两边的垂线，或者连接三角形的内心与某个顶点等。 巩固课内例1:角平分线的性质与判定 1．如图，在中，，是的角平分线．若，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键．过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点到的距离为， 故选：B． 2．如图，在中，为的角平分线，若，垂足为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于H，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：作于H， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：2 3．如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线． 【答案】见解析 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可证得AD是△ABC的角平分线． 【详解】证明：∵AD垂直平分EF， ∴DE=DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是△ABC的角平分线． 【点睛】本题考查了角平分线判定定理，线段垂直平分线性质；熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”和“到角两边距离相等的点都在角的平分线上”是解决问题的关键． 巩固课内例2:三条角平分线交于一点——内心 1．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（       ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理的应用，根据“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”解答即可，熟练掌握其判定定理是解决此题的关键． 【详解】在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”可得集贸市场应建在、、的角平分线的交点处， 故选：C． 2．点到的三边，，的距离相等，则点的位置在 ． 【答案】的平分线和的平分线的交点上 【分析】本题考查角平分线的判定，根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，即可求解． 【详解】解：点到，的距离相等， 平分， 点到，的距离相等， 平分， 点的位置在的平分线和的平分线的交点上． 故答案为：的平分线和的平分线的交点上． 3．如图，、分别平分、，相交于点，过点作，，，垂足分别为、、．求证：点在的平分线上． 【答案】详见解析 【分析】根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定可得到结论． 【详解】证明：∵点在的平分线上，,； ∴． 又点在的平分线上，，； ∴． ∴． ∴点在的平分线上． 【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定定理和性质定理是解题的关键． 巩固课内例3:角平分线的数量关系 1．如图，的两条外角平分线相交于点P，于点H．若，则下面的结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．① B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理以及逆定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．作于M，于N，根据角平分线的性质定理可得，从而得到，故①正确；再证明，，可得，从而得到，故②正确；再根据直角三角形的性质可得，故③正确；然后根据，可得，故④正确． 【详解】解：如图，作于M，于N．    ∵， ∴， 同理， ∴， ∴平分， ∴，故①正确； ∵在和中， ∵， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴，故②正确； 在中，∵， ，故③正确， ∵， ，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④． 故选：D 2．如图，中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论： ①；②；③；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④． 【详解】解：在中，∵， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中，， ∴（）， ∴，故②正确； 在和中， ∵， ，， ∴， ∴， 又∵， ∴．故③正确； 如图，连接， ∵的角平分线相交于点P， ∴点P到的距离相等，点P到的距离相等， ∴点P到的距离相等， ∴点P在的平分线上， ∴平分，故④正确． ∴其中正确的是①②③④，共4个． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键． 3．如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)求证：平分； (2)判断、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，进而得出，再根据角平分线的判定即可得出结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得出，同理，再根据线段的和即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点E作于点F， ∵，平分， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． （2）解：，理由如下， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴． 类型一、角平分线的性质求长度 1．如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，中线的知识，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质，过点作交于点，根据角平分线的性质，则，根据是线段的中点，则，再根据，即可解答． 【详解】解：过点作交于点， ∵平分，于点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，在中，，平分，交于点．于．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两端的距离相等，据此可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线交AD于点E，EF⊥AB于点F，已知EF＝3，求ED的长． 【答案】3 【分析】先根据三线合一定理得到AD⊥BC，再由角平分线的性质即可得到ED＝EF＝3． 【详解】解：∵AC＝AB，AD是中线， ∴AD⊥BC， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，ED⊥BC， ∴ED＝EF＝3． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理和角平分线的性质，熟知三线合一定理和角平分线的性质是解题的关键． 类型二、角平分线的性质求角度 1．如图，在中，，，AE是BC边上的高，AD是的平分线，则的度数为（    ）    A．8° B．10° C．12° D．14° 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，直角三角形的性质，进行证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵AD是的平分线， ∴， ∵AE是BC边上的高， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，直角三角形的性质，能够熟练的掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 2．如图，平分，，，，，则 ， ．    【答案】 /60度 /7厘米 【分析】本题考查角平分线的性质．根据角平分线的定义可知，，，而角平分线上的点到角的两边的距离相等，故． 【详解】∵平分，，， ∴，． 又∵， ∴． 故答案为：，． 3．如图，在中，的平分线交于点过点作交于点 (1)求证： (2)若求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线性质可得由根据平行线的性质得得到即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出由根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）∵是的平分线， （2）      【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． 类型三、尺规作图——作角平分线 1．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．利用基本作图得到由作法得平分，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：由作法得平分， ∴点D到和的距离相等， ∵， ∴， ∴点D到的距离为的长，即点D到的距离为10， ∴点D到的距离为10． 故选：C． 2．如图所示，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则 ．     【答案】/度 【分析】本题主要考查三角形相关角度的计算，直接利用直角三角形互余，可以求得的度数，再利用是角平分线，最后利用外角的性质，可以直接求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即． 3．如图，已知中，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (1)作边的垂直平分线，交于点E，交于点F； (2)连接； (3)作的平分线，交于点G． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作角平分线，掌握基本作图是解题的关键．根据题意作边的垂直平分线，交于点，交于点，连结，作的平分线，交于． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：如图， 类型一、角平分线的性质求周长 1．如图，中，与的平分线相交于点，过点作，则的周长为（   ） A．11 B．14 C．13 D．19 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定．熟练掌握两直线平行，内错角相等，以及等角对等边，是解题的关键．注意题目中既有角平分线又有平行线，往往会有等腰三角形．根据角平分线的定义，以及平行线的性质，得到均为等腰三角形即可得解． 【详解】分别是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故选择：B． 2．如图，在中，，，平分交于，于，且，则的周长是 ． 【答案】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长，即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键． 【详解】 解：，平分，，， 在和中， ， ， ， 的周长， ， ， ， ， ， ， 的周长是． 故答案为：． 3．已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，． (1)求的度数； (2)如果 ，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、直角三角形的特征、等腰三角形的判定及性质： （1）利用等腰三角形的判定及性质得，再根据角平分线的性质得，进而可求解； （2）利用角平分线的性质得，再利用得，进而可得，，进而可求解； 熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】（1）解：，且， ， ， 是的角平分线， ， ， , ． （2）是的角平分线，且，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形为：． 类型二、角平分线的性质求面积 1．如图，在中，，是的角平分线，若，则的面积是（　　） A．12 B．15 C．30 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵，是的角平分线， ， ∴， ∴的面积， 故选：B． 2．如图所示，已知的周长是24，，分别平分和，于，且，则的面积是    【答案】24 【分析】本题考查角平分线的性质和割补法求三角形面积．熟练掌握角平分线的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 连接，过作，，根据角平分线的性质，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过作，，    ∴， ∴ ． 故答案为：24． 3．如图，将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． (1)已知，的周长为，求的长； (2)若平分求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠得，则，所以，则，求得． （2）作于点F，由折叠得垂直平分，由角平分线的性质得，则． 此题重点考查翻折变换的性质、垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正解地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴的长是． （2）解：作于点F， ∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． ∴点A与点B关于直线对称， ∴垂直平分， ∵平分于点F，于点E，且， ∴， ∴， ∴的面积是． 类型三、角平分线的判定 1．已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（  ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．所在直线是的中垂线 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质作答． 【详解】解：∵点P是边上一点，且到的距离相等，， ∴线段一定是的平分线，即线段一定是的角平分线． 故选：A． 2．如图，在中，的角平分线交于点O，连接并延长交于D，于H，若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，直角三角形的性质．作交于E，交于点F，根据角平分线的性质，可得，从而得到平分，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：作交于E，交于点F， ∵的角平分线交于点O，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：10． 3．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的判定定理即可得出结论，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点E作于点G，于点H． ∵，， ∴． ∵ ∴， ∴，即平分． 又∵，， ∴． ∵是角平分线，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分． 类型一、最值问题 1．中，，，，是的角平分线，点E、F分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（　　） A．4 B．3 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线，轴对称的性质，含30度的直角三角形，垂线段最短等知识．熟练它们的性质是解题的关键． 作F关于的对称点，连接，由作图和结合已知条件分析得知：当A、E、三点共线时，即、重合时时，此时的值最小，根据含30度的直角三角形的性质定理即可求出答案． 【详解】解：如图，作F关于的对称点，连接， 则， ∵是的角平分线， ∴在上， ∴， ∴当A、E、三点共线，且即、重合时，的值最小， ∵，，， ∴ 的最小值为4， 故选：A． 2．如图，，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理，连接并延长，证明，得到点D的轨迹，最后利用垂线段最短和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论． 【详解】解：如图，连接并延长，过点D作于点M，于点N． ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴点D的轨迹为的平分线， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值，此时， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．在中，的中垂线交于D，交于点E．    (1)如图1，连接，则　 　； (2)如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长； (3)如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，则的最小值为　 　． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质得，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）先由线段垂直平分线的性质得，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）连接，过B作于M，交直线于，过作于，根据角平分线的性质定理可得，则点M与关于对称，此时，即的值最小，再根据的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中垂线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即， 故答案为：； （2）解：∵是的中垂线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为5； （3）解：连接，过B作于M，交直线于，过作于，如图3所示：    ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则点M与关于对称，此时， 即的值最小， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴的面积， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、轴对称的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键． 类型二、角平分线与垂直平分线结合 1．如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点D，于点F，，，则的长度是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】连接，过点作于点，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，根据证明，可得，再根据证明，可得，继而可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ∴， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并分别求出、的长是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，垂足为， ， 是线段的垂直平分线， ， 的面积． 故答案为：9． 3．如图，在中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，，G，H为垂足． 如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)7 【分析】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． （1）连接，，根据线段垂直平分线的性质可得；依据角平分线的性质可得；依据定理可判断出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）同理，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵D是线段垂直平分线上的点， ∴， ∵D是平分线上的点，，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴． 类型三、无刻度尺作图 1．在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图——基本作图．解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质，基本作图：作已知角的平分线，线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角． 利用直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，等线段，等角逐一判断即得． 【详解】解：A．此作图是作平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意； B．此作图是作边的垂直平分线，可直接得出，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意； C．此作图是作线段，可直接得出为等腰三角形，此作图正确，不符合题意； D．此作图是作，可得，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意． 故选：A． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均为格点．    （1）的面积等于    ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出的角平分线BD，并在AB边上画出点P，使得，并简要说明的角平分线BD及点P的位置是如何找到的（不要求证明） 【答案】 6； 见解析 【分析】直接计算三角形面积即可； 如图，取格点M，N，连接MN，MN与网格线交于点D，连接BD即为所求；BD与网格线交于点E，取格点G，H，GH与网格线交于点F，过点E，F画直线，直线EF 交AB于点P即为所求． 【详解】解：（1）； （2）如图，取格点M，N，连接MN，MN与网格线交于点D，连接BD即为所求；BD与网格线交于点E，取格点G，H，GH与网格线交于点F，过点E，F画直线，直线EF交AB于点P即为所求．    故答案为：6；取格点M，N，连接MN，MN与网格线交于点D，连接BD即为所求；BD与网格线交于点E，取格点G，H，GH与网格线交于点F，过点E，F画直线，直线EF 交AB于点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是在五种基本作图基础上进行作图，一般是结合几何图形性质进行作图．解决此类题目关键是熟悉几何图形性质，结合几何图形性质把复杂作图拆解为基本作图． 3．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)如图1，请画出的高和中线； (2)如图2，在线段上求作一点F，使得； (3)如图3，是的角平分线，在上画一点E，使． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】本题主要考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识点， （1）如图,取格点K，连接交于D，取格点P，Q，连接交于E，连接，线段，即为所求； （2）如图,取格点M，N，连接交于F，连接，点F即为所求； （3）如图,取格点R，连接交于S，连接并延长交于E，点E即为所求； 解题的关键是掌握网格特征和全等三角形的判定与性质． 【详解】（1）如图,取格点K，连接交于D，取格点P，Q，连接交于E，连接， ∵在和中 ， ∴， ∴, ∵, ∴, 在和中 ， ∴ ∴， ∴, ∴线段，即为所求； （2）如图,取格点M，N，连接交于F，连接， 在和中 ， ∴, ∴, ∴点F即为所求； （3）如图,取格点R，连接交于S，连接并延长交于E， 由作图知，正方形每一条对角线平分每一组对角， ∴平分， ∵是的角平分线， ∴S为的三内角的角平分线的交点， ∴平分， ∵,， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点E即为所求． 1．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的值不可能是（   ） A．4 B．3 C．2.5 D．1.5 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，求解最小值是解此题的关键．根据垂线段最短得出当时，的值最小，此时根据角平分线性质得出，再逐一判断即可． 【详解】解：当时，的值最小， ∵平分，，， ∴， 所以的最小值为， 所以，，不符合题意，符合题意； 故选：． 2．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作于， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：． 3．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点、，再分别以点与点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题的关键掌握三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的性质，根据题意，求出，由作图可得，平分，且，根据三线合一，可得，根据三角形的内角和，即可求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由作图可得：平分，且， ∴（三线合一）， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，是的角平分线，点P在上，，垂足为D，且，则点P到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，作于，由角平分线的性质定理可得，即可得解． 【详解】解：如图，作于， ∵是的角平分线，点P在上，，垂足为D， ∴， ∴点P到的距离是， 故答案为：． 5．如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，中，，分别以顶点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与、交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点和点，再分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：；垂直平分线段；；．其中，正确的结论是 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题主要考查了作图——复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，首先证明，可判断；推出，则，由角平分线的性质得，可判断；由，可判断；由，通过面积可判断，读懂题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴垂直平分线段，故正确， ∵，， ∴，故正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故答案为：． 7．如图，已知．    (1)求作的平分线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)说明的依据是__________． 【答案】(1)见解析 (2)平分 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定； （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据证明，则，由此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于E、F，再分别以E、F为圆心，以大于长的一半为半径画弧，二者交于点C，则射线即为所求； （2）解：由作图方法可知， 又∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴依据是平分； 8．如图，平分，点在上，且，，垂足分别为，，，判断与有什么数量关系？并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可得，可证，得到，再证，得到，根据线段和差计算即可求解． 【详解】解：， 理由如下： ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 9．如图，在中，，是的平分线，交于在上，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，三角形全等的判定方法和性质，以及根据勾股定理求出三角形的边长． （1）根据角平分线的性质可得，进而推出，即可求证； （2）由（1）可知，根据勾股定理得，则，证明，推出，设为，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：证明：是的平分线，， ， 又， ， ； （2）解：由（1）可知， ， ， 又， ． ． 设为，则． 在中，，即， 解得：， ． 10．如图1，在直角三角形中，，，，，分别是与的角平分线，且，相交于点O． (1)的度数为 °． (2)求点O到边的距离及的面积． (3)如图2，若过点C作，分别交，于P，Q两点，垂足为点D，求的长． 【答案】(1)135 (2)O到的距离为1； (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得，在中，根据三角形内角和定理可得的度数． （2）作于G，于H，于I．根据角平分线的性质可得，设，根据即可求出x的值为1，即点O到边的距离为1，再根据可求得的值，进而可求得的面积． （3）先利用面积法求得，再根据勾股定理可求得，则可得，作于E，根据角平分线的性质可得，再根据可求得．作于F，同理可求得，进而可求得的长． 【详解】（1）解： ，分别平分，， ，， ∵在中，， ， ， 在中， ． 故答案为：135； （2）解：作于G，于H，于I，连接． 平分，平分， ，， 设， 在中， ，， ∴根据勾股定理，得， ， ∴， 即． 解得， ∴O到的距离为1； 解得． ． （3）， ∴， ∴． 在中， 根据勾股定理，得， ． 作于E， ∵平分，，， ∴． ， ， ， ，  解得． 作于F， ∵平分，，， ∴． ， ， ， ，  解得， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，以及利用面积法求三角形的高．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4. 角平分线 一、角平分线的性质 1.角平分线可以得到两个相等的角。 2.角平分线上的点到角两边的距离相等。 二、角平分线的逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 三、三角形中的角平分线 1.三角形的三条角平分线交于一点，这一点称为三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 四、角平分线的常见辅助线方法 在解决角平分线相关的问题时，常需要作一些辅助线，如过角平分线上的某一点作角两边的垂线，或者连接三角形的内心与某个顶点等。 巩固课内例1:角平分线的性质与判定 1．如图，在中，，是的角平分线．若，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为的角平分线，若，垂足为，则 ． 3．如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线． 巩固课内例2:三条角平分线交于一点——内心 1．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（       ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．不确定 2．点到的三边，，的距离相等，则点的位置在 ． 3．如图，、分别平分、，相交于点，过点作，，，垂足分别为、、．求证：点在的平分线上． 巩固课内例3:角平分线的数量关系 1．如图，的两条外角平分线相交于点P，于点H．若，则下面的结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．① B．②③ C．②③④ D．①②③④ 2．如图，中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论： ①；②；③；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是 ． 3．如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)求证：平分； (2)判断、、之间的数量关系，并证明． 类型一、角平分线的性质求长度 1．如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，交于点．于．若，，则的长为 ． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线交AD于点E，EF⊥AB于点F，已知EF＝3，求ED的长． 类型二、角平分线的性质求角度 1．如图，在中，，，AE是BC边上的高，AD是的平分线，则的度数为（    ）    A．8° B．10° C．12° D．14° 2．如图，平分，，，，，则 ， ．    3．如图，在中，的平分线交于点过点作交于点 (1)求证： (2)若求的度数 类型三、尺规作图——作角平分线 1．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图所示，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则 ．     3．如图，已知中，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (1)作边的垂直平分线，交于点E，交于点F； (2)连接； (3)作的平分线，交于点G． 类型一、角平分线的性质求周长 1．如图，中，与的平分线相交于点，过点作，则的周长为（   ） A．11 B．14 C．13 D．19 2．如图，在中，，，平分交于，于，且，则的周长是 ． 3．已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，． (1)求的度数； (2)如果 ，，求四边形的周长． 类型二、角平分线的性质求面积 1．如图，在中，，是的角平分线，若，则的面积是（　　） A．12 B．15 C．30 D．无法确定 2．如图所示，已知的周长是24，，分别平分和，于，且，则的面积是    3．如图，将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． (1)已知，的周长为，求的长； (2)若平分求的面积． 类型三、角平分线的判定 1．已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（  ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．所在直线是的中垂线 2．如图，在中，的角平分线交于点O，连接并延长交于D，于H，若，则 ． 3．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接．求证：平分． 类型一、最值问题 1．中，，，，是的角平分线，点E、F分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（　　） A．4 B．3 C．8 D．16 2．如图，，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ． 3．在中，的中垂线交于D，交于点E．    (1)如图1，连接，则　 　； (2)如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长； (3)如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，则的最小值为　 　． 类型二、角平分线与垂直平分线结合 1．如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点D，于点F，，，则的长度是（   ） A． B． C．1 D． 2．如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ． 3．如图，在中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，，G，H为垂足． 如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D， (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型三、无刻度尺作图 1．在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均为格点．    （1）的面积等于    ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出的角平分线BD，并在AB边上画出点P，使得，并简要说明的角平分线BD及点P的位置是如何找到的（不要求证明） 3．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)如图1，请画出的高和中线； (2)如图2，在线段上求作一点F，使得； (3)如图3，是的角平分线，在上画一点E，使． 1．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的值不可能是（   ） A．4 B．3 C．2.5 D．1.5 2．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点、，再分别以点与点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的角平分线，点P在上，，垂足为D，且，则点P到的距离是 ． 5．如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 6．如图，中，，分别以顶点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与、交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点和点，再分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：；垂直平分线段；；．其中，正确的结论是 ．（填序号） 7．如图，已知．    (1)求作的平分线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)说明的依据是__________． 8．如图，平分，点在上，且，，垂足分别为，，，判断与有什么数量关系？并说明理由． 9．如图，在中，，是的平分线，交于在上，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 10．如图1，在直角三角形中，，，，，分别是与的角平分线，且，相交于点O． (1)的度数为 °． (2)求点O到边的距离及的面积． (3)如图2，若过点C作，分别交，于P，Q两点，垂足为点D，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$