安徽省阜南实验中学2024-2025学年高二上学期第二次质量检测数学试卷

答案第 1页，共 2页 阜南实验中学 2024-2025 学年高二上学期第二次质量检测 数学试卷 （时间：120 分钟，满分：150 分） 一、选择题(共 40 分) 1. 双曲线� 2 5 − �2 = 1 的离心率为( ) A. 2 6 5 B. 26 5 C. 2 5 5 D. 30 5 2. 从 4本不同的课外读物中，选 3本送给 3位同学，每人 1本，则不同的送法种数是( ) A. 12 B. 24 C. 64 D. 81 3. 经过抛物线�2 = 2� 的焦点且平行于直线 3� − 2� + 5 = 0 的直线� 的方程是( ) A. 6� − 4� − 3 = 0 B. 3� − 2� − 3 = 0 C. 2� + 3� − 2 = 0 D. 2� + 3� − 1 = 0 4. 直线� = �� − � + 1 与椭圆� 2 9 + � 2 4 = 1 的位置关系为( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 5.已知直线�: � + � − 2 = 0 与圆�: �2 + �2 = 2 ，点� 1,1 ，则下列说法正确的是( ) A. 点� 在圆� 上，直线� 与圆� 相切 B. 点� 在圆� 内，直线� 与圆� 相离 C. 点� 在圆� 外，直线� 与圆� 相切 D. 点� 在圆� 上，直线� 与圆� 相交 6. 如图，空间四边形���� 中，�� = � ，�� = � ，�� = � ，点� 在�� 上，且满足�� = 2�� ， 点� 为�� 的中点，则�� = ( ) A. 1 2 � − 2 3 � + 1 2 � B. − 2 3 � + 1 2 � + 1 2 � B. C. 1 2 � + 1 2 � − 1 2 � D. 2 3 � + 2 3 � − 1 2 � 7. 已知椭圆�: � 2 4 + � 2 3 = 1 的左、右焦点分别为�1 ，�2 ，过�2 且斜率为 1的直线� 交椭圆� 于� ， � 两点，则 �� = ( ) A. 24 7 B. 12 7 C. 12 2 7 D. 8 3 7 8.如图，正方体���� − �1�1�1�1 中，点� 为�1�1 的中点，点� 为��1 的中点.有下列四个结论： ①��// 平面���1�1 ； ②�� ⊥ 平面���1�1 ； ③�� ⊥ �� ； ④异面直线�� 与�� 所成角为45∘ . 其中正确的结论有( ) A.①② B.①③ C.②④ D. ①④ 二、多项选择题(共 18 分) 9. 已知 2� + 13 � � 的展开式共有 13项，则下列说法中正确的有( ) A. 所有奇数项的二项式系数和为212 B. 所有项的系数和为312 C. 二项式系数最大的项为第 6项或第 7项 D. 有理项共 5项 10.下列说法中，正确的有( ) A. 过点� 1,2 且在� 轴,� 轴上截距相等的直线方程为� + � − 3 = 0 B. 直线� = 3� − 2 在� 轴上的截距是−2 C. 直线� − 3� + 1 = 0 的倾斜角是60∘ D. 过点 5,4 且倾斜角为90∘ 的直线方程为� − 5 = 0 11.在平面直角坐标系��� 中，抛物线�2 = 6� 的焦点为� ，准线为� ，� 为抛物线上一点，�� ⊥ � ， � 为垂足.若直线�� 的斜率� =− 3 ，则( ) A. 准线方程为� =− 3 B. 焦点� 的坐标为 3 2 , 0 C. 点� 的坐标为 9 2 , 3 3 D. �� 的长为 3 答案第 2页，共 2页 三、填空题(共 15 分) 12. 如图，已知�� ⊥ 平面��� ，�� ⊥ �� ， 则图中互相垂直的平面有 对. 13. 已知�1 ，�2 是双曲线� 的两个焦点，� 为� 上一点，且∠�1��2 = 60∘ , ��1 = 3 ��2 ,则� 的离心率为 14.设点� �, � 是圆：�2 + � − 3 2 = 1 上的动点，定点� 2,0 ，� −2,0 ，则�� ⋅ �� 的最大值 为 . 四、解答题(共 77 分) 15. 根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于 2023年 11月 24日上映,有 3名同学和 2名家长相约一起去观看该影片,他们的座位在同一排且连在一起.求: （1）甲同学必须坐乙同学左边的坐法有多少种? （2）2名家长互不相邻的坐法有多少种? （3）2名家长坐一起有多少种? 16. 已知椭圆�: � 2 �2 + � 2 �2 = 1 � > � > 0 的离心率� = 1 2 ，且椭圆� 经过点 2, 3 . （1） 求椭圆� 的标准方程； （2） 过点� 2,1 作直线� 与该椭圆相交于� 、� 两点，若线段�� 恰被点� 平分，求直线� 的方 程. 17已知两个定点� −4,0 ,� −1,0 ，动点� 满足 �� = 2 �� ，设动点� 的轨迹为曲线� ，直线 �: � = �� − 4 . （1） 求曲线� 的方程； （2） 若� 与曲线� 交于不同的� ,� 两点，且∠��� = 90∘ （� 为坐标原点），求直线� 的斜率； 18．如图,在四棱锥 P ABCD 中, 2PD  , 1AD  , PD DA , PD DC 底面 ABCD为正方形,M,N 分别为 AD , PD的中点． (1)求证： //PA 平面MNC ; (2)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值; (3)求点 B到平面MNC的距离． 19.已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的准线与 x轴的交点为 ( 1,0)A  . （1）求抛物线 C的方程； （2）若过点 (2,0)M 的直线 l与抛物线 C交于 P，Q两点，求证： 2 2 1 1 PM QM  为定值. 阜南实验中学 2024-2025 学年高二上学期第二次质量检测 数学试卷答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D B A A A B A B BD BD BC 12 3 13 7 2 14 12 1. 双曲线 �2 5 − �2 = 1 的离心率为( D ) A. 2 6 5 B. 26 5 C. 2 5 5 D. 30 5 2. 从 4 本不同的课外读物中，选 3 本送给 3 位同学，每人 1 本，则 不同的送法种数是( B ) A. 12 B. 24 C. 64 D. 81 [解析]从 4本不同的课外读物中选 3 本送给 3位同学，每人 1本，不 同的送法种数为A43 = 24 . 3. 经过抛物线�2 = 2� 的焦点且平行于直线 3� − 2� + 5 = 0 的直 线� 的方程是( A ) A. 6� − 4� − 3 = 0 B. 3� − 2� − 3 = 0 C. 2� + 3� − 2 = 0 D. 2� + 3� − 1 = 0 [解析]因为抛物线�2 = 2� 的焦点坐标为 1 2 , 0 ，直线 3� − 2� + 5 = 0 的斜率为3 2 ，所以所求直线� 的方程为� = 3 2 � − 1 2 ，化为一 般式，得 6� − 4� − 3 = 0 . 4. 直线� = �� − � + 1 与椭圆� 2 9 + � 2 4 = 1 的位置关系为( A ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 [解析]由题意得直线� − 1 = � � − 1 过定点 1,1 ，而点 1,1 在椭 圆 �2 9 + � 2 4 = 1 的内部，所以直线与椭圆相交.故选 A. 5. 已知直线�: � + � − 2 = 0 与圆�: �2 + �2 = 2 ，点� 1,1 ，则下 列说法正确的是( A ) A. 点� 在圆� 上，直线� 与圆� 相切 B. 点� 在圆� 内，直线� 与圆� 相离 C. 点� 在圆� 外，直线� 与圆� 相切 D. 点� 在圆� 上，直线� 与圆� 相交 [解析]圆心� 0,0 到直线� 的距离� = −2 12+12 = 2 ， 所以直线� 与圆� 相切. 因为点� 的坐标 1,1 满足圆� 的方程，所以点� 在圆� 上. 6.如图，空间四边形���� 中，�� = � ，�� = � ，�� = � ，点� 在�� 上，且满足�� = 2�� ，点� 为�� 的中点，则�� = ( B ) A. 1 2 � − 2 3 � + 1 2 � B. − 2 3 � + 1 2 � + 1 2 � B. C. 1 2 � + 1 2 � − 1 2 � D. 2 3 � + 2 3 � − 1 2 � [解析]由题意得，�� = �� + �� + �� = 1 3 �� + �� − �� + 1 2 �� = − 2 3 �� + �� + 1 2 �� − 1 2 �� =− 2 3 �� + 1 2 �� + 1 2 �� ，又�� = � ， �� = � ，�� = � ， ∴ �� =− 2 3 � + 1 2 � + 1 2 � . 7. 已知椭圆�: � 2 4 + � 2 3 = 1 的左、右焦点分别为�1 ，�2 ，过�2 且 斜率为 1 的直线� 交椭圆� 于� ，� 两点，则 �� = ( A ) A. 24 7 B. 12 7 C. 12 2 7 D. 8 3 7 [解析]易知直线�� 的方程为� = � − 1 ，设� �1, �1 ,� �2, �2 ， 联立 � = � − 1, �2 4 + � 2 3 = 1, 得 7�2 − 8� − 8 = 0 ， 则�1 + �2 = 8 7 ，�1 ⋅ �2 =− 8 7 ， 所以 �� = 1 + �2 ⋅ �1 + �2 2 − 4�1�2 = 24 7 . 故选 A. 8. 如图，正方体���� − �1�1�1�1 中，点� 为�1�1 的中点，点� 为 ��1 的中点.有下列四个结论： ①��// 平面���1�1 ； ②�� ⊥ 平面���1�1 ； ③�� ⊥ �� ； ④异面直线�� 与�� 所成角为45∘ . 其中正确的结论有( B ) A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ [解析]以� 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱 长为 2，则�(0,0,0) ,�(0,2,0) ,�(1,2,2) ,�(2,0,0) ，�1(2,0,2) ， �(2,2,0) ,�(0,0,1) ，所以�� = (1,0,2) ,�� = (0,2,0) ，则�� ⋅ �� = 0 ，所以�� ⊥ �� ， 又�� ⊥ 平面���1�1 ，�� ⊄ 平面���1�1 ，所以��// 平面 ���1�1 ，故①正确； 因为�� ⋅ �1� = ( − 2, − 2,1) ⋅ (0,0, − 2) =− 2 ≠ 0 ，所以②错误； 由�� ⋅ �� = (1,0,2) ⋅ ( − 2, − 2,1) =− 2 + 2 = 0 ，得�� ⊥ �� ，故 ③正确； 由|cos⟨�� , �� ⟩| = |�� ⋅�� | |�� |⋅|�� | = 4 9× 4 = 2 3 ≠ 2 2 ，知④错误.故选 B. 9. 已知 2� + 13 � � 的展开式共有 13 项，则下列说法中正确的有 ( BD ) A. 所有奇数项的二项式系数和为212 B. 所有项的系数和为312 C. 二项式系数最大的项为第 6 项或第 7 项 D. 有理项共 5项 [解析]因为� + 1 = 13 ，所以� = 12 ，所以所有奇数项的二项式系 数和为211 ，故 A 错误； 令� = 1 ，得所有项的系数和为312 ，故 B正确； 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第 7项，故 C 错误； 因为 2� + 13 � 12 展开式的通项为��+1 = C12� ⋅ 2� 12−� ⋅ � −13 � = 212−�C12� � 12−43� ， 当 12 − 4 3 � 为整数时，� = 0 ，3 ，6 ，9 ，12 ，共有 5项，故 D 正确. 故选 BD. 10.下列说法中，正确的有( BD ) A. 过点� 1,2 且在� 轴,� 轴上截距相等的直线方程为� + � − 3 = 0 B. 直线� = 3� − 2 在� 轴上的截距是−2 C. 直线� − 3� + 1 = 0 的倾斜角是60∘ D. 过点 5,4 且倾斜角为90∘ 的直线方程为� − 5 = 0 [解析]对于 A ：当直线过原点时，直线方程为 2� − � = 0 ；当直线 不过原点时，直线方程为� + � − 3 = 0 ，所以A中说法错误.对于 B ： 直线方程为� = 3� − 2 ，令� = 0 ，得� =− 2 ，所以直线� = 3� − 2 在� 轴上的截距为−2 ，所以 B中说法正确.对于 C ：直线� − 3� + 1 = 0 的斜率为 3 3 ，设其倾斜角为� ，则 tan� = 3 3 ,� ∈ [0,π) ， 所以� = 30∘ ，所以 C 中说法错误.对于 D ：直线过点 5,4 并且倾 斜角为90∘ ，则其斜率不存在，所以直线方程为� = 5 ，即� − 5 = 0 ， 所以 D 中说法正确.故选 BD. 11.在平面直角坐标系��� 中，抛物线�2 = 6� 的焦点为� ，准线为 � ，� 为抛物线上一点，�� ⊥ � ，� 为垂足.若直线�� 的斜率� =− 3 ，则( BC ) A. 准线方程为� =− 3 B. 焦点� 的坐标为 3 2 , 0 C. 点� 的坐标为 9 2 , 3 3 D. �� 的长为 3 [解析]∵抛物线方程为�2 = 6� ， ∴焦点� 的坐标为 3 2 , 0 ，准线方程为� =− 3 2 ，A错误，B 正确. ∵直线�� 的斜率为− 3 ， ∴直线�� 的方程为� =− 3 � − 3 2 ， 当� =− 3 2 时，� = 3 3 ， ∴ � − 3 2 , 3 3 ， ∵ �� ⊥ � ，� 为垂足， ∴点� 的纵坐标为 3 3 ，可得点� 的坐标为 9 2 , 3 3 ，C 正确. 根据抛物线的定义可知 �� = �� = 9 2 − − 3 2 = 6 ，D 错误.故选 BC. 12. 如图，已知�� ⊥ 平面��� ，�� ⊥ �� ，则图中互相垂直的平 面有 3 对. [解析]∵ �� ⊥ 平面��� ，�� ⊂ 平面��� ，�� ⊂ 平面��� ， ∴平面��� ⊥ 平面��� ，平面��� ⊥ 平面��� ，�� ⊥ �� . 又�� ⊥ �� ，�� ∩ �� = � ，∴ �� ⊥ 平面��� . 又�� ⊂ 平面��� ，∴平面��� ⊥ 平面��� . 故互相垂直的平面有 3 对. 13. 已知�1 ，�2 是双曲线� 的两个焦点，� 为� 上一点，且 ∠�1��2 = 60∘ , ��1 = 3 ��2 ,则� 的离心率为 7 2 [解析]设双曲线� 的标准方程为� 2 �2 − � 2 �2 = 1 � > 0, � > 0 ，由题意知 ��1 − ��2 = 2� ， ��1 = 3 ��2 ，两式联立解得 ��1 = 3� ， ��2 = � ，又 �1�2 = 2� ，所以在△��1�2 中，由余弦定理得 �1�2 2 = ��1 2 + ��2 2 − 2 ��1 ��2 ⋅ cos∠�1��2 ， 即 4�2 = 9�2 + �2 − 2 × 3� ⋅ � ⋅ cos 60∘ ，可得� � = 7 2 ，所以双曲线� 的离心 率� = � � = 7 2 . 14. 设点� �, � 是圆：�2 + � − 3 2 = 1 上的动点，定点� 2,0 ， � −2,0 ，则�� ⋅ �� 的最大值为 12. [解析]由题意知�� = 2 − �, − � ，�� = −2 − �, − � ，所以�� ⋅ �� = �2 + �2 − 4 ， 由 于 点 � �, � 是 圆 上 的 点 ， 故 �2 =− � − 3 2 + 1 ，所以�� ⋅ �� = − � − 3 2 + 1 + �2 − 4 = 6� − 12 .易知 2 ≤ � ≤ 4 ，所以当� = 4 时，�� ⋅ �� 的值最大，最大值为 6 × 4 − 12 = 12 . 15．根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于 2023 年 11月 24日上映,有 3名同学和 2名家长相约一起去观看该影片,他们 的座位在同一排且连在一起.求: （1）甲同学必须坐乙同学左边的坐法有多少种? （2）2名家长互不相邻的坐法有多少种? （3）2名家长坐一起有多少种? 答案：（1）60 （2）72 （3）48 解析：（1）因为甲同学必须坐乙同学左边,又一共有 5 人, 故所求坐法有 5 5 2 2 A 5 4 3 2 1 60 A 2 1        种. （2）根据题意,先将 3 名同学排好,有 33A 6 种坐法, 再在这 3 名同学之间及两头的 4 个空位中插入 2 名家长,有 24A 12 种 坐法,由分步乘法计数原理可知,共有6 12 72  种坐法. （3）两名家长捆绑有 22A 种,然后与三名学生和整体进行全排,所以有 2 4 2 4 48A A  种 16. 已知椭圆�: � 2 �2 + � 2 �2 = 1 � > � > 0 的离心率� = 1 2 ，且椭圆� 经 过点 2, 3 . （1） 求椭圆� 的标准方程； [解析]由题意得 � � = 1 2 , 4 �2 + 3 �2 = 1, 解得�2 = 8 ，�2 = 6 ， 所以椭圆� 的标准方程为� 2 8 + � 2 6 = 1 . （2）过点� 2,1 作直线� 与该椭圆相交于� 、� 两点，若线段�� 恰 被点� 平分，求直线� 的方程. [解析]由题意知点� 在椭圆内部，设� �1, �1 ，� �2, �2 ， 则 �1 2 8 + �1 2 6 = 1, �2 2 8 + �2 2 6 = 1, 两式相减， 得 �1+�2 �1−�2 8 + �1+�2 �1−�2 6 = 0 ， 因为线段�� 的中点为� 2,1 ， 所以�1 + �2 = 4 ，�1 + �2 = 2 ，代入上式得 4 �1−�2 8 + 2 �1−�2 6 = 0 ， 解得��� = �1−�2 �1−�2 =− 3 2 . 所以直线� 的方程为� − 1 =− 3 2 � − 2 ，即 3� + 2� − 8 = 0 . 17. 已知两个定点� −4,0 ,� −1,0 ，动点� 满足 �� = 2 �� ， 设动点� 的轨迹为曲线� ，直线�: � = �� − 4 . （1） 求曲线� 的方程； [解析]设点� 的坐标为 �, � ， 由 �� = 2 �� ，得 � + 4 2 + �2 = 2 � + 1 2 + �2 ， 故曲线� 的方程为�2 + �2 = 4 . （2） 若� 与曲线� 交于不同的� ,� 两点，且∠��� = 90∘ （� 为 坐标原点），求直线� 的斜率； [解析]依题意可知，圆心到直线� 的距离� = 4 1+�2 = 2 ，解得� =± 7 . 18.答案：(1)证明见解析 (2) 1 6 (3) 6 3 解析：(1)证明：因为 M,N 分别为 AD ,PD的中点, 所以 //PA MN , 又 PA  平面MNC ,MN 平面MNC , 故 //PA 平面MNC ; (2)由于PD DA ,PD DC , AD DC D , AD ,DC 平面 ABCD, 所以PD 平面 ABCD, 以点 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则 (1,1,0)B , (0,1,0)C , (0,0, 2)P ,, 1( ,0,0) 2 M , (0,0,1)N , 所以 (1,1, 2)PB    , (0,1, 1)NC    , 1( ,0,1) 2 MN    设平面MNC的法向量为 ( , , )n x y z  , 则 1 0 2 0 n MN x z n NC y z                 ,令 1y  ,则 1z  , 2x  , 故 (2,1,1)n   , 设直线 PB与平面MNC所成角为 , 则 sin  1 1cos , 61 1 4 4 1 1 PB n PB n PB n               , 故直线 PB与平面MNC所成角的正弦值为 1 6 ; (3)因为 (0,1,0) (1,1,0) ( 1,0,0)BC      , 又平面MNC的法向量为 (2,1,1)n   , 所以点 B 到平面MNC 的距离为 | | 2 6 3| | 4 1 1 n BCd n          ． 19.已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的准线与 x 轴的交点为 ( 1,0)A  . （1）求抛物线 C 的方程； （2）若过点 (2,0)M 的直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点，求证： 2 2 1 1 PM QM  为定值. 答案：（1） 2 4y x （2）证明见解析 解析：（1）由题意，可得 1 2 p    ，即 2p  ， 所以抛物线 C 的方程为 2 4y x . （2）由题意知，直线 l 不与 y 轴垂直， 设直线 l 的方程为 2x my  ，  1 1,P x y ，  2 2,Q x y . 由 2 2, 4 , x my y x     得 2 4 8 0y my   ， 则  216 2 0m    ， 1 2 4y y m  ， 1 2 8y y   . 又 2 11PM m y  ， 2 21QM m y  ， 所以       2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 y y PM QM m y m y m y y               2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 16 16 1 41 64 1 y y y y m m y y m         . 所以 2 2 1 1 PM QM  为定值.