3.线段的垂直平分线 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

3. 线段的垂直平分线 一 线段垂直平分线的定义 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 二 线段垂直平分线的性质 1 垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 三 线段垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 四 三角形外心 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。五 线段垂直平分线的尺规作图 1 在线段的中心找到这条线段的中点，通过这个点做这条线段的垂线段。 2 分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点（两交点交于线段的同侧）。 3 连接这两个交点。原理是等腰三角形的高垂直平分底边。 六 线段垂直平分线的应用 垂直平分线的性质定理经常用来构造等腰三角形，转移线段，转移角度。逆定理可以用来解决证明垂直平分线的问题，也可以解决生活中的实际问题。 巩固课内例1:垂直平分线的性质与判定 1．如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由线段垂直平分线的性质可知，垂直平分，则.利用这一性质和已知的和的长度，可以计算出的长度. 【详解】解：因为垂直平分，， 所以， 因为， 所以， 解得. 故选：C. 2．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．若的周长为，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：20． 3．如图，是等边三角形，点D在外部，且，连接，交于点G． (1)求证：垂直平分； (2)在上取点E，连接，交于点F，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的判定得出垂直平分即可； （2）根据等边三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质求出，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴点B、D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 巩固课内例2:三条垂直平分线交于一点——外心 1．到的三个顶点距离相等的点是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决此题的关键． 根据线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 2．如图，点O是内一点，且，则点O是 的交点．    【答案】三边的垂直平分线 【分析】根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，即可得出结论 【详解】∵， ∴点O是三边的垂直平分线的交点； 故答案为：三边的垂直平分线． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定．熟练掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，是解题的关键． 3．求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 请把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，___________ 证明：连接、、． 点是边垂直平线上的一点，___________（　　） 同理可得，___________．（等量代换）． 点是___________边垂直平线上的一点（　　） 、、的垂直平分线相交于点．    【答案】见解析 【分析】此题考查线段的垂直平分线的知识．先根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等求得，进而求得结论；然后再利用线段垂直平分线的判定方法即可确定边的垂直平分线经过点P． 【详解】已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，； 证明：点是边垂直平线上的一点， （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）． 同理可得，．（等量代换）． 点是边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条垂直平分线上）， 、、的垂直平分线相交于点．   ． 巩固课内例3:尺规作图 1．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结，交于点P．若，的周长为10，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由作图可知垂直平分，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，的周长为10， ∴，即， ∴； 故选：B． 2．如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点． 【答案】分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径所画两弧 【分析】本题主要考查了尺规图作过直线上一点作已知直线的垂线，根据过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法解答即可，熟练掌握过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法是解决此题的关键． 【详解】过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法如下： ①以P为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧交在直线l上点P的两旁为，； ②分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C； ③过点C、P作直线，则直线为所求作的直线； 故答案为：分别以A、B为圆心，以大于长为半径所画两弧． 3．如图，在中，利用尺规作图作出的中线．不写作法，但要保留作图痕迹．    【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图，作垂线．作的中垂线，交于点，连接，即为所求．掌握垂线的作图方法，是解题的关键． 【详解】解：如图，直线即为所求；    类型一、垂直平分线的性质求长度 1．如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上一点，若线段，则线段的长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到该线段两端的距离相等，据此可得答案． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，为直线上一点， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，进而解答即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：1． 3．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，，求的长．    【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再做差即可． 【详解】垂直平分线， ， ， 又，， ． 【点睛】本题考查利用垂直平分线性质进行边长计算，须注意线段位置，正确的计算是解题的关键． 类型二、垂直平分线的性质求角度 1．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．先根据线段垂直平分线及等腰三角形的性质得出，再根据，可设出，再根据直角三角形的性质列出方程，求出的度数即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 即， 故选：B． 2．如图，在中，，，为的垂直平分线，那么 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；根据中垂直平分，可求出，再根据等腰三角形的性质求出，再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求得；最后由计算是解题的关键． 【详解】解：中，，， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴． 故答案是：． 3．如图，是的垂直平分线，交于点C，，求的度数．    【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质即可解答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 类型三、尺规作图——作垂线 1．如图，在中，尺规作图如下：分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连结，则线段为三角形的（   ） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．都有可能 【答案】B 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线和三角形的中线，可知直线为线段的垂直平分线，即点为线段的中点，据此即可求得答案． 【详解】根据题意可知直线为线段的垂直平分线，即点为线段的中点，所以线段为三角形的中线． 故选：B 2．“已知点P在直线l上，利用尺规作图过点P作直线”的作图方法如下：①如图，以点P为圆心，交直线l于A，B两点，B为圆心，以大于，两弧交于点Q；③作直线．则直线．这样作图的理由是 ． 【答案】三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线 【分析】根据等腰三角形的性质（三线合一）或垂直平分线的定义即可得出结论． 【详解】解：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． 故答案为：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． 【点睛】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的定义和性质等知识，解题的关键是理解题意，熟记等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义和性质． 3．如图，作出的边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 利用基本作图，过A点作的垂线即可． 【详解】解：如图，线段即为所求， 类型一、垂直平分线的性质求周长 1．如图，的周长为20，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接．已知，则的周长为（    ） A．18 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】∵是的垂直平分线， ， 的周长为，， 的周长 故选：B． 2．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为34，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”；根据线段的垂直平分线的性质得到，，而，代换即有，从而得到的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， ∵的周长是，即， ， ， 即的周长是， 故答案为：． 3．在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，的周长为20，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可直接得出，即证明是等腰三角形； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，再根据的周长为20，结合（1）即可求出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵的垂直平分线交于点D， ∴． ∵的周长为20，， ∴， ∴的周长． 类型二、垂直平分线的性质求面积 1．如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点若以，，为边的三角形的面积为，则的面积可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的三边关系得到，根据三角形的面积公式判断即可． 【详解】解：如图所示，连接、，    ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ∵以，，为边的三角形的面积为， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的面积计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 2．如图，直角中，，，，边的垂直平分线交于，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，根据边的垂直平分线交于，得出，设，则，因为，所以，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于， ∴， 设， ∵ 则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的面积是， 故答案为：． 3．如图，中，，直线是边的垂直平分线，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，三角形的面积等知识点： （1）根据直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质得出，求出，再求出答案即可； （2）根据勾股定理求出，求出，再根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 的面积是． 类型三、垂直平分线的判定 1．如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定即可求解，掌握垂直平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵体育中心到城镇中心的距离相等， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理，点在线段，的垂直平分线上， ∴点应设计在三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 2．如图，一形状为四边形的风筝四边形中，已知，，则此风筝的骨架与即四边形的两对角线有怎样的关系？答： ． 【答案】垂直平分 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据，，得出垂直平分． 【详解】解：垂直平分，理由如下： ， 垂直平分， 故答案为：垂直平分． 3．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点A、在线段的垂直平分线上，即可证明结论； （3）根据，得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵分别是和的高， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴点A、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 类型四、尺规作图——垂直平分线 1．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】解：根据题意，， 由图可知，， ， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 2．如图，已知，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，的周长是 ．    【答案】12 【分析】本题考查了作图-基本作图，垂直平分线的性质，掌握该性质是解题的关键．根据题意，得到是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，再利用线段的等量转换即可解答． 【详解】解：由题意得是的垂直平分线， ， ，， 的周长． 故答案为：12． 3．（1）在图中画出，使与关于直线l成轴对称．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在图中利用无刻度直尺与圆规作边上的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线的作法，轴对称图形的作法，掌握垂线的尺规作图方法是解答本题的关键． （1）从三角形的三个顶点，分别向直线l引垂线，并延长相同距离，得到三个对应点，顺次连接就是所求的轴对称图形； （2）分别与A、B为圆心，以大于的半径画弧，两弧交于两点点D、E，，连接这两个交点的直线问题得解． 【详解】解：（1）如图所示，为所求； （2）解：如图所示，直线为所求． 类型一、最值问题 1．如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是 （   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称一最短路线问题，连接，首先证明是的垂直平分线，得，则的周长为，当B、P、A共线时，的最小值为2，从而得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点G是的中点，是等边三角形； ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为：， ∵两点之间线段最短， ∴当B、P、A共线时，的最小值为边长2， ∴的周长最小值为3， 故选：C． 2．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 【答案】/5厘米 【分析】此题主要考查轴对称--最短路线问题，设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点M、N在上时，的周长最小． 【详解】解：分别作点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，分别交于点M、N，连接、、、、． ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴； ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值， 故答案为：． 3．如图，某城镇要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区，区提供牛奶． (1)任务一：利用尺规作图，在图1中确定街道上牛奶站所建的位置，使区，区到它的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)任务二：为了配送到区和区的距离之和最短，那么牛奶站在街道上的哪个位置？ 小明同学将利用所学的知识巧妙地解决了这个问题．如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 请你阅读下列解题的过程，并完成填空： 证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， __________，__________， __________． 在中， ， ． ，即最小． (3)任务三：如图3，有两条公路和经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园处新建如图所示的三条小路，，，使三条小路刚好围成一个三角形，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)500米 【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，等边三角形的判定与性质，文字量多，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意利用垂直平分线的性质，连接，作的垂直平分线即可； （2）根据最短最短路径问题，结合对称的性质，填空即可； （3）分别作点关于，的对称点、，连接，分别交，于点M、N，此时的周长最小，其最小值等于的长，证明是等边三角形，即可得解． 【详解】（1）解：如图1所示，牛奶站应建在点处． （2）证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中， ， ． ，即最小； （3）解：如图3所示，分别作点关于，的对称点、，连接， 分别交，于点M、N，此时的周长最小，其最小值等于的长． 由对称的性质可得米，，， ， 是等边三角形， 米 米． 类型二、双垂直平分线模型 1．如图，在中，，边的垂直平分线分别与，相交与点M，N，边的垂直平分线分别与，相交与点P，Q，若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】连接，，由得，由垂直平分线的性质得，，，，再三角形内角和定理得，再证明得，进而可得是等边三角形，即可得，再由即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵边的垂直平分线分别与，相交与点M，N， ∴，， ∵边的垂直平分线分别与，相交与点P，Q， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质． 2．如图，在中，的垂直平分线分别交BC和AB于点和点M，AC的垂直平分线分别交BC和AC于点和点，连接AD，AE，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等角对等边，三角形的内角和的定理，综合运用以上知识是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的内角和定理可得，进而根据即可求得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交和于点和点M，的垂直平分线分别交和于点和点， ∴ ∴ 在中，， 故答案为： 3．如图，在中，边的垂直平分线与边相交于点，边的垂直平分线与边相交于点（在的左侧）．若的周长为，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，，再结合即可得解； （2）由（1）可得，，由等边对等角可得，，由三角形的内角和定理可得，进而可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】（1）解：在中，边的垂直平分线与边相交于点，边的垂直平分线与边相交于点， 的周长为， ，，， ， ； （2）解：由（1）可得：，， ，， ，， ， ． 类型三、无刻度尺作图 1．在中，．用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与作线段垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：，在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等， 只需要做线段的垂直平分线即可， A、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； B、作图痕迹是线段的垂直平分线，符合题意； C、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； D、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； 故选：B． 2．如图，在中，，，． （1）的面积等于 ． （2）是边上的定点，是边上的动点（），且，连接．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ． 【答案】 6 见解析 【分析】本题考查了尺规作图，轴对称的性质． （1）根据三角形面积的计算公式计算即可； （2）作点关于的对称点，再过点作垂足为点，在上截取，连接交于点，再在上截取，由，结合两点之间线段最短即可得到点的位置． 【详解】解：（1）∵，，， ∴； （2）作点关于的对称点，再过点作垂足为点，在上截取，连接交于点，再在上截取，点的位置如图所示． 故答案为：6；见解析． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中，找到一个格点D，连结，使． (2)在图②中，在边上确定一点P，使点P到边的距离相等． (3)在图③中，在边上确定一点E，在边上确定一点F，连结使垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，涉及三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理． （1）根据题意得为公共边，利用勾股定理结合网格的特点取格点D，使得，连接即可； （2）由勾股定理可求出，得到为等腰三角形，再根据三线合一，即可得到点P为的中点，利用网格线的特点取到中点即可； （3）由（1）可知设的交点为，易证，推出，即点E过的垂直平分线，再利用网格线的特点取格点，连接，连接交于点F，易证，即点F为中点，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D为所求： （2）解：， 为等腰三角形， 点P到边的距离相等， 点P在的角平分线上，且在上， 点P为的中点， 如图所示，点P为所求： （3）解：如图所示，为所求： 理由： 由（1）知， 设的交点为， ， ， 点E过的垂直平分线， ， ， ， ， ， 点F为中点， ， 是等腰三角形， ， 垂直平分． 1．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、点，且点是边的中点，连接，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等解答． 根据线段垂直平分线性质及三角形中线的特点逐选项分析即可得出正确的答案． 【详解】解∶是的垂直平分线， ，， 选项A、C、D正确，不符合题意； 点是边的中点，不能得出，选项B说法错误，符合题意， 故答案为∶B． 2．如图，在中，作边的垂直平分线交于点D．若，，则的长为（   ） A．17 B．16 C．11 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D，且， ∴， ∴； 故选C． 3．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键； 根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，，再求出，再求出答案即可； 【详解】解：， ， ，分别是线段，的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， 故选：B 4．如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上得到是的垂直平分线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 5．如图，线段与线段互相垂直平分，相交于点，若， ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上性质；根据线段的垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的等边对等角，三线合一求解即可． 【详解】解：线段与线段互相垂直平分， ， ， 故答案为：． 6．如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，正确理解线段垂直平分线的作图及线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据的周长为20，可得，根据作图可知垂直平分，再由线段垂直平分线的性质得到，即可求得答案． 【详解】的周长为20， ， ， 由已知作图可知垂直平分， ， 的周长． 故答案为：12． 7．如图，在中，．    尺规作图：作的垂直平分线，交于点，（不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】见解析 【分析】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 利用基本作图（作线段的垂直平分线）作的垂直平分线，此垂直平分线与的交点为点． 【详解】解：如图，点为所作；    8．如图，已知，为边上一点， (1)请用尺规作图的方法在边上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)已知，周长为24，求的周长． 【答案】(1)图见解析 (2)18 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质： （1）作的中垂线，交于点，即可； （2）根据中垂线的性质，得到的周长，进行求解即可． 【详解】（1）解：作的中垂线，交于点，则：， ∴； 故点即为所求； （2）∵，周长为24， ∴， ∵， ∴的周长． 9．如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理；利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，利用线段垂直平分线的判定即可证明； （2）由勾股定理求出，利用面积关系：即可求解． 【详解】（1）证明：∵直线分别为的垂线， ∴. ∴ 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴点A，P都在线段的垂直平分线上. ∴垂直平分. （2）解：在中，， 由勾股定理得：； ∵， ∴； ∵， ∴， 即， ∴． 10．（1）如图①，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，交于点F，连接，求证： ； （2）如图②，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，点D 是底边 的中点，求证：是线段的垂直平分线； （3）如图③，在中，，点D为上任意一点，在上找一点G，使得，请探究与的数量关系，并说明理由 【答案】（1）见解析（2）见解析（3），理由见解析 【分析】（1）根据，得．根据 ，得，得； （2）连接，由（1）知，得， 根据中点定义得．得，结合，可得垂直平分线段； （3）将顺时针旋转到，连接，则，，得，得．得，根据，得，得，根据，得，得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∵ ， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵， ∴，即． ∵ ， ∴， ∴，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形． ∵D 是底边 的中点， ∴，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； 解：（3），理由： ∵在中，， ∴， 将顺时针旋转到，点D的对应点为点F，连接， 则， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形综合题．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段中点性质，线段垂直平分线判定，旋转性质，三角形外角性质，是解题的关键是． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3. 线段的垂直平分线 一 线段垂直平分线的定义 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 二 线段垂直平分线的性质 1 垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 三 线段垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 四 三角形外心 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。五 线段垂直平分线的尺规作图 1 在线段的中心找到这条线段的中点，通过这个点做这条线段的垂线段。 2 分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点（两交点交于线段的同侧）。 3 连接这两个交点。原理是等腰三角形的高垂直平分底边。 六 线段垂直平分线的应用 垂直平分线的性质定理经常用来构造等腰三角形，转移线段，转移角度。逆定理可以用来解决证明垂直平分线的问题，也可以解决生活中的实际问题。 巩固课内例1:垂直平分线的性质与判定 1．如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．若的周长为，则的周长为 ． 3．如图，是等边三角形，点D在外部，且，连接，交于点G． (1)求证：垂直平分； (2)在上取点E，连接，交于点F，若，试判断的形状，并说明理由． 巩固课内例2:三条垂直平分线交于一点——外心 1．到的三个顶点距离相等的点是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 2．如图，点O是内一点，且，则点O是 的交点．    3．求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 请把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，___________ 证明：连接、、． 点是边垂直平线上的一点，___________（　　） 同理可得，___________．（等量代换）． 点是___________边垂直平线上的一点（　　） 、、的垂直平分线相交于点．    巩固课内例3:尺规作图 1．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结，交于点P．若，的周长为10，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点． 3．如图，在中，利用尺规作图作出的中线．不写作法，但要保留作图痕迹．    类型一、垂直平分线的性质求长度 1．如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上一点，若线段，则线段的长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．2 2．如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，若，则的长为 ． 3．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，，求的长．    类型二、垂直平分线的性质求角度 1．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知，则是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，为的垂直平分线，那么 ． 3．如图，是的垂直平分线，交于点C，，求的度数．    类型三、尺规作图——作垂线 1．如图，在中，尺规作图如下：分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连结，则线段为三角形的（   ） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．都有可能 2．“已知点P在直线l上，利用尺规作图过点P作直线”的作图方法如下：①如图，以点P为圆心，交直线l于A，B两点，B为圆心，以大于，两弧交于点Q；③作直线．则直线．这样作图的理由是 ． 3．如图，作出的边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 类型一、垂直平分线的性质求周长 1．如图，的周长为20，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接．已知，则的周长为（    ） A．18 B．12 C．10 D．8 2．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为34，则的周长为 ． 3．在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，的周长为20，求的周长． 类型二、垂直平分线的性质求面积 1．如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点若以，，为边的三角形的面积为，则的面积可能是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，直角中，，，，边的垂直平分线交于，则的面积是 ． 3．如图，中，，直线是边的垂直平分线，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的面积． 类型三、垂直平分线的判定 1．如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 2．如图，一形状为四边形的风筝四边形中，已知，，则此风筝的骨架与即四边形的两对角线有怎样的关系？答： ． 3．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分； (3)若，，求的长． 类型四、尺规作图——垂直平分线 1．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，的周长是 ．    3．（1）在图中画出，使与关于直线l成轴对称．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在图中利用无刻度直尺与圆规作边上的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 类型一、最值问题 1．如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是 （   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 3．如图，某城镇要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区，区提供牛奶． (1)任务一：利用尺规作图，在图1中确定街道上牛奶站所建的位置，使区，区到它的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)任务二：为了配送到区和区的距离之和最短，那么牛奶站在街道上的哪个位置？ 小明同学将利用所学的知识巧妙地解决了这个问题．如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 请你阅读下列解题的过程，并完成填空： 证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， __________，__________， __________． 在中， ， ． ，即最小． (3)任务三：如图3，有两条公路和经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园处新建如图所示的三条小路，，，使三条小路刚好围成一个三角形，求周长的最小值． 类型二、双垂直平分线模型 1．如图，在中，，边的垂直平分线分别与，相交与点M，N，边的垂直平分线分别与，相交与点P，Q，若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，在中，的垂直平分线分别交BC和AB于点和点M，AC的垂直平分线分别交BC和AC于点和点，连接AD，AE，则的度数为 ． 3．如图，在中，边的垂直平分线与边相交于点，边的垂直平分线与边相交于点（在的左侧）．若的周长为，． (1)求的长； (2)求的度数． 类型三、无刻度尺作图 1．在中，．用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，． （1）的面积等于 ． （2）是边上的定点，是边上的动点（），且，连接．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中，找到一个格点D，连结，使． (2)在图②中，在边上确定一点P，使点P到边的距离相等． (3)在图③中，在边上确定一点E，在边上确定一点F，连结使垂直平分． 1．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、点，且点是边的中点，连接，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，作边的垂直平分线交于点D．若，，则的长为（   ） A．17 B．16 C．11 D．10 3．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是 ． 5．如图，线段与线段互相垂直平分，相交于点，若， ． 6．如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为 ． 7．如图，在中，．    尺规作图：作的垂直平分线，交于点，（不写作法，保留作图痕迹）； 8．如图，已知，为边上一点， (1)请用尺规作图的方法在边上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)已知，周长为24，求的周长． 9．如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，，直接写出的长． 10．（1）如图①，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，交于点F，连接，求证： ； （2）如图②，在和中，点D是边上一点（异于B点），，，，点D 是底边 的中点，求证：是线段的垂直平分线； （3）如图③，在中，，点D为上任意一点，在上找一点G，使得，请探究与的数量关系，并说明理由 学科网（北京）股份有限公司 $$