陕西省宁强县天津高级中学等校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题

2024——2025 学年高三第一学期期末考试 数学试卷 一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小 题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 , 则 ( ) A. B. C. D. 2. 若复数 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 3. 抛物线 的焦点坐标为 ( ) A. B. C.(1,0) D.(0,1) 4. 双曲线 的离心率为( ) A. B. C. D. 5. 将正整数 ,按从小到大的顺序分组,第 组含 个数,分组如 下: (1),(2,3), (4,5,6,7), ,则 2025 在第 ( )组. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 在 中,内角 的对边分别为 , ,且 的面积 ,若 的平分线交 于点 , 则 ( ) A. B. C. D. 7. 已知面积为 的正三角形 的所有顶点 都在球 的球面上,若三棱锥 的体积为 ,则球 的表面积为 ( ) A. B. C. D. 8. 已知 ,将 的图象向 右平移 个单位长度后得到 的图象,若 在 上的值域为 ,则函数 在 上的零点个数为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选 项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选 错的得 0 分. 9. 已知命题 “ ” 为真命题,则实数 的值 可以是 ( ) A. 2 B. 0 C. -1 D. -2 1 10. 已知随机变量 , 则下列说法正确的是 ( ) A. B. C. D. 11. 若定义在 上的偶函数 ,对任意两个不相等的实数 , 都有 ,则称 为 “A 函数”. 下列函数为 “A 函数” 的是 ( ) A. B. C. D. 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 在 的展开式中,含 的项的系数为 . 13. 若 , 则 . 14. 如图,已知圆 的半径为 是圆 的一条直径. 两点均在圆 上, , 点 为线段 上一动点,则 的取值范围是 . 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15．（本小题满分 13 分）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ． （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的周长． 16．（本小题满分 13 分）在数列 中， ． （1）若 ，证明：数列 是等差数列；并求数列 的通项公 式； （2）求数列 的前 项和 ． 17. (15 分) 如图,在三棱柱 中, 平面 . (1)求证: 平面 ； (2)设点 满足 ,若平面 与平面 的夹角为 ,求实数 . 18．（17 分）已知 是抛物 线 上的两点． （1）求 的准线方程； （2）若直线 经过 的焦点，且与 交于 两点， 求 的最小值． 19. （本题满分 17 分）已知函数 ． （1）证明曲线 是轴对称图形； （2）设函数 ，解不等式 （e 是自 然对数的底数）． 2 2024——2025 学年高三第一学期期末考试数学答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D B B C A B C CD ABD ACD 二、填空题 12. 80 13. 14. −12,0 三、解答题 15.【答案】（13 分） 解:( 1 )由正弦定理得 .(2 分) .(4 分) 又 ,又 ,所以 . (6 分) (2)由正弦定理及二倍角公式得 , 又 .(8 分) .(10 分) 由正弦定理 , 1 周长 . (13 分) 16. （15 分）【答案】 解: (1) . (4 分) 又 是以 为首项, 为公差的等差数列, (5 分) . (7 分) ( 2 )由( 1 )知 ,(8 分) ,① (9 分) ,② (10 分) ①-②,得 (11 分) (12 分) (14 分) . (15 分) 17.（15 分） 解: (1)因为 平面 平面 ,所以 , （2 分） 又因为 , 平面 平面 , 所以 平面 , （4 分） 因为 平面 ,所以 , （5 分） 又因为 ,且 平面 ,所以 平 面 . （6 分） 2 ( 2 )以点 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, （7 分） 由 (1) 知 平面 ,又 平面 ,所以 , 从而矩形 为正方形,故 ,（8 分） 所以 , ,(还差 的坐标,可由 把 的坐标用 表示) 设 ,则 , （10 分） 因为 ,所以 ,从而 ,故 ,所以 , （11 分） 设平面 的法向量为 ,则 , 令 ,则 , 所以 是平面 的一个法向量, （12 分） 由 (1) 可得 是平面 的一个法向量,设平面 与平面 的夹角为 ,则 （14 分） 3 又由题意, ,所以 ,故 ,解得: . （15 分） 18（17 分）【答案】解: (1)因为 两点在抛物线 上, 所以 ,故 由①可得 ,代入②得 ,解 得: . (4 分) 当 时, ,满足 :（5 分） 当 时, ,不满足 ,舍去:（6 分） 综上所述, 的值为 3,所以抛物线 的准线方程为 .（7 分） (2)抛物线的焦点为 ,联立 消去 整理得: , 判别式 ,（ 8分） 设 , ,则由韦达定理, ,所以 , 故 ③, 10分 直线 过焦点,所以 ,故 .（12分） 此时 , 12分 4 将 代入③得 , 取等条件是 ,即 ,所以 的最小值为 . 15分 19.【答案】 解：(1)由 得 的定义域为 , 所以曲线 关于直线 对称. (2)由 得: 令 ,则 所以 在 上递增, 从而 , 进而 在 上递增, 所以 ,即 , 5 故 是 上的增函数, 由 得 的解集为: . 6