专题1.3 整式的乘法（3大知识点4大考点14类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.3 整式的乘法（3大知识点4大考点14类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【要点提示】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 【知识点2】单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【要点提示】 （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【知识点3】多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 考点与题型目录 【考点一】单项式乘以单项式 【题型1】计算单项式乘以单项式..............................................2 【题型2】单项式乘以单项式求参数............................................2 【考点二】单项式乘以多项式 【题型3】计算单项式乘以多项式..............................................3 【题型4】单项式乘以多项式化简求值..........................................3 【题型5】单项式乘以多项式求参数值..........................................3 【题型6】单项式乘以多项式应用..............................................3 【考点三】多项式乘以多项式 【题型7】计算多项式乘以多项式..............................................4 【题型8】多项式乘以多项式化简求值..........................................4 【题型9】多项式乘以多项式求参数的值........................................5 【题型10】多项式乘以多项式与几何面积.......................................5 【题型11】多项式乘以多项式与规律问题.......................................6 【题型12】整式乘法混合运算.................................................7 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接.........................................................8 【题型14】拓展延伸.........................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】单项式乘以单项式 【题型1】计算单项式乘以单项式 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（19-20八年级上·黑龙江大庆·期中）若，化简 ． 【题型2】单项式乘以单项式求参数 【例2】（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【变式2】（21-22七年级下·湖南怀化·期末）若，则的值为 ． 【考点二】单项式乘以多项式 【题型3】计算单项式乘以多项式 【例3】（22-23八年级上·河南开封·期中）计算： (1) (2) 【变式1】（19-20九年级下·浙江杭州·期中）以下计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）若的计算结果中不含有项，则a的值为 ． 【题型4】单项式乘以多项式化简求值 【例4】（24-25八年级上·广东江门·期中）先化简后求值：，其中． 【变式1】（2024·四川南充·三模）已知，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式2】（22-23八年级下·广东梅州·阶段练习）若，则 ． 【题型5】单项式乘以多项式求参数值 【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 【题型6】单项式乘以多项式应用 【例6】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖，互相垂直且宽度均为a米的通道．    (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)剩余草坪的面积是多少平方米？ (3)若，．求剩余草坪的面积是多少平方米． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（23-24七年级下·广东清远·期末）现定义运算“”，对于任意有理数，都有，例如：，由此可知 ． 【考点三】多项式乘以多项式 【题型7】计算多项式乘以多项式 【例7】（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【变式1】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在展开多项式中，常数项为，则a等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ． 【题型8】多项式乘以多项式化简求值 【例8】（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定，例如，已知，则代数式的值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【变式2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）若，，则的值是 ． 【题型9】多项式乘以多项式求参数的值 【例9】（2024八年级下·浙江温州·竞赛）若展开式中含项的系数是17，则的值 （     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）的展开式中不含项和常数项，则 ； 【题型10】多项式乘以多项式与几何面积 【例10】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： (1)观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． (2)观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． (3)已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 【变式1】（23-24八年级下·广东江门·开学考试）如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类、B类、C类卡片共 张． 【题型11】多项式乘以多项式与规律问题 【例11】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律．    请仔细观察，填出的展开式中所缺的项： ． 【变式1】（24-25八年级上·海南海口·期末）杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角： 按照前面的规律，则的展开式中含有的项的系数为（   ） A．15 B．20 C．21 D．35 【变式2】（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【题型12】整式乘法混合运算 【例12】（24-25八年级上·云南保山·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式1】（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接 【例1】（2020·青海·中考真题）下面是某同学在一次测试中的计算： ①；②；③；④，其中运算正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【题型14】拓展延伸 【例1】（21-22七年级下·江苏扬州·期末）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 【例2】（21-22七年级下·江苏扬州·期末）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 整式的乘法（3大知识点4大考点14类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【要点提示】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 【知识点2】单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【要点提示】 （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【知识点3】多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 考点与题型目录 【考点一】单项式乘以单项式 【题型1】计算单项式乘以单项式..............................................2 【题型2】单项式乘以单项式求参数............................................3 【考点二】单项式乘以多项式 【题型3】计算单项式乘以多项式..............................................5 【题型4】单项式乘以多项式化简求值..........................................6 【题型5】单项式乘以多项式求参数值..........................................8 【题型6】单项式乘以多项式应用..............................................9 【考点三】多项式乘以多项式 【题型7】计算多项式乘以多项式.............................................11 【题型8】多项式乘以多项式化简求值.........................................13 【题型9】多项式乘以多项式求参数的值.......................................14 【题型10】多项式乘以多项式与几何面积......................................15 【题型11】多项式乘以多项式与规律问题......................................18 【题型12】整式乘法混合运算................................................20 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接........................................................22 【题型14】拓展延伸........................................................23 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】单项式乘以单项式 【题型1】计算单项式乘以单项式 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式，积的乘方： （1）（2）直接根据单项式乘以单项式计算，即可求解； （3）先算积的乘方，再算单项式与单项式的乘法，即可求解． 解:（1）； （2）； （3）． 【变式1】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式和合并同类项，根据积的乘方，单项式乘以单项式和合并同类项等计算法则求解判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 解:、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 【变式2】（19-20八年级上·黑龙江大庆·期中）若，化简 ． 【答案】 【分析】由且，可知，y＜0，进而得到，然后根据绝对值的意义进行化简，最后按照单项式乘单项式的法则进行计算． 解:∵且， ∴y＜0 ∴ ∴ ∴ = = 故答案为： 【点睛】本题考查绝对值的化简及单项式乘单项式，根据题意确定代数式的符号是本题的解题关键． 【题型2】单项式乘以单项式求参数 【例2】（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 解:（1）， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2） ， 当时，原式． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 解:， ， ，， ， 故选: C． 【变式2】（21-22七年级下·湖南怀化·期末）若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】先利用单项式乘单项式法则计算，再根据等式得到指数间关系，最后求出． 解:∵ ， ∴， ∴①，②． ∴，得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键． 【考点二】单项式乘以多项式 【题型3】计算单项式乘以多项式 【例3】（22-23八年级上·河南开封·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相交；即可得出结论； （2）有乘方先算乘方，再根据单项式与多项式相乘的法则即可求解． 解:（1） （2） ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握解题的方法是解题的关键． 【变式1】（19-20九年级下·浙江杭州·期中）以下计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘多项式，合并同类项对各选项进行判断作答即可． 解:，错误，故A不符合要求； ，错误，故B不符合要求； ，错误，故C不符合要求； ，正确，故D符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘多项式，合并同类项等知识．熟练掌握积的乘方，同底数幂的乘法是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）若的计算结果中不含有项，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令项的系数等于零，列方程求解即可． 解: ， ∵结果中不含有项， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4】单项式乘以多项式化简求值 【例4】（24-25八年级上·广东江门·期中）先化简后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式及合并同类项，熟练掌握单项式乘以多项式及合并同类项是解题的关键．先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项，得到，再将代入计算，即得答案． 解: ， 当时，原式． 【变式1】（2024·四川南充·三模）已知，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，先变形已知条件得，再化简原式，代入即可． 解: ∵ ∴原式． 故选：B． 【变式2】（22-23八年级下·广东梅州·阶段练习）若，则 ． 【答案】2019 【分析】由，可得，，，再整体代入求解代数式的值即可． 解:∵， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是求解代数式的值，整式的乘法运算，熟练的利用整体代入法求解代数式的值是解本题的关键． 【题型5】单项式乘以多项式求参数值 【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 解:∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 【变式1】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 解:， ， ， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及整式不含某项，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用相关运算法则计算得到，根据展开式中不含的项，即的系数为零，据此建立等式求解，即可解题． 解:， ， 展开式中不含的项， ， 解得， 故答案为：． 【题型6】单项式乘以多项式应用 【例6】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖，互相垂直且宽度均为a米的通道．    (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)剩余草坪的面积是多少平方米？ (3)若，．求剩余草坪的面积是多少平方米． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)260平方米 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式在几何图形中的应用： （1）通道面积为长为米，宽为a面的长方形面积加上长为米，宽为a面的长方形面积，再减去一个边长为a的正方形面积，据此列式求解即可； （2）用最大的长方形面积减去通道面积即为剩余草坪的面积，据此列式求解即可； （3）根据（2）所求，代值计算即可． （1）解； 平方米， 答：通道的面积是平方米． （2）解： 平方米 答：剩余草坪的面积是平方米． （3）解：当，时， ， 答：若，则剩余草坪的面积是260平方米． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键． 根据题意列出算式，然后化简求解即可． 解:∵ ∴ ． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·广东清远·期末）现定义运算“”，对于任意有理数，都有，例如：，由此可知 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，理解和运用新定义是解本题的关键． 利用题中的新定义对进行化简计算即可解答． 解:根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 【考点三】多项式乘以多项式 【题型7】计算多项式乘以多项式 【例7】（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘法，熟练掌握整式乘法运算法则是解题关键． （1）利用多项式乘以多项式计算，再合并同类项即可； （2）先计算多项式乘以多项式，然后去括号，合并同类项即可． 解:（1） ； （2） ． 【变式1】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在展开多项式中，常数项为，则a等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式．首先利用多项式乘以多项式的法则得出常数项，进而得出a的值． 解: ， 常数项为， ∴， 解得， 故选：C． 【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键． 先根据题意得出，，再整体代入求解． 解:由题意得： ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【题型8】多项式乘以多项式化简求值 【例8】（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【分析】本题考查整式的化简求值，正确运用多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则是正确解决本题的关键． 利用多项式乘多项式法则将原式展开，再去括号合并即可化简，最后将a、b值代入计算即可． 解:原式 ， 当，时，原式． 【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定，例如，已知，则代数式的值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得，从而得到，再代入，即可求解． 解:根据题意得：， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：D 【变式2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算-化简求值，先根据整式混合运算的法则把原式化为的形式是解答此题的关键．先根据整式乘法运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 解:， ，， 原式． 故答案为：． 【题型9】多项式乘以多项式求参数的值 【例9】（2024八年级下·浙江温州·竞赛）若展开式中含项的系数是17，则的值 （     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． 解:原式 ∵展开式中含项的系数是17 ∴ ∴ 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用多项式的不含某项问题求字母的值，解答的关键是先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程组求解即可． 把与的乘积结果化简后令项、x项的系数为0求解即可． 解: ∵结果化简后令项、x项， ∴， ∴． 故选A． 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）的展开式中不含项和常数项，则 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了无关型问题．熟练掌握多项式相乘法则合并同类项法则，代数式求值，是解题的关键． 用多项式乘多项式法则展开，合并同类项，根据不含项和常数项，令项系数和常数项都为0，解方程求出a、b的值，代入计算即得． 解:∵ 中不含项和常数项， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型10】多项式乘以多项式与几何面积 【例10】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： (1)观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． (2)观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． (3)已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)50 【分析】（1）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （2）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （3）根据（2）的等式代入解答即可． 本题考查了公式与几何图形的关系，熟练掌握公式的意义是解题的关键． 解:（1）根据题意，整体大长方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． （2）根据题意，整体大正方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． （3）∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵． ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·广东江门·开学考试）如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解，解题的关键是正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式． 由题意知：图和图中阴影部分的面积相等，正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式即可解答． 解:由题意知：图和图中阴影部分的面积相等， 图中，阴影部分面积， 图中，阴影部分面积， ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类、B类、C类卡片共 张． 【答案】9 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．由，得A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为，因此需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张． 解:长为，宽为的大长方形的面积为：， ∵A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为， ∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张，共9张． 故答案为：9． 【题型11】多项式乘以多项式与规律问题 【例11】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律．    请仔细观察，填出的展开式中所缺的项： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式及规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意，找出字母和系数存在的规律．观察图形可知：杨辉三角，各项是按照a的降幂和b的升幂排列，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，按照此规律进行解答即可． 解:， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·海南海口·期末）杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角： 按照前面的规律，则的展开式中含有的项的系数为（   ） A．15 B．20 C．21 D．35 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式以及规律型中数字的变化，观察图形，得出的系数从左到右分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，含有的项是左数第四项为：． 解:通过观察得：的系数从左到右分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，且a的次数从7逐次减低，b的次数从0逐次增加，项的次数都是7， 所以含有的项是左数第四项为：， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】(1)，，，， (2)①；② (3)19，11，9，，， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 解:（1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 【题型12】整式乘法混合运算 【例12】（24-25八年级上·云南保山·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方，再合并同类项即可得解； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再合并同类项即可得解． 解:（1） ； （2） ． 【变式1】（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可．（2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 解:（1） （2） 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 先运用整式的四则混合运算法则化简，然后将、代入计算即可． 解: ， 把，代入上式得： ． 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型13】中考链接 【例1】（2020·青海·中考真题）下面是某同学在一次测试中的计算： ①；②；③；④，其中运算正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方逐个判断即可． 解:与不是同类项，不可合并，则①错误 ，则②错误 ，则③错误 ，则④正确 综上，运算正确的个数为1个 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键． 【例2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果． 解:根据题意得：展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律． 【题型14】拓展延伸 【例1】（21-22七年级下·江苏扬州·期末）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 【答案】-99 【分析】观察已知可得，列出算术可得的值，即可得到答案． 解:由知， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 【例2】（21-22七年级下·江苏扬州·期末）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 【答案】-99 【分析】观察已知可得，列出算术可得的值，即可得到答案． 解:由知， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是理解求和符号“”的意义，求出，的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$