精品解析：北京市东城区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷

东城区2024—2025学年度第一学期期未统一检测 初一数学 考试须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. 或 D. 2. 国家统计局10月25日发布的数据显示，截至2023年底，我国境内有效发明专利首次超过400万件，达到401.5万件，比上年增长．将4015000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 在数轴上，到原点的距离小于2的点表示的整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4. 下列式子中，运算结果一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程的解为，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（ ）（注：取） A. B. C. D. 8. 如图，下列图形是由同样大小的圆点按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，在第19个图形中，圆点的个数是（ ） A. 381 B. 356 C. 379 D. 421 二、填空题（本通共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若单项式与是同类项，则______． 10. 请写出一个系数为负数且只含有字母x的二次单项式：______． 11. 已知，则代数式的值为______． 12. x与y成反比例关系，当时，；当时，x的值是______． 13. 2023年北京市科技经费投入统计公报显示，2023年全市投入研究与试验发展（R&D）经费比上一年增长．如果设上一年投入的该项经费为亿元，则2023年投入该项经费为______亿元． 14. 如图，A地在某快递公司转运中心B的正西方向，C地在A地的东北方向．该快递公司要在B地的北偏西60°方向上设置快递驿站D，使得快递驿站D到A，C两地的距离之和最短． 根据以上信息，回答下列问题： （1）请描述快递驿站D的位置：______； （2）确定快递驿站D的位置的理由是______． 15. 如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系：______； （2）设，用含的代数式表示：______． 16. 已知正方形的边长为． （1）如图1，正方形各边的中点分别为，，，，依次连接四个中点，得到阴影部分．该阴影部分的面积为______； （2）如图2，点在边上，且．在正方形的四条边上截取．连接，，，，得到阴影部分．设，则阴影部分的面积为______（用含的代数式表示） 三、解答题（共68分，第17题7分，第18题6分，第19—21、24—25题，每题5分，第22、26题，每题6分，第23题4分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算： （1）； （2） 18. 计算： （1）； （2） 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 下面是小丽同学解方程的过程： 解：去分母，得第①步 去括号，得第②步 移项，得第③步 合并同类项，得．第④步 系数化为1，得第⑤步 根据小丽的解题过程，回答下列问题： （1）第①步的依据是 ； （2）从第 （填序号）步开始出现错误，请你写出正确的解方程的过程． 21. 如图，点O在直线上，．若，，求的补角的度数． 22. 如图，点，在直线上． 按要求补全图形，并回答问题： （1）画直角（点在直线下方），画的平分线； （2）在射线上截取，画直线，在直线上作点，使得（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）设，则线段的长为______． 23. 已知关于的方程，其中． （1）当时，求该方程的解； （2）写出的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求此时方程的解． 24. 已知，，其中．判断的符号，并说明理由． 25. 已知与射线．射线，分别是，的平分线． （1）如图1，当射线在的内部时，若，则______°； （2）如图2，当射线在的外部时，猜想与的数量关系，并说明理由． 26. 如图，港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥，从香港口岸到珠海及澳门口岸，全程，小张驾车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1．25倍，通过海底隧道的时间比通过主桥的时间少． 港珠澳大桥主体工程示意图 根据以上信息回答下列问题： （1）设小张驾车通过海底隧道的时间是，补全下列表格（用含x的代数式表示）： 香港口岸→东人工岛 东人工岛→西人工岛 （通过海底隧道） 港珠澳大桥主桥 速度 96 71 90 时间 x 路程 （2）在（1）的条件下，求小张驾车通过海底隧道的时间； （3）港珠澳大桥通车前，小张从香港到珠海、澳门，走陆路途经东莞虎门大桥，车程，走水路乘高速客轮．通车后，小张驾车经港珠澳大桥从香港口岸到珠海及澳门口岸所用时间，比通车前走水路乘高速客轮从香港到珠海、澳门节省了多少分钟？ 27. 新年前夕，某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒．设计组提供了如图1所示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心愿语盒（不考虑接缝） （1）按展开图2可以围成心愿语盒______（填“A”或“B”）， （2）材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格、成本如下表： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） 卡纸成本（单位：元/张） 2 5 8 ①设计组用一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出______个心愿语盒A的展开图，或______个心愿语盒B的展开图； ②制作组要制作16个心愿语盒．如果你是设计组的成员，请合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，使所选卡纸的总成本最低，写出你的方案． 我的方案是：型号Ⅰ的卡纸______张，型号Ⅱ的卡纸______张，型号Ⅲ的卡纸______张，所选卡纸的总成本是______元． 28. 对于数轴上的点和线段，给出如下定义：若点与线段上一点的距离等于线段的长，则称点是线段的“强关联点”． （1）点表示的数分别是0，2． ①在，0，3中，线段的“强关联点”所表示的数有______； ②线段的“强关联点”所表示的数最大为______，最小为______； （2）线段的长为． ①线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为______； ②线段的长为，若存在点，使得点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”．将线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为，则的最大值为______（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东城区2024—2025学年度第一学期期未统一检测 初一数学 考试须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2. 国家统计局10月25日发布的数据显示，截至2023年底，我国境内有效发明专利首次超过400万件，达到401.5万件，比上年增长．将4015000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：将4015000用科学记数法表示应为． 故选：C． 3. 在数轴上，到原点的距离小于2的点表示的整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点的距离，题目比较简单，容易漏掉整数 0 而出错．本题可通过数轴，直接得结果，亦可通过绝对值的意义得结果． 【详解】解：由绝对值的意义知，与原点的距离小于2且表示整数的点，即绝对值小于 2 的整数有：， 共3个， 故答案选：C． 4. 下列式子中，运算结果一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，含乘方的有理数混合运算，合并同类项等知识点，熟练掌握整式和有理数的运算法则是解题的关键． 根据去括号、含乘方的有理数混合运算、合并同类项法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故选项不符合题意； B、，原计算错误，故选项不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，原计算错误，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 5. 若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴上点的位置得到，然后一一判断即可，掌握绝对值与数轴上点的特征是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， ，故A错误 ，故B正确； ， 那么当，时，，，，故C错误； ，故D错误； 故选：B． 6. 关于的方程的解为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正确解方程是解题的关键．将代入方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的方程的解为 故选：A． 7. 树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（ ）（注：取） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆柱体侧面积的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．根据圆柱体的侧面积等于底面周长乘以高即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 树体的涂白面积约为： 故选：B． 8. 如图，下列图形是由同样大小的圆点按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，在第19个图形中，圆点的个数是（ ） A. 381 B. 356 C. 379 D. 421 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：当n为奇数时，第n个图形中实心圆点的个数为，据此求解可得． 【详解】解：∵第1个图形中圆点的个数， 第2个图形中圆点的个数， 第3个图形中圆点的个数， 第4个图形中圆点的个数， 第5个图形中圆点的个数， 第6个图形中圆点的个数， …… ∴第19个图形中圆点的个数为， 故选：C． 二、填空题（本通共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若单项式与是同类项，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义直接得出m、n的值，再求解即可． 【详解】解：由同类项的定义可知，， ∴． 故答案为：3． 10. 请写出一个系数为负数且只含有字母x的二次单项式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了单项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，由此解答即可． 【详解】解：符合条件的单项式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，先由得，再将变形得，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时， ． 故答案为：． 12. x与y成反比例关系，当时，；当时，x的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例，根据x与y成反比例关系得到值固定，再代入求值即可． 【详解】解：∵x与y成反比例关系， ∴设， ∵当时，； ∴， 当时，，解得， 故答案为：3． 13. 2023年北京市科技经费投入统计公报显示，2023年全市投入研究与试验发展（R&D）经费比上一年增长．如果设上一年投入的该项经费为亿元，则2023年投入该项经费为______亿元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，明确题意，列出相应的代数式是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可知2023年投入该项经费为亿元，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 2023年投入该项经费为， 故答案为：． 14. 如图，A地在某快递公司转运中心B的正西方向，C地在A地的东北方向．该快递公司要在B地的北偏西60°方向上设置快递驿站D，使得快递驿站D到A，C两地的距离之和最短． 根据以上信息，回答下列问题： （1）请描述快递驿站D的位置：______； （2）确定快递驿站D的位置的理由是______． 【答案】 ①. 快递驿站D的位置是射线与的交点 ②. 两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，方向角，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． （1）根据方向角的定义即可得到结论； （2）根据线段的性质：两点之间，线段最短即可得到结论． 【详解】（1）连接交于点，则点即为所求， 故答案为：快递驿站D的位置是射线与的交点； （2）确定快递驿站的位置的理由是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 15. 如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系：______； （2）设，用含的代数式表示：______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，长方形的性质，余角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可得到答案； （2）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，再表示出，最后根据是的余角，即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：； （2）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：． 16. 已知正方形的边长为． （1）如图1，正方形各边的中点分别为，，，，依次连接四个中点，得到阴影部分．该阴影部分的面积为______； （2）如图2，点在边上，且．在正方形的四条边上截取．连接，，，，得到阴影部分．设，则阴影部分的面积为______（用含的代数式表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，列代数式等知识点，根据题中的面积关系正确列出算式或代数式是解题的关键． （1）利用正方形的面积减去四个三角形面积即可得到阴影部分的面积； （2）利用正方形的面积减去四个三角形面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：（1）根据题意可知： ， 阴影部分的面积为：， 故答案为：； （2）根据题意可知： ， 阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17题7分，第18题6分，第19—21、24—25题，每题5分，第22、26题，每题6分，第23题4分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先算除法和绝对值，后算减法；如果有括号，要先做括号内的运算； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减，去括号，合并同类项等知识点，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）先将化成分数，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和去括号，熟知相关计算法则是解题的关键． 先根据整式的加减计算法则和去括号法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 20. 下面是小丽同学解方程的过程： 解：去分母，得第①步 去括号，得第②步 移项，得第③步 合并同类项，得．第④步 系数化为1，得第⑤步 根据小丽的解题过程，回答下列问题： （1）第①步的依据是 ； （2）从第 （填序号）步开始出现错误，请你写出正确的解方程的过程． 【答案】（1）等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立 （2）②； 正确的解方程过程如下： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1是解一元一次方程的一般步骤，每一步都要注意运算规则和符号问题． （1）根据等式的基本性质进行解答即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可． 【小问1详解】 解：第①步的依据是等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【小问2详解】 从第②步开始出现错误，去括号时，去括号后应该是，而不是． 21. 如图，点O在直线上，．若，，求的补角的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是注意数形结合，借助平角为进行角度计算． 设，则，根据列方程求出，得出，再根据平角求出，即可求解． 【详解】解：∵， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴的补角的度数为． 22. 如图，点，在直线上． 按要求补全图形，并回答问题： （1）画直角（点在直线下方），画的平分线； （2）在射线上截取，画直线，在直线上作点，使得（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）设，则线段的长为______． 【答案】（1） 解：如图，和即为所求作； （2） 解：如图，点、即为所求作； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图（作垂线，作角平分线，画直线，作线段），熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧是解题的关键． （1）首先过点作直线的垂线，然后作的平分线即可； （2）首先作直线，然后分点在点上方和点下方两种情况，分别取点，使得即可； （3）由图形即可直接得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知，线段的长为或， 故答案为：或． 23. 已知关于的方程，其中． （1）当时，求该方程的解； （2）写出的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求此时方程的解． 【答案】（1） （2）当时，方程的解为（或当时，方程的解为） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）将代入原方程得，求解即可； （2）先求得原方程的解为：，再利用要使为正整数，且该方程的解也为正整数，得出或，求得，再取值求解即可． 【小问1详解】 解：当时， 原方程为：， 解得：， 所以该方程的解为； 【小问2详解】 解：方程， 解得：， 要使为正整数，且该方程的解也为正整数， 则或， 则或， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，方程的解为，符合题意； 综上所述，当时，方程的解为（或当时，方程的解为）． 24. 已知，，其中．判断的符号，并说明理由． 【答案】 解：的符号为正，理由如下： ． 因为， 所以． 又因为， 所以，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题关键．将，代入，并按照去括号、合并同类项的步骤化简，结合，，即可获得答案． 【详解】略 25. 已知与射线．射线，分别是，的平分线． （1）如图1，当射线在的内部时，若，则______°； （2）如图2，当射线在的外部时，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）128 （2） 解： 理由：∵射线，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差关系等知识，解题的关键是： （1）根据平分线定义得出，，结合图形，根据角的和差关系可得出，即可求解； （2）类似（1）的思路即可求解． 【小问1详解】 解：∵射线，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：128； 【小问2详解】 略 26. 如图，港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥，从香港口岸到珠海及澳门口岸，全程，小张驾车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1．25倍，通过海底隧道的时间比通过主桥的时间少． 港珠澳大桥主体工程示意图 根据以上信息回答下列问题： （1）设小张驾车通过海底隧道的时间是，补全下列表格（用含x的代数式表示）： 香港口岸→东人工岛 东人工岛→西人工岛 （通过海底隧道） 港珠澳大桥主桥 速度 96 71 90 时间 x 路程 （2）在（1）的条件下，求小张驾车通过海底隧道的时间； （3）港珠澳大桥通车前，小张从香港到珠海、澳门，走陆路途经东莞虎门大桥，车程，走水路乘高速客轮．通车后，小张驾车经港珠澳大桥从香港口岸到珠海及澳门口岸所用时间，比通车前走水路乘高速客轮从香港到珠海、澳门节省了多少分钟？ 【答案】（1）， （2） （3）节省了 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式． （1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出小张驾车通过港珠澳大桥主桥的时间及路程； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （3）根据各数量之间的关系，列式计算． 【小问1详解】 ∵小张驾车通过海底隧道的时间是xh，通过海底隧道的时间比通过主桥的时间少0.15h， ∴小张驾车通过主桥的时间是， ∵在港珠澳大桥主桥上行驶的平均速度为， ∴港珠澳大桥主桥的长度为． 故答案为：，； 【小问2详解】 根据题意得： 解得：． 答：小张驾车通过海底隧道的时间是0.1h； 【小问3详解】 根据题意得： ． 答：节省了31.5min． 27. 新年前夕，某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒．设计组提供了如图1所示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心愿语盒（不考虑接缝） （1）按展开图2可以围成心愿语盒______（填“A”或“B”）， （2）材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格、成本如下表： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） 卡纸成本（单位：元/张） 2 5 8 ①设计组用一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出______个心愿语盒A的展开图，或______个心愿语盒B的展开图； ②制作组要制作16个心愿语盒．如果你是设计组的成员，请合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，使所选卡纸的总成本最低，写出你的方案． 我的方案是：型号Ⅰ的卡纸______张，型号Ⅱ的卡纸______张，型号Ⅲ的卡纸______张，所选卡纸的总成本是______元． 【答案】（1）B （2）①2，3；②1，1，2，23 【解析】 【分析】（1）根据几何体的展开图即可求解； （2）①分别在型号Ⅱ的卡纸上画出最多的心愿语盒A和心愿语盒B的展开图即可得出答案； ②由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作6个心愿语盒B，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个心愿语盒A或3个心愿语盒B，每张型号Ⅰ卡纸可制作1个心愿语盒A或1个心愿语盒B，即可求解． 【小问1详解】 解：心愿语盒B的底面和对应的顶面都是由两个长方形拼合成，只有展开图2有长方形， ∴展开图2可以围成心愿语盒B， 故答案为：B； 【小问2详解】 解：①如图，一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出2个心愿语盒A的展开图，或3个心愿语盒B的展开图； 故答案为：2，3； ②如图，型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作6个心愿语盒B，则每个心愿语盒B成本为，每张卡纸可制作不到6个心愿语盒A，则每个心愿语盒A成本大于， 由①得型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个心愿语盒A或3个心愿语盒B，则每个心愿语盒B成本为，每个心愿语盒A成本为， 型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个心愿语盒A或1个心愿语盒B，则每个心愿语盒B成本为，每个心愿语盒A成本为， ∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸1张，型号Ⅰ卡纸1张，则（个），此时总成本最低， ∴所用卡纸总费用为：（元）． ∴我的方案是：型号Ⅰ的卡纸1张，型号Ⅱ的卡纸1张，型号Ⅲ的卡纸2张，所选卡纸的总成本是23元． 故答案为：1，1，2，23． 【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键． 28. 对于数轴上的点和线段，给出如下定义：若点与线段上一点的距离等于线段的长，则称点是线段的“强关联点”． （1）点表示的数分别是0，2． ①在，0，3中，线段的“强关联点”所表示的数有______； ②线段的“强关联点”所表示的数最大为______，最小为______； （2）线段的长为． ①线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为______； ②线段的长为，若存在点，使得点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”．将线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为，则的最大值为______（用含的式子表示）． 【答案】（1）①0，3；②4， （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）①首先根据题意可知，分别求得与，0，3表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数，然后结合“强关联点”的定义分别判断即可；②首先求得距离点为2的点表示的有理数以及距离点为2的点表示的有理数，再比较大小，即可获得答案； （2）①根据题意作出图形，结合（1）即可获得答案；②由题意可知，点为线段的“强关联点”所表示的最大数，且为线段的“强关联点”所表示的最小数，然后作图，结合图形即可获得答案． 【小问1详解】 解：①如图， ∵点表示的数分别是0，2， ∴， 与表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数为或， ∵， ∴表示的点不是线段的“强关联点”； 与0表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数为或， ∵， ∴0表示的点是线段的“强关联点”； 与3表示的点相距2个单位长度的点表示的有理数为1或5， ∵， ∴3表示的点是线段的“强关联点”； ②距离点为2的点表示的有理数为和2， 距离点为2的点表示的有理数为0和4， ∵， ∴线段的“强关联点”所表示的数最大为4，最小为． 故答案为：①0，3；②4，； 【小问2详解】 ①如下图， 结合（1）可知，线段的“强关联点”所表示的数中， 最大数与最小数的差为； ②若点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”， 且线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差取最大值， 则为线段的“强关联点”所表示的最大数，且为线段的“强关联点”所表示的最小数， 如下图， ∴． 故答案为：①；②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $