重庆市南开中学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2025 南开中学高 2026 高二上 考试 数学试题卷 一、单 题（ 大题共 8个 题，每 题只 一个 项正 ，每 题 5 ，共 40 ） 1. 已知 Sn为 差数 an 的 n项 ,若 S9= 45, a5= ( B ) A. 10 B. 5 C. 352 D. 5 2 2. 曲线 f x = ex+ x+ 1 ln 点 0, f 0  处的 线方 为 ( A ) A. y= 2x+ 1 B. y= 2x- 3 C. y= x+ 2 D. y= x- 2 3. 已知 Sn为 比数 an 的 n项 ,若 4a2= a3+ 4a1, S8 S4 = ( D ) A. 17 B. 2 C. - 2 D. 17 4. 已知 x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a> b> 0 的上、下顶点 为 A, B,左顶点为D,左焦点为 F1,且 AF1⊥ BD, 的离心率为 ( C ) A. 13 B. 2- 3 2 C. 5- 1 2 D. 1 2 5. 若函数 f x = x3+ x2- ax+ b x=-1处取得 大值 0, f x  -1,3 的值域为 ( C ) A. -2,1  B. 0,32  C. - 3227 ,32  D. - 32 27 ,0  6.“ 辉三角” 二项式系数 三角形中的一种几 排 , 中国南宋数学家 辉 1261 所著的《详解九 章 法》一书中 出现. “ 辉三角”中, 每行两边的数都 1 外,其 每个数都 其“肩上”的两 个数之 . 辉三角每行两边的数改成了 1, 2, 3⋯⋯得 下图中的三角数 , 其 为“南 开三角”.假设 n n≥ 2 行的 二个数为 an, 如 a2= 2, a3= 4. a10= ( D ) A. 54 B. 57 C. 45 D. 46 1 2 2 3 34 7 7 44 1411 115 5 6 616 1625 25 1 页，共 7 页 7. 已知 a= 0.1, b= 1.1ln , c= 1.2ln - 0.1, ( D ) A. b> c> a B. c> a> b C. a> c> b D. a> b> c 8. 已知双曲线C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a> 0,b> 0 的左、右焦点 为 F1, F2,点Q a2 ,0 , 双曲线右支上存 点 P, 得 PF2 , PQ , PF1 成 比数 , 双曲线离心率取值 围 ( B ) A. 52 , +∞  B. 1, 5 2  C. 3 2 , +∞  D. 1, 3 2  二、多 题（ 大题共 3个 题，每 题 6 ，共 18 ． 每 题给出的 项中， 多项 题目要 的．全部 对的得 6 ，部 对的得部 ， 错的得 0 ） 9. 若数 an 的 n项 Sn=-n2+ 8n, n∈N * , ( ABC ) A.数 an  差数 B. a2= 5 C. a3∙ a5< 0 D. Sn 值 10. 已知抛物线 x2= 4y的焦点为 F,过 F 斜率为 k k> 0 的直线从右至左 次与抛物线、准线交于 A, B, C三点, A, B两点处的 线交于 P点, 以下说法正 的 ( ACD ) A.若 S△OBC= S△OAB, k= 24 B.若 S△OBC= S△OAB, k= 2 C. PC⎳ x轴 D. PC min= 4 11. 已知函数 f x = x ax ln + x3- 54 x 2- x- 3 a> 0 , 下 正 的 ( BCD ) A.当 a= 1时,函数 f x  0,1 上单 B.对于任意的正实数 a,函数 f x  0, +∞ 不单 C.当 a> e2 时,函数 f x  0,2 上 且仅 1个零点 D.对于任意的正实数 a,函数 f x  0,2 必 值 三、 题（ 大题共 3个 题，每 题 5 ，共 15 ） 12. 已知双曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a> 0,b> 0 的两 渐近线与 x- c 2+ y2= a2 相 , 两 渐近线的方 为 y=±x . 13. 已知函数 f x = ex-2- ax2+ x 区间 1, +∞ 上存 单 减区间, 实数 a的取值 围 - 12 , +∞  . 14. 已知 Sn为数 an 的 n项 ,且满足 Sn+ Sn+1= n2+ 2n n∈N * ,若对于∀ n∈ N *, an< an+1恒成 , 首项 a1的取值 围 1 4 ,2  . 2 页，共 7 页 四、解 题（ 大题共 5个 题，共 77 ，解 写出文字说 、证 过 或 步骤） 15.（ 题满 13 ） 如图, 四棱锥 S- ABCD中, ABCD为直角梯形, SA⊥ ABCD,且 AD⎳ BC, AD⊥ AB, AD = AB= 2BC, △ABS为 腰直角三角形. （1）证 : AD⊥ SB; （2） 二 角 B- SD-C的 角的 弦值. 【 案】（1）略;（2）二 角 B- SD-C的 角的 弦值为 23 A B C D S 3 页，共 7 页 16.（ 题满 15 ） 设 Sn为数 an 的 n项 ,且满足 Sn= 2an- 1 n∈N * . （1） 数 an 的 项公式; （2）令 bn= n ∙ an, 数 bn 的 n项 Tn. 【 案】（1）an= 2n-1;（2）Tn= n- 1 2n+ 1 4 页，共 7 页 17.（ 题满 15 ） 已知函数 f x = a xln + x 2 2 - ax a> 0 . （1）讨论函数 f x 的单 区间; （2）若 f x  两个 值点 x1, x2,证 : f x1 + f x2 < 8 2ln - 12. 【 案】（1）当 a∈ 0,4 , 单 区间为 0, +∞ ,无单 减区间 当 a∈ 4, +∞ , 单 区间为 0, a- a 2- 4a 2  a+ a 2- 4a 2 , +∞ , 单 减区间为 a- a 2- 4a 2 , a+ a2- 4a 2  （2）略 5 页，共 7 页 18.（ 题满 17 ） 如图,已知 C: x 2 4 + y2 3 = 1 的左、右焦点 为 F1, F2,双曲线 Γ 以 C的焦点为顶点,且离心率为 2 . （1） 双曲 Γ的标准方 ; （2）过 -3,0  斜率不为 0的直线与双曲线 Γ交于不 两点 A, B,设直线 AF2, BF2的斜率 为 k1, k2. （i）证 : k1∙ k2为定值; （ii）直线 AF2与 C交于M , N两点,直线 BF2与 C交于 R, S两点, MN ∙ RS 的 大值. O x y A B F1 F2 M N R S 【 案】（1）x2- y2= 1;（2）k1k2=- 12 ;（3）36 6 页，共 7 页 19. 如图,已知抛物线 y2= 32 x的焦点为 F,点 P1 m, 1 2  抛物线上,已知直线 l: y= 3 3 x+ 5 24 ,按如下方法 点 Pn xn,yn （其中 yn> 0）: 过抛物线上的点 Pn x轴的 行线,交直线 l于点 Pn+1,直线 PnPn+1关 于直线 l: y= 33 x+ 5 24 的对称直线交抛物线于点 Pn+2⋯⋯ （1） 实数m的值, 直线 P2P3的方 ; （2） 数 y2n-1 n∈N * 的 项公式, 证 :对任意 n∈N *, 12 ≤ yn< 5 4 ; （3）设数 yn+ 14 的 n项积为 Tn,若不 式 16 3 Tn ln - 16 3 aTn≤ 0 对任意的 n∈ N *恒成 , 实数 a 的 值. 7 页，共 7 页