第五章 复数（A卷基础夯实）单元测试-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第五章 复数（A卷基础夯实） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若复数为纯虚数,则( ) A. B.3 C. D.5 2.( ) A.0 B. C.2 D. 3.已知，则在复平面内的对应点所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知是纯虚数,则的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D. 5.如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.复数方程解的个数为( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.复数的虚部是( ) A.1012 B.1011 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知复数，其中i为虚数单位，则( ) A. B. C. D.z的虚部为-1 10.已知,是关于x的方程的两个根,其中,则( ) A. B. C. D. 11.已知复数,,均不为0,则下列说法正确的是( ) A.若复数z满足,且,则 B.若复数z满足,则 C.若,则 D.若复数,满足,则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.i为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为_________. 13.若,则________. 14.若复数，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）若复数，复数. (1)若，求实数a的值； (2)若，求. 16.（15分）已知复数，为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且z为实系数方程的根，求实数m的值. 17.（15分）已知复数z为纯虚数，且为实数. (1)求复数z； (2)设，若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 18.（17分）已知复数，其中a是正实数，i是虚数单位 (1)如果为纯虚数，求实数a的值； (2)如果，是关于x的方程的一个复根，求的值. 19.（17分）已知i是虚数单位，a，，复数，，，且. （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面内对应的点分别为A，B，且O为坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合？如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 答案以及解析 1.答案：D 解析：, 因为z是纯虚数,所以,,所以. 故选：D. 2.答案：D 解析：, 故. 故选:D 3.答案：A 解析：， 故， 所以在复平面内的对应点在第一象限. 故选：A. 4.答案：B 解析：复数是纯虚数,且, ,解得, 所以,, 所以, 故选：B. 5.答案：B 解析：由图象可知,, 所以, 其对应的点为,显然位于第二象限. 故选：B. 6.答案：A 解析：设,则,, 因为,即, 所以,解得或或,共4组解, 即复数方程解的个数为4个. 故选:A 7.答案：A 解析：若，均为纯虚数，设，（且）， 则，所以“，均为纯虚数”是是实数的充分条件， 当，，， 所以“，均为纯虚数”是是实数的不必要条件， 综上所述：“，均为纯虚数”是是实数的充分不必要条件. 故选：A. 8.答案：D 解析：因为, , 所以,① 因为,所以,, 所以化简①可得, 所以虚部为, 故选：D. 9.答案：BD 解析：因为， 所以，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； z的虚部为-1，故D正确. 故选BD. 10.答案：ACD 解析：因为,是关于x的方程的两个根且, 所以,即,故A正确; ,,所以,故B错误; 因为,所以,故C正确; 又,故D正确. 故选：ACD. 11.答案：ABD 解析：对于A选项,令,a,,则, 因为,且,所以,则,故,故A正确; 对于B选项,令,则由,得,, 所以,故B正确; 对于C选项,令,,此时,,,故C错误; 对于D选项,令,, 则,所以, ,故D正确. 故选：ABD. 12.答案：-1 解析：由， 则， 故z的虚部为-1. 故答案为：-1 13.答案：16 解析：因为, 所以,,, 故答案为:16 14.答案：5 解析：方法一：，所以. 方法二：，所以，所以. 15.答案：(1)4； (2) 解析：（1）由已知，则，解得. （2）解析：当时，. 16.答案：(1) (2)-3 解析：(1)由，为实数， 则为实数， 所以，即，， 所以. (2)由在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 又为实系数方程的根， 则， 所以，， 又，所以. 17.答案：(1) (2) 解析：(1)设且， 则. 为实数， ， 即. (2)由(1)及已知得， 故， 在复平面内对应的点位于第三象限， 且，解得. 又， ， ， 即的取值范围是. 18.答案：(1)4； (2)8 解析：（1）因为，所以， 因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去）， 所以. （2）因为，所以， 则， 因为是关于x的方程的一个复根， 所以与是的两个复根， 故，则， 所以. 19.答案：（1）或 （2）①存在，， ②，最大值为2 解析：（1）由题可知，， 而为纯虚数，因此，即. 又，且，所以， 由，解得或， 所以或. （2）①存在，理由如下： 法一：由题意知，，得， 解得或， 因为向量逆时针旋转后与向量重合， 所以，. 法二：设，是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角， 则，， 所以，即， 所以，所以， 且，时，满足. 所以，. ②因为O，A，B三点不共线， 所以设向量，的夹角为，，设复数所对应的向量为， 则，，，且， 因此的面积 ， 设，则， 当且仅当且，即或时等号成立， 所以，其最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$