第03讲 实际问题与二元一次方程组-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版2024）

第03讲 实际问题与二元一次方程组 【题型一 二元一次方程组的应用-方案问题】 【题型二 二元一次方程组的应用-行程问题】 【题型三 二元一次方程组的应用-工程问问题】 【题型四 二元一次方程组的应用-数字问题】 【题型五 二元一次方程组的应用-年龄问题】 【题型六 二元一次方程组的应用-分配问题】 【题型七 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【题型八 二元一次方程组的应用-和差倍分问题问题】 【题型九 二元一次方程组的应用-几何问题问题】 【题型十 二元一次方程组的应用-古代问题】 【题型十一 二元一次方程组的应用-其他问题(问题】 考点： 二元一次方程的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 【题型一 二元一次方程组的应用-方案问题】 【典例1】（24七年级下·湖南株洲·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息﹐解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次﹐请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； (2)有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆； (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键． （）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）根据题意，列出二元一次方程，再根据都是正整数解答即可求解； （）分别求出每一种方案的费用即可求解； 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； （2）解：由（）得，， ∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆； （3）解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案三， 答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【变式1-1】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 【答案】(1)8辆 (2)10辆甲型车，7辆丙型车 (3)2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）需甲型车的数量（物资的总质量—每辆乙型车的运载量使用乙型车的数量—每辆丙型车的运载量使用丙型车的数量）每辆甲型车的运载量，即可求出答案； （2）设需要辆甲型车，辆丙型车，根据“全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出答案； （3）设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，根据公司使用的16辆车的总运载量为120吨，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （辆） 还需要8辆甲型车来运送； （2）解：设需要辆甲型车，辆丙型车， 根据题意得：， 解得：， 需要10辆甲型车，7辆丙型车来运送； （3）解：设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车， 根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， 共有2种运输方案， 方案1：使用6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车，所需运费为 （元）； 方案2：使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车，所需运费为 （元）； ， 使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省， 共有2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省． 【变式1-2】（23-24七年级下·山东济宁·期末）某品牌推出西游记人偶摆件一上市就深受人们喜爱．已知3个A型摆件和4个B型摆件共需470元；2个A 型摆件和3个B 型摆件共需340元． (1)求一个A型摆件和一个B型摆件的售价各是多少元； (2)小李爱好收藏，他打算用1600元（全部用完）购买A型、B型两种摆件（要求两种型号的摆件均购买），正好赶上商店对摆件价格进行调整，其中A型摆件售价上涨，B型摆件按原价出售，则小李有几种购买方案？ 【答案】(1)A型摆件售价50元一个，B型摆件售价80元一个 (2)购买方案为有两种：第一种：购买A型摆件16个，B型摆件6个；第二种：购买A型摆件8个，B型摆件13个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、求解二元一次方程的正整数解的知识，明确题意列出二元一次方程组是解答本题的关键． （1）设A型摆件售价x元一个，B型摆件售价y元一个，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买A型摆件a个，B型摆件b个，a、b均为正整数，根据题意有等式，即有，根据a、b均为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：设A型摆件售价x元一个，B型摆件售价y元一个， 根据题意有：， 解得：， 答：A型摆件售价50元一个，B型摆件售价80元一个； （2）解：设购买A型摆件a个，B型摆件b个，根据题意可知a、b均为正整数， 根据题意有等式：， 整理得：， 即：， ∵a、b均为正整数， ∴一定是7的倍数， ∴b可以为6和13， ∴相应的a可以为16和8， 故购买方案为有两种：第一种：购买A型摆件16个，B型摆件6个；第二种：购买A型摆件8个，B型摆件13个． 【变式1-3】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）黄、渭、洛三河交汇，平坦的地势加上充足的光照，为渭南市粮食和特色农产品实现“规模大、产量足、品种优、品质佳”提供了有利条件．现欲将一批农产品运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满农产品一次可运走10 吨；1辆A型车和2辆B型车载满农产品一次可运走11 吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满农产品一次可分别运送多少吨? (2)现有农产品31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满农产品．请你通过计算说明共有哪几种租车方案? 【答案】(1)1辆A型车载满农产品一次可运送3吨，1辆B型车载满农产品一次可运送4吨． (2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，方程组的非负整数解的应用； （1）设1辆A型车载满农产品一次可运送x吨，1辆B型车载满农产品一次可运送y吨，结合用2辆A型车和1辆B型车载满农产品一次可运走10 吨；1辆A型车和2辆B型车载满农产品一次可运走11 吨，再建立方程组解题即可； （2）根据现有农产品31吨，同时租用A型车a辆，B型车b辆，再利用二元一次方程的非负整数解解决问题即可； 【详解】（1）解：设1辆A型车载满农产品一次可运送x吨，1辆B型车载满农产品一次可运送y吨， 由题意得：，解得， 答：1辆A型车载满农产品一次可运送3吨，1辆B型车载润农产品一次可运送4吨． （2）解：由题意得：， ， 又a、b均为非负整数， 或或 共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【题型二 二元一次方程组的应用-行程问题】 【典例2】（23-24七年级下·全国·期中）已知A、B两码头之间的距离为，一艘船航行于A、B两码头之间，顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？ 【答案】船在静水中的速度及水流的速度分别为、 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，则顺水速度为，逆水速度为，根据往返路程相等建立等量关系，求出其解就可以求出结论． 【详解】解：设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，由题意可得： ， 解得：， 答：船在静水中的速度及水流的速度分别为、． 【变式2-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【答案】次列车的长度为，速度为． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案． 【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得： ， 解得： 答：次列车的长度为，速度为． 【变式2-2】（23-24七年级下·四川资阳·期中）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 【答案】甲、乙两地的距离为9千米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解， 最后把两断路程相加即可． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴甲、乙两地的距离为9千米． 【变式2-3】（23-24七年级下·北京延庆·期末）学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 【答案】小明每小时走4千米，小强每小时走5千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系 ，列方程组求解． 设小明每小时走x千米，小强每小时走y千米，根据小明走小时的路程小强走2小时的路程千米，他们共同走1个小时，俩人走的路程差为11千米，据此列方程组求解． 【详解】解：设小明每小时走x千米，每小时走y千米，根据题意列方程组，得 ， 解这个方程组，得 答：小明每小时走4千米，小强每小时走5千米． 【题型三 二元一次方程组的应用-工程问问题】 【典例3】（22-23七年级下·湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米； (2)两组还需要190天才能完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用—工程问题，本题关键在于设出两个未知数，找出等量关系列方程组． （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）用剩余的隧道工程长度除以两组每天共掘进的长度数，即可求得结果． 【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）按此施工进度，还需要：（天）， 答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务． 【变式3-1】（23-24七年级下·福建泉州·期末）6.18期间某网店销量大增，共售出商品520件，安排甲、乙两个工人打包发货，若甲先做2小时，然后两人再共做3小时，则还有10件没有打包；若两人合作4小时，恰好打包完．问甲、乙两个工人每小时各打包多少件商品？ 【答案】甲每小时打包60件，乙每小时打包70件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲每小时打包件、乙每小时打包件，根据“若甲先做2小时，然后两人再共做3小时，则还有10件没有打包；若两人合作4小时，恰好打包完”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设甲每小时打包件、乙每小时打包件， 依题意，得， 解这个方程组，得， 经检验，符合题意， 答：甲每小时打包60件、乙每小时打包70件． 【变式3-2】（2023·安徽滁州·二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天 (2)元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用， （1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可； （2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可． 【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天， 根据题意得：， 解得：． 答：工程队整治河道天，工程队整治河道天； （2）解：根据题意得： 元． 答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元． 【变式3-3】（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． (1)甲、乙工程队每天各施工多少米？ (2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 【答案】(1)甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米 (2)需支付的总费用为60000元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意列出二元一次方程组求解，即可解题； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天，根据题意列出方程求出a的值，再根据“总费用甲工程队费用乙工程队费用求解”即可解题． 【详解】（1）解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据题意，得， 解得． 答：甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天， 则， 解得， （元）． 答：需支付的总费用为60000元． 【题型四 二元一次方程组的应用-数字问题】 【典例4】（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【答案】这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由题意得出百位拨的数字是6，再根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，设出未知数列方程组并解出即可解决．找出等量关系列方程组是解题关键． 【详解】解：由题意得：小华在百位拨的数字是6， 设个位数字是，十位数字是， 由题意得：， 解这个方程组，得：， 答：这个三位数是615， 小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠． 【变式4-1】（23-24七年级下·全国·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49，求这个两位数？ 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为，个位数字为，根据“一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49”列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意可知：， 解得：， 答：这个两位数为36． 【变式4-2】（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 【变式4-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数． 【答案】甲数是24，乙数是12 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲数为x，乙数为y，然后根据把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲数为x，乙数为y， 根据题意，得 解得 答：甲数是24，乙数是12． 【题型五 二元一次方程组的应用-年龄问题】 【典例5】（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【答案】小亮今年的年龄为8岁 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为岁，根据题意列出方程并求解，即可求解． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁 由题意可得： 解得： 答：小亮今年的年龄为8岁． 【变式5-1】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式5-2】（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是 岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁，由题意：父亲今年44岁，x年前父亲的年龄是儿子的8倍，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴， 即当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是岁， 故答案为：． 【变式5-3】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【题型六 二元一次方程组的应用-分配问题】 【典例6】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与 座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 【答案】任务一：8，3；0，6；任务二：购进110张该型号板材，制作成480张学生椅；任务三：159张 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可； 任务二：列式计算得能制作成240张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，可得，解方程组可得答案． 【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张， ， m，n为非负整数， 或或 故答案为：8，3；0，6； 任务二：∵（张）， ∴购进110张该型号板材，制作成480张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和座垫3张，用y张板材裁切靠背0张和座垫6张，， 解得： ∵（张）， ∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和座垫3张，用73张板材裁切靠背0张和座垫6张． 【变式6-1】（23-24七年级下·吉林松原·阶段练习）某加工厂接到一批制作课桌椅的订单．已知该工厂有名工人，每人每天平均可以加工张课桌或把椅子，一套课桌有张课桌和把椅子，为了使每天加工的课桌和椅子刚好配套，求加工课桌和椅子的工人数量． 【答案】人加工课桌，人加工椅子 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意正确找出等量关系．设人加工课桌，人加工椅子，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设人加工课桌，人加工椅子， 由题意得， 解得：， 答：人加工课桌，人加工椅子． 【变式6-2】（23-24七年级下·吉林松原·阶段练习）某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人? 【答案】应安排35人生产甲种零件，16人生产乙种零件 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，根据题意抽象出两个二元一次方程，再求解是解题关键．设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件， 由题意，得：， 解得：． 答：应安排35人生产甲种零件，16人生产乙种零件． 【变式6-3】（22-23八年级上·贵州毕节·期末）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示． 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 解答下列问题：（假设每辆车均满载） (1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？ (2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？ 【答案】(1)甲、乙型车分别需要8辆、10辆 (2)乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握建立方程组是解题关键． （1）设需要甲型车a辆，乙型车b辆，根据“120吨物资”和“运费9600元”建立方程组，解方程组即可得； （2）设需要乙型车x辆，丙型车y辆，根据“甲、乙、丙型车共14辆”，“一次运完全部物资”建立关于x，y的方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）设甲、乙型车分别需要a辆、b辆． 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙型车分别需要8辆、10辆； （2）设乙、丙型车分别需要x辆、y辆， 根据题意得， 解得， 此时总运费为（元）． 答：乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元． 【题型七 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【典例7】（2024·广东·模拟预测）每年月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝箱，龙眼箱）． 商品 荔枝 龙眼 成本/(元/箱) 30 40 售价/(元/箱) 48 60 这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱． 【答案】荔枝200箱，龙眼300箱 【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用．熟练掌握总利润与每箱利润和数量的关系，列出方程组，是解题的关键． 设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，根据“这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元”，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，依题意得： ， 解得：． 答：这个星期网店销售荔枝200箱，龙眼300箱． 【变式7-1】（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）暑假将至，为满足消费者需求，某超市提供了冰淇淋和雪糕，冰淇淋的进价比雪糕的进价多2元，购进10支冰淇淋和15根雪糕的价钱相等． (1)求一支冰淇淋和一支雪糕的进价． (2)超市购进冰淇淋和雪糕各10箱、20箱，每箱均有10个冰淇淋或雪糕，因为保温不当，实际在运输中均产生了1箱冰淇淋和雪糕不得售出，商店决定按进价的出售，但出售完3箱冰淇淋和6箱雪糕后发现冰淇淋销量不佳，决定将冰淇淋下降a元出售，最后售出获利，求a的值． 【答案】(1)一支冰淇淋的进价为6元，一支雪糕的进价为4元 (2)1 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用， （1）设一支冰淇淋的进价为x元，一支雪糕的进价为y元，冰淇淋的进价比雪糕的进价多2元，购进10支冰淇淋和15根雪糕的价钱相等．据此列方程组并解方程组即可； （2）根据最后售出获利出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设一支冰淇淋的进价为x元，一支雪糕的进价为y元，则 ， 解得， 答：一支冰淇淋的进价为6元，一支雪糕的进价为4元； （2）根据题意可得， 解得， 答：a的值为1． 【变式7-2】（23-24七年级下·广东汕头·期末）为庆祝“六一”儿童节，某商场全部商品打折出售．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元．求该商场商品打几折？ 【答案】该商场商品打 9 折 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，折后价与原价和折率的关系，是解题的关键． 设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元，由买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，列出二元一次方程组，解方程组求出x，y的值；再设做活动时，商品打m折，由打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元，列出一元一次方程，解方程求出m的值即可． 【详解】解：设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元， 由题意得：， 解得：， 设做活动时，商场商品打m折， 由题意得：， 解得：． 答：做活动时，该商场商品打9折． 【变式7-3】（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）某水果店计划购进A，B两种水果共100千克，这两种水果的进价和售价如下表所示．（列方程组解决（1）中的问题） 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） A种水果 5 8 B种水果 9 13 (1)若该水果店购进这两种水果花费740元，求该水果店分别购进A，B两种水果各多少千克？ (2)在（1）的基础上，为了促销，老板决定把A种水果全部8折出售，B种水果全部9折出售，那么售完后共获利多少元？ 【答案】(1)该水果店购进A种水果40千克，B种水果60千克； (2)售完后共获利多218元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设该水果店购进A种水果x千克，B种水果y千克，根据“该水果店购进A，B两种水果共100千克，且共花费740元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润每千克的利润销售数量，即可求出结论． 【详解】（1）解：设该水果店购进A种水果x千克，B种水果y千克， 由题意得，， 解得， 答：该水果店购进A种水果40千克，B种水果60千克； （2）解： 元， 答：售完后共获利多218元． 【题型八 二元一次方程组的应用-和差倍分问题问题】 【典例8】（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务. 图书销售 素材1 4月23日是世界读书日，旨在让全球各地的人们不论年龄、贫富、健康状况，都能享受阅读，尊重并感谢为文明做出巨大贡献的大师们，同时保护知识产权． 素材2 某批发商在“世界读书日”前夕，订购A、B两种书籍进行销售，若订购A种书籍100本，B种书籍200本，共花5000元；若订购A种书籍120本，B种书籍400本，共花费8400元． 素材3 为了回馈读者，该批发商调整了销售策略：A种书籍每本在进价的基础上提高进行销售；B种书籍则在每本进价的基础上提高a元（，且a为正整数）进行销售．此举旨在让读者以更优惠的价格买到心仪的书籍，共享阅读乐趣． 问题解决 任务1 求A、B两种书籍每本的进价分别为多少元？ 任务2 经过统计，读书日当天共卖出B种书籍200本，两种书籍的总销售额为10600元．求当天卖出A种书籍多少本？ 【答案】任务一：种书籍每本的进价为20元，种书籍每本的进价为15元；任务二：当天卖出种书籍300本. 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设A种书籍每本的进价为x元、B种书籍每本的进价为y元，根据订购A种书籍100本，B种书籍200本，共花5000元；若订购A种书籍120本，B种书籍400本，共花费8400元，列出方程组，解方程组即可； （2）设当天卖出A种书籍m本，根据读书日当天共卖出B种书籍200本，两种书籍的总销售额为10600元，列出方程，根据且a为正整数，m为整数，求解即可． 【详解】任务一：设A种书籍每本的进价为元，种书籍每本的进价为元， 由题意得：， 解得：， 答：A种书籍每本的进价为20元，种书籍每本的进价为15元； 任务二：设当天卖出A种书籍本， 由题意得：， 整理得：， ，为正整数，且， ， 答：当天卖出A种书籍300本. 【变式8-1】（23-24七年级下·吉林四平·期末）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 【答案】最初报名时男生有12人，女生有9人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男生报名人数比女生多3人，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 【变式8-2】（22-23七年级下·辽宁营口·期中）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆、小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有80辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费840元，中、小型汽车各有多少辆？ 【答案】小型汽车30辆，中型汽车50辆 【分析】设小型车有x辆、中型车有y辆，根据等量关系为“中型汽车+小型汽车=80”和“中型汽车停车费+小型汽车停车费=840”，据此列方程组求解即可． 【详解】解：设小型车有x辆、中型车有y辆， 根据题意，得，解得． 答：小型汽车30辆，中型汽车50辆． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出二元一次方程组是解答本题的关键． 【变式8-3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 【答案】甲原来有40本书，乙原来有20本书 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲原来有x本书，乙原来有y本书，根据如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲原来有x本书，乙原来有y本书， 由题意得，， 解得， 答：甲原来有40本书，乙原来有20本书． 【题型九 二元一次方程组的应用-几何问题问题】 【典例9】（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)7；3 (2)可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张，（张． 故答案为：7；3． （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个， 依题意，得：， 解得：． 答：可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【变式9-1】（23-24七年级下·甘肃陇南·期末）某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【答案】(1)小长方形的长和宽分别为45米，15米 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、长方形的面积等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键． （1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值即可； （2）先求出大长方形的长与宽，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x米，宽为y米， 由题意得：， 解得． 答：小长方形的长和宽分别为45米，15米． （2）解：大长方形的长为米，宽为60米， 所以大长方形的面积． 答：该实践基地的面积为． 【变式9-2】（2024·北京门头沟·二模）如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．    【答案】每个小长方形的长为10，宽为6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长和宽，根据1个长加上2个宽等于22，2个宽减去1个长等于2列出方程组，再求出解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可得 ， 解得：， ∴每个小长方形的长为10，宽为6． 【变式9-3】（23-24七年级下·吉林长春·期中）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得：， 解得：， 每个小长方形的面积为， 阴影部分的面积． 【题型十 二元一次方程组的应用-古代问题】 【典例10】（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 直接利用“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒”，分别得出等式求出答案． 【详解】解：根据题意，可列方程组为：， 故选：D． 【变式10-1】（22-23七年级下·吉林长春·期中）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，解答即可． 本题考查了方程组的应用，正确理解题是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，列方程组得， 故选：A． 【变式10-2】（23-24七年级下·河南许昌·期末）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（   ） 图1                     图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可； 【详解】解：由题意可得， 图②所示的算筹图可以表述为：， 故选：B． 【变式10-3】（2024·湖北·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【题型十一 二元一次方程组的应用-其他问题(问题】 【典例11】（23-24七年级下·全国·课后作业）下表是某赛季某足球联赛第一阶段小组赛（该小组共四个队，每个队分别与其他三个队进行主客场比赛各一场，即每个队要进行6场比赛）积分表的一部分． 排名 球队 胜场数 平场数 负场数 进球数 主场进球数 客场进球数 积分 1 A ？ ？ 1 13 8 5 13分 2 B 3 2 1 8 3 5 11分 3 C 3 1 2 9 x 5 10分 4 D 0 0 6 1 1 0 0分 备注 积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分 (1)表格中C队的主场进球数x的值为 ； (2)求本次小组赛中胜一场、平一场、负一场各积多少分？ (3)该足球联赛奖金分配方案为：参加第一阶段小组赛6场比赛的每个球队都可以获得参赛奖金1200万元．另外，小组赛中每获胜一场可以获得150万元，平一场可以获得50万元．请根据表格提供的信息，求在第一阶段小组赛结束后，A队一共能获得多少万元的奖金？ 【答案】(1)4 (2)胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分 (3)1850万元 【详解】设胜一场积m分，平一场积n分，根据题意，得   解得 即胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． （3）设A队胜a场，则平（6－a－1）场，根据题意，得 3a＋（6－a－1）＝13，解得a＝4 ∴A队一共能获奖金：1200＋150×4＋50×1＝1850（万元）． 答：在第一阶段小组赛结束后，A队一共能获得1850万元的奖金 【变式11-1】（2024·广东·模拟预测）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 ，放入一个大球水面升高 ； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】(1)2，3 (2)应放入大球6 个，小球4 个 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法，解答时理解图的含义是解答本题的关键． （1）水面升高量除以球的个数即可求解； （2）可设应放入大球x个，小球y个，根据要使水面上升到，列出方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：， ； 答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高； （2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有 解得：， 答：应放入大球6个，小球4个． 【变式11-2】（23-24七年级下·全国·期末）如图，长青化工厂与两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．公路运价为元，铁路运价为元，这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【答案】元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原料，产品，根据题意列出方程组求出的值，再求出这批产品的销售款和原料费，最后列式计算即可求解，根据题意求出原料和产品的重量是解题的关键． 【详解】解：设原料，产品， 由题意得，， 解得， ∴原料，产品， ∴这批产品的销售款为元，原料费为元， 又∵运输费为元， ∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多元． 【变式11-3】（23-24七年级下·全国·单元测试）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ (3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 【答案】(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元 (2)单独请乙组需要的费用少 (3)甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用是解题的关键． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．依题意得， ，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，单独请甲组需要的费用：（元），单独请乙组需要的费用：（元），由，判断作答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成时的损失，然后计算甲乙合作完成时的损失，最后比较大小并作答即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元． 依题意得， ， 解得 ， 答：甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元． （2）解：由题意知，单独请甲组需要的费用：（元）， 单独请乙组需要的费用：（元）， ∵， ∴单独请乙组需要的费用少． （3）解：由题意知，甲组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 乙组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 甲乙两组合作同时施工8天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； ∵， ∴甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少． 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南德宏·期末）一条船顺流航行，每小时行千米；逆流航行，每小时行千米．若设这条船在静水中的速度为，水的流速为，则所列方程组正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 【详解】解：设这条船在静水中的速度为，水的流速为， 根据题意得：， 故选：． 2．（21-22七年级下·山东东营·期末）“践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据米乐及琪琪收集废电池数量间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：米乐比琪琪多收集了7节废电池， ； 若米乐给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是米乐的2倍， ． 根据题意可列方程组为． 故选：A． 3．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．52 B．48 C．46 D．35 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为a，宽为b，观察图形，根据各边之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可求出a，b的值，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】设小长方形的长为a，宽为b， 根据题意得：， 解得：， ∴阴影部分面积为：， 故答案为：A． 4.（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知方程组的解满足，则a的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法把方程组中的两个方程相加得到，再由即可得到． 【详解】解： 得：， ∵， ∴， 故选：A． 5．（23-24七年级下·陕西安康·期末）某服装厂生产一款上衣，已知每米布料可以做1个衣身或3个衣袖．现计划用50米布料生产这款上衣．设用米做衣身，用米做衣袖，要使得做好的衣身与衣袖恰好配套（1个衣身配2个衣袖），可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，根据计划用50米布料生产这款上衣，则，由1个衣身配2个衣袖可得，由此列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键 【详解】解：设用x米做衣身，用y米做衣袖，则做了x个衣身，3y个衣袖． 计划用50米布料生产这款上衣，则, ∵1个衣身配2个衣袖，∴, ∴可列方程组 故选：A． 二、填空题 6．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据方程组的特点，①+②得，得出，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：， ①+②得，，即， 又因为， 所以， 解得． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·全国·期末）为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A、B两套楼房，A套楼房在第3层楼，B套楼房在第5层楼，B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同，第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍．为了计算两套楼房的面积，小亮设A套楼房的面积为x平方米，B套楼房的面积为y平方米，根据以上信息列出方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；正确理解题意，根据等量关系列出方程组是解题的关键；根据等量关系：B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方米；两套楼房的房价相同，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）小华、小明和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是 分． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键．设投中圆环内的得分为分，小圆内的得分为分，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设投中圆环内的得分为分，小圆内的得分为分， 由题意得，， 解得， 小亮的得分是． 故答案为：． 三、解答题 9．（23-24七年级下·湖南永州·期末）2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某商家购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍． (1)商家购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ (2)若商家购进“元元”和“宵宵”各1000个，先按进价的120%标价销售，宵宵很快就售完，剩下的200个按照标价的八折销售完，请问商家共盈利多少元？ 【答案】(1)“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元 (2)商家共盈利17120元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，有理数运算的应用： （1）设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元，根据一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍，列出方程组进行求解即可； （2）分别求出“元元”和“宵宵”的利润，再求和即可． 【详解】（1）解：设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：商家购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元． （2）宵宵的利润：（元） 元元的利润：（元） （元） 答：商家共盈利17120元． 10．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 【答案】(1)该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； (2)工厂每天能生产90盒纪念币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程速度时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每天安排名工人生产正方体纪念币，依题意得，解得即可． 【详解】（1）解：设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； （2）解：设每天安排名工人生产正方体纪念币，则每天安排名工人生产半圆形纪念币， 依题意得， 解得：， 则工厂每天能生产的纪念币数为：（盒）， 答：工厂每天能生产90盒纪念币． 11．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 【答案】(1)每个A型车有45个座位，B型车有60个座位 (2)需租用A型车4辆，B型车2辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设该公司，两种车型各、个座位，根据题意得：，即可求解； （2）设需租A型车m辆，B型车n辆，可得，再利用正整数解的含义可得答案． 【详解】（1）解：设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位， 依题意，得：， 解得：． 答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）解：设需租A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴． 答：需租用A型车4辆，B型车2辆． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 实际问题与二元一次方程组 【题型一 二元一次方程组的应用-方案问题】 【题型二 二元一次方程组的应用-行程问题】 【题型三 二元一次方程组的应用-工程问问题】 【题型四 二元一次方程组的应用-数字问题】 【题型五 二元一次方程组的应用-年龄问题】 【题型六 二元一次方程组的应用-分配问题】 【题型七 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【题型八 二元一次方程组的应用-和差倍分问题问题】 【题型九 二元一次方程组的应用-几何问题问题】 【题型十 二元一次方程组的应用-古代问题】 【题型十一 二元一次方程组的应用-其他问题(问题】 考点： 二元一次方程的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 【题型一 二元一次方程组的应用-方案问题】 【典例1】（24七年级下·湖南株洲·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息﹐解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次﹐请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【变式1-1】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 【变式1-2】（23-24七年级下·山东济宁·期末）某品牌推出西游记人偶摆件一上市就深受人们喜爱．已知3个A型摆件和4个B型摆件共需470元；2个A 型摆件和3个B 型摆件共需340元． (1)求一个A型摆件和一个B型摆件的售价各是多少元； (2)小李爱好收藏，他打算用1600元（全部用完）购买A型、B型两种摆件（要求两种型号的摆件均购买），正好赶上商店对摆件价格进行调整，其中A型摆件售价上涨，B型摆件按原价出售，则小李有几种购买方案？ 【变式1-3】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）黄、渭、洛三河交汇，平坦的地势加上充足的光照，为渭南市粮食和特色农产品实现“规模大、产量足、品种优、品质佳”提供了有利条件．现欲将一批农产品运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满农产品一次可运走10 吨；1辆A型车和2辆B型车载满农产品一次可运走11 吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满农产品一次可分别运送多少吨? (2)现有农产品31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满农产品．请你通过计算说明共有哪几种租车方案? 【题型二 二元一次方程组的应用-行程问题】 【典例2】（23-24七年级下·全国·期中）已知A、B两码头之间的距离为，一艘船航行于A、B两码头之间，顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？ 【变式2-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【变式2-2】（23-24七年级下·四川资阳·期中）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 【变式2-3】（23-24七年级下·北京延庆·期末）学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 【题型三 二元一次方程组的应用-工程问问题】 【典例3】（22-23七年级下·湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【变式3-1】（23-24七年级下·福建泉州·期末）6.18期间某网店销量大增，共售出商品520件，安排甲、乙两个工人打包发货，若甲先做2小时，然后两人再共做3小时，则还有10件没有打包；若两人合作4小时，恰好打包完．问甲、乙两个工人每小时各打包多少件商品？ 【变式3-2】（2023·安徽滁州·二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【变式3-3】（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． (1)甲、乙工程队每天各施工多少米？ (2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 【题型四 二元一次方程组的应用-数字问题】 【典例4】（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【变式4-1】（23-24七年级下·全国·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49，求这个两位数？ 【变式4-2】（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【变式4-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数． 【题型五 二元一次方程组的应用-年龄问题】 【典例5】（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【变式5-1】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【变式5-2】（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是 岁． 【变式5-3】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【题型六 二元一次方程组的应用-分配问题】 【典例6】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与 座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 【变式6-1】（23-24七年级下·吉林松原·阶段练习）某加工厂接到一批制作课桌椅的订单．已知该工厂有名工人，每人每天平均可以加工张课桌或把椅子，一套课桌有张课桌和把椅子，为了使每天加工的课桌和椅子刚好配套，求加工课桌和椅子的工人数量． 【变式6-2】（23-24七年级下·吉林松原·阶段练习）某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人? 【变式6-3】（22-23八年级上·贵州毕节·期末）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示． 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 解答下列问题：（假设每辆车均满载） (1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？ (2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？ 【题型七 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【典例7】（2024·广东·模拟预测）每年月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝箱，龙眼箱）． 商品 荔枝 龙眼 成本/(元/箱) 30 40 售价/(元/箱) 48 60 这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱． 【变式7-1】（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）暑假将至，为满足消费者需求，某超市提供了冰淇淋和雪糕，冰淇淋的进价比雪糕的进价多2元，购进10支冰淇淋和15根雪糕的价钱相等． (1)求一支冰淇淋和一支雪糕的进价． (2)超市购进冰淇淋和雪糕各10箱、20箱，每箱均有10个冰淇淋或雪糕，因为保温不当，实际在运输中均产生了1箱冰淇淋和雪糕不得售出，商店决定按进价的出售，但出售完3箱冰淇淋和6箱雪糕后发现冰淇淋销量不佳，决定将冰淇淋下降a元出售，最后售出获利，求a的值． 【变式7-2】（23-24七年级下·广东汕头·期末）为庆祝“六一”儿童节，某商场全部商品打折出售．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元．求该商场商品打几折？ 【变式7-3】（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）某水果店计划购进A，B两种水果共100千克，这两种水果的进价和售价如下表所示．（列方程组解决（1）中的问题） 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） A种水果 5 8 B种水果 9 13 (1)若该水果店购进这两种水果花费740元，求该水果店分别购进A，B两种水果各多少千克？ (2)在（1）的基础上，为了促销，老板决定把A种水果全部8折出售，B种水果全部9折出售，那么售完后共获利多少元？ 【题型八 二元一次方程组的应用-和差倍分问题问题】 【典例8】（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务. 图书销售 素材1 4月23日是世界读书日，旨在让全球各地的人们不论年龄、贫富、健康状况，都能享受阅读，尊重并感谢为文明做出巨大贡献的大师们，同时保护知识产权． 素材2 某批发商在“世界读书日”前夕，订购A、B两种书籍进行销售，若订购A种书籍100本，B种书籍200本，共花5000元；若订购A种书籍120本，B种书籍400本，共花费8400元． 素材3 为了回馈读者，该批发商调整了销售策略：A种书籍每本在进价的基础上提高进行销售；B种书籍则在每本进价的基础上提高a元（，且a为正整数）进行销售．此举旨在让读者以更优惠的价格买到心仪的书籍，共享阅读乐趣． 问题解决 任务1 求A、B两种书籍每本的进价分别为多少元？ 任务2 经过统计，读书日当天共卖出B种书籍200本，两种书籍的总销售额为10600元．求当天卖出A种书籍多少本？ 【变式8-1】（23-24七年级下·吉林四平·期末）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 【变式8-2】（22-23七年级下·辽宁营口·期中）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆、小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有80辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费840元，中、小型汽车各有多少辆？ 【变式8-3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 【题型九 二元一次方程组的应用-几何问题问题】 【典例9】（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【变式9-1】（23-24七年级下·甘肃陇南·期末）某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【变式9-2】（2024·北京门头沟·二模）如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．    【变式9-3】（23-24七年级下·吉林长春·期中）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 【题型十 二元一次方程组的应用-古代问题】 【典例10】（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（22-23七年级下·吉林长春·期中）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24七年级下·河南许昌·期末）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（   ） 图1                     图2 A． B． C． D． 【变式10-3】（2024·湖北·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【题型十一 二元一次方程组的应用-其他问题(问题】 【典例11】（23-24七年级下·全国·课后作业）下表是某赛季某足球联赛第一阶段小组赛（该小组共四个队，每个队分别与其他三个队进行主客场比赛各一场，即每个队要进行6场比赛）积分表的一部分． 排名 球队 胜场数 平场数 负场数 进球数 主场进球数 客场进球数 积分 1 A ？ ？ 1 13 8 5 13分 2 B 3 2 1 8 3 5 11分 3 C 3 1 2 9 x 5 10分 4 D 0 0 6 1 1 0 0分 备注 积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分 (1)表格中C队的主场进球数x的值为 ； (2)求本次小组赛中胜一场、平一场、负一场各积多少分？ (3)该足球联赛奖金分配方案为：参加第一阶段小组赛6场比赛的每个球队都可以获得参赛奖金1200万元．另外，小组赛中每获胜一场可以获得150万元，平一场可以获得50万元．请根据表格提供的信息，求在第一阶段小组赛结束后，A队一共能获得多少万元的奖金？ 【变式11-1】（2024·广东·模拟预测）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 ，放入一个大球水面升高 ； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【变式11-2】（23-24七年级下·全国·期末）如图，长青化工厂与两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．公路运价为元，铁路运价为元，这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【变式11-3】（23-24七年级下·全国·单元测试）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ (3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南德宏·期末）一条船顺流航行，每小时行千米；逆流航行，每小时行千米．若设这条船在静水中的速度为，水的流速为，则所列方程组正确的是（        ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·山东东营·期末）“践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．52 B．48 C．46 D．35 4.（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知方程组的解满足，则a的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 5．（23-24七年级下·陕西安康·期末）某服装厂生产一款上衣，已知每米布料可以做1个衣身或3个衣袖．现计划用50米布料生产这款上衣．设用米做衣身，用米做衣袖，要使得做好的衣身与衣袖恰好配套（1个衣身配2个衣袖），可列方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ． 7．（23-24七年级下·全国·期末）为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A、B两套楼房，A套楼房在第3层楼，B套楼房在第5层楼，B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同，第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍．为了计算两套楼房的面积，小亮设A套楼房的面积为x平方米，B套楼房的面积为y平方米，根据以上信息列出方程组是 ． 8．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）小华、小明和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是 分． 三、解答题 9．（23-24七年级下·湖南永州·期末）2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某商家购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍． (1)商家购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ (2)若商家购进“元元”和“宵宵”各1000个，先按进价的120%标价销售，宵宵很快就售完，剩下的200个按照标价的八折销售完，请问商家共盈利多少元？ 10．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 11．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 学科网（北京）股份有限公司 $$