专题03 平面向量基本定理及坐标表示重难点题型专训（25大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

专题03 平面向量基本定理及坐标表示重难点题型专训（25大题型+15道提优训练） 题型一 平面向量基本定理及坐标表 题型二 用基底表示向量 题型三 平面向量基本定理的应用 题型四 利用平面向量基本定理求参数 题型五 正交分解的理解 题型六 用必标表示平面向量 题型七 平面向量有关概念的坐标表示 题型八 平面向量线性运算的坐标表示 题型九 由向量线性运算结果求参数 题型十 向量坐标的线性运算解决几何问题 题型十一 线段的定比分点 题型十二 由向量线性运算解决最值和范围问题 题型十三 利用坐标求向量的模 题型十四 由坐标判断向量是否共线 题型十五 由向量共线(平行)求参数 题型十六 由坐标解决三点共线问题 题型十七 由坐标解决线段平行和长度问题 题型十八 数量积的坐标表示 题型十九 向量模的坐标表示 题型二十 坐标计算向量的模 题型二十一 向量垂直的坐标表示 题型二十二 利用数量积求参数 题型二十三 利用向量垂直求参数 题型二十四 向量夹角的坐标表示 题型二十五 已知向量垂直求参数 知识点一 平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 知识点二 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识点三 平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点四 平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 知识点五 平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【经典例题一 平面向量基本定理及坐标表】 【例1】（22-23高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（23-24高二下·全国·课前预习）平面向量基本定理 如果平面内两个向量与 ，则对该平面内任意一个向量，存在 的实数对，使得 . 3．（23-24高一·全国·课堂例题）设是平面向量的一组基，则中可能有零向量吗？平面向量的基唯一吗？ 【经典例题二 用基底表示向量】 【例2】（24-25高三上·陕西汉中·期中）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024高三·全国·专题练习）设D，E为△ABC所在平面内两点，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，，是直线上一点，若，则实数m的值为 . 3．（24-25高三上·江西宜春·期末）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【经典例题三 平面向量基本定理的应用】 【例3】（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）所在平面内一点满足，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数 ． 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 【经典例题四 利用平面向量基本定理求参数】 【例4】（2025高三·全国·专题练习）在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南·二模）已知、不共线，向量，，且，则 . 3．（24-25高三上·天津河西·期中）如图，中，，，，是的中点，延长交于点.    (1)用，表示； (2)设，求的值； (3)若，，求面积的最大值. 【经典例题五 正交分解的理解】 【例5】（22-23高一·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，与x轴正半轴的夹角为，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一·全国·课后作业）下列可作为正交分解的基底的是 A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和 C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和 2．（23-24高一下·全国·课前预习）把一个向量分解为 的向量，叫做把向量正交分解． 3．（23-24高一·全国·课堂例题）如果，那么能不能说向量的坐标为，即? 【经典例题六 用必标表示平面向量】 【例6】（2022·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）平面向量的坐标 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量，对于平面内的向量，如果，则称 为向量的坐标，记作. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 【经典例题七 平面向量有关概念的坐标表示】 【例7】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）直线上向量的坐标：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量，对于直线l上的任意一个向量，一定存在唯一的实数x，使得，此时，x称为向量的 . 3．（22-23高一·全国·课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 【经典例题八 平面向量线性运算的坐标表示】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024高二上·贵州·学业考试）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）平面向量线性运算的坐标表示 假设平面上两个向量满足，则 ， . 3．（24-25高一下·全国·课前预习）已知，，你能得出，的坐标吗？ 【经典例题九 由向量线性运算结果求参数】 【例9】（2024高三·全国·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·四川成都·期中）已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·北京·阶段练习）已知平行四边形的三个顶点，则第四个顶点的坐标为 . 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知两点，，点在直线上，且，求点的坐标. 【经典例题十 向量坐标的线性运算解决几何问题】 【例10】（2024高一·全国·竞赛）平面直角坐标系中，点为原点，，若，且，则满足条件的点表示的阴影区域为（     ）. A． B． C． D． 1．（23-24高一下·安徽合肥·期中）设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·陕西咸阳·期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的一个坐标可以是 . 3．（22-23高一下·河北衡水·期中）（1）已知平行四边形的三个顶点、、、的坐标分别是、、，试用两种方法分别求点的坐标； （2）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点、；把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点坐标. 【经典例题十一 线段的定比分点】 【例11】（22-23高一下·重庆綦江·期中）已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·北京朝阳·期末）已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·上海黄浦·阶段练习）的重心为，顶点，则 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【经典例题十二 由向量线性运算解决最值和范围问题】 【例12】（22-23高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（21-22高三上·山西·阶段练习）在等腰直角中，D为斜边BC的中点，点Р为内一点（含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 3．（21-22高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 【经典例题十三 利用坐标求向量的模】 【例13】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 1．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 2．（2023高三·全国·专题练习）已知点、，则与向量共线的单位向量是 . 3．（23-24高二下·全国·课堂例题）（1）已知两点，那么向量的坐标是什么？ （2）根据向量的模的计算公式，你能得到的公式吗？ （3）平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？ 【经典例题十四 由坐标判断向量是否共线】 【例14】（22-23高一下·山东·阶段练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列各组向量中，不共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024高一下·全国·专题练习）下列各组向量是平行向量的有 ．(填序号) ①；②； ③；       ④. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）若，是否对于任意两向量都成立？还需要注明吗？ 【经典例题十五 由向量共线(平行)求参数】 【例15】（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知向量，，若与方向相同，则（    ） A．0 B．1 C． D． 1．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若与共线，则 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)长度相等的向量均为相等向量； (2)给定向量、、，若，，则； (3)若为平行四边形，则必有； (4)若平面上四点A、B、C、D使，则． 【经典例题十六 由坐标解决三点共线问题】 【例16】（24-25高二上·河北石家庄·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 1．（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）若，，三点共线，则（ ） A． B． C．-2 D．2 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若三点（）共线，则 . 3．（24-25高二上·全国·课堂例题）如果，，三点在同一条直线上，试确定常数的值． 【经典例题十七 由坐标解决线段平行和长度问题】 【例17】（2023·广东佛山·模拟预测）梯形中，，已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）若平面向量与向量平行，且，则（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24高一下·山东淄博·阶段练习）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 . 3．（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）（1）已知点，求证：； （2）已知向量不共线，且，求证：三点共线. 【经典例题十八 数量积的坐标表示】 【例18】（22-23高二上·四川德阳·期末）已知，若则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量，则 ， ． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）设全体空间向量组成的集合为V，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”：. (1)设，，若，求向量 (2)对于V中的任意单位向量，求的最大值和此时和的夹角. 【经典例题十九 向量模的坐标表示】 【例19】（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 1．（24-25高三上·河北保定·期中）已知向量，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 2．（24-25高三上·吉林白城·期末）在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知点A的坐标为，点B在y轴上，且，求的坐标. 【经典例题二十 坐标计算向量的模】 【例20】（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知向量，满足，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北保定·期末）已知向量，则 . 3．（23-24高一下·江西南昌·期中）已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 【经典例题二十一 向量垂直的坐标表示】 【例21】（24-25高三上·北京顺义·期末）已知向量，，若与垂直，则的值为（   ） A． B．0 C． D．2 1．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·山西晋中·模拟预测）已知向量，，若，则 ． 3．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，，且． (1)求； (2)求与的夹角． 【经典例题二十二 利用数量积求参数】 【例22】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·广东·模拟预测）已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为 . 3．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）在平面直角坐标系中，点 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数t满足()·=0，求t的值． 【经典例题二十三 利用向量垂直求参数】 【例23】（24-25高三上·河南·期中）已知向量，，若，则（    ） A．或 B． C．2 D．4 1．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州·阶段练习）已知向量，，且，则实数 . 3．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知向量，且． (1)求； (2)求与的夹角． 【经典例题二十四 向量夹角的坐标表示】 【例24】（22-23高二下·河北·期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 2．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 3．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知，. (1)求向量的坐标； (2)求向量，的夹角； 【经典例题二十五 已知向量垂直求参数】 【例25】（24-25高三上·山东·期中）设向量，，，且，则（   ） A．3 B．2 C． D． 1．（21-22高一下·安徽六安·期末）已知向量，，且，则实数（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 2．（24-25高二上·上海·期中）若，，且，则 ． 3．（23-24高一下·陕西西安·期末）设向量，，． (1)求向量； (2)若，求实数k的值． 1．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京海淀·期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·陕西西安·期末）直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 4．（21-22高一下·广东梅州·期末）已知，且三点共线，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）设点，，，为坐标原点，若四边形是平行四边形，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·陕西榆林·阶段练习）若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为 . 7．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，向量，，正六边形的顶点位于坐标原点，，若，则 ， . 8．（21-22高一下·重庆北碚·阶段练习）在中，，AB=6，AC=4，点P、Q满足，，直线CP与BQ交于点，M为线段的中点，则线段CM的长等于 9．（2023高三·全国·专题练习）在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为 . 10．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的取值范围为 . 11．（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P． (1)求的值； (2)若，求的值． 12．（22-23高一下·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，，记． （1）试用向量表示向量，并求向量的坐标； （2）若函数的最大值为，求实数的值． 13．（21-22高一下·湖北十堰·阶段练习）某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. (1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值； (2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？ 14．（23-24高一下·江苏南京·期中）若已知向量，，设函数. (1)若且，求角的大小； (2)已知，均为锐角，，，求的值. 15．（23-24高一下·广东河源·阶段练习）已知点和向量 (1)若向量与向量同向，且，求点的坐标； (2)若向量且向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量基本定理及坐标表示重难点题型专训（25大题型+15道提优训练） 题型一 平面向量基本定理及坐标表 题型二 用基底表示向量 题型三 平面向量基本定理的应用 题型四 利用平面向量基本定理求参数 题型五 正交分解的理解 题型六 用必标表示平面向量 题型七 平面向量有关概念的坐标表示 题型八 平面向量线性运算的坐标表示 题型九 由向量线性运算结果求参数 题型十 向量坐标的线性运算解决几何问题 题型十一 线段的定比分点 题型十二 由向量线性运算解决最值和范围问题 题型十三 利用坐标求向量的模 题型十四 由坐标判断向量是否共线 题型十五 由向量共线(平行)求参数 题型十六 由坐标解决三点共线问题 题型十七 由坐标解决线段平行和长度问题 题型十八 数量积的坐标表示 题型十九 向量模的坐标表示 题型二十 坐标计算向量的模 题型二十一 向量垂直的坐标表示 题型二十二 利用数量积求参数 题型二十三 利用向量垂直求参数 题型二十四 向量夹角的坐标表示 题型二十五 已知向量垂直求参数 知识点一 平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 知识点二 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识点三 平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点四 平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 知识点五 平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【经典例题一 平面向量基本定理及坐标表】 【例1】（22-23高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 1．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质逐一判断即可. 【详解】A：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； B：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； C：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此要想成立， 一定有，显然无实数解，因此假设不成立， 因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底； D：因为， 所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底， 故选：D 2．（23-24高二下·全国·课前预习）平面向量基本定理 如果平面内两个向量与 ，则对该平面内任意一个向量，存在 的实数对，使得 . 【答案】 不共线 唯一的 【分析】略 【详解】略 故答案为：不共线，唯一的，. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）设是平面向量的一组基，则中可能有零向量吗？平面向量的基唯一吗？ 【答案】答案见解析 【详解】平面向量基本定理的前提条件是不共线．若中有零向量，而零向量和任一向量共线，这与定理的前提矛盾，故中不可能有零向量．在同一平面内，向量的基可以不同，只要它们不共线即可． 【经典例题二 用基底表示向量】 【例2】（24-25高三上·陕西汉中·期中）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算可求得结论. 【详解】因为，所以. 故选：D. 1．（2024高三·全国·专题练习）设D，E为△ABC所在平面内两点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，，所以，， 所以.    故选：B 2．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，，是直线上一点，若，则实数m的值为 . 【答案】/ 【分析】设，结合向量线性运算法则利用表示，结合平面向量基本定理列方程求. 【详解】因为是直线上一点，故可设， 所以,， 又，所以， 所以，又，不共线， 所以， 所以，. 故答案为：. 3．（24-25高三上·江西宜春·期末）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【详解】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 【经典例题三 平面向量基本定理的应用】 【例3】（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果. 【详解】由题意可设， 则， 又因为，且，不共线， 可得，解得，即， 所以，即. 故选：D. 1．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）所在平面内一点满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的基本定理，求得，，再根据二倍角的余弦公式求解即可． 【详解】由，得， 所以， 因为， 所以，， 则. 故选：D. 2．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数 ． 【答案】1 【分析】由三点共线，可得，利用向量共线的充要条件列出向量方程，根据对应系数相等求解即得. 【详解】依题意，，, 因三点共线，即，则存在，使得， 即得，解得. 故答案为：1. 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，． (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若，用，的线性组合表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量共线的定理计算可得； （2）由向量的线性运算和共线定理计算可得； 【详解】（1）因为向量与共线，所以设， 即， 所以， （2）设， 又因为， 由向量基本定理，得，解得 所以． 【经典例题四 利用平面向量基本定理求参数】 【例4】（2025高三·全国·专题练习）在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线定理可得出，求得，再由角平分线定理可得，由向量相等的性质可得结果. 【详解】因为是的内心，的延长线交于， ，，， 由角平分线定理可得，可得，， 即，则， 又因为，，且为的角平分线， 所以，，所以，， 又，且向量、不共线，所以，，所以. 故选：C. 1．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】因为点D为线段BC的中点，点E满足， 所以，所以， 消去，得， 所以， 所以，，所以． 故选：D． 2．（2023·河南·二模）已知、不共线，向量，，且，则 . 【答案】 【分析】设，其中，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】因为，所以，使得成立，即. 因为、不共线，所以，所以，. 故答案为：. 3．（24-25高三上·天津河西·期中）如图，中，，，，是的中点，延长交于点.    (1)用，表示； (2)设，求的值； (3)若，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据几何关系，表示向量； （2）根据几何关系，表示向量；设，，，，再利用平面向量基本定理表示，即可求解； （3）结合（2）和，以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解. 【详解】（1）由点是的中点， 得. （2）设，，，， 则，① 又 ，② 所以对比①②得，得， 所以； （3）由（2）得，即，    因为，， 所以 ， 即，当且仅当，即时等号成立， 此时面积最大，为. 【经典例题五 正交分解的理解】 【例5】（22-23高一·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，与x轴正半轴的夹角为，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，再利用三角函数求出即得解. 【详解】设，则，． 故． 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的坐标的计算和向量的模，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 1．（22-23高一·全国·课后作业）下列可作为正交分解的基底的是 A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和 C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和 【答案】C 【分析】逐项判断两向量是否垂直即可求解 【详解】选项A中，与的夹角为60°； 选项B中，与的夹角为锐角； 选项D中，与的夹角为锐角或钝角.故选项都不符合题意. 选项C中，与的夹角为90°，故选项C符合题意. 故选：C 【点睛】本题考查基底的概念与判断，是基础题 2．（23-24高一下·全国·课前预习）把一个向量分解为 的向量，叫做把向量正交分解． 【答案】两个互相垂直 【分析】根据正交分解的概念即可求解. 【详解】正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量. 故答案为：两个互相垂直. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）如果，那么能不能说向量的坐标为，即? 【答案】答案见解析 【详解】不能．因为不一定是与x轴，y轴方向相同的两个单位向量． 【经典例题六 用必标表示平面向量】 【例6】（2022·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】写出向量对应的坐标，通过判断坐标的正负得出答案. 【详解】向量对应的坐标为， ，， 所以向量对应的坐标位于第二象限. 故选：B. 1．（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量坐标的概念即可求解. 【详解】. 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）平面向量的坐标 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量，对于平面内的向量，如果，则称 为向量的坐标，记作. 【答案】 【分析】略 【详解】略. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 【答案】，、，证明见解析 【分析】根据平面向量的坐标表示表示出、、，再由，即可证明三点共线. 【详解】因为、、， 所以，，， 因为，所以，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 【经典例题七 平面向量有关概念的坐标表示】 【例7】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点坐标，得到坐标，代入直线方程即可. 【详解】设点，因为，所以， 代入直线方程可得：， 化简可得：. 所以的轨迹方程为. 故选：C 1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量坐标的运算可得答案. 【详解】因为，点的坐标为， 所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：A. 2．（23-24高一下·全国·课前预习）直线上向量的坐标：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量，对于直线l上的任意一个向量，一定存在唯一的实数x，使得，此时，x称为向量的 . 【答案】坐标 【分析】略 【详解】略 3．（22-23高一·全国·课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 【答案】． 【分析】根据向量基本定理和向量坐标化即可得到答案. 【详解】因为， 又，所以． 因此在基下的坐标为． 【经典例题八 平面向量线性运算的坐标表示】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定比分点公式求解即可. 【详解】依题意，由定比分点公式得， 所以，即, 所以， 故选:C 1．（2024高二上·贵州·学业考试）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的坐标运算求解. 【详解】向量，， 所以， 故选：A 2．（2024高三·全国·专题练习）平面向量线性运算的坐标表示 假设平面上两个向量满足，则 ， . 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一下·全国·课前预习）已知，，你能得出，的坐标吗？ 【答案】能 【分析】根据向量坐标的定义，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 则， 则， ， 所以 【经典例题九 由向量线性运算结果求参数】 【例9】（2024高三·全国·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】点、，且， 设点的坐标为，则， 所以，，，求得，，故点的坐标为， 故选：A． 1．（23-24高一下·四川成都·期中）已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表示出，，依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，， 在平行四边形中， 所以，则，解得， 所以. 故选：B 2．（21-22高一下·北京·阶段练习）已知平行四边形的三个顶点，则第四个顶点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，根据得到方程组，求出答案 【详解】由题意得，设，则， 解得，故第四个顶点的坐标为. 故答案为： 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知两点，，点在直线上，且，求点的坐标. 【答案】或 【分析】分点在线段上和点在线段上讨论，并结合向量坐标运算即可得到方程，解出即可. 【详解】设点的坐标为， ①若点在线段上，则， ， 即， 解得，，. ②若点在线段的延长线上，则， . 即，解得，，. 综上可得，点的坐标为或. 【经典例题十 向量坐标的线性运算解决几何问题】 【例10】（2024高一·全国·竞赛）平面直角坐标系中，点为原点，，若，且，则满足条件的点表示的阴影区域为（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得点表示以为一组邻边的正方形过原点的对角线的下方，又，则取不到边，即可得出答案. 【详解】因为，且， ，则， 所以点表示以为一组邻边的正方形过原点的对角线的下方， 又，则取不到边，故B,C,D不正确. 故选：A. 1．（23-24高一下·安徽合肥·期中）设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点、、、，根据已知条件求出点的坐标，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点、、， 则，，， 由可得，解得，， 所以，，，因此，. 故选：D. 2．（22-23高一下·陕西咸阳·期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的一个坐标可以是 . 【答案】或或（写出一个即可） 【分析】分三种情况①；②；③，利用平行四边形一组对边平行且相等借助向量相等即可求解. 【详解】设点，以为顶点的平行四边形可以有三种情况： ①若四边形为时， 因为，可得， 由，可得，解得，即； ②若四边为， 因为，可得， 由，可得，解得，即； ③若四边形为时， 因为，可得， 由，可得，解得，即. 综上可得，点的坐标为或或. 故答案为：（答案不唯一） 3．（22-23高一下·河北衡水·期中）（1）已知平行四边形的三个顶点、、、的坐标分别是、、，试用两种方法分别求点的坐标； （2）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点、；把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点坐标. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）解法一：根据结合平面向量的坐标运算可求得点的坐标； 解法二：根据线段、的中点重合，结合中点坐标公式可求得点的坐标； （2）利用向量旋转公式求出向量的坐标，再结合平面向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】解：（1）解法一：设点，    因为、、，则，， 因为四边形为平行四边形，则，即，解得， 故点的坐标为； 解法二：设点，线段的中点为， 因为四边形为平行四边形，则线段的中点也为点，则，解得， 故点的坐标为； （2）因为点、，则， 设点，将点绕点沿顺时针方向旋转后得到点， 则， 又因为，所以，，解得，即点. 【经典例题十一 线段的定比分点】 【例11】（22-23高一下·重庆綦江·期中）已知，则的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量共线的坐标表示代入计算即可求得结果. 【详解】设的中点坐标是， 由三点共线可知，即，解得； 所以中点坐标为. 故选：B 1．（22-23高一下·北京朝阳·期末）已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得是线段的中点，根据中点坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以是线段的中点， 所以点的坐标为，即， 故点的坐标为. 故选:A. 2．（22-23高二上·上海黄浦·阶段练习）的重心为，顶点，则 ． 【答案】1 【分析】先利用三角形重心坐标公式求得的值，进而求得的值 【详解】的重心为，顶点 则，解之得，则 故答案为：1 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 【经典例题十二 由向量线性运算解决最值和范围问题】 【例12】（22-23高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，再根据向量的坐标运算，结合二次函数的最值求解即可. 【详解】设，则，，则.故当时，取最小值. 故选：C 1．（21-22高三上·山西·阶段练习）在等腰直角中，D为斜边BC的中点，点Р为内一点（含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，根据向量相等，即可求出的取值范围． 【详解】设，以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，则.要使点为内一点（含边界），直线，，所以，即. 故选：D. 2．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 则，所以， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 3．（21-22高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 【答案】 【分析】设，根据得出，最后由正弦函数的性质得出的取值范围 【详解】设， 则 因为，所以 即，解得， 所以 因为，所以 即 【经典例题十三 利用坐标求向量的模】 【例13】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据题图写出向量坐标，再进行坐标运算即可. 【详解】根据题图，以题图向量起点为原点，该点横纵方向为轴， 则，，所以， 则. 故选：. 1．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，再求模长. 【详解】因为向量， 所以向量， 所以. 故选：C. 2．（2023高三·全国·专题练习）已知点、，则与向量共线的单位向量是 . 【答案】或 【分析】求出向量的坐标， 利用与向量共线的单位向量为，结合向量的坐标运算可得结果. 【详解】因为、，则，所以，， 所以，与向量共线的单位向量为或. 故答案为：或. 3．（23-24高二下·全国·课堂例题）（1）已知两点，那么向量的坐标是什么？ （2）根据向量的模的计算公式，你能得到的公式吗？ （3）平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？ 【答案】（1）（2）（3）无关 【分析】（1）利用平面向量的坐标表示计算即可； （2）利用平面向量模长的坐标表示计算即可； （3）根据平方式的等量关系判定即可. 【详解】（1）； （2）； （3）无关.在计算公式中与，与的位置可以互换，不影响计算结果. 【经典例题十四 由坐标判断向量是否共线】 【例14】（22-23高一下·山东·阶段练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用平面向量基底的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，由，得不共线，B是； 对于C，，向量共线，C不是； 对于D，，向量共线，D不是. 故选：B 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列各组向量中，不共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平面向量共线的充要条件进行判断． 【详解】A．，共线，不符合题意； B．，共线，不符合题意； C．不存在一个实数使得，不共线，符合题意； D．，共线，不符合题意； 故选：C． 2．（2024高一下·全国·专题练习）下列各组向量是平行向量的有 ．(填序号) ①；②； ③；       ④. 【答案】① 【分析】根据向量共线的坐标公式逐一判断即可. 【详解】对于①，因为，所以； 对于②，因为，所以不平行； 对于③，因为，所以不平行； 对于④，因为，所以不平行. 故答案为：①. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）若，是否对于任意两向量都成立？还需要注明吗？ 【答案】答案见解析 【详解】在共线向量基本定理中，必须注明，而在本问题中，当时也成立，故不需要注明． 【经典例题十五 由向量共线(平行)求参数】 【例15】（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知向量，，若与方向相同，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行可得的值，利用与方向相同验证可得结果. 【详解】由与方向相同得，， ∴，解得， 当时，，，，与方向相同， 当时，，，，与方向相反，不合题意. 综上得，. 故选：C. 1．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】，，解得. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若与共线，则 ． 【答案】 【分析】由向量共线的坐标表示得的值. 【详解】由题意可知，所以，解得． 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)长度相等的向量均为相等向量； (2)给定向量、、，若，，则； (3)若为平行四边形，则必有； (4)若平面上四点A、B、C、D使，则． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 (3)假命题，理由见解析 (4)假命题，理由见解析 【分析】（1）根据相等向量的概念判断； （2）对或进行讨论，再根据相等向量 概念进行判断； （3）直接利用相等向量的概念判断； （4）根据共线向量的概念即可判断． 【详解】（1）相等向量除了长度相等还要方向相同，故为假命题； （2）当时，则， 当时，，则且方向相同，又，则且方向相同， 故方向相同且，则，故为真命题； （3）若为平行四边形，则，故为假命题； （4）若平面上四点、、、使，则与还可能共线，故为假命题． 【经典例题十六 由坐标解决三点共线问题】 【例16】（24-25高二上·河北石家庄·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由三点共线可得，结合求解即可. 【详解】因为、、三点共线，所以， 又因为，， 所以，解得. 故选：C. 1．（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）若，，三点共线，则（ ） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【分析】由三点共线，转化为向量共线，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 因为三点共线，所以， 即，得. 故选：A 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若三点（）共线，则 . 【答案】/ 【分析】利用三点共线求出的关系式，然后整理可得. 【详解】因为三点共线， 所以，， 所以，即，又， 所以，所以. 故答案为： 3．（24-25高二上·全国·课堂例题）如果，，三点在同一条直线上，试确定常数的值． 【答案】或． 【分析】三点在同一条直线上，所以，然后由向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，，所以，， 由于点在同一条直线上，所以， 所以， 即， 解得，． 的值是或． 【经典例题十七 由坐标解决线段平行和长度问题】 【例17】（2023·广东佛山·模拟预测）梯形中，，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，代入求解即可. 【详解】在梯形中，，所以， 所以. 故选：C 1．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）若平面向量与向量平行，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】求得后根据平行向量满足求解即可. 【详解】由题.又且平面向量与向量平行. 故,即或. 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行向量的运用以及向量模长的运用,属于基础题. 2．（23-24高一下·山东淄博·阶段练习）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 . 【答案】 【分析】在梯形中，，．得到，设点D的坐标为，根据向量相等得到方程组，可得答案. 【详解】解：∵在梯形中，，，，，． ∴．设点D的坐标为． 则，． ∴，即， ∴解得故点的坐标为． 故答案为：． 3．（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）（1）已知点，求证：； （2）已知向量不共线，且，求证：三点共线. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标公式证明，即可得证； （2）利用平面向量共线定理证明，即可得证. 【详解】（1）点， ， ， ，又直线不重合，故； （2）， ，即， 有共同的起点， 三点共线. 【经典例题十八 数量积的坐标表示】 【例18】（22-23高二上·四川德阳·期末）已知，若则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积运算列方程，化简求得的值. 【详解】. 故选：D 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用向量的坐标运算，结合垂直结论计算即可 【详解】依题意，， 因为，所以，即， 故选：B． 2．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量，则 ， ． 【答案】 0 3 【分析】建立坐标系，写出每个向量坐标，转化为坐标运算从而便于求解. 【详解】 不妨以的起点为原点建立如图所示坐标系， 由图可得，，， 则，. 故答案为：0；3. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）设全体空间向量组成的集合为V，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”：. (1)设，，若，求向量 (2)对于V中的任意单位向量，求的最大值和此时和的夹角. 【答案】(1)或； (2)最大值为2，夹角为. 【分析】（1）利用空间向量数量积的坐标运算可得，再应用空间向量线性运算的坐标表示有，结合已知即可求向量； （2）设单位向量与单位向量的夹角为..，由已知得，再应用空间向量数量积的运算律可得，由正弦函数的性质即可求最大值，并可确定和的夹角. 【详解】（1），，所以， ∴， 又，可得：，解得或 （2）设单位向量与单位向量的夹角为，则， 则 ∴，又， ∴， 故当向量与向量的夹角为为时，取得最大值为2. 【经典例题十九 向量模的坐标表示】 【例19】（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得. 【详解】如下图所示： 在直线上取一点，使得， 所以，当时，取得最小值为，即； 又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形， 建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： 又可得为的中点， 由以及可得在上， 可得， 所以，可得， 则， 令，由可得， 所以，， 由二次函数在上单调递增可得，. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果. 1．（24-25高三上·河北保定·期中）已知向量，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】先利用向量模的坐标运算求得，进而利用数量积的坐标形式求得. 【详解】，则， 由于，所以， 所以，所以. 故选：C 2．（24-25高三上·吉林白城·期末）在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，利用坐标运算表示及，根据二次函数的性质可得结果. 【详解】 如图，过点作于点，过点作于点， ∵，∴， ∴，故， 以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则， 设，其中，则， ∴， ∴， ∴当时，取最小值． 故答案为：． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知点A的坐标为，点B在y轴上，且，求的坐标. 【答案】或； 【分析】根据题意，设，即可得到的坐标，再由向量模长的坐标表示代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可设，则. ∵，∴，解得或. 若，则； 若，则. 【经典例题二十 坐标计算向量的模】 【例20】（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知向量，满足，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知结合向量的线性运算可得向量，的坐标，再根据坐标的模长运算可得的值. 【详解】因为，，所以， 则，所以， 所以. 故选：C. 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】因为，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 2．（24-25高三上·河北保定·期末）已知向量，则 . 【答案】 【分析】利用坐标计算向量的模长再结合数量积计算即可； 【详解】由题意可得，所以， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·江西南昌·期中）已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算求得正确答案. （2）先求得，然后求得的模. 【详解】（1）依题意，向量， ， . （2）由于， 所以. 【经典例题二十一 向量垂直的坐标表示】 【例21】（24-25高三上·北京顺义·期末）已知向量，，若与垂直，则的值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标形式可求的值. 【详解】因为且与垂直， 故，故， 故选：A 1．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由数量积的性质等价转化关系，结合充分条件必要条件的定义确定结论. 【详解】由，， 若，则， 解得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 2．（2024·山西晋中·模拟预测）已知向量，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由向量垂直可得其数量积为，再借助向量数量积公式计算即可得. 【详解】， 由，则有，解得. 故答案为：. 3．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，，且． (1)求； (2)求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据转化为，进而可得，故，即可得； （2）由数量积的坐标运算公式求向量的夹角. 【详解】（1）因为向量，，所以， 由得，解得，所以． 又，所以． （2）设向量与向量的夹角为，因为，， 所以． 又，所以，即向量与向量的夹角是． 【经典例题二十二 利用数量积求参数】 【例22】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以，化简得， 即，解得． 故选：C 1．（2024·广东·模拟预测）已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 【答案】B 【分析】将平方化简得，然后利用数量积的坐标公式列式计算即可. 【详解】将两边平方，得， 由得， 即，解得或1. 故选：B. 2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】与的夹角为锐角，则且，与不共线，得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】因为与的夹角为锐角，则且，与不共线， 所以，解得，即. 故答案为： 3．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）在平面直角坐标系中，点 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数t满足()·=0，求t的值． 【答案】(1)5； (2) 【分析】（1）由已知，根据给的坐标可直接表示以AB、AC为邻边的对角线的向量坐标，然后利用坐标直接计算向量的模； （2）由已知，分别表示出，，带入给的关系式中，利用向量的数量积运算解方程即可. 【详解】（1）由题可知，                    求两条对角线长即为求与， 由，得，          由，得； （2）由题，又∵()·，       因为，， 所以，由()·=0得，. 【经典例题二十三 利用向量垂直求参数】 【例23】（24-25高三上·河南·期中）已知向量，，若，则（    ） A．或 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用向量垂直得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】，故，解得. 故选：D 1．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得出，可得出的值，求出向量的坐标，利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由，得，解得， 所以，，则， 所以，在上的投影向量为 . 故选：C. 2．（24-25高二上·贵州·阶段练习）已知向量，，且，则实数 . 【答案】 【分析】由两向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，所以. 故答案为：. 3．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知向量，且． (1)求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求得，即可求得； （2）根据向量夹角的坐标公式计算即可求得. 【详解】（1）因为向量，所以， 由得，解得，所以. 又，所以. （2）设向量与向量的夹角为， 因为，则， 又，所以， 即向量与向量的夹角是. 【经典例题二十四 向量夹角的坐标表示】 【例24】（22-23高二下·河北·期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角为锐角列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】若，则，解得． ∵与的夹角为锐角，∴． 又，与的夹角为锐角， ∴，即，解得． 又∵，∴． 故选：B 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示列式计算即得. 【详解】向量，，， 由，得，即， 因此，所以. 故选：C 2．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，即可得解. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 在平行四边形中，已知，，，点在边上，， 则、、、，则，， 所以，. 故答案为：. 3．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知，. (1)求向量的坐标； (2)求向量，的夹角； 【答案】(1)； (2). 【分析】运用向量的坐标运算,结合夹角公式进行计算即可. 【详解】（1）因为，，所以. （2）由题得. 因为，所以向量，的夹角. 【经典例题二十五 已知向量垂直求参数】 【例25】（24-25高三上·山东·期中）设向量，，，且，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算进行展开计算，求解出参数的值即可. 【详解】因为，，，所以； 因为，所以，解得. 故选：A. 1．（21-22高一下·安徽六安·期末）已知向量，，且，则实数（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】A 【分析】计算，根据向量垂直列出等式求解可得结果. 【详解】向量，，则， ，，解得. 故选：A 2．（24-25高二上·上海·期中）若，，且，则 ． 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设. 故答案为： 3．（23-24高一下·陕西西安·期末）设向量，，． (1)求向量； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）由向量垂直的条件即可求解. 【详解】（1）因为，， 则； （2）因为， 若， 则， 解得． 1．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的基本定理推导出，即，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，所以，， 因为为的中点，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，， 因为，，则，， 所以，， 因为、不共线，所以，，所以，， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 2．（23-24高一下·北京海淀·期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 则，化简得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：涉及几何图形中的向量运算，根据图形特征建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标是解题的关键. 3．（22-23高二下·陕西西安·期末）直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 【答案】B 【分析】A选项，由已知只需证明即可； B选项，由进行判断； CD选项，根据的范围可以确定和的关系进行判断. 【详解】A选项，由，可知， ，， 时，， 此时，A选项正确； B选项，由于，，不能表示横坐标为的点，B选项错误； C选项，由于，当且时，， 不妨设，故，，为外分点，C选项正确； D选项，当时，，此时会与重合，D选项正确. 故选：B 4．（21-22高一下·广东梅州·期末）已知，且三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理的坐标运算即可求解. 【详解】由，得, 因为三点共线，所以，即，解得. 所以. 故选：A. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）设点，，，为坐标原点，若四边形是平行四边形，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先求参数，再利用夹角公式即可求解. 【详解】因为四边形 是平行四边形,所以, 即 所以. 设 与 的夹角为 因为, 所以, 又 所以, 即 与 的夹角为 . 故选：B. 6．（22-23高一下·陕西榆林·阶段练习）若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为 . 【答案】-8 【分析】由题得存在实数λ，使得，把代入计算即得解. 【详解】因为不能作为一组基， 所以存在实数λ，使得， 即， 则6λ=3，且kλ=-4，解得λ=，k=-8. 故答案为： 7．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，向量，，正六边形的顶点位于坐标原点，，若，则 ， . 【答案】 【分析】 设点为正六边形的中心，连接，，，根据题意可知，进而用向量，表示，即可求解. 【详解】    设点为正六边形的中心，连接，，， 由题意得，为直角三角形，，因为，所以， 所以， 又，因此， 即，. 故答案为：；. 8．（21-22高一下·重庆北碚·阶段练习）在中，，AB=6，AC=4，点P、Q满足，，直线CP与BQ交于点，M为线段的中点，则线段CM的长等于 【答案】 【分析】根据题意建立适当的直角坐标系，求出相应点的坐标即可求得的长. 【详解】根据题意，以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意求得，，，，， 则所在的直线方程为，即； 所在的直线方程为，即； 联立所在的直线方程与所在的直线方程得，解得， 由中点坐标公式得，即. 由两点之间得距离公式得， 故答案为：. 9．（2023高三·全国·专题练习）在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】将相交条件转化为向量共线建立点坐标满足的方程组，求解即可. 【详解】因为点，， 所以，. 设，则，而， 因为三点共线，所以与共线， 所以，即. 而， ， 因为三点共线，所以与共线， 所以，即. 由，得， 所以点M的坐标为. 故答案为：. 10．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】第一空：解法一：由图结合向量加减法可得答案；解法二：如图建立直角坐标系，由题意可得答案；第二空：在上一空解法二的基础上，设，结合题意可得关于的表达式 ，即可求得取值范围. 【详解】第一空：解法一：因为，即，则， 可得，所以； 解法二：由题意可知： 以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 第二空：因为点在线段上， 设，且为中点，则， 可得， 则， 因为时函数递增， 所以当时，取到最小值为； 当时，取到最大值为； 则的取值范围为， 故答案为：；. 11．（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底表示，利用平面向量数量积公式求其夹角余弦即可； （2）利用平面向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，根据待定系数法计算即可. 【详解】（1）以为基底，设， 则 ， 所以， 同理， ， 则； （2）因为三点共线，不妨设， 同理有三点共线，不妨设， 则有. 12．（22-23高一下·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，，记． （1）试用向量表示向量，并求向量的坐标； （2）若函数的最大值为，求实数的值． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）利用向量的加法法则，即可求解. (2)先得到的解析式，再通过换元，得到一个关于t的一元二次函数，再对m进行分类讨论，即可求出答案. 【详解】（1） （2）， 记 ①当时 ②当时舍去； ③当时舍去； 综上 13．（21-22高一下·湖北十堰·阶段练习）某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. (1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值； (2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？ 【答案】(1) (2)两人约有小时不能通话 【分析】（1）先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据坐标运算可以计算出实数x､y的值；（2）表示出点的坐标之后可以把坐标表示，立出不等式解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以， 因此建立如图所示的平面直角坐标系， ， 设保安甲从C出发小时后达点D，所以有， 设，由， 即，当时，， 由 ； （2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为， 于是有， 因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话， 所以有，所以 解之：或，又 所以两人约有小时不能通话. 14．（23-24高一下·江苏南京·期中）若已知向量，，设函数. (1)若且，求角的大小； (2)已知，均为锐角，，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量平行坐标表示列式化简求角； （2）由向量数量积公式结合三角恒等变换求值，最后应用两角和差正弦公式计算. 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， . 15．（23-24高一下·广东河源·阶段练习）已知点和向量 (1)若向量与向量同向，且，求点的坐标； (2)若向量且向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设，得，接着利用坐标形式的向量共线定理和模长公式结合已知条件列式求出，再根据向量与向量同向进行检验即可得解. （2）先求出，再由且与不共线即可计算检验得解. 【详解】（1）设，则， 因为向量与向量同向，且， 所以且， 或，所以或， 当时，，此时向量与向量反向，不符合； 当时，，此时向量与向量同向，符合， 故，所以. （2）若向量，则， 因为向量与的夹角是锐角， 所以， 又即， 所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$