27.2.1 相似三角形的判定(4) 课件 2024--2025学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相似 27.2.1 相似三角形的判定(4) 学习目标 1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. 3.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算. 1.观察这样的两个三角形相似吗？ 在△ABC 与△A'B'C'中，如果满足∠B=∠B＇，∠C=∠C'，那么能否判定这两个三角形相似？ 猜想：△ABC∽△A'B'C' 新课导入 新知探究 知识点1：两角分别相等的两个三角形相似 C A B A' B' C' 与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A=∠A′， ∠B=∠B′，度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？ 新知探究 证明：在 △ABC 的边 AB上，截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E， C A A' B B' C' D E 如图，在△ABC与△A′B′C′ 中，∠A=∠A′，∠B=∠B′ . 证明：△A′B′C′∽△ABC. 则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B. ∵∠B=∠B′，∴∠ADE=∠B′. 又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′， ∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC. 新知探究 利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽△A'B'C'. 符号语言： C A B A' B' C' 新知探究 利用此定理证明两三角形相似的关键是找相等的角.如公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件. 新知探究 (1)平行线型：如图(1)，若 DE//BC，则△ADE∽△ABC； (2)相交线型：如图 (2) ，若∠AED =∠B，则△AED∽△ABC； (3)子母型：如图(3)，若∠ACD =∠B，则△ACD∽△ABC. 常见的相似三角形的类型 跟踪训练 如图，在△ABC 中，∠ABC =80°，∠A = 40°，AB 的垂直平分线分别与 AC，AB 交于点 D，E，连接 BD. 求证： △ABC∽△BDC. 解：∵ DE 是 AB 的垂直平分线， ∴ AD =BD， ∴ ∠ABD =∠A =40°， ∴ ∠DBC = ∠ABC -∠ABD = 40°， ∴ ∠A=∠DBC. 又∠C =∠C， ∴ △ABC ∽△BDC. 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° . 又∠C=90 °，∠A=∠A， ∴ △AED ∽△ABC. 新知探究 知识点2：判定两个直角三角形相似 例2 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求 AD 的长. D A B C E 新知探究 判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 新知探究 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，∠C′=90°， . 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. C A A' B B' C' 目标： 新知探究 C A A' B B' C' ∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. 证明：设 = k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′. 新知探究 判定直角三角形相似的方法： 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD⊥AB，则图中的相似三角形有( ) A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 跟踪训练 D ∠ACD =∠B，∠BCD =∠A. △ADC∽△CDB∽△ACB. 问题1：度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？ 一、两角分别相等的两个三角形相似 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′=40°， ∠B=∠B′=55°，探究下列问题： 探究新课 这两个三角形是相似的 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，∠B= ∠B′, 求证：△ABC∽△A′B′C′ 问题2：试证明△ABC∽△A′B′C′. 证明： 在 △A′B′C′ 的边 A′B′(或 A′B′的延长线)上，截取 A′D=AB， 过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E， 则有△A′DE ∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′. ∵∠B=∠B′， ∴∠A′DE=∠B. ∴△ABC∽△A′B′C′ . ∴△A′DE ≌△ABC， 在△ABC与△A′DE中， 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： 归纳： 二、直角三角形相似判定定理 我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C' 中, 求证Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'. 证明：设 则AB=kA'B'，AC=kA'C', 由勾股定理得 ∴Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'. 1．两角分别相等的两个三角形相似． 例1 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D,求AD的长. 典例解析 解：∵ ED⊥AB， ∴ ∠EDA=90°. 又∠C=90 °， ∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC. 因此，求AD的长为4. 例2　如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.若AB＝6，AD＝5， 求AF的长． 解：如图．连接BD.∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， BD2＝AB2－AD2＝11. ∵∠2＝∠3，∠2＝∠1， ∴∠1＝∠3. ∵∠ADB＝∠BDF＝90°， ∴△DFB∽△DBA， ∵AB＝6，AD＝5，由勾股定理，得 因此，AF的长是 1.如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AB 上，且∠ADE =60°. 求证：△ADC∽△DEB. 随堂练习 解：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠B =∠C =60°， ∴ ∠ADB =∠CAD +∠C =∠CAD+60°. ∵ ∠ADE=60°， ∴ ∠ADB =∠BDE +60°， ∴ ∠CAD =∠BDE， ∴△ADC∽△DEB. 证明两三角形相似的基本思路 若已知条件中有平行线，一般可利用平行线直接判定两三角形相似； 若已知一对等角，则找另一对等角，或证明夹这对等角的两边成比例； 若已知两边成比例，则证明这两边的夹角相等，或证明三边成比例. 随堂练习 1 2 3 随堂练习 2.如图，已知在四边形 ABCD 中，∠ADB =∠ACB，延长 AD，BC 相交于点 E. 求证：(1)△ACE∽△BDE； 证明：(1)∵ ∠ACB =∠ADB， ∴ ∠ACE =∠BDE，又∠E =∠E， ∴△ACE∽△BDE. 随堂练习 2.如图，已知在四边形 ABCD 中，∠ADB =∠ACB，延长 AD，BC 相交于点 E. 求证：(2)BE·CD =AB·DE. 随堂练习 将等积式转化为比例式. 观察比例式中的线段是否分别在两个形状相同的三角形中(可采用三点定形法；也可在图中标出这些线段，通过观察确定)，若在两个形状相同的三角形中，可证明这两个三角形相似，若不在两个形状相同的三角形中，可利 利用相似三角形证明等积式的步骤 1 2 随堂练习 用如下方法转化：①等线段转化；②中间比转化；③添加辅助线构造相似三角形转化. 根据相似三角形对应边成比例或中间的转化得到比例式，再化为等积式. 利用相似三角形证明等积式的步骤 3 随堂练习 3.如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，P 是边 BC 上的一点 QP⊥AP 交 DC 于点 Q，设 BP =x，△ADQ 的面积为 y. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； 随堂练习 随堂练习 (2)点 P 在何位置时，△ADQ 的面积最小？最小面积是多少？ 课堂小结 两角分别相等的两个三角形相似 定理 公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角 常见相等角 相似三角形的判定 1.在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A=35°，∠B′=55°： ； (2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ； (3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： . 随堂演练 相似 相似 相似 2. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5， AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( ) A C A B D E 3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， 求证：△ADE∽△EFC. A E F B C D ∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. 证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴△ABC∽△BDC. 证明：∵AB=AC， 又∵BD平分∠ABC， 又∵∠C=∠C. ∴∠A=∠DBC. 4.如图△ABC中，AB=AC，求证：△ABC∽△BDC. 解：∵AD⊥BC,∠BAC=90°, 5.如图，AD是Rt△ABC的斜边上的高. 若AB=4 cm，BC=10 cm， 求BD的长. ∴∠ADB=∠CAB. ∵ ∠B=∠B ∴△ABD∽△CBA, ∵AB=4 cm，BC=10 cm， ∴BD=1.6(cm). 因此，BD的长为1.6cm. 课堂小结 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 相似三角形的判定 $$