2025年九年级中考数学一轮专题复习 相似三角形及其应用 课件

相似三角形及其应用 中考一轮复习 考点一 相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 考点二 相似三角形的判定 A、用定义； C、用判定定理1、2、3. D、直角三角形相似的判定定理 复习 知识点梳理： B、用平行法 考点三 相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边成比例 （2）对应角平分线、对应中线、对应高的比都等于相似比。 （3）相似三角形周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 A B C D E A B C D A B C D E E D C B A A E D B C 两个极具代表性的“基本图形模型”： “A”型和“X” 型相似三角形. 相似三角形基本模型： （1）如图1,当AB∥CD时，则△ ∽△ （2）如图2，当 时，则△ ∽△ 。 ABO DCO ∠A=∠C或∠B=∠D ABO CDO O A B C D X” 型相似三角形 1、（1）如图1，当 时，△ABC∽ △ADE。 （2）如图2，当 时，△ABC∽ △AED。 （3）如图3，当 时， △ABC∽ △ACD。 ∠ADE= ∠B或DE∥BC ∠ADE= ∠C或∠AED=∠B ∠ADE= ∠C或∠AED=∠B “A” 型相似三角形 （2）由（1）得∠ADB=∠E 又∵∠BAD=∠EAD ∴△ABD∽△ADE ∴AB：AD=AD：AE 又∵∠ABC=∠C ∴AB=AC 即AD2=AB•AE=AC•AE． 例1.如图，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接BD． （1）求证：∠ADB=∠E； （2）求证：AD2=AC•AE． 典例精析 证明（1）∵DE∥BC ∴∠ABC=∠E ∵∠ABC=∠C ∴∠E=∠C 又∵∠ADB=∠C ∴∠ADB=∠E 例2，如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且 延长AE至F，使AE = EF，设BF = 10，cos∠BED = (1)求证：△DEB∽△DAE； (2) 求DA，DE的长； 典例精析 （1）证明：∵ ∴ 又∵∠D =∠D， ∴△DEB∽△DAE. (2) ∵AB是⊙C的直径，E是⊙C上的点， ∴∠AEB = 90°，即BE⊥AF. 又∵AE = EF，BF = 10，∴AB = BF = 10. 由(1)知△DEB∽△DAE， ∴∠A =∠BED. ∴cos A = cos∠BED = 在Rt△ABE中，= 10× = 8 ∵△DEB∽△DAE “M” 型相似三角形 x A B P C O y X=4 如图，已知抛物线与x轴交于A(2,0)、B两点，与y轴交于点C(0,3),对称轴为直线x=4. （1）求点B的坐标 （2）求此抛物线的解析式； （3）该抛物线位于x轴上方的 图象上有一点P，满足∠PBC=90°， 求点P的坐标. 典例精析 D A C B D ∠ACB=90° [射影定理] A B C D “双垂直” 型相似三角形 考点1 相似图形的有关概念 考 点 聚 焦 相似图形 形状相同的图形称为相似图形 相似多边形 定义 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似 相似比 相似多边形对应边的比称为相似比k 相似三 角形 两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等 考点2 比例线段 定义(定理) 防错提醒 比例线段 1．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 ２.定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位 黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________ 一条线段的黄金分割点有______个 a∶b＝c∶d　 0.618 两 考点3　相似三角形的判定 判定定理1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________ 判定定理2 如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似 判定定理3 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那么这两个三角形相似 判定定理4 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两个三角形相似 拓展 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似 相似 比 相应的夹角 两个角对应相等 考点4　相似三角形的性质 相似三角形 (1)相似三角形周长的比等于相似比 (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方 (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比 相似多 边形 (1)相似多边形周长的比等于相似比 (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方 考点5　位似 考点5 位似 k或-k 考点6　相似三角形的应用 几何图形 的证明与 计算 常见 问题 证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等 相似三角 形在实际 生活中的 应用 建模 思想 建立相似三角形模型 常见 题目 类型 (1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三形 求解； (2)测量底部可以达到的物体的高度； (3)测量底部不可以到达的物体的高度； (4)测量不可以达到的河的宽度 探究一 比例线段 归 类 探 究 例1 如图22－1，已知在△ABC中，点D、E 、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(　　) A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 图22－1 A ３份 ３份 ５份 ５份 ３份 ５份 Ｅ１ Ｅ２ Ｅ３ Ｅ４ 方法１.过Ｄ作其中一条边的平行线，与另一边 相交，所截三角形与　ＡＢＣ相似． 方法２.以Ｄ为顶点，ＡＣ为边作一个角， 使它等于　Ｂ，所画直线与另一边相交， 所截三角形与　ＡＢＣ相似． 探究二 相似三角形的判定 解：过Ｄ画线段ＤＥ,所截三角形，与　ＡＢＣ相似，这样的 三角形有 ，如图： ４个 例题讲解 探究三 相似三角形的性质及其应用 命题角度： 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度； 2. 利用相似三角形性质探求比值关系． 例2 如图22－2，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M. (1)求证： ； (2)求这个矩形EFGH的周长． 图22－2 解　析 (1)证明△AHG∽△ABC， 根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论． (2)设HE＝x，则HG＝2x， 利用第一问中的结论求解． 条件：AD是边BC上的高，BC＝40 cm， AD＝30 cm， 长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH 条件：AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm， 长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH 求证： 解　　 条件：AD是边BC上的高，BC＝40 cm， AD＝30 cm， 长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH 求 矩形EFGH 的周长 变式题 如图22－3，一个人拿着一把刻有厘米刻度的小尺，站在离电线杆约20 m的地方，他把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长约40 cm，你能根据以上数据求出电线杆的高度吗？ 图22－3 解　析　运用的是相似三角形的对应高的比等于相似比，来求出电线杆的高度，注意单位的转化． 解 根据题意，得△AOB∽△DOC， 所以CD∶AB＝20∶0.4， 即CD∶0.12＝20∶0.4， 解得CD＝6 m. 故电线杆的高度为6 m.　 探究四 三角形相似的判定方法及其应用 命题角度： 1．利用两个角判定三角形相似； 2．利用两边及夹角判定三角形相似； 3．利用三边判定三角形相似. 例3 如图22－4，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝8，AD＝6 ，AF＝4 ，求AE的长． 图22－4 判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”． 探究五 相似三角形与圆 命题角度： 1. 圆中的相似计算； 2. 圆中的相似证明． 如图22－5，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分 ∠DAB. (1)求证：DC为⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长． 图22－5 (1)证明：连接OC. ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA. 又∠OAC＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴OC∥AD，∴OC⊥CD. 即DC为⊙O的切线． 解　 3 3 4 ？ 中 考 预 测 如图22－7，△ABC是一块锐角三角形的材料， 边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正 方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶 点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是 ________mm. 图22－7 48 本节课完 $$