第1章 二次函数 单元巩固复习课件 2024—2025学年浙教版数学九年级上册

让天下学子共享优质教育！ 第1章 二次函数 单元巩固 浙教版 九年级上册 思维导图 建体系 一、选择题 1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（　C　） A. y＝ B. y＝x2＋ ＋1 C. y＝2x2－1 D. y＝ 解析：y是x的二次函数的是y＝2x2－1. 故选C. C 2. 若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝ －1，x2＝3，则抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线（　A　） A. x＝1 B. x＝－1 C. x＝2 D. x＝－2 解析：∵x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3， ∴抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标为（－1，0），（3， 0）， ∴对称轴为x＝ ＝1. 故选A. A 3. 抛物线y＝2x2＋2x＋1的图象与坐标轴的交点个数是（　B　） A. 无交点 B. 1个 C. 2个 D. 3个 解析：b2－4ac＝22－4×2×1＝－4＜0， ∴抛物线与x轴无交点， ∵x＝0时，y＝1， ∴抛物线与y轴的交点为（0，1）， ∴抛物线y＝2x2＋2x＋1的图象与坐标轴的交点个数是1. 故选B. B 4. 某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边 靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为20 m，设长方形垂直于 墙的一边长为x m，面积为y m2，当x在一定范围内变化时，y随x的 变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　D　） A. y＝20x B. y＝20－2x C. y＝ D. y＝x（20－2x） 解析：由题意，得长方形垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的边 长为（20－2x）m， ∴面积y＝x（20－2x）， 故选D. D 5. 把抛物线y＝－x2＋1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的表达式为（　D　） A. y＝－（x＋3）2＋1 B. y＝－（x＋1）2＋3 C. y＝－（x－1）2＋4 D. y＝－（x＋1）2＋4 解析：抛物线y＝－x2＋1向左平移1个单位，得y＝－（x＋1）2＋1； 然后向上平移3个单位，得y＝－（x＋1）2＋1＋3. 即y＝－（x＋1）2＋4. 故选D. D 6. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向下，顶点坐标（3，－5），那 么该抛物线有（　B　） A. 最小值－5 B. 最大值－5 C. 最小值3 D. 最大值3 解析：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（3，－5）. 所以该抛物线有最大值－5. 故选B. B 7. 下表是用计算器探索函数y＝x2＋5x－3时所得的数值： x 0 0.25 0.5 0.75 1 y －3 －1.69 －0.25 1.31 3 则方程x2＋5x－3＝0的一个解x的取值范围为（　C　） A. 0＜x＜0.25 B. 0.25＜x＜0.5 C. 0.5＜x＜0.75 D. 0.75＜x＜1 C 解析：∵二次函数y＝x2＋5x－3中a＝1＞0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴x＝－ ＝－ ， ∴x＞－ 时y随x的增大而增大， ∵当x＝0.5时，y＝－0.25＜0， 当x＝0.75时，y＝1.31＞0， ∴方程x2＋5x－3＝0的一个解的取值范围为0.5＜x＜0.75. 故选C. 8. 在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2－m 的图象可能是（　B　） 解析：∵二次函数y＝x2－m中1＞0， ∴二次函数图象开口向上，C，D选项不符合题意， 由A，B选项知－m＜0，又∵n2≥0， ∴一次函数y＝－mx＋n2经过第一、二、四象限，B选项符合题意. 故选B. B 9. 已知二次函数y＝ax2＋2ax＋c（a≠0）的图象如图所示，则下 列说法：①ac＞0；②若点P（－2，m），Q（0.5，n）都在该抛 物线上，则m＜n；③3a＋c＞0；④方程ax2＋（2a＋1）x＋c＝0 有两个不相等的实数根.正确的有（　A　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A 解析：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴， ∴c＞0，∴ac＜0，故①错误； 抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝－1，抛物线开口向下， ∵－1－（－2）＝1＜0.5－（－1）＝1.5， ∴m＞n， 故②错误； 由图象知，当x＝1时，y＜0， 即a＋2a＋c＝3a＋c＜0， 故③错误； ∵二次函数y＝ax2＋2ax＋c（a≠0）的图象与直线y＝－x有两个 交点， ∴方程ax2＋（2a＋1）x＋c＝0有两个不相等的实数根， 故④正确. 综上，正确的个数有1个. 故选A. 如图所示： 10. 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都 在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数.函数y＝－x＋c （c为常数，c＜0）的图象与x轴交于点M，其轴点函数y＝ax2＋ bx＋c与x轴的另一交点为N. 若ON＝ OM，则b的值为 （　D　） A. －5 B. 3或－1 C. 3 D. －5或3 D 解析：∵函数y＝－x＋c（c为常数，c＜0）的图象与x轴交于点M， ∴M（c，0）.∴OM＝－c. ∵ON＝ OM，∴ON＝－ c，∴N（± c，0）. ∵其轴点函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为M，N， ∴ 或 ， ∴b＝－5或b＝3.故选D. 二、填空题 11. 请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式 ⁠ ⁠. 解析：开口向下，经过原点的二次函数的表达式可以是y＝－x2（答 案不唯一）. y＝－x2 （答案不唯一） 12. 已知二次函数y＝x2＋2x＋c的图象与坐标轴恰有两个交点，则 c＝ ⁠. 解析：∵二次函数y＝x2＋2x＋c的图象与坐标轴恰有两个交点， ①若c＝0时，函数y＝x2＋2x与x轴有两点交点（0，0），（－2， 0），符合题意. ②当c≠0时，当x＝0时，y＝c，即图象与y轴交于点（0，c）， ∴二次函数y＝x2＋2x＋c的图象与x轴必有一个交点. ∴b2－4ac＝22－4c＝0. ∴c＝1.综上，c＝0或1. 0或1 13. 已知y＝2x－8，S＝xy，当－1≤x≤3时，则S的最大值 为 ⁠. 解析：∵y＝2x－8， ∴S＝xy＝2x2－8x＝2（x－2）2－8， ∵－1≤x≤3， ∴当x＝－1时，S的最大值为2×（－1－2）2－8＝10. 10 14. 如图1是一座抛物线形拱桥，图2是其示意图，桥拱与水平桥面相 交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m， D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为 m. 48 解析：如图所示，建立平面直角坐标系. 设AB与y轴交于点H， ∵AB＝36，∴AH＝BH＝18， 由题可知：OH＝7，CH＝9， ∴OC＝9＋7＝16. 设该抛物线的表达式为y＝ax2＋k， ∵顶点C（0，16），∴抛物线y＝ax2＋16，代入点（18，7） ∴7＝18×18a＋16，∴7＝324a＋16，∴324a＝－9， ∴a＝－ ，∴抛物线y＝－ x2＋16， 当y＝0时，0＝－ x2＋16， ∴ x2＝16，∴x2＝16×36， ∴x＝±24，∴E（24，0），D（－24，0）， ∴OE＝OD＝24，∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48（m）. 15. 点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝x2－2x＋1的图 象上，若m－1＜x1＜m，m＋1＜x2＜m＋2时，都有y1≠y2，则m 的取值范围是 ⁠. 解析：二次函数y＝x2－2x＋1的对称轴为直线x＝－ ＝1，∵m－ 1＜x1＜m，m＋1＜x2＜m＋2时，都有y1≠y2， x＝ 表示x1与x2表示的点连线的中垂线，根据题意则有m＜ ＜m＋1， ∴要使y1≠y2，则对称轴不在 可取范围内， 即m≥1或m＋1≤1， 解得m≥1或m≤0. m≥1或m≤0 16. 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚 度不计），碗口宽CD＝12 cm，此时面汤最大深度EG＝8 cm. （1）当面汤的深度ET为4 cm时，汤面的直径PQ长为 cm； 解析：（1）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平 面直角坐标系，如图： 设点E的坐标为（0，c），则抛物线的表达式为y＝ax2＋c， 则点C（6，8＋c），点Q（xQ，4＋c）， 将点C，Q的坐标分别代入抛物线表达式，得 6 ，解得 ， 即抛物线的表达式为y＝ x2＋c，① PQ＝2xQ＝6 . （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝ 45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝ cm. ​ 解析：（2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45° 时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°， 设直线CH的表达式为y＝x＋b， 将点C的坐标代入上式，得b＝2＋c，故直线CH的表达式为y＝x ＋2＋c，② 联立①②并整理得2x2－9x－18＝0， 则x1＋x2＝ ，x1x2＝－9， 则（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝ ， 则｜x1－x2｜＝ ， 由CH的表达式可知，其与x轴的夹角为45°， 则CH＝ ｜x1－x2｜＝ . 三、解答题 17. 已知抛物线y＝x2－kx－3k与x轴的一个交点为（－2，0）. （1）求k的值； 解：（1）根据题意，得4＋2k－3k＝0， 所以k＝4， 得抛物线的表达式为y＝x2－4x－12. （2）求抛物线与x轴的另一个交点坐标. 解：（2）∵x2－4x－12＝0， 解得x1＝－2，x2＝6， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0）. 18. 如图，学校课外兴趣活动小组准备利用长为8 m的墙AB和一段长 为26 m的篱笆围建一个矩形苗圃园.如果矩形苗圃园的一边由墙AB和 一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，设平行于墙一边CD 长为x m. （1）当苗圃园的面积为60 m2时，求x的值； 解：（1）∵篱笆的总长为26 m，平行于墙一 边CD长为x m， ∴垂直于墙一边CA长为 ＝（17－x）m， 根据题意，得（17－x）x＝60，整理，得x2－17x＋60＝0， 解得x1＝5（不符合题意，舍去），x2＝12. 答：x的值为12. （2）当x为何值时，所围苗圃园的面积最大？最大面积是多少？ 解：（2）设苗圃园的面积为S m2， S＝（17－x）x＝－x2＋17x， 当x＝8.5时，S最大＝72.25. 答：当x的值为8.5时，所围苗圃园的面积最大，最大面积是72.25m2. b2－4ac＝（m－3）2＋4m ＝m2－2m＋9 ＝（m－1）2＋8. ∵（m－1）2≥0， ∴b2－4ac＞0， ∴无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点. 19. 已知抛物线y＝x2－（m－3）x－m.求证：无论m为何值时， 抛物线与x轴总有两个交点. 证明：a＝1，b＝－（m－3），c＝－m， 20. 新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a， b，c为实数）的“图象数”，如：y＝－x2＋2x＋3的“图象数”为 [－1，2，3] （1）二次函数y＝ x2－x－1的“图象数”为 　　　　　　　； 解：（1）二次函数y＝ x2－x－1的“图象数”为［ ，－1，－1］； 故答案为［ ，－1，－1］. （2）若“图象数”是[m，m＋1，m＋1]的二次函数的图象与x轴只 有一个交点，求m的值. 解：（2）二次函数的表达式为y＝mx2＋（m＋1）x＋m＋1， 根据题意，得b2－4ac＝（m＋1）2－4m（m＋1）＝0， 解得m1＝－1，m2＝ . 21. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种纪念品的成本价 为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种纪念品 的销售价不高于30元/件，市场调查发现，该纪念品每天的销售量y （件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示. （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx＋b， 将（12，28），（15，25）代入，得 ，解得 ， 所以y与x的函数表达式为y＝－x＋40 （10≤x≤30）. （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数表 达式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利 润是多少？ 解：（2）根据题意知，W＝（x－10）y ＝（x－10）（－x＋40） ＝－x2＋50x－400 ＝－（x－25）2＋225， ∵a＝－1＜0，10≤x≤30， ∴当x＝25时，W取得最大值，最大值为225. 答：每件销售价为25元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元. 22. 图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物 线形钢架构成.可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物 线，并建立如图所示的平面直角坐标系.已知天桥总长50米，并在人 行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中AB＝3米，EF＝5米. （1）如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F，求该抛物线的表 达式； 解：（1）由题意可得顶点F的坐标是（25，5）， 设抛物线表达式为y＝a（x－25）2＋5， ∵抛物线经过原点（0，0）， ∴将（0，0）代入，得a（0－25）2＋5＝0， 解得a＝－ ， ∴该抛物线的表达式为y＝－ （x－25）2＋5. （2）在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； 解：（2）由题意可得，OC＝15米， 将x＝15代入y＝－ （x－25）2＋5， 解得y＝ ， ∴CD＝ 米， ∴2（AB＋CD＋EF）＝2×（3＋ ＋5）＝ （米）， ∴6根钢柱的总长度为 米. （3）现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平 距离为1米，且使抛物线经过点F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的 纵坐标k的取值范围. 解：（3）由题意，得修改钢架结构后抛物线顶点坐标为（26，k）， ∴设抛物线表达式为y＝a'（x－26）2＋k. ∵抛物线经过点F（25，5），∴5＝a'（25－26）2＋k， ∴a'＝－k＋5，当x＝5时，y＝a'（5－26）2＋k＝441a'＋k， ∵抛物线与钢柱AB有交点，∴0≤441a'＋k≤3， 将a'＝－k＋5 代入，可得0≤441（－k＋5）＋k≤3， ∴－2 205≤－440k≤－2 202，解得 ≤k≤ . ∴顶点的纵坐标k的取值范围为 ≤k≤ . 23. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2ax＋a＋3（a ＜0）与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C. （1）如图1，若点A的坐标为（－1，0），求抛物线的表达式和点C 的坐标； 解：（1）将A（－1，0）代入y＝ax2－2ax＋a＋3，得a＋2a＋a ＋3＝0， 解得a＝－ ， ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋ x＋ ， 令x＝0，得y＝ ， ∴C（0， ）. （2）过点C作y轴的垂线l，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻 折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记 为图形G. ①在（1）的条件下，在图形G位于x轴上方的部分是否存在点D， 使得S△ABD＝3？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由； 解：（2）①存在点D，使得S△ABD＝3，理由如下：如图1， 图1 图1 在y＝－ x2＋ x＋ 中，令y＝0得－ x2＋ x＋ ＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴A（－1，0），B（3，0）， ∴AB＝4. ∵y＝－ x2＋ x＋ ＝－ （x－1）2＋3， ∴顶点为（1，3）， 过点C作y轴的垂线l：y＝ ，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分不变，得到y＝ （x－1）2＋ ， ∴图形G的函数表达式为 y＝ . 若x轴上方的图形G上存在点D，使得S△ABD＝ AB·yD＝3，则yD ＝ ， 当x＜0时，将y＝ 代入y＝－ （x－1）2＋3，得－ （x－1）2＋ 3＝ ， 解得x1＝ ＋1（舍去），x2＝－ ＋1； ∴此时D（－ ＋1， ）. 当x＞0时，将y＝ 代入y＝ （x－1）2＋ ，得 （x－1）2＋ ＝ ，解得x＝1， ∴此时D（1， ）. 综上，存在点D，使得S△ABD＝3，点D的坐标为（－ ＋1， ） 或（1， ）. ②如图2，已知点P（1＋a，p）和点Q（1－a，q）是图形G上的 点.设t＝p＋q，当－3≤t≤0时，请直接写出a的取值范围. 解：②在y＝ax2－2ax＋a＋3（a＜0）中，令x＝0， 得y＝a＋3， ∴C（0，a＋3）， ∴直线l：y＝a＋3， ∵y＝ax2－2ax＋a＋3＝a（x－1）2＋3， ∴抛物线的顶点为（1，3）. 将抛物线y＝ax2－2ax＋a＋3（a＜0）在y轴右侧的部分沿直线l翻 折，得y＝－a（x－1）2＋2a＋3， ∵点P（1＋a，p）和点Q（1－a，q）是图形G上的点， ∴当a≤－1时，1＋a≤0，1－a≥2， 即点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧，如图2， 图2 ∴p＝a3＋3，q＝－a3＋2a＋3， ∴t＝p＋q＝2a＋6， ∵－3≤t≤0， ∴－3≤2a＋6≤0， ∴－ ≤a≤－3； 当－1＜a＜0时，0＜1＋a＜1，1＜1－a＜2， 即点P，Q均在y轴右侧， 图2 ∴2a＋3＜p＜a＋3，2a＋3＜q＜a＋3， ∴4a＋6＜p＋q＜2a＋6， ∵－3≤t≤0， ∴－3≤p＋q≤0， ∴ ， 此不等式组无解，即－1＜a＜0不成立； 综上，a的取值范围为－ ≤a≤－3. $$