专题02 平面向量的运算重难点题型专训（22大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

专题02 平面向量的运算重难点题型专训（22大题型+15道提优训练） 题型一 向量加法的法则 题型二 向量加法的运算律 题型三 向量加法法则的几何应用 题型四 相反向量 题型五 向量减法的法则 题型六 向量减法的运算律 题型七 向量减法法则的几何应用 题型八 向量数乘的有关计算 题型九 平面向量的混合运算 题型十 向量的线性运算的几何应用 题型十一 三角形的心的向量表示 题型十二 根据向量关系判断三角形的心 题型十三 平面向量数量积的几何意义 题型十四 平面向量数量积的几何意义 题型十五 用定义求问量的数量积 题型十六 数量积的运算律 题型十七 已知数量积求模 题型十八 向量夹角的计算 题型十九 垂直关系的问量表示 题型二十 已知模求数量积 题型二十一 已知模求参数 题型二十二 求投影向量 知识点一 向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 知识点二 向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 知识点三 向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 知识点四 向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 知识点五 向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 【经典例题一 向量加法的法则】 【例1】（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）在中，是的中点，，点在上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量加法法则结合是的中点即可求得. 【详解】由题意，点在上，如图所示：    且满足，所以，因为，是的中点，所以，所以. 故选：D 1．（23-24高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】根据向量加法的三角形法则,得到. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知单位向量，…，，则的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】当单位向量，…，方向相同时取得最大值，当单位向量，…，首尾相连时取得最小值. 【详解】当单位向量，…，方向相同时， 取得最大值， ； 当单位向量，…，首尾相连时，， 所以的最小值为. 故答案为：； 3．（24-25高一下·全国·课前预习）飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的角度来看，上面实例中位移说明了什么？体现了向量的什么运算？    【答案】位移可以相加，体现了向量的加法运算 【详解】位移可以相加，体现了向量的加法运算. 【经典例题二 向量加法的运算律】 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 1．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）化简 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法运算律即可求解. 【详解】. 故选：B. 2．（24-25高一下·全国·课前预习）零向量的加法性质 任意向量与零向量相加后 ，等于这个向量本身，即 . 【答案】 保持不变 【分析】略 【详解】略 3．（22-23高一下·新疆·期末）化简下列各式: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）应用向量加法运算律化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 【经典例题三 向量加法法则的几何应用】 【例3】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【详解】因为， ， 所以， 故选：A. 1．（2022高三·全国·专题练习）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，从同一点出发作有向线段 ，以为邻边作平行四边形，则对角线就是与的和，即． 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一·上海·课堂例题）试说明，如果三个首尾相接的向量、和所在的线段能拼接成三角形，那么一定满足条件．反过来，如果，那么三向量、和所在的线段一定能拼接成三角形吗？说明理由． 【答案】不一定，理由见解析 【分析】通过举反例即可说明． 【详解】，则向量、和所在的线段不一定构成三角形， 例如，，满足，但、和所在的线段在同一条直线上，故不能构成三角形； 当、和不共线且不为时，满足，、和所在的线段一定能拼接成三角形． 【经典例题四 相反向量】 【例4】（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 【答案】C 【分析】由相反向量的定义，模长相等，方向相反，即可依次判断． 【详解】A．与为相反向量，模长相等，方向相反，长度必相等，正确，不符合题意； B．与为相反向量，模长相等，方向相反，故，正确，不符合题意； C．当时，，此时，选项错误，符合题意； D．若是的负向量，故是的负向量，正确，不符合题意； 故选：C． 1．（22-23高一·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 所以，，，，故ABD错误，C正确. 故选：C. 2．（2022高一·全国·专题练习）若C是线段AB的中点，则＋＝ . 【答案】 【分析】根据相反向量的加法可求解. 【详解】∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB. ∴与方向相反，模相等．∴. 故答案为： 3．（21-22高一·湖南·课后作业）在等边中，P，Q，R分别是AB，BC，CA的中点，在向量，，，，，中，与相等的向量有哪些？的相反向量有哪些？ 【答案】详见解析. 【分析】利用相等向量和相反向量的定义判断. 【详解】如图所示： 因为P，Q，R分别是AB，BC，CA的中点， 所以，且， 所以在向量，，，，，中， 与相等的向量有，， 与的相反向量有，. 【经典例题五 向量减法的法则】 【例5】（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的运算法则可得结果. 【详解】易知. 故选：B 1．（2024高三·全国·专题练习）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算即可. 【详解】由． 故选：A. 2．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知＝，＝，那么＝ （用向量、的式子表示） 【答案】 【分析】根据，即可解决问题． 【详解】因为，所以． 故答案为：. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，记，，你能找到，吗？ 【答案】能．，． 【分析】根据向量的平行四边形法则得出加减法. 【详解】能， 【经典例题六 向量减法的运算律】 【例6】（23-24高一下·天津河西·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】. 故选：A. 1．（22-23高一下·辽宁·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量加法和减法运算求解即可. 【详解】． 故选：A． 2．（22-23高一下·重庆北碚·阶段练习）化简 . 【答案】 【分析】根据向量加法和减法运算公式化简求值. 【详解】. 故答案为： 3．（2024高一下·全国·专题练习）化简． 【答案】 【分析】由向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】法一： . 法二： . 【经典例题七 向量减法法则的几何应用】 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】由得到且，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形. 【详解】因为，所以，即且， 所以四边形的一组对边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 故选：D． 1．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法计算即可. 【详解】. 故选：D. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知向量，满足，向量，满足或且对任意成立．则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，根据题设条件得三点共线，且在之间，进而得到，中任意两点之间的距离不小于1，以及两点之间的距离小于1即可. 【详解】设， 则， 所以三点共线，且在之间，因为，所以， 即，中任意两点之间的距离不小于1，因为， 所以两点之间的距离小于1，所以，中至少有一个点在B，C之间， 所以的最大值为3. 故答案为：3 3．（23-24高一·全国·课堂例题）若是不共线向量，则与的几何意义分别是什么？ 【答案】答案见解析 【详解】如图所示，设，.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有，.因为四边形OACB是平行四边形，所以，，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长． 【经典例题八 向量数乘的有关计算】 【例8】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量的定义判断即得. 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C 1．（2023高一下·吉林·学业考试）在中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法、减法和数乘运算表示所求向量即可. 【详解】因为为中点，为中点， 所以. 故选：B. 2．（23-24高一下·全国·课前预习）非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 【答案】 相反 【分析】根据向量的数乘运算的概念可得结论. 【详解】非零向量与方向相反，且的长度是的倍. 故答案为：相反；. 3．（24-25高一上·上海·课前预习）如图，已知向量，请作出和这两个向量. 【答案】见解析 【分析】根据向量加法的运算即可作图. 【详解】如下： 作图如下： 【经典例题九 平面向量的混合运算】 【例9】（2024高一下·全国·专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则计算即可得到答案. 【详解】原式． 故选：D． 1．（23-24高一下·河北邯郸·期末）在平行四边形中，为的中点，为上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中线的性质结合向量的线性运算分析求解. 【详解】因为为的中点，则， 所以. 故选：A. 2．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 . 【答案】1 【分析】 利用向量线性运算求得，与题干对照即可求解. 【详解】 ，则，， 所以. 故答案为：1 3．（22-23高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【经典例题十 向量的线性运算的几何应用】 【例10】（2024高三·北京·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的加减及线性运算即可求解. 【详解】由题意：， 则 因为，同样, 所以 则． 故选：D 1．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，即可确定点的位置，再求出、、与的关系，即可得解. 【详解】在上取点，使得，在上取点，使得， 在上取点，使得，在上取点，使得， 连接、，则、，因为， 所以与交于点，    又，， 所以， 所以. 故选：B 2．（24-25高一上·上海·课前预习）已知，边、、的中点分别为D、E、F，则 ． 【答案】 【分析】运用向量的加法运算法则计算即可. 【详解】边、、的中点分别为D、E、F ， 则 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课前预习）已知、是不平行的两个向量，k是实数，且（），用、表示 【答案】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由可得，所以. 【经典例题十一 三角形的心的向量表示】 【例11】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 【答案】B 【分析】由已知判断点P在直线上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可. 【详解】记的中点为D，则， 所以，点P在直线上. A选项：若点是的垂心，则， 所以，所以为等腰三角形，A正确； B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误； C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上， 所以，所以为等腰三角形，C正确； D选项：若点是的内心，则为的角平分线， 所以， 又，即, 故，D正确. 故选：B 1．（2023高三·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可. 【详解】解：取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 2．（22-23高一·全国·课后作业）在中，D为AC边的中点，E为AB上一点，交于一点F，且，若，，则实数的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据向量的数乘运算和三角形重心的定义求解. 【详解】因为，所以为三角形的重心，所以为的中点， 所以，所以. 故答案为: . 3．（22-23高一·全国·课后作业）已知平面上一定点O，不共线的三点A，B，C，动点P满足，，求证：P的轨迹一定通过的内心. 【答案】证明见解析 【分析】结合的几何性质、向量运算、几何图形进行分析，判断出在的角平分线上，由此证得结论成立. 【详解】证明：如图所示，因为，均为单位向量，且两向量方向分别与，同向.由向量加法的几何意义知对应一个平行四边形的对角线. 又因为， 所以是菱形. 所以在的平分线上. 因为， 所以. 所以点P在的平分线上，即P的轨迹必过的内心. 【经典例题十二 根据向量关系判断三角形的心】 【例12】（2023高三·全国·专题练习）在中，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】B 【分析】根据“奔驰定理”列方程，整理后判断出是的内心. 【详解】过点分别作，，的垂线，，，其垂足依次为，如图所示， 由于， 根据奔驰定理就有： ， 即， 因此，故点是的内心，B选项正确. 故选：B    1．（21-22高一下·山东聊城·阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G是△ABC的重心. 【详解】因为，所以. 以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示: 则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心. 故选：D 2．（22-23高二上·上海长宁·期中）已知的顶点坐标、，设是的重心，则顶点的坐标为 . 【答案】 【分析】利用三角形的重心坐标公式可求得点的坐标. 【详解】解：设点， 是的重心， 所以，，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 3．（21-22高一·湖南·课后作业）用向量运算刻画三角形的重心． (1)已知，求一点G满足． (2)求证：满足条件的点G是的重心． （提示：说明点G同时在的三条中线上．） 【答案】(1)详解见解析； (2)证明见解析. 【分析】(1)如图，根据向量加法的平行四边形法则和重心的定义可得，进而得出； (2)如图，根据向量加法的平行四边形法则和可得，结合平行四边形的性质可得G在中线CD上且CG=2GD，同理可证G也在其它两边的中线上，即可证明G为的重心. 【详解】（1）设点D、F分别是AB、BC的中点，连接CD、AF交于点G，则G为的重心， 延长CD到点E，使得DE=GD，连接AE、BE、BG，如图， 由向量加法的平行四边形法则，得， 因为G为的重心，所以， 故，所以， 所以的重心G满足题意； （2）因为，所以， 以GA、GB为邻边作，连接GE，由向量加法的平行四边形法则， ，所以， 设AB与GE交于点D，由平行四边形的性质可知点D为AB和GE的中点， 所以，即G在中线CD上，且CG=2GD， 同理可证G也在其它两边的中线上，即G是三角形三条中线的交点， 所以G为的重心. 【经典例题十三 平面向量数量积的定义及辨析】 【例13】（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质及向量夹角的定义判断即可. 【详解】如图设与交于点，由正六边形的性质可知为等边三角形， 所以，则向量与的夹角为. 故选：B 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）中，“”是“是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得， 又因为在中，，所以，所以为钝角， 若是钝角，则，则，即， 所以在中，“”是“是钝角”的充要条件， 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）数量积的定义：一般地，当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（也称为内积），记作，即 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一·全国·课堂例题）在等边三角形ABC中，向量与的夹角是吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不是．求两个向量的夹角时，表示两个向量的有向线段的起点必须相同． 如图，在等边三角形ABC中，向量与的夹角是，不是． 【经典例题十四 平面向量数量积的几何意义】 【例14】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用投影的意义求解即得. 【详解】向量，，与的夹角为， 所以向量在方向上的投影数量为. 故选：A 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影与在方向上的投影必相等 【答案】D 【分析】根据数量积的定义计算即可. 【详解】设 由题意可知, 因为， 所以, 由数量积的几何意义可知: 在 方向上的投影与 在方向上的投影相等, 故选：D. 2．（24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，边长为1的正，是以为圆心，以为半径的圆弧上除点以外的任一点，记外接圆圆心为，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角形外心的性质将转化为即可. 【详解】取的中点，因为为正三角形，故为的中垂线， 则外接圆圆心一定在上，如图所示， ， 故. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，，求在方向上的数量投影. 【答案】. 【分析】由数量投影公式求解． 【详解】解：∵，∴，∴. 故在方向上的数量投影为： 【经典例题十五 用定义求问量的数量积】 【例15】（2024高二上·贵州·学业考试）向量，的夹角为，且，则（   ） A．5 B．3 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据向量的数量积求解即可. 【详解】. 故选：C. 1．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】由已知， 在方向上的投影向量为. 故选：A． 2．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】利用两个向量夹角公式以及数量积的定义即可得到结果. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量，所以， 所以，则与的夹角为. 故答案为：. 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知等边的边长为1，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据数量积的公式计算即可，要注意其夹角. 【详解】（1）与的夹角为， . （2）与的夹角为， . （3）与的夹角为， . 【经典例题十六 数量积的运算律】 【例16】（24-25高三上·天津红桥·期末）已知菱形的边长为，点分别在边上，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的数量积的运算律可得，，解方程可求的值. 【详解】因为， 所以 ①， 又，②， 由①②解得． 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用向量的数量积的运算律计算可得的方程组，解方程组可求解. 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（   ） A．6 B．12 C．24 D．32 【答案】C 【分析】分别取，的中点E，F，连接，，,利用极化恒等式得到，，原式转化为,再求线段的最大值即可. 【详解】如图： 分别取，的中点E，F，连接，，. 所以,,又， 所以由极化恒等式得 ， 同理， 所以 连接, 由，，得， 所以在以O为圆心，为半径的圆上.所以的最大值为， 所以的最大值为24. 故选：C 2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知平面向量，的夹角为，若，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案. 【详解】由两边平方得， 即， 即，解得，（舍）. 故答案为：1. 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在平面四边形中，，，，，若点为CD上的动点，求的最小值．    【答案】 【分析】取AB的中点，根据数量积可得，可知当最小时取最小值，根据几何性质分析求解. 【详解】如图，取AB的中点，连接EF，    则． 可知当最小时取最小值， 分别过F，B作CD的垂线，垂足分别为H，G， 当点与重合时，EF取得最小值，易知HF为梯形的中位线， 由已知得，，， 则， 所以的最小值为． 【经典例题十七 已知数量积求模】 【例17】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知平面向量，，，，满足，，则为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用向量之间的运算性质,由得，由得以及模长的计算方法即可求得结果 【详解】由，得①；又，得②， 联立①②得：，，， 故选：A 1．（2024高三·全国·专题练习）已知菱形的边长为2，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算可知，，代入即可求解. 【详解】根据题意可得，， ∵，即，∴， ，即． 故选：B. 2．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知单位向量，的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】根据，结合题目条件计算即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：. 3．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成（且角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为.已知在斜坐标系xOy中，，. (1)证明：； (2)当时，，求； (3)当时，若向量，，已知，求函数的最值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)最小值，最大值 【分析】（1）将分别用的组合来表示，根据点乘的定义计算即可证明. （2）将用来表示，利用余弦定理可求的长度. （3）由（1）可得的解析式，利用化简以后利用三角函数的性质可得的最值. 【详解】（1）， ， . （2）， 如图，中 . （3）， 由（1）可得， 令，则， ， 当时，， 当时，. 【经典例题十八 向量夹角的计算】 【例18】（24-25高三上·湖北·期末）已知单位向量满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】， 所以，则. 故选：C 1．（2025高三·全国·专题练习）若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用向量数量积的运算律可得，进而求投影向量. 【详解】令，且， 所以，可得， 所以向量在上的投影向量为. 故选：A 2．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则 ； ． 【答案】 / 【分析】由已知可知，两边同时平方可求，然后利用向量数量积公式即可求解；同理可求，即可求得. 【详解】，， ，即，解得， . 同理可得：，即，解得. . 故答案为：；. 3．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果； （2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得， 即， 所以，解得， 且，所以. （2） . 【经典例题十九 垂直关系的问量表示】 【例19】（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据已知有，应用向量的数量积运算律得方程求. 【详解】因为，所以， 所以， 所以． 故选：A 1．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知平面向量，满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直可得，即可根据模长公式求解. 【详解】由可得，故， 又，故，故， 故选：C 2．（24-25高三上·广东广州·期中）已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 . 【答案】 【分析】利用平面向量的数量积运算与单位向量的定义，即可列出方程求值. 【详解】由与的夹角为，可得：， 又因为，是互相垂直的单位向量，所以有， 则， 解得， 故答案为：. 3．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知与的夹角. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用数量积来求和向量的模即可； （2）利用数量积为0来求参数值. 【详解】（1）， . （2）由，得0， 解得. 【经典例题二十 已知模求数量积】 【例20】（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，两边平方，结合数量积的运算律计算即可求解. 【详解】由，得， 两边平方得， 所以，即. 故选：C 1．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用向量数量积的运算律化简计算即得. 【详解】因， 又，， 故，解得． 故选:C. 2．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知向量，满足，且，则 ． 【答案】/0.25 【分析】由数量积模长公式可得，然后可得答案. 【详解】由得， 两式相减得， 所以，则． 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·单元测试）如图，平行四边形中，已知，，对角线，求对角线的长．    【答案】 【分析】设，，利用求出，再利用计算即得． 【详解】设，，则，， 而， 所以，所以， 又， 所以， 即． 【经典例题二十一 已知模求参数】 【例21】（2024·陕西榆林·二模）若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，从而可得，从而可求解. 【详解】若，则，即，解得. 故选：A. 1．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得. 【详解】将两边同时平方，得，而，，， 因此，即依题意，又，所以. 故选：A 2．（2024高三·全国·专题练习）已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝ ． 【答案】 【详解】分析：（解法1）根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；（解法2）换元，令c＝a－b，结合数量积的运算律运算求解． 详解：（解法1）因为|a＋b|＝|2a－b|，即（a＋b）2＝（2a－b）2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0.因为|a－b|＝，即（a－b）2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝. （解法2）设c＝a－b，则|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b.由题意可得：（c＋2b）2＝（2c＋b）2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝. 【考查意图】模与夹角的运算． 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知平面向量，的夹角为，且，，，． (1)若，求λ； (2)当，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，借助向量的数量积公式计算即可得； （2）借助模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】（1）若，则有， 即， 即，即； （2）当时，， 则. 【经典例题二十二 求投影向量】 【例22】（辽宁省点石联考2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对已知两个向量模长平方得到两个等式，由此解出，结合在上的投影向量为，解出和，从而解出与的夹角. 【详解】由，得①， 由，得②， 由②-①，得， 由，得，所以，则， 设与的夹角为，则，因为，所以. 故选：A. 1．（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知，且在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据推出与的关系，再根据投影向量的定义求出在上的投影向量. 【详解】已知，将等式两边同时平方可得. 根据向量平方的展开式,所以， 化简可得，即，这表明. 根据向量投影向量的定义， 所以在上的投影向量为. 因为，所以. 则在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. 故选：A. 2．（24-25高三上·福建南平·期中）已知，则在方向上的投影向量坐标为 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的计算公式可得坐标. 【详解】在方向上的投影向量为， 故答案为：. 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角． (1)求； (2)求在上的投影数量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的定义计算即可； （2）根据向量投影数量计算公式求解即可． 【详解】（1）． （2）在上的投影数量为． 1．（21-22高一·全国·课后作业）若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的性质即可判断：. 【详解】因为， ∴. 若与共线，由则中有一个必为零向量， 与不共线，即， . 同理知无法判断之间的大小关系. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知O为四边形所在平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法减法运算法则可得四边形为平行四边形，根据平行四边形的几何性质即可求解. 【详解】∵向量，，，满足等式， ∴，即， 则四边形为平行四边形． ∵E为的中点，∴E为对角线与的交点， 则，则. 故选：B． 3．（23-24高一下·全国·期中）下列命题正确的是（ ） A．若四点在同一条直线上，且，则 B．在中，若点满足，则点是的外心 C．若，把右平移个单位，得到的向量的坐标为 D．在中，若，则点的轨迹经过的内心 【答案】D 【分析】根据相等向量定义可知AC正误；根据向量线性运算和向量加法几何意义，结合三角形重心和内心的定义与性质可确定BD正误. 【详解】对于A，如下图所示， 此时，但与反向，，A错误； 对于B，设中点为，则， ，即， 点是的重心，B错误； 对于C，向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量， 即将向右平移个单位，所得向量坐标依然为，C错误； 对于D，，点在边长为的菱形的对角线上， 又菱形对角线平分一组对角，即平分角，点的轨迹经过的内心，D正确. 故选：D. 4．（21-22高二上·北京·开学考试）已知向量与向量的夹角为，且，，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】由可得，即，解之即可求解. 【详解】由，等式两边同时平方得， 又的夹角为，所以， 即，解得或（负值舍去）， 所以. 故选：B. 5．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 6．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）如图，，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（含边界）运动，且，则y的最大值是 ． 【答案】/1.5 【分析】利用向量加法的几何意义直接求解. 【详解】由题意：,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（含边界）运动，且，由向量加法的平行四边形法则,OP为平行四边形的对角线,该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边. 当时,要使P点落在指定区域内,即P点应落在线段DE上(含端点D,E). 因为,所以. 因为，所以. 所以. 所以y的取值范围是. 所以y的最大值是. 故答案为：. 7．（2023·上海金山·二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题用向量减法的模的几何意义解决. 【详解】 作图，，则，， 因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上； 同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上， 所以的最小值则为， 因为，，当，，三点共线时，，所以. 故答案为：. 8．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算求出，得，即得解. 【详解】解： 又，. ∴． 故答案为：． 9．（2024·河南·模拟预测）如图，已知，是圆O的两条直径，E是的中点，F是的中点，若，则 . 【答案】/1.1875 【分析】利用极化恒等式将化简成含有半径的式子，即可转化成的形式，可得结果. 【详解】设圆的半径为， 由题意得 ， 且 ，， 所以，所以. 故答案为： 10．（2023·四川成都·模拟预测）已知中，，则 ．    【答案】/0.6 【分析】由以为基底表示，结合，，可得,后即可得答案. 【详解】由图可得，因，则 ，则， 因，则，，代入上式有： ，.则. 故答案为： 11．（21-22高一下·吉林延边·期中）如图所示，在中，与相交于点. (1)用和分别表示和； (2)若，求实数和的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量的数乘与加法，可得答案； （2）根据平面向量共线定理的推论，由（1）代入，得到方程，可得答案. 【详解】（1）由，可得. （2）（2）设，将 代入，则有， 即，解得， 故，即. 12．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 【答案】(1) (2) (3)，，，； (4) 【分析】（1）根据相等向量的定义即可找出与相等的向量； （2）根据平行向量的定义即可找出与平行的向量； （3）根据向量模的定义即可找出与模相等的向量； （4）根据相反向量的定义即可找出的负向量． 【详解】（1）与相等的向量为：； （2）与平行的向量为：； （3）与模相等的向量为：，， ，； （4）的负向量为：． 13．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）成立，（4）不成立. 【分析】根据平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则即可判断. 【详解】如图，分别作，的平行线，交于点， 因为在中，，， 所以四边形是正方形， （1）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（1）成立； （2）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（2）成立； （3）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（3）成立； （4）因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 故等式（4）不成立； 综上，等式（1）、（2）、（3）成立，等式（4）成立.    14．（22-23高一下·河南周口·阶段练习）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.    【答案】，， 【分析】根据向量加法､减法，及数乘的几何意义，及其运算，以及向量加法的平行四边形法则，即可表示出，，. 【详解】解：∵， ∴； 又，； ∴. 15．（22-23高一下·吉林松原·期末）已知平面向量，满足，，. （1）求； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)由给定条件求出，再根据向量模的计算公式即可得解； (2)根据向量夹角为锐角借助数量积列出不等关系即可作答. 【详解】（1）依题意，，得， ， 所以； （2）由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得， 而当向量与同向时，可知， 综上所述的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量的运算重难点题型专训（22大题型+15道提优训练） 题型一 向量加法的法则 题型二 向量加法的运算律 题型三 向量加法法则的几何应用 题型四 相反向量 题型五 向量减法的法则 题型六 向量减法的运算律 题型七 向量减法法则的几何应用 题型八 向量数乘的有关计算 题型九 平面向量的混合运算 题型十 向量的线性运算的几何应用 题型十一 三角形的心的向量表示 题型十二 根据向量关系判断三角形的心 题型十三 平面向量数量积的几何意义 题型十四 平面向量数量积的几何意义 题型十五 用定义求问量的数量积 题型十六 数量积的运算律 题型十七 已知数量积求模 题型十八 向量夹角的计算 题型十九 垂直关系的问量表示 题型二十 已知模求数量积 题型二十一 已知模求参数 题型二十二 求投影向量 知识点一 向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 知识点二 向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 知识点三 向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 知识点四 向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 知识点五 向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 【经典例题一 向量加法的法则】 【例1】（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）在中，是的中点，，点在上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知单位向量，…，，则的最大值是 ，最小值是 ． 3．（24-25高一下·全国·课前预习）飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的角度来看，上面实例中位移说明了什么？体现了向量的什么运算？    【经典例题二 向量加法的运算律】 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 1．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）化简 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课前预习）零向量的加法性质 任意向量与零向量相加后 ，等于这个向量本身，即 . 3．（22-23高一下·新疆·期末）化简下列各式: (1) (2) 【经典例题三 向量加法法则的几何应用】 【例3】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 1．（2022高三·全国·专题练习）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，从同一点出发作有向线段 ，以为邻边作平行四边形，则对角线就是与的和，即． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）试说明，如果三个首尾相接的向量、和所在的线段能拼接成三角形，那么一定满足条件．反过来，如果，那么三向量、和所在的线段一定能拼接成三角形吗？说明理由． 【经典例题四 相反向量】 【例4】（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 1．（22-23高一·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2022高一·全国·专题练习）若C是线段AB的中点，则＋＝ . 3．（21-22高一·湖南·课后作业）在等边中，P，Q，R分别是AB，BC，CA的中点，在向量，，，，，中，与相等的向量有哪些？的相反向量有哪些？ 【经典例题五 向量减法的法则】 【例5】（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024高三·全国·专题练习）化简：（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知＝，＝，那么＝ （用向量、的式子表示） 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，记，，你能找到，吗？ 【经典例题六 向量减法的运算律】 【例6】（23-24高一下·天津河西·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·辽宁·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·重庆北碚·阶段练习）化简 . 3．（2024高一下·全国·专题练习）化简． 【经典例题七 向量减法法则的几何应用】 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 1．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）化简（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知向量，满足，向量，满足或且对任意成立．则的最大值为 ． 3．（23-24高一·全国·课堂例题）若是不共线向量，则与的几何意义分别是什么？ 【经典例题八 向量数乘的有关计算】 【例8】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 1．（2023高一下·吉林·学业考试）在中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 3．（24-25高一上·上海·课前预习）如图，已知向量，请作出和这两个向量. 【经典例题九 平面向量的混合运算】 【例9】（2024高一下·全国·专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·河北邯郸·期末）在平行四边形中，为的中点，为上一点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 . 3．（22-23高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【经典例题十 向量的线性运算的几何应用】 【例10】（2024高三·北京·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（24-25高一上·上海·课前预习）已知，边、、的中点分别为D、E、F，则 ． 3．（24-25高一上·上海·课前预习）已知、是不平行的两个向量，k是实数，且（），用、表示 【经典例题十一 三角形的心的向量表示】 【例11】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 1．（2023高三·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 2．（22-23高一·全国·课后作业）在中，D为AC边的中点，E为AB上一点，交于一点F，且，若，，则实数的值为 ． 3．（22-23高一·全国·课后作业）已知平面上一定点O，不共线的三点A，B，C，动点P满足，，求证：P的轨迹一定通过的内心. 【经典例题十二 根据向量关系判断三角形的心】 【例12】（2023高三·全国·专题练习）在中，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 1．（21-22高一下·山东聊城·阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 2．（22-23高二上·上海长宁·期中）已知的顶点坐标、，设是的重心，则顶点的坐标为 . 3．（21-22高一·湖南·课后作业）用向量运算刻画三角形的重心． (1)已知，求一点G满足． (2)求证：满足条件的点G是的重心． （提示：说明点G同时在的三条中线上．） 【经典例题十三 平面向量数量积的定义及辨析】 【例13】（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）中，“”是“是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024高三·全国·专题练习）数量积的定义：一般地，当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（也称为内积），记作，即 . 3．（23-24高一·全国·课堂例题）在等边三角形ABC中，向量与的夹角是吗？ 【经典例题十四 平面向量数量积的几何意义】 【例14】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影与在方向上的投影必相等 2．（24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，边长为1的正，是以为圆心，以为半径的圆弧上除点以外的任一点，记外接圆圆心为，则 . 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，，求在方向上的数量投影. 【经典例题十五 用定义求问量的数量积】 【例15】（2024高二上·贵州·学业考试）向量，的夹角为，且，则（   ） A．5 B．3 C．1 D．0 1．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 . 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知等边的边长为1，求： (1)； (2)； (3). 【经典例题十六 数量积的运算律】 【例16】（24-25高三上·天津红桥·期末）已知菱形的边长为，点分别在边上，，.若，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（   ） A．6 B．12 C．24 D．32 2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知平面向量，的夹角为，若，，则的值为 ． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在平面四边形中，，，，，若点为CD上的动点，求的最小值．    【经典例题十七 已知数量积求模】 【例17】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知平面向量，，，，满足，，则为（   ） A．2 B． C．1 D． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知菱形的边长为2，，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知单位向量，的夹角为，则 ． 3．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成（且角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为.已知在斜坐标系xOy中，，. (1)证明：； (2)当时，，求； (3)当时，若向量，，已知，求函数的最值. 【经典例题十八 向量夹角的计算】 【例18】（24-25高三上·湖北·期末）已知单位向量满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 1．（2025高三·全国·专题练习）若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则 ； ． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【经典例题十九 垂直关系的问量表示】 【例19】（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 1．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知平面向量，满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高三上·广东广州·期中）已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 . 3．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知与的夹角. (1)求； (2)若，求的值. 【经典例题二十 已知模求数量积】 【例20】（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知向量，满足，且，则 ． 3．（24-25高一下·上海·单元测试）如图，平行四边形中，已知，，对角线，求对角线的长．    【经典例题二十一 已知模求参数】 【例21】（2024·陕西榆林·二模）若向量，则（    ） A． B． C． D． 1．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝ ． 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知平面向量，的夹角为，且，，，． (1)若，求λ； (2)当，求． 【经典例题二十二 求投影向量】 【例22】（辽宁省点石联考2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知，且在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建南平·期中）已知，则在方向上的投影向量坐标为 ． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角． (1)求； (2)求在上的投影数量． 1．（21-22高一·全国·课后作业）若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知O为四边形所在平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·全国·期中）下列命题正确的是（ ） A．若四点在同一条直线上，且，则 B．在中，若点满足，则点是的外心 C．若，把右平移个单位，得到的向量的坐标为 D．在中，若，则点的轨迹经过的内心 4．（21-22高二上·北京·开学考试）已知向量与向量的夹角为，且，，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 5．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）如图，，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（含边界）运动，且，则y的最大值是 ． 7．（2023·上海金山·二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ． 8．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，若，则 ． 9．（2024·河南·模拟预测）如图，已知，是圆O的两条直径，E是的中点，F是的中点，若，则 . 10．（2023·四川成都·模拟预测）已知中，，则 ．    11．（21-22高一下·吉林延边·期中）如图所示，在中，与相交于点. (1)用和分别表示和； (2)若，求实数和的值. 12．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 13．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 14．（22-23高一下·河南周口·阶段练习）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.    15．（22-23高一下·吉林松原·期末）已知平面向量，满足，，. （1）求； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$