江西省九江市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

九江市2024-2025学年度上学期期末考试 高二数学试题卷 本试在共4页。19小题。满分150分，考试时间120分钟。 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上 2第1卷每小题选出答案后，用28铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用檬皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试是香上作答， 答案无效 一、单遗题：本题共8小愿，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个透项中，只有一项是符合题目 要求的 L.已经过点4(2，-1)和点B刷(4，m)的直线1的斜率为2，则实数m的值为(） L-5 B.0 C.3 D.-2 2若(ar+少的二项民开式中需数项为160.则实数a的值为(） A.2 B-2 c 3已知抛物线y2=2严(P>0)上一点M(2%)到其质点的领离为3，则P=() 1 1 B.2 c.3 D.4 4若随机变量X~B53.则E2X+)=() A.4 B.5 C.8 D.9 5.圆0：(x-2+=4与圆0：x2+(y-02=5的地置关系为() A外离 B外切 C内切 D.相交 6.在空间值角坐标系中，己知O0,Q0),A(2,01).B-1,L2),C-2-44),则三棱箭O-ABC的 体积为() A S R10 C20 D.30 7.如图所示-☆女-◇-◇-◇，5颗串强用一根竹签率起现将它：次取出.一次取一重，则在不剪殊子 中同竹签的条件下，两鞭☆☆申珠被连看取下的概幸是() 7 16 ci 9 &已攻线C:号之 行~方=1(ab>0)左预点为《，右焦直为F,以4F为直经的圆与双鱼线C的右技 相交于M,N两点.若四边形AAV是正方形，期双曲线C的离心率为() 是25+1 五2+5 C2+5 n25+1 二、多选题：本题共3小愿，每小题6分，共18分。在每小题给出的透项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分。有选错的得0分。 已知随机变量X~N(3a2),代X>5)=0.2,则() APX≥3)=0.5 BP%X≥0)≤0.8 CP0≤X≤)≤0.6 D.P1≤X≤3)=03 10.现有编号依次为1,2,3的三个查子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盘子装有2个红球和 2个白球，3号盒装有4个红球，这些球除顺色外完全相同，某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意 模出球。记事件A表示“取得红球”，事件B表示“取得白球”，事件C,表示“球取自号盒子”，则 () APL 1 B.PB)= 5 C.PC4)= nG周-号 1L在平面直角坐标系中，已知点F和曲线C上不同两点AB,记M(F)可AF1+IF-|AB,则下 列结论中正确的是(》》 A若点F(0,O)和直线C:y■：(kR)上不同两点A,B,则M(F)的最小值为0 若在P0)和括国C:兰，上=1上不阿两点么B,则MA的最大监为0 32 C若点F0,0)和周C:x2-2x+y2-25y+3=0上不同两点A,B,1AB=2.则M(F)的最大值为 25-2 D若点F-2,0)和双线C:x之-y2=2右支上不同两点4B,则MF)的最小值为4反 三、填空题：本题共3小题。每小题5分，共15分. 12两平行直线4：3x-4y-8=0,4:6r-8y+9=0之间的距离为 3.“九江之夜”文旅街区是我市重点引进的文旅项目，它坐落在我市塘溪区芳兰湖，一经开业便引得 广大市民善客争相打卡为了更好的服务相亲广场、电音舞台、黄火广场、水系舞台这四个网红打卡点。 主管单位向我市证集了5名志愿者，若要求每个网红点至少安排一名志愿者，每名志愿者只服务一个网红 点，则电音每台恰好安排两人的方法有种 M在直圆被柱8CD-48G凸中底面8CD是平行四边形，丛=D=2,B=5,∠ABC= 点M是C的中点，P是平面ABB,4内一动点，则△PAD周长的最小值为 四。解若题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明。 证明过程域端算步骤. 15.(本小题满分13分) 在平面直角坐标系中，已知40,3头B刷Q-3八C4,5),△BC的外接圆为周P,直线y= 了红+2与 周P相交于M,N两点 (1)求调P的标准方程 2)设直线PM,PN的银斜角分例为a,B,求cOa-)的值. 16(本小题满分15分) “甲械龙腾、盛量中华”，224年5月25至2邓日，九红题行·“停山杯 喜爱不喜爱合计 长江经济香龙舟港请赛在九江市对阳区南门词隆重举行，本次赛事共递请 2060 了来自长红经请带1】个沿江省液.江西有1川个地态和九红布6个县布。 15 40 区)共计君支代表队参靠，寒屏。某网络直播平台对我市南民发起了本次 合计 龙舟赛喜爱程度的词查，我随机轴取1阳酚进行请查统计，特到如右列联表 (1)完成2×2列联表，井根据小质率植：=0005，判断我南市民对本次龙舟赛喜爱程度是百性刚有关 必己知在地方相0米直通赛比赛中，阀人读赛的有4支市区代表以，得区，经区。重调区、八里 调断区和4支是区代表久：共青城市、式竹县，湖口县。修水是仪决赛中各支仅伍的实力相当，授随 机变量X表示决要后前3名中西区代表队的的数。求X的分布利及数宁用型 成ad-he 其中m■a+b4e+d (a+bi(c+dya+cih+d) 270638416.657.8790,2 17.(本小思病分15分) 在四棱谁S-ABCD中，已知威面ABCD是边长为反的正方形，∠S4B=∠公D 84=5SC=2 0)米证：S4⊥BD: 2)设E为D的中点，求平面BC与平面AC所成角的余盆值， 1风（本小题满分17分） 通：E电-20.20.0.030.4是 每周C: 行尔1a>b>0)的左右顶点，￡F是稀圈C上 O D 食于x轴上方的两点CER DF,当4C⊥CE时△CE的画积为。 (1)求新周C的方程： (似)设直线4仁，BF的斜率分别为冬杰·求证：体为定值 19.(本小题满分17分】 “石头。剪刀，布”是一个精幸游戏古老而向单、游戏规测中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，现甲。 乙、丙三人玩“石头剪刀南”新戏。城定每中：①三人出阅同一种千势。每人各得1分：三人出现两 种手势.赢者得4分，编者得0分：①三人出现三种手势均得0分.当有人紫计得3分以上（包含1分）或 前成运行了1明，游站克三人之间及每同不事流且每人好同出有头，剪刀，布的水都是 ()求甲在一同此赛中得0分的概率： ②己知善戏结来时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的授率 1 九江市 2024-2025 学年度上学期期末考试 高二数学试题卷 本试卷共 4页，19小题，满分 150分，考试时间 120分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I卷每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答， 答案无效. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1.已知经过点 )1,2( −A 和点 ),4( mB 的直线 l 的斜率为 2 ，则实数m 的值为( C ) A. 5− B. 0 C. 3 D. 2− 解：依题意，得 2 24 1 = − +m ，解得 3m = ，故选 C. 2.若 61( )ax x + 的二项展开式中常数项为 160，则实数a 的值为( A ) A. 2 B. 2− C. 1 2 D. 1 2 − 解： 6 6 2 1 6C r r r rT a x − − + = ，令6 2 0r− = ，得 3r = ，即 3 3 6C 160a = ，解得 2a = ，故选 A. 3.已知抛物线 2 2y px= ( 0p  )上一点 ),2( 0yM 到其焦点的距离为 3，则 =p ( B ) A. 1 2 B. 2 C. 3 D. 4 解：根据抛物线的定义，可知2 3 2 p + = ，解得 2=p ，故选 B. 4.若随机变量 2 ~ (5, ) 5 X B ，则 =+ )12( XE ( B ) A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 解：根据二项分布的知识，得 2 5 2 5 ==EX ， (2 1) 2 1 5E X EX + = + = ，故选 B. 5.圆 2 2 1 : ( 2) 4O x y− + = 与圆 2 2 2 : ( 1) 5O x y+ − = 的位置关系为( D ) A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 解： 1(2,0)O ， 2 (0,1)O ， 1 2r = ， 2 5r = ， 1 2| | 5O O = ， 1 2| | 5 2r r− = − ， 1 2 5 2r r+ = + ， 1 2 1 2 1 2| | | |r r O O r r −   + ，圆 1O 与圆 2O 相交.(或圆心 1O 在圆 2O 上).故选 D. 6.在空间直角坐标系中，已知 (0,0,0)O ， (2,0,1)A ， ( 1,1,2)B − ， ( 2, 4, 4)C − − ，则三棱锥 ABCO − 的 2 体积为( A ) A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 解： (2,0,1)OA = ， ( 1,1,2)OB = − ， ( 2, 4,4)OC = − − ， 0OA OB  = ， 0OA OC = ，即OA OB⊥ ， OCOA ⊥ ， OA ⊥平面 BOC ， ( 1, 5,2)BC = − − ， 0OB BC  = ，即 BCOB ⊥ ， 1 1 1 6 30 5 5 3 6 6 O ABC BOCV S OA OB BC OA− =  =    =    =△ ，故选 A. 7.如图所示-☆-☆-◊-◊-◊-，5颗串珠用一根竹签串起.现将它们依次取出，一次取一颗，则在不剪断珠子 中间竹签的条件下，两颗☆☆串珠被连着取下的概率是( D ) A. 4 1 B. 7 16 C. 1 2 D. 9 16 解：考虑前 4次取出可取左或右，都有两种选择，最后一次取只有一种，故共有 42 种取法. 将这 5颗串珠从左往右分别标号为1,2,3,4,5，分类讨论如下： (1)第1， 2 次取 2,1 ，即 1, 2, __, __, __, 共 4 种； (2)第 2 ，3次取 2,1 ，即 5,1, 2, __, __, 共 2 种； (3)第3， 4 次取 2,1 ，即 5, 4,1, 2, 3, 共1种； (4)第 4 ，5次取 2,1 或 2,1，即 5, 4, 3,1, 2, 或 5, 4, 3, 2,1, 共 2 种. 综上， 4 2 1 2 9n = + + + = ， 9 16 P = ，故选 D. 或列举法：依次将-☆-☆-◊-◊-◊-标识符号为：-1-2-3-4-5-, 将它们依次取出，一次取一颗，则在不剪断 珠子中间竹签的条件下,所有的可能结果如下:(1,2,3,4,5),(1,2,3,5,4),(1,2,5,4,3),(1,2,5,3,4),(1,5,2,3,4), (1,5,2,4,3),(1,5,4,2,3),(1,5,4,3,2),(5,4,1,2,3),(5,4,1,3,2),(5,4,3,1,2),(5,4,3,2,1),(5,1,2,3,4),(5,1,2,4,3),(5,1,4,2,3), (5,1,4,3,2)共 16种可能.其中 1,2连在一起有(1,2,3,4,5),(1,2,3,5,4),(1,2,5,4,3),(1,2,5,3,4), (5,4,1,2,3), (5,4,3,1,2), (5,4,3,2,1),(5,1,2,3,4),(5,1,2,4,3) 9种可能. 9 16 P = ,故选 D. 8.已知双曲线 1: 2 2 2 2 =− b y a x C ( , 0a b  )左顶点为 A ，右焦点为 F ，以 AF 为直径的圆与双曲线C 的右支 相交于 ,M N 两点.若四边形 AMFN 是正方形，则双曲线C 的离心率为( C ) A. 2 2 1+ B. 2 3+ C. 2 2+ D. 2 3 1+ 解:由对称性，知MN x⊥ 轴，则 ( , ) 2 2 c a c a M − + 在双曲线C 上， 3 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 4 4 c a c a a b − +  − = ，即 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 4 4( ) c a c a a c a − + − = − ， 即 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 4 4( 1) e e e − + − = − ，化简整理得 3 23 2 2 0e e e− − + = ， 2( 1)( 4 2) 0e e e+ − + = ， 2 4 2 0e e− + = ，解得 2 2e = + ，故选 C. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9.已知随机变量 2~ (3, )X N  ， ( 5) 0.2P X  = ，则( AD ) A. ( 3) 0.5P X =≥ B. ( 0) 0.8P X ≥ ≤ C. (0 5) 0.6P X≤ ≤ ≤ D. (1 3) 0.3P X =≤ ≤ 解：对于选项 A，由正态曲线的对称性知 ( 3) 0.5P X =≥ ，故 A正确； 对于选项 B， ( 0) ( 1) ( 5) 0.2P X P X P X  =  =≤ ， ( 0) 0.8P X ≥ ，故 B 错误； 对于选项 C， (0 5) (1 5) 1 2 ( 5) 1 2 0.2 0.6P X P X P X = −  = −  =≤ ≤ ≤ ≤ ，故 C错误； 对于选项 D， (1 3) (3 5) 0.5 ( 5) 0.3P X P x P X= = −  =≤ ≤ ≤ ≤ ，故 D正确. 10.现有编号依次为 1,2,3的三个盒子，其中 1号盒子装有 1个红球和 3个白球，2号盒子装有 2个红球和 2 个白球，3号盒子装有 4个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意 摸出一球，记事件 A 表示“取得红球”，事件 B 表示“取得白球”，事件 iC 表示“球取自 i 号盒子”，则 ( BCD ) A. 1 ( ) 2 P A = B. 5 ( ) 12 P B = C. 1 1 ( | ) 7 P C A = D. 2 2 ( | ) 5 P C B = 解: 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A P C P A C P C P A C P C P A C= + + 1 1 1 2 1 4 7 3 4 3 4 3 4 12 =  +  +  = ，故 A错误； 5 ( ) 1 ( ) 12 P B P A= − = ，故 B正确； 11 1 1 ( ) 13 4( | ) 7( ) 7 12 P C A P C A P A  = = = ，故 C正确； 2 2 1 2 ( ) 23 4( | ) 5( ) 5 12 P C B P C B P B  = = = ，故 D正确. 11.在平面直角坐标系中，已知点 F 和曲线C 上不同两点 ,A B ，记 ( ) | | | | | |M F AF BF AB= + − ，则下 列结论中正确的是( ACD ) A.若点 (0,0)F 和直线 :C y kx= ( k R )上不同两点 BA, ，则 )(FM 的最小值为 0 O x y M F N A 4 B.若点 )0,1(F 和椭圆 2 2 : 1 3 2 x y C + = 上不同两点 BA, ，则 ( )M F 的最大值为 0 C.若点 (0,0)F 和圆 03322: 22 =+−+− yyxxC 上不同两点 BA, ，| | 2AB = ，则 ( )M F 的最大值为 252 − D.若点 ( 2,0)F − 和双曲线 2: 22 =− yxC 右支上不同两点 BA, ，则 ( )M F 的最小值为 24 解：对于选项 A，如图 1，2， ( ) 0M F ≥ .故 A正确； 对于选项 B， ( ) | | | | | | 0M F AF BF AB= + − ≥ ， ( , ,A B F 三点共线时取等号).故 B错误； 对于选项 C，如图 3，可知圆 2 2: ( 1) ( 3) 1C x y− + − = ， 圆心为 )3,1(C ，又 2|| =AB ，故 AB 为圆C 直径， 连接 FC ，则 2|| =FC ， 可知 2 2 2 2 2 2| | | | 2(| | | | ) 2(2 1 ) 10AF BF CF AC+ = + = + = ， 又 2 2 2(| | | |) 2(| | | | ) 20AF BF AF BF+ + =≤ ， | | | | 2 5AF BF + ≤ ( | | | |AF BF= 时取等号). ( ) | | | | | | 2 5 2M F AF BF AB = + − −≤ .故 C正确； 对于选项 D，如图 4，可知点 )0,2(−F 是双曲线C 的左焦点， 设右焦点为 F .由双曲线的定义，得 ( ) | | | | | | | | 2 | | 2 | |M F AF BF AB AF a BF a AB = + − = + + + − ，即 ( ) | | | | | | 4 4 4 2M F AF BF AB a a = + − + =≥ (当点F 在线段 AB 上时取等号).故 D正确. 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12.两平行直线 1 : 3 4 8 0l x y− − = ， 2 : 6 8 9 0l x y− + = 之间的距离为 5 2 . 解： 1 : 6 8 16 0l x y− − = ，由两平行线间的距离公式，得 2 2 | 9 ( 16) | 25 5 10 26 ( 8) d − − = = = + − . 13.“九江之夜”文旅街区是我市重点引进的文旅项目，它坐落在我市濂溪区芳兰湖畔，一经开业便引得 广大市民游客争相打卡.为了更好的服务招亲广场、电音舞台、篝火广场、水系舞台这四个网红打卡点， 主管单位向我市征集了 5名志愿者，若要求每个网红点至少安排一名志愿者，每名志愿者只服务一个网红 点，则电音舞台恰好安排两人的方法有 60种. 解：第 1步：电音舞台先安排 2人有 2 5C 种方法；第 2步：将剩余 3人分给其余的 3个网红点，有 3 3A 种方 法.故电音舞台恰好安排两人的方法有 2 3 5 3C A 10 6 60N =  =  = 种. 14.在直四棱柱 1111 DCBAABCD − 中，底面 ABCD 是平行四边形， 1 2AA AD= = ， 2AB = ， π 4 ABC = ， x y F A B 图 1 x y B A F 图 2 F x y A B 图 3 C x y F A B 图 4 O 5 点 M 是BC 的中点， P 是平面 11AABB 内一动点，则 1PMD△ 周长的最小值为 13 3+ . 解：如图， 2AB = ， 1 1 2 BM BC= = ， π 4 ABC = ， 由余弦定理得 2 2 2 ( 2) 1 2 2 1 2 AM = + −    1= ， 2 2 2AB BM AM = + ，即 AM BC⊥ . 延长 DA 至 M  ,使得 1AM  = ，连接 BM ，则四边形 AMBM 为正方形， MM AB ⊥ ，由直四棱柱 1111 DCBAABCD − 知，MM  ⊥平面 11AABB ，即M 为 M 关于平面 11AABB 的对称点， PM PM  = . 故 1PMD△ 的周长 1 1l PM PD MD= + + 1 3PM PD= + + 1 3 13 3M D + = +≥ . 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分 13分) 在平面直角坐标系中，已知 (0,3), (0, 3), (4,5)A B C− ， ABC△ 的外接圆为圆 P ，直线 3 ( 2) 3 y x= + 与 圆 P 相交于 ,M N 两点. (1)求圆 P 的标准方程； (2)设直线 ,PM PN 的倾斜角分别为 ,  ，求cos( ) − 的值. 解:(1)设圆 P 的一般方程为 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = ，则 2 2 2 2 3 3 0, ( 3) 3 0, 4 5 4 5 0, E F E F D E F  + + =  − − + =  + + + + = ………2分 解得 8, 0, 9. D E F = −  =  = − ………4分 圆 P 的一般方程为 2 2 8 9 0x y x+ − − = ，故圆 P 的标准方程为 2 2( 4) 25x y− + = ………6分 (2)如图，点 P 到直线 3 ( 2) 3 y x= + 的距离 2 2 3 2 3 | 4 0 | 3 3 3 3 ( ) ( 1) 3 d  − + = = + − ………9分 又圆 P 的半径 5r = ， 3 cos 2 5 d r  −  = = ………11分 2 23 7cos( ) 2cos 1 2 ( ) 1 2 5 25     −  − = − =  − = − ………13分 x y O P M N α β d r 6 16.(本小题满分 15分) “甲辰龙腾、盛世中华”.2024年 5月 25至 26 日，九江银行·“庐山杯” 长江经济带龙舟邀请赛在九江市浔阳区南门湖隆重举行，本次赛事共邀请 了来自长江经济带 11个沿江省市、江西省 11个地市和九江市 16个县（市、 区）共计 37支代表队参赛.赛后，某网络直播平台对我市市民发起了本次 龙舟赛喜爱程度的调查，现随机抽取 100份进行调查统计，得到如右列联表. (1)完成 22 列联表，并根据小概率值 005.0= ，判断我市市民对本次龙舟赛喜爱程度是否与性别有关； (2)已知在地方组 500米直道赛比赛中，闯入决赛的有 4支市区代表队：浔阳区，经开区、濂溪区、八里 湖新区和 4支县区代表队：共青城市、武宁县、湖口县、修水县.假设决赛中各支队伍的实力相当，设随 机变量 X 表示决赛后前 3名中市区代表队的队数，求 X 的分布列及数学期望. 附： ))()()(( )( 22 dbcadcba bcadn ++++ − = ，其中 dcban +++= .  1.0 05.0 01.0 005.0 001.0 x 706.2 841.3 635.6 879.7 828.10 解：(1) 22 列联表补充如下 喜爱 不喜爱 合计 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 ………2分 又 2 2 100 (40 25 15 20) 2450 8.249 7.879 55 45 60 40 297    −  = =      ………5分 故可判断该市市民对本次龙舟赛喜爱程度是与性别有关………6分 (2)依题意，得 3,2,1,0=X ………7分 0 3 4 4 3 8 C C 4 1 ( 0) C 56 14 P X  = = = = ， 1 2 4 4 3 8 C C 24 3 ( 1) C 56 7 P X  = = = = ， 2 1 4 4 3 8 C C 24 3 ( 2) C 56 7 P X  = = = = ， 3 0 4 4 3 8 C C 4 1 ( 3) C 56 14 P X  = = = = ………11分 则 X 的分布列如下： X 0 1 2 3 P 14 1 7 3 7 3 14 1 ………13分 则 2 3 14 1 3 7 3 2 7 3 1 14 1 0 =+++=EX ………15分 喜爱 不喜爱 合计 男 20 60 女 15 40 合计 45 7 17.(本小题满分 15分) 在四棱锥 S ABCD− 中，已知底面 ABCD是边长为 2 的正方形， SAB SAD =  ， 2SA SC= = . (1)求证: SA BD⊥ ； (2)设 E 为 SD 的中点，求平面 BEC 与平面 AEC 所成角的余弦值. 解:(1)连接 AC ，设 AC BD O= ，连接 SO ………1分 SAB SAD =  ， AB AD= ， SAB△ ≌ SAD△ ， SB SD = ………2分 又O 为BD的中点， BD SO ⊥ ………3分 又四边形 ABCD是正方形， BD AC ⊥ ………4分 又 SO AC O= ， SO AC , 平面 SAC ， BD ⊥平面 SAC ………5分 又 SA平面 SAC ， SA BD ⊥ ………6分 (2) SA SC= ，O 为 AC 的中点， SO AC ⊥ ,又 SO BD⊥ ， ,AC BD 平面 ABCD ， SO ⊥平面 ABCD，故分别以 , ,OB OC OC 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图空间直角坐标系………8分 则 (0, 1,0)A − ， (1,0,0)B ， (0,1,0)C ， (1, 1,0)CB = − ， (0, 2,0)CA = − ， (0,0, 3)S ， ( 1,0,0)D − ， 1 3 ( ,0, ) 2 2 E − , 1 3 ( , 1, ) 2 2 CE = − − ………9分 设平面 BEC 的法向量为 1 1 1( , , )m x y z= ，则 0, 0, m CB m CE   =   = 即 1 1 1 1 1 0, 1 3 0. 2 2 x y x y z − =   − − + =  令 1 1x = ，得 1 1y = ， 1 3z = ，故 (1,1, 3)m = ………11分 设平面 AEC 的法向量为 2 2 2( , , )n x y z= ，则 0, 0, n CE m CA   =   = 即 2 2 2 2 1 3 0, 2 2 2 0. x y z y  − − + =  − = 令 2 3x = ，得 2 1z = ，故 ( 3,0,1)n = ………13分 2 3 15 cos , 5| | | | 2 5 m n m n m n   = = =  ，平面 BEC 与平面 AEC 所成角的余弦值为 15 5 ………15分 18.(本小题满分 17分) 如图，已知 ( 2,0)A − ， (2,0)B ， 2 ( ,0) 3 C − ， 2 ( ,0) 3 D ， ,A B 是 椭圆 2 2 2 2 : 1 x y C a b + = ( 0a b  )的左右顶点， FE, 是椭圆C 上 位于 x 轴上方的两点， DFCE // .当 AC CE⊥ 时 ACE△ 的面积为 9 8 . (1)求椭圆C 的方程； S A B C D E O z y x S A B C D E x y O C F E A BD 8 (2)设直线 AE BF， 的斜率分别为 1 2k k， ，求证： 1 2k k 为定值. 解：(1)依题可知 2=a ………2分 当 AC CE⊥ 时，由 1 1 4 8 | | | | | | 2 2 3 9 ACES AC CE CE=   =   =△ ，得 4 | | 3 CE = ………4 分 即点 2 4 ( , ) 3 3 − 在椭圆 1 4 : 2 22 =+ b yx C 上，代入得 2 2 2 2 4 ( ) ( ) 3 3 1 4 b − + = ，解得 2b = ………6分 故椭圆C 的方程为 1 24 22 =+ yx ………8分 (2)延长 FD 交椭圆C 于点M ，连接 BM . 由图形的对称性可知 BMAE // ，则 1 BMk k= ………10分 设直线 FD 方程： 3 2 += tyx ， ),( 11 yxF ， ),( 22 yxM ， 联立 2 2 2 , 3 2 4 0, x ty x y  = +   + − = 消去 x ，整理得 0 9 32 3 4 )2( 22 =−++ tyyt ………11分 1 2 2 4 3( 2) t y y t  + = − + ， 1 2 2 32 9( 2) y y t  = − + ………13分 要证 1 2k k 为定值，即证 2 BMk k 为定值，即证 1 2 1 2 1 2 1 22 2 ( 2)( 2) y y y y x x x x  = − − − − 为定值………14分 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 4 16 ( 2)( 2) ( )( ) ( ) 3 3 3 9 x x ty ty t y y t y y− − = − − = − + + 2 2 2 32 4 4 16 9( 2) 3 3( 2) 9 t t t t t − = − −  + + + 2 32 9( 2)t = + ………16分 1 2 1 2 1 2 2 y y x x   = − − − 为定值， 即 1 2 1k k = − 为定值………17分 19.(本小题满分 17分) “石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单.游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头.现甲、 乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得 1分；②三人出现两 种手势，赢者得 4 分，输者得 0 分；③三人出现三种手势均得 0 分.当有人累计得 3 分以上(包含 3 分)或 游戏进行了 3局时，游戏结束.三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是 3 1 . (1)求甲在一局比赛中得 0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为 3分以上(包含 3分)，求第一局比赛中三人均得 0分的概率. 解：(1)甲在一局比赛中得 0分包含以下情况： ①三人出现三种手势：有 3 3A 6= 种情况………2分 x y O C F E A BD M 9 ②三人出现两种手势且甲为输者：有 2 33C 9= 种情况………5分 故所求概率为 31 515 ( ) 3 9 P =  = ………6分 (2)在一局比赛中，设三人出现三种手势，即每人各得 0分为事件 A ，可知 31 2( ) 6 ( ) 3 9 P A =  = ； 设三人出现同一种手势，即每人各得 1分为事件 B ，可知 31 1( ) 3 ( ) 3 9 P B =  = ； 设三人出现两种手势，即有人得 4分为事件C ，可知 2 ( ) 1 ( ) ( ) 3 P C P A P C= − − = ………9分 设游戏结束时有人得分为 3分以上(包含 3分)为事件M ，第一局比赛中三人均得 0分为事件为 N . 事件M 包含以下情况： ①第一局为C 时，概率 1 2 3 P = ………10分 ②第一局为 A 或 B ，第二局为C 时，概率 2 2 1 2 2 ( ) 9 9 3 9 P = +  = ………11分 ③第一局为 A 或 B ，第二局为 A 或 B ，第三局为C 时，概率 3 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 9 9 9 9 3 27 P = +  +  = ………12分 ④第一局为 B ，第二局为 B ，第三局为 B 时，概率 4 1 1 1 1 9 9 9 729 P =   = ………13分 则 1 2 3 4 2 2 2 1 703 ( ) 3 9 27 729 729 P M P P P P= + + + = + + + = ………14分 又事件MN 包含以下情况: ①第一局为 A ，第二局为C 时，概率 5 2 2 4 9 3 27 P =  = ， ②第一局为 A ，第二局为 A 或 B ，第三局为C 时，概率 6 2 2 1 2 4 ( ) 9 9 9 3 81 P =  +  = ………15分 则 5 6 4 4 16 ( ) 27 81 81 P MN P P= + = + = ………16分 故 703 144 703 729 81 16 )( )( )|( === MP MNP MNP ………17分