27.2.1 相似三角形的判定(AAA HL) 课件-2024-2025学年人教版九年级数学下册

人教版数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定 （AAA/HL） 1、已知：如图，在△ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE∽△ABC. 思考1:上面的平行线证法中有同位角相等、内错角相等，那么上题中的证明三角形相似有没有更简单的方法呢？ 思考2: 左图中，∠A是公共角，如果∠ADE=∠B，△ADE相似于△ABC吗？ 复习引入：A字型、8字型 复习导入 1 如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？ 边边边 S S S √ 边角边 S A S √ 斜 边 直角边 H L 角角边 A A S 角边角 A S A ASA、AAS只有一组边， 能成比例吗？ 学习新知 2 一、画一画 先任意画一个△ABC，再画 △A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，观察，△A′B′C′与△ABC相似吗？ 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 学习新知 2 二、证一证 已知：在△ABC 和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'. 求证:△ABC∽△A'B'C' 证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上， 截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E， 则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B. ∵∠B=∠B′， ∴∠ADE=∠B′. 又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′， ∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC. C A A' B B' C' D E 学习新知 2 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： 三、归纳 C A A' B B' C' 角 角 A A √ 学习新知 2 如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？ 一角对应相等的两个三角形不一定相似。 学习新知 2 H L 角 角 A A √ 已知： △ABC∽△A1B1C1. 求证： A B C Rt△ABC和 Rt△A1B1C1 , . A1 B1 C1 学习新知 2 “直角边、斜边”定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ∴△ABC∽△A1B1C1. ∵在Rt△ABC和 Rt△A1B1C1 中 符号语言： A B C A1 B1 C1 典例讲解 3 例1 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°， ∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF. A C B F E D ∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ， ∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF中，∠E=80 °，∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. ∴ △ABC ∽△DEF. 典例讲解 3 例2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD. 证明:连接AC，DB. ∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角， ∴ ∠A= _______， 同理 ∠C= _______， ∴ △PAC ∽ △PDB， ∴ 即PA ·PB = PC · PD. O D C B A P ∠D ∠B 典例讲解 3 例3 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似． C A B D 分类讨论 典例讲解 3 例4 已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，若∠A=35°，∠C=85°，∠AED=60°． (1)△ABC∽△AED吗？说明理由 . (2)求证：AD·AB=AE·AC． A B C D E 典例讲解 3 例5 已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高．   A B C D 射影定理 测量验证法：问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？ 画 △ABC，另画 △A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题： 这两个三角形是相似的 一般情况下的合作探究 C A B A' B' C' 合作探究 已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'. 求证：△ABC∽△A'B'C'. C A B A' B' C' 合作探究 C A A' B B' C' D E 若∠A=∠A′，∠B=∠B′。证明：△A′B′C′∽△ABC ∴ ∠ADE=∠B 证明:在线段 AB 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∴ △ADE ∽ △ABC. ∴∠ADE=∠B′. ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴ △A′B′C′ ∽△ABC. ∵ ∠B=∠B′ ∵∠A=∠A′，AD=A′B′,∠ADE=∠B′ 过程书写 两组角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： C A B A' B' C' 利用两组角判定两个三角形相似的定理： 合作探究 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，∠C′=90°， . 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. C A A' B B' C' 目标： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 合作探究 C A A' B B' C' ∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. 证明：设 = k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′. 合作探究 达标练习 1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相 似三角形共有 ( ) A. 1对 　　B. 2对 C. 3对 　　D. 4对 C 2. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5， AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( ) A C A B D E A B D C 3. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC； ACD ACB B ADC 4. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于D. 若 AB=6，AD=2，则 AC= ，BD= ，BC= . 18 D B C A 证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴ 5. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证： D C A B E F 证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 6. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE． 7. 如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC 的高， 求证：AC · BC = BE · CD. O D C B A E 证明： 连接CE，则∠A=∠E. 又∵BE是△ABC的外接圆O的直径， ∴∠BCE=90°=∠ADC， ∵∠A=∠E，∠BCE=∠ADC， ∴△ACD∽△EBC. ∴ ∴ AC · BC = BE · CD. 如图，已知 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，AC =4，BC =3，则 AD = . 练习巩固 1、已知：如图，直线BE、DC交于A, ∠1＝∠2． 求证：△ADE∽△ABC． 证明 ∵直线BE、DC交于A, ∴ ∠DAE=∠BAC ∵∠1＝∠2,∠DAE=∠BAC． ∴ △ADE∽△ABC． 练习巩固 1、已知：如图，直线BE、DC交于A, ∠1＝∠2． 求证：AD·AC＝AE·AB 提示 三角形相似的基本性质：如果两个三角形相似，那么对应角相等，对应边成比例。例如∵△ADE∽△ABC ∴ ∴ AD·AC＝AE·AB 练习巩固 变式1： 如图2，若∠1＝∠2 ，求证：AD·AC＝AE·AB． 练习巩固 变式2： 如图3，若∠1＝∠2 ． （1）求证：AB2＝AD·AC； （2）若AD＝2，AC＝8，求AB． 练习巩固 用两角分别相等判定两个三角形相似的基本类型图 “母子”型 “X”型 “A”型 常见类型 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB。 求证：△ADE∽△EFC. A E F B C D 练习巩固 O D C B A P 例2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P。 求证：PA · PB=PC · PD. 证明:连接AC，DB. ∴ ∠A= ∠D,∠C= ∠B ∴ △PAC ∽ △PDB， ∴PA ·PB = PC · PD. 上述结论叫做相交弦定理 练习巩固 变式. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3，AB = 11，PC = 4，则 PD = . 6 O D C B A P 练习巩固 1. 如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=60°，∠B =50°，∠A' = 60°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'. C A B B' C' A' 70° 练习巩固 课堂总结 每天进步一点点 作业布置 基 础 训 练 感谢聆听 $$