第05讲 一元二次方程根的判别式与一元二次方程的应用-2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第05讲 一元二次方程根的判别式与一元二次方程的应用 （6个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点2．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点3．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点4．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点5．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 知识点6．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 题型强化 题型一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）定义运算：，例如：方程的根的情况（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根． 题型二、根据一元二次方程根的情况求参数 4．（23-24八年级下·安徽六安·期末）关于x的一元二次方程没有实数根，m可以为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如果方程有两个不相等的实数根，那么的值满足 ． 6．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的方程是一元二次方程． (1)求的值； (2)若该方程有两个相等的实数根，求的值． 题型三、一元二次方程的根与系数的关系 7．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是(   ) A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列一组方程：①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，则的值为 ． 9．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）已知是关于的方程的一个根．求方程的另一个根及m的值． 题型四、传播问题(一元二次方程的应用) 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（20-21八年级下·安徽宣城·期中）美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染的人是 ． 12．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？ 题型五、增长率问题(一元二次方程的应用) 13．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月3日比5月2日的全国旅游收入多127.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某食品加工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为 ． 15．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）某公司生产某种产品，2022年产量为40万件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长相同的百分数，这样，确保2022至 2024这三年的总产量达到280万件．求这个增长的百分数． 题型六、数字问题(一元二次方程的应用) 16．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 18．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 题型七、营销问题(一元二次方程的应用) 19．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到元？设每件商品售价为元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价元，可列方程 ． 21．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）某超市销售某种冰箱，每台进货价为2500元，提高进价的16%后的标价为定价．市场调研表明： (1)若每台降价150元，则每天售量为_____台． (2)该超市要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，每台冰箱的售价应为多少元? 题型八、其他问题(一元二次方程的应用) 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（    ） A． B． C． D． 23．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点O是矩形内一点，则点O到四个顶点的距离满足关系式，若点O在对角线，，．则 ．    24．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）自2013年中国铁路售票系统12306手机APP正式上线，十年来，我们实现了互联网便捷购票，出行体验得以逐步优化提升，12306也从最初的一个简单的购票系统成长为多元化、网络化、移动化、个性化的综合铁路服务平台，已知从安庆开往A市的某趟高铁中途要停靠若干个站点，12306购票系统需为此设置21种电子客票，那么这趟高铁中途停靠的站点有多少个？ 分层练习 一、单选题 1．世界各地来梵净山旅游的人数逐年增加，据有关部门统计，2019年约为10万人次，2021年约为14.4万人次．设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如果是方程的一个根，则方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程的两根中只有一个为0，则下列说法正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．若关于的一元二次方程：没有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品每次降价的百分率均为x，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(     ) A．k<5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5 7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是　　 A．3 B．2 C．1 D．0 8．若实数m，n满足条件：，，则的值是（    ） A．2 B． C． D．2或 9．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，则参加活动的同学有（  ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 10．如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）。若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的宽为（    ）米 A．1 B．2 C．3 D．2.5 二、填空题 11．一元二次方程的解为，则 ． 12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 13．关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等实根，则m的取值范围是 ． 14．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当 s时，平分的面积． 三、解答题 15．一件外衣的进价为200元，按标价的8折销售时，利润率为10%，求这件外衣的标 价为多少元？（注：） 16．关于的一元二次方程的两根为． (1)设，请用含的代数式表示； (2)当时，求此时方程的根． 17．某超市2019年盈利64万元，2021年盈利100万元． （1）求这两年投入教育经费的年平均增长百分率是多少？ （2）预计2022年投入的教育经费是多少？ 18．第十九届亚运会在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为x元（）． (1)请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式 ． (2)若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？ 19．某软件商店经销一种热门益智游戏软件，进货成本为每盘8元，若按每盘10元销售，每天能售出200盘；但由于货源紧缺，商店决定采用尽量提高软件售价减少销售量的办法增加利润，如果这种软件每盘售价提高1元其销售量就减少20盘，问应将每盘售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？ 20．某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，销售单价为元时，每月的销售量为件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出件，且要求销售单价不得低于成本． (1)当销售单价为元时，每月的销售量为___________件． (2)若使该商品每月的销售利润为元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 21．已知关于的方程 (1)求证：无论取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长． 22．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 23．三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为．即． 第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步： 将大正方形边长用含的代数式表示为______． 小正方形边长为常数______， 长方形面积之和为常数______． 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程______，两边开方可求得，．    (1)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______； (2)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程根的判别式与一元二次方程的应用 （6个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点2．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点3．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点4．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点5．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 知识点6．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 题型强化 题型一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）定义运算：，例如：方程的根的情况（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用新定义得到，然后利用可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ． 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】一元二次方程的解、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）证明： ， 方程有两个不相等的实数根． 题型二、根据一元二次方程根的情况求参数 4．（23-24八年级下·安徽六安·期末）关于x的一元二次方程没有实数根，m可以为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选D． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如果方程有两个不相等的实数根，那么的值满足 ． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：依题意， 且， 解得：且， 故答案为：且． 6．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的方程是一元二次方程． (1)求的值； (2)若该方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程（为常数）的概念，根的判别式与根的个数．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由于是关于的一元二次方程，只含有一个未知数，未知数最高次数是2，由此得到，，即得解． （2）第一问的值已求，根据有两个相等实数根，即可求出的值. 【详解】（1）解： 关于的方程是一元二次方程， ， 由①得，， 由②得，或， ． （2）解： ， 关于的一元二次方程为 ， 该方程有两个相等的实数根， ，解得， ． 题型三、一元二次方程的根与系数的关系 7．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：B． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列一组方程：①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根分别是和，根据一元二次方程根与系数关系可得，可得方程的两根，继而根据一元二次方程根与系数关系即可得出的值； 【详解】解：设方程的两根分别是和，，根据一元二次方程根与系数关系可得：， 解得：，则， ∴， ∴， 故答案为： 9．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）已知是关于的方程的一个根．求方程的另一个根及m的值． 【答案】， 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可．利用根与系数关系定理可计算另一个根，本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键，熟练掌握根与系数关系定理也是一个解题关键． 【详解】把代入， 得， 解得， ∴， 设另一个为， 则． 题型四、传播问题(一元二次方程的应用) 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键． 设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．根据等量关系：经过两轮感染后就会有64台电脑被感染求解即可． 【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 列方程得：， 即． 故选：C． 11．（20-21八年级下·安徽宣城·期中）美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染的人是 ． 【答案】9人 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设平均一个人感染人，则第一轮被传染人数为人，第二轮被传染人数为人，列出方程，即可． 【详解】设每轮传染中，平均一个人感染人，则第一轮中有人被传染 ∴第二轮中有人被传染 ∴ 解得，（不合题意，舍去） ∴每轮传染中，平均一个人感染人． 故答案为：人． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，列出方程，求解方程． 12．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？ 【答案】21 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设平均每人每轮转发给个人，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设平均每人每轮转发给个人， 根据题意可得，， 解得 ，（不合题意，舍去）， 答：平均每人每轮转发给21个人． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 题型五、增长率问题(一元二次方程的应用) 13．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月3日比5月2日的全国旅游收入多127.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设全国旅游收入日平均增长率为x，则5月2日的收入为亿元，5月3日的收入为亿元，据此列出方程即可． 【详解】解：设全国旅游收入日平均增长率为x， 由题意得，， 故选：A． 14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某食品加工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设第二、三季度销售额的平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设第二、三季度销售额的平均增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴第二、三季度销售额的平均增长率为， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）某公司生产某种产品，2022年产量为40万件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长相同的百分数，这样，确保2022至 2024这三年的总产量达到280万件．求这个增长的百分数． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，今后两年的产量较上一年增长的百分数为x，则2023年的产量为万件，2024年的产量为万件，再根据2022至 2024这三年的总产量达到280万件列出方程求解即可． 【详解】解：设今后两年的产量较上一年增长的百分数为x， 根据题意： 解得： (不合题意舍去)， ∴ 答：增长的百分数为100%． 题型六、数字问题(一元二次方程的应用) 16．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据连续两个奇数相差2，得到较大的一个奇数为，由此列得方程． 【详解】解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为， 则， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意表示出较大的一个奇数是解题的关键． 17．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 【答案】74 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b，然后根据十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27列出方程求解即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b， 由题意得，， 整理得：， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴原来的两位数是74， 故答案为：74． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 18．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数是12或21 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“新两位数与原来的两位数的乘积为252”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， 原来的两位数是12或21， 答：原来的两位数是12或21． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型七、营销问题(一元二次方程的应用) 19．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到元？设每件商品售价为元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每件商品售价为元，则每天可销售件，根据每日的总利润=每件的利润×日销售量，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设每件商品售价为元，则每天可销售件， 依题意，得：， 即． 故选：D． 20．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价元，可列方程 ． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意易得销量为盒，然后根据利润问题可列出方程． 【详解】解：由题意得： ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 21．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）某超市销售某种冰箱，每台进货价为2500元，提高进价的16%后的标价为定价．市场调研表明： (1)若每台降价150元，则每天售量为_____台． (2)该超市要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，每台冰箱的售价应为多少元? 【答案】(1)20 (2)2750元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． （1）根据每降低50元，平均每天就能多售出4台进行解答即可； （2）设每台冰箱价格降低元，销售量为台，根据单价乘以销量等于利润列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若每台降价150元，则每天售量为 （台）， 故答案为：20 （2）解：设每台冰箱价格降低元，销售量为台，     ， 解得， （元）， 答：想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，每台冰箱的售价应为元． 题型八、其他问题(一元二次方程的应用) 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题设条件，由，得到，整理后得到关于最佳乐观系数的方程，求解即可．解题的关键是正解理解题意并掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 故选：D． 23．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点O是矩形内一点，则点O到四个顶点的距离满足关系式，若点O在对角线，，．则 ．    【答案】或 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【详解】根据、的值计算出的值，即可得到的值，再用表示出，即可得到关于的方程，求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O在对角线上，， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确解出的长是解题的关键． 24．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）自2013年中国铁路售票系统12306手机APP正式上线，十年来，我们实现了互联网便捷购票，出行体验得以逐步优化提升，12306也从最初的一个简单的购票系统成长为多元化、网络化、移动化、个性化的综合铁路服务平台，已知从安庆开往A市的某趟高铁中途要停靠若干个站点，12306购票系统需为此设置21种电子客票，那么这趟高铁中途停靠的站点有多少个？ 【答案】这趟高铁中途停靠的站点有5个 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】高铁站点问题可以看成是线段条数问题，设从安庆到A市共有个站点，根据线段的总条数公式：线段的总条数＝端点数×（端点数－1）÷2，列出方程，进行计算即可得到答案． 【详解】解：设从安庆到A市共有个站点， 根据题意可得： ， 解得：，（舍去）， 这趟高铁中途停靠的站点有：（个）， 答：这趟高铁中途停靠的站点有5个． 【点睛】本题主要考查了线段的总条数问题，熟练掌握线段的总条数公式：线段的总条数＝端点数×（端点数－1）÷2，是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．世界各地来梵净山旅游的人数逐年增加，据有关部门统计，2019年约为10万人次，2021年约为14.4万人次．设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设观赏人数年均增长率为x，那么根据题意可用x表示到2021年的游客总人数，然后根据已知可以得出方程． 【详解】解：设观赏人数年均增长率为x， 那么根据题意，得10（1+x）2=14.4． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 2．如果是方程的一个根，则方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得出，求出即可． 【详解】解：设方程的另一个根为a， 则， 解得：， ∴方程的另一个根是， 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数关系的应用，能理解知识点是解此题的关键，注意：一元二次方程（a、b、c为常数，a≠0）的两个根为，则，． 3．若关于的一元二次方程的两根中只有一个为0，则下列说法正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】由根与系数的关系和两根中只有一个等于0得到，，由此即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根中有且只有一个根等于0， ∴，， ∵， ∴，． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，． 4．若关于的一元二次方程：没有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程没有实数根得到，列出不等式解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， 故选：． 5．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品每次降价的百分率均为x，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得，50（1-x）2=32， 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 6．若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(     ) A．k<5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5 【答案】B 【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故选：B． 7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是　　 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】分析：由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的取值范围，即可求得答案． 详解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，即且， 且， 的值可以是0， 故选D． 点睛：本题主要考查根的判别式，由根的判别式求得m的取值范围是解题的关键． 8．若实数m，n满足条件：，，则的值是（    ） A．2 B． C． D．2或 【答案】D 【知识点】分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】分和两种情况求解即可． 【详解】解：当时， ． 当时， 由题知m、n是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得， ∴． 综上可知，的值是2或． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．也考查了分式的化简求值． 9．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，则参加活动的同学有（  ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设参加活动的同学有人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为张，再根据“共送贺卡张”建立方程，然后解方程即可得． 【详解】设参加活动的同学有人， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 即参加活动的同学有7人， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． 10．如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）。若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的宽为（    ）米 A．1 B．2 C．3 D．2.5 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解． 【详解】解：设道路的宽为x米，由题意有： （20﹣2x）（15﹣x）=208， 解得x1=23（舍去），x2=2． 答：道路的宽为2米． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解本题的关键． 二、填空题 11．一元二次方程的解为，则 ． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用根与系数的关系，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：由题得， ∴ 故答案为2. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟知根与系数的关系是解题关键． 12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据一元二次方程根的情况，可知一元二次方程根的判别式，再根据一元二次方程根的定义得到，即可解题． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 13．关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等实根，则m的取值范围是 ． 【答案】m＞﹣ 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据根的判别式，令△＞0，即可计算出m的值． 【详解】∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等实根， ∴△＝1﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＞0， 解得m＞﹣． 故答案为﹣． 【点睛】本题考查了一元二次方程系数的问题，掌握根的判别式是解题的关键． 14．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当 s时，平分的面积． 【答案】2 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】先表示出，，根据平分的面积得到t的方程求解即可． 【详解】解：根据题意，，， ∵，， ∴， 点Q到B点的时间为，点P到C点的时间为， ∵P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ∴， 当平分的面积时，，即， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴当时，平分的面积． 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键，注意时间的取值范围． 三、解答题 15．一件外衣的进价为200元，按标价的8折销售时，利润率为10%，求这件外衣的标 价为多少元？（注：） 【答案】275元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【详解】试题分析：设这件外衣的标价为x元，就可以表示出售价为0.8x元，根据利润的售价﹣进价=进价×利润率建立方程求出其解即可．　 解：设这件外衣的标价为x元，依题意得0.8x﹣200=200×10%． 解得，x=275． 答：这件外衣的标价为275元． 16．关于的一元二次方程的两根为． (1)设，请用含的代数式表示； (2)当时，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程： （1）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解； （2）把代入，可求出，再解出原方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程的两根为， ∴， ∴； （2）解：当时，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时原方程为， 解得：． 17．某超市2019年盈利64万元，2021年盈利100万元． （1）求这两年投入教育经费的年平均增长百分率是多少？ （2）预计2022年投入的教育经费是多少？ 【答案】（1）；（2）万元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设这两年投入教育经费的年平均增长百分率是，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据（1）的结论和2021年盈利100万元计算即可． 【详解】（1）设这两年投入教育经费的年平均增长百分率是x，根据题意，得， 解得（舍） 答：这两年投入教育经费的年平均增长百分率； （2）（万元）． 答：预计2022年投入的教育经费是万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键． 18．第十九届亚运会在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为x元（）． (1)请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式 ． (2)若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？ 【答案】(1) (2)80 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键是根据等量关系列出函数解析式． （1）根据相对于单价45元时，每日销售量是550件，销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件，故当销售单价x元时，销售量即为，由此得解； （2）根据利润（售价进价）销售量进行计算可以得解； 【详解】（1）解： 销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件； 当销售单价x元时，，即， （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得：，（因，舍去） 故文化衫单价应为80元． 答：该文化衫单价应为80元． 19．某软件商店经销一种热门益智游戏软件，进货成本为每盘8元，若按每盘10元销售，每天能售出200盘；但由于货源紧缺，商店决定采用尽量提高软件售价减少销售量的办法增加利润，如果这种软件每盘售价提高1元其销售量就减少20盘，问应将每盘售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？ 【答案】每盘售价定为16元时，才能使每天利润为640元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每盘售价定为x元，根据每盘利润×销售量=总利润列方程求解即可． 【详解】解：设每盘售价定为x元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵采用尽量提高软件售价减少销售量的办法增加利润， ∴， 答：每盘售价定为16元时，才能使每天利润为640元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 20．某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，销售单价为元时，每月的销售量为件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出件，且要求销售单价不得低于成本． (1)当销售单价为元时，每月的销售量为___________件． (2)若使该商品每月的销售利润为元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)销售单价应定为元； 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据活动表示出单价数量之间关系，代入求解即可得到答案； （2）设售价为x元，根据利润列方程求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 当销售单价为元时， 销售量为：（件）， 故答案为：； （2）解：设售价为x元，由题意可， ， 解得：，， ∵使顾客获得更多的实惠， ∴， 答：销售单价应定为元； 【点睛】本题考查一元二次方程解决销售利润问题，解题的关键是找到等量关系式． 21．已知关于的方程 (1)求证：无论取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长． 【答案】(1)见解析 (2)三角形另外两边长为2，2 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、等腰三角形的定义 【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证． （2）△ABC是等腰三角形，若b=c，即=0，解出k后代入方程，解方程可得另外两边长；若a是腰，则a＝1是方程的根，把1代入方程解出k后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可． 【详解】（1）证明： 所以此方程总有实根． （2）解：①若，则此方程有两个相等实根 此时，则， 原方程为：，， ∴另外两边长为2和2， ②若，则是方程的根， ∴， ∴， 原方程为， 解得：，， 而1、1、2为边不能构成三角形． 所以，三角形另外两边长为2，2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 22．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)26，12 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为，宽为； （2）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 23．三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为．即． 第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步： 将大正方形边长用含的代数式表示为______． 小正方形边长为常数______， 长方形面积之和为常数______． 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程______，两边开方可求得，．    (1)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______； (2)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程． 【答案】(1)，2，12， (2)见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意，表示出大正方形的边长，小正方形的边长，长方形面积之和，再由大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列出方程即可得到答案； （2）先将原方程变形，构造出一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，再用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，然后根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得出一个方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： 大正方形的边长为：， 小正方形的边长为：， 长方形面积之和为：， 大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和， ， 故答案为：，2，12，； （2）解：第一步：将原方程变形为，即， 第二步：构造成一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3， 第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示， ，           第四步： 将大正方形边长用含的代数式表示为， 小正方形边长为常数， 长方形面积之和为常数， 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和， 得方程， 两边开方可求得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 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