精品解析：甘肃省武威市武威第八中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

武威八中2024年秋学期高二年级期末考试试卷 数 学 满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的方向向量可以是（ ） A. B. C. (2，) D. (，2) 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ） A. 12种 B. 48种 C. 72种 D. 120种 5. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. 80 B. C. D. 40 6. 过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）    A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的二项展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 展开式中所有项的系数和为256 B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C. 展开式中含x项的系数为 D. 展开式中二项式系数的最大项为第四项 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（ ） A. 从六门课程中选两门的不同选法共有20种 B. 课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种 C. 课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种 D. 课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种 11. 已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______． 13. 已知不等式恒成立，则的取值范围是______. 14. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间上的中值点．试求函数在区间上的“中值点”______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. （1）从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加米接力比赛，问有多少种参赛方案？ （2）从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，问有多少种选法？ （3）4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，问有多少种参赛方案？ 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最值. 17. 已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 18. 已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2． （1）求双曲线C的标准方程； （2）经过点作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程： （3）已知定点，点D是双曲线C右支上的动点，求的最小值． 19. 已知函数的导函数为． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个不同的零点，，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威八中2024年秋学期高二年级期末考试试卷 数 学 满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的方向向量可以是（ ） A. B. C. (2，) D. (，2) 【答案】A 【解析】 【分析】先得到直线的斜率，进而可得解. 【详解】直线的斜率为2，经对比选项，只有满足题意. 故选：A. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，对函数进行求导，得到，求出切线方程； 【详解】已知，函数定义域为， 可得， 此时， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 故选：B. 3. 已知直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积为，即可求出. 【详解】由已知得直线与直线的斜率分别为、， ∵直线与直线垂直， ∴，解得， 故选：. 4. 五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ） A. 12种 B. 48种 C. 72种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节即可得． 【详解】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为. 故选：C． 5. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. 80 B. C. D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于0，即可得出答案. 【详解】解：二项式的展开式的通项为， 令，则， 所以常数项为. 故选：B. 6. 过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相切，由勾股定理即可求解. 【详解】设圆心为半径为， 所以, 故， 故选：C 7. 如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解. 【详解】延长与双曲线交于点， 因为，根据对称性可知， 设，则， 可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：D. 【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值； 2．焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 8. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】   过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的二项展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 展开式中所有项的系数和为256 B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C. 展开式中含x项的系数为 D. 展开式中二项式系数的最大项为第四项 【答案】BC 【解析】 【分析】令可判断选项A；所有奇数项的二项式系数和为可判断选项B；由展开式的通项可判断选项C； 利用展开式中二项式系数的性质可判断选项D. 【详解】对于A：令，可得展开式中所有项的系数和为，故A不正确； 对于B：展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确； 对于C：的展开式的通项为，令得，所以展开式中含项的系数为，故C正确； 对于D：展开式中共有项，中间项即为第五项的二项式系数最大，故选项D不正确. 故选：BC. 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（ ） A. 从六门课程中选两门的不同选法共有20种 B. 课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种 C. 课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种 D. 课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答. 【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确； 对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确； 对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确； 对于D，先排“礼”、 “书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”， 不同排法共有种，D不正确. 故选：BC 11. 已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解. 【详解】当时，单调递增， 由图可知时，，单调递增，故A正确； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故B错误； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，故C正确； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】写出点斜式方程，化为一般式方程. 【详解】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为. 故答案为： 13. 已知不等式恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得对恒成立，令，利用导数求的最小值即可. 【详解】由不等式恒成立，可得对恒成立， 所以， 令，求导得， 当时，，所以在上为减函数， 当时，，所以在上为增函数， 所以，所以. 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间上的中值点．试求函数在区间上的“中值点”______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，设在区间上的“中值点”为，则，求出答案. 【详解】，， 设在区间上的“中值点”为，则， 解得， 故函数在区间上的“中值点”为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. （1）从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加米接力比赛，问有多少种参赛方案？ （2）从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，问有多少种选法？ （3）4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，问有多少种参赛方案？ 【答案】（1）360（2）15（3）42 【解析】 【分析】（1）直接应用排列数的意义求解（2）直接应用组合数的意义求解（3）不同元素的分配，先分份，再分配 【详解】（1） （2） （3）第一步，剔除一个项目 第二步，把四名同学分成1，3或2，2两份 第三步，把两份不同的元素放入两个不同的位置 则根据分步计数原理，不同的参赛方案有： 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】(1)求导，根据函数在处取得极值求解； (2)由(1)得到，利用导数法求解最值. 【小问1详解】 ， 函数在处取得极值， 所以有，经检验满足题意； 【小问2详解】 由(1)可知：， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故函数在处取得极小值，因此， ，， 故函数的最大值为，最小值为. 17. 已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 18. 已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2． （1）求双曲线C的标准方程； （2）经过点作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程： （3）已知定点，点D是双曲线C右支上的动点，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义及焦点坐标可得双曲线方程； （2）利用点差法求直线方程； （3）根据双曲线的定义可得，进而即得. 【小问1详解】 由题可设双曲线方程为， 由双曲线的焦点为，，得， 又双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2，则， 所以， 所以双曲线方程为； 【小问2详解】 设，，则， 作差可得， 即， 又为的中点，即，， 代入得， 即直线的斜率， 直线的方程为，即， 此时由可得， ，故所求直线为. 【小问3详解】 由题可知，即， 所以，当且仅当在线段上时等号成立， 又，，， 所以的最小值为. 19. 已知函数的导函数为． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个不同的零点，，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 由题意及（2）知， 存在不同的， 使得， 不妨设， 则，. 设，则， 当时，，在上恒成立， 当时，单调递减，， 即. ， 在上单调递增，， 即. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）利用导数求出函数的最小值，由题意只需最小值小于0即可得出的取值范围； （3）构造函数，利用导数得出单调性可得，即可由及的单调性得证. 【小问1详解】 若， ，又， 曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ， 设，则. 令， 得， 在上，， 在上，， 在上单调递减， 在上单调递增， . 又当或时，， 要使有两个零点， 只需， 解得， 的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：在证明第三问中，根据题意构造函数，利用单调性得出，再由的单调性即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $