27.3 位似 课件 2024—2025学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相 似 27.3 位 似 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？ 图片引入 连接图片上对应的点，你有什么发现？ 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？ 连接图片上对应的点，你有什么发现？ 新课导入 　　在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，它们有什么特征？ 下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？ 位似图形的概念 探究新课 观察与思考 1．两图形相似； 同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三条件缺一不可． 显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比. 2．每组对应点所在直线都经过同一点； 3. 对应边互相平行. 如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. A A′ B B′ O P P′ 点A，B，…，P与点A′ ,B ′ , …，P ′ 分别对应， 它们的连线AA′, BB′, …, PP′, …都经过同一点O. 位似中心 位似比 从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′， A B E C D O A′ B′ C′ D′ E′ A B C O A′ B′ C′ 位似图形的性质 则 1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等． 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比） 3. 对应线段平行或者在一条直线上． 归纳： 两个图形位似，则两个图形相似，所以相似图形的性质，位似图形都满足，可以直接运用． (3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形． 例1 把四边形 ABCD 缩小到原来的 (1) 在四边形外任选一点 O (如图)； 画位似图形 O D A B C A' B' C' D' (2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A' 、B' 、 C' 、D' ，使得 利用位似，可以将一个图形放大或缩小 对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，使得 思考： O D A B C A' B' D' C' A' B' C' D' D A B C O 画位似图形的一般步骤： 归纳： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？ 典例解析 解：AB∥CD. 理由如下： ∵△OAB和△OCD是位似图形， ∴△OAB∽△OCD. ∴∠OAB＝∠C. ∴AB∥CD. 如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1， 点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为 1∶2； (2) 连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长． (结果保留根号) 分析:(1)根据位似比是1∶2，画出以O为位似中心的△A′B′C′； (2)根据勾股定理求出AC，A′C′的长，由于 AA′，CC′的长易得，相加即可求得四边形AA′C′C的周长． 解：(1)如图所示： (2)AA′=CC′=2． 在Rt△OA′C′中， 由图中：OA′=OC′=2， 同理可得: ∴四边形 下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么共同特点？ 观察与思考 共同特点： 每组图中的两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点. 两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，我们把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心． 1.位似图形的定义： 2.位似图形满足的条件： 1）位似图形必须是相似图形； 2）每对对应点的连线都经过同一点． 两者缺一不可. 3.位似的作用 利用位似，可以将一个图形放大或缩小． 总结归纳 1. 画出下列图形的位似中心 练一练 O O 2. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是 ( ) A. 两个三角形是位似图形 B. 点A是两个三角形的位似中心 C. B与D、C与E是对应位似点 D. AE : AD是相似比 D D E A B C 练一练 B E C D A 问题探究 A B C O A′ B′ C′ 观察下列两个位似图形，你发现了什么？与同伴交流. 1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的一切性质，即：对应角相等，对应边成比例． 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比） 3. 对应线段平行或者在同一条直线上． 位似图形的性质： 总结归纳 练一练 如图，四边形木框 ABCD 在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形 A′B′C′D′，若 OB : O′B′＝1 : 2，则四边形 ABCD的面积与四边形A′B′C′D′的面积比为 ( ) A．4∶1 B． ∶1 C．1∶2 D．1∶4 O 灯泡 A B C D A' B' C' D' D (3) 顺次连接点A' 、B' 、C' 、D' ，则四边形A' B' C' D' 就是所求作的图形． O D A B C A' 典例精析 作法：(1)分别连接OA、OB、OC、OD; 例1 如图所示， 把四边形 ABCD 缩小到原来的 . (2) 分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A' 、B' 、C' 、D' ，使得 ； B' C' D' 思 考 对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点O，分别在OA、OB、OC、OD的反向延长线上取 A′ 、B′ 、 C′、D′，使得 呢？如果点O取在四边形ABCD内部呢？分别画出这时得到的图形． O D A B C A' B' C' D' D A B C O A' B' C' D' 画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图形的关键点； 注意： 1.利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点． 2.位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外. 总结归纳 问题1 如图，在平面直角坐标系中，有两点 A(6, 3),B(6,0)以原点O为位似中心，相似比为　，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ 问题探究 A B A' B' A(6, 3) B(6,0) A'(2, 1) B'(2,0) 点A的横纵坐标都乘以1/3 点B的横纵坐标都乘以1/3 A'' B'' A(6, 3) A''(-2, -1) 点A的横纵坐标都乘以-1/3 B(6,0) B''(-2,0) 点B的横纵坐标都乘以1/3 问题2 如图所示△AOC三个顶点坐标分别为A(2,2),O(0,0),C(3,0)以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ 问题探究 A' C' A'' C'' C A A(2, 2) A'(4, 4) 点A的横纵坐标都乘以2 C(3,0) C'(2,0) 点C的横纵坐标都乘以2 A(2, 2) A''(-4, -4) 点A的横纵坐标都乘以-2 C(3,0) B''(-6,0) 点C的横纵坐标都乘以-2 由此，你发现了什么？与同伴交流 注意： 对应点位于位似中心同侧 对应点位于位似中心两侧 总结归纳 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k, 那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 例 如图，△ABO的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,0), O(0,0)以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为　． 解：点A(-2,4),B(-2,0)的横、纵坐标都乘以 得： 典例精析 A'(-3,6),B'(-3,0), A' B' 分别连接A'B',B'O,OA'; A B 则△A'B'O就是所求作的图形. 1.下列说法不正确的是（ ） A.位似图形一定是相似图形 B.相似图形不一定是位似图形 C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 D 随堂演练 2.△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的位似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是(　　) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 D 3. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是 ( ) A. 两个三角形是位似图形 B. 点 A 是两个三角形的位似中心 C. B 与 D、C 与 E是对应位似点 D. AE : AD是相似比 D D E A B C 4.如图, △ABC与△DEF是位似图形, 相似比为2∶3, 已知AB=4, 则DE的长等于( ) A.6 B.5 C.9 D. A 5. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位似图形，若AB : FG = 2 : 3，则下列结论正确的是( ) B A B E C D N F G H M A. 2 DE = 3 MN B. 3 DE = 2 MN C. 3∠A = 2∠F D. 2∠A = 3∠F 6. 如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2 倍． 解：①作射线OA 、OB 、 OC； ②分别在OA、OB 、OC 上取点A' 、B' 、C' 使得 ③顺次连接 A' 、B' 、C' 就是所要求图形. O A B C A' B' C' 1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变； B. 将各点的横坐标除以2，纵坐标不变； C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以2； D. 将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2. C 巩固提升 2. 下列说法： ①位似图形一定是相似图形； ②相似图形一定是位似图形； ③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间； ④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中 △ABC与△A′B′C′也是位似的，且位似比相等. 其中正确的有 . ①④ 3. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A (4，4)，B (6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的1/2后得到线段CD，则端点D的坐标为 ( ) A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1) D D x y A B C O 4. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2 : 3，已知 AB＝4，则DE的长为_____． 6 C A B D E F O 5.如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍,画出放大后的图形． O A B C 1 : 3 6. 已知△ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′ 三个顶点分别为 A′(1，2)，B′(2， )，C′( ， )，则△A′B′C′与△ABC的位似比是 . 课堂小结 $$