27.2.1 相似三角形的判定 平行线分线段成比例 课件 -2024--2025学年人教版九年级数学下册

27.2.1 相似三角形的判定（一） 平行线分线段成比例 2、相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 复习回顾 最简单的相似多边形是什么图形？ 其中，对应边的比叫做相似比. 1、若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形. 相似三角形定义：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似。 A C B A1 B1 C1 类比迁移 表示方法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. 　∠A=∠A1,∠B=∠B1，∠C=∠C1， 在△ABC 和△A1B1C1中，如果 几何语言： 则△ABC∽△A1B1C1， 要把对应顶点写在对应位置上. 类比迁移 则△ABC 与△A1B1C1 的相似比为k . 相似比：三角形对应边的比 想一想:如果k=1，这两个三角形有怎样的关系 ？ A C B A1 B1 C1 若 相似比具有顺序性 或△A1B1C1 与△ABC 的相似比为 . 判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 想一想： A1 A3 B3 B1 a c m n b A2 B2 【引例】如图,小方格的边长都是1,直线a∥b∥c,分别交直线m,n于A1,A2,A3,B1,B2,B3.(1)计算 你有什么发现? (2)将b向下平移到如图2的位置,直线m,n与直线b的交点分别为A2,B2.你在问题(1)中发现的结论还成立吗?如果将b平移到其他位置呢? 知识点一 新知探究 平行线分线段成比例的基本事实 一、平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. ∵l3∥l4∥l5 推导格式： l1 l2 l3 l4 l5 A D B F E C 知识点一 知识归纳 平行线分线段成比例的基本事实 D A C E B D F l2 l1 l3 知识点一 当堂训练 平行线分线段成比例的基本事实 如图,已知l1∥l2∥l3,下列比例式中错误的是( ) A. B. C. D. 平行线分线段成比例的基本事实 01 平行线分线段成比例的推论 02 相似三角形的判定定理 03 知识要点 精讲精练 l1 l2 l3 l4 l5 A D B F E C “A”型 “X”型 所得的对应线段成比例． 二、平行线分线段成比例的推论： ∵DE∥BC 推导格式： ∵AF∥BC 推导格式： (或两边的延长线) 平行于三角形一边的直线截其他两边, 知识点二 知识归纳 平行线分线段成比例定理的推论 【例2】如图,在△ABC中,EF∥BC. (1)如果E、F分别是AB和AC上的点,AE=BE=7,FC=4,求AF的长. (2)如果AB=10,AE=6,AF=5,求FC的长. A B C E F 解(1)∵ ∴ 解得:AF=4. (2)∵ ∴ 解得:AC= ∴FC=AC-AF= 知识点二 典例精讲 平行线分线段成比例定理的推论 平行线分线段成比例的基本事实 01 平行线分线段成比例的推论 02 相似三角形的判定定理 03 知识要点 精讲精练 三个角分别______,三条边________的两个三角形相似。 相等 成比例 在△ABC和△A´B´C´中, ∠A=∠A´,∠B=∠B´,∠C=∠C´ ∴△ABC∽△A´B´C´. △ABC与△A´B´C´的相似比k。 △A´B´C´与△ABC的相似比1/k。 相似三角形的判定(定义)： 推导格式： 如果k=1,这两个三角形有怎样的关系? 知识点三 知识归纳 相似三角形的判定定理 相似三角形的___________,三条边_______。 对应角相等 成比例 ∠A=∠A´,∠B=∠B´,∠C=∠C´, ∵△ABC∽△A´B´C´. 相似三角形的性质(定义)： 推导格式： 知识点三 知识归纳 相似三角形的判定定理 【问题】在△ABC中,D为AB上任意一点,过点D作DE∥BC交AC于点E.你认为△ADE与△ABC之间有什么关系?平行移动DE的位置,你的结论还成立吗?并证明. 知识点三 新知探究 相似三角形的判定定理 证明：在△ADE与△ABC中,∠A=∠A. 如图,过点D作DF∥AC,交BC于点F. C A B D E F ∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ ∵ 四边形DFCE为平行四边形， ∴ DE=FC， ∴△ADE∽△ABC. ∴ ∵ DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 相似三角形判定的定理： ∵DE∥BC； 推导格式： ∴△ADE∽△ABC 知识点三 知识归纳 相似三角形的判定定理 “A”型 “X”型 D E A B C A B C D E 【例3】如图,在正方形ABCD中,E为CD边的中点,连接AE,对角线BD交AE于点F,已知EF=1,则线段AE的长度为____. 知识点三 典例精讲 相似三角形的判定定理 3 相似三角形定义：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似。 A C B A1 B1 C1 类比迁移 表示方法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. 　∠A=∠A1,∠B=∠B1，∠C=∠C1， 在△ABC 和△A1B1C1中，如果 几何语言： 则△ABC ∽△A1B1C1. 则△ABC 与△A1B1C1 的相似比为k . 相似比：三角形对应边的比 想一想:如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ A C B A1 B1 C1 若 或△A1B1C1 与△ABC 的相似比为 . 练习： 如图，判断下面两个三角形是否相似，并说明理由. 16 18 25 8 9 12.5 想一想： 判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 合作探究 一、平行线分线段成比例（基本事实） 如图，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3. A1 A3 B3 B1 a c m n b A2 B2 归纳 A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 练习 如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( ) D 二、平行线分线段成比例定理的推论 观察与思考 根据平行线分线段成比例的基本事实，图中对应线段依然成比例. 图中对应的线段依然成比例吗？ A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a B1 B2 B3 n B2 B3 A2 A3 A1(B1) 当直线n向左平移到B1与A1重合的位置，把图中的部分线擦去，得到新的图形，对应线段成比例。 B1 B2 B3 n B3 A2(B2) A3 A1 B1 直线n向左平移到B2与A2重合的位置，把图中的部分线擦去，得到新的图形，对应线段成比例. A1(B1) A2 A3 B2 B3 A2(B2) A1 A3 B1 B3 归纳 平行线分线段成比例定理的推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)， 所得的对应线段成比例. 练习： AB//CD AB//CD//EF AB//CD//EF C 例1：如图，在△ABC中，EF∥BC，E、F分别是 AB和AC上的点，AB=10，AE=6，AF=5，那么FC 的长是多少？ 解： 如图,在△ABC中,D为AB上任意一点,过点D作BC的平行线DE，交AC于点E. △ADE 与△ABC 之间有什么关系？ 合作探究 B C A D E 三、相似三角形的引理 猜想：△ADE∽△ABC F 判定三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似. 归纳 几何语言： 如图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC. 定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交. 如图,在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3,EF=4,求CD的长． 练习： 课堂小结 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 平行线分线段成比例 基本事实 推论 判定三角形相似 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 知识梳理 课堂小结 平行线分线段成比例 成比例线段 基本事实 推论 相似三角形 判定定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. A B C E D F G A B C E D F G 1.如图,DE∥BC, ,则 ___；FG∥BC， ,则 ____. 2.如图,DE∥BC,AD=4,DB=6,AE=3,则AC=____；FG∥BC,AF=4.5,则AG=___. 3.若△ABC与△A´B´C´相似,一组对应边的长为AB=3 cm,A´B´=4 cm,那么△A´B´C´与△ABC的相似比是_____. 4.若△ABC的三条边长的比为3,5,6,与其相似的另一个△A´B´C´的一边长为12,那么A´B´C´的最大边长是____________. 7.5 6 查漏补缺 巩固训练 平行线分线段成比例 12,14.4,24 4:3 5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC= ,E为CD的中点,连接AE,BD交于点P,过点P作PQ⊥BC于点Q,则PQ=_____. 6.如图,在△ABC中,D,E为边AB的三等分点,EF∥DG∥AC,H为AF与DG的交点,若AC=6,则DH=____. 4/3 1 查漏补缺 巩固训练 平行线分线段成比例 7.如图,AD∥EG∥BC,EG分别交AB,DB,AC于点E,F,G.已知AD=6,BC=10,AE=3,AB=5,求EG,FG的长. 解：∵△ABC中,EG∥BC, ∴EG∥BC ∴△AEG∽△QBC. ∴EG=6， 在△BAD中,EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD A C G D B E F 查漏补缺 巩固训练 平行线分线段成比例 $$