第03讲 平行线的性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版2024）

第03讲 平行线的性质 【题型1 利用平行线性质求角度】 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 【题型4 平行线性质的实际应用】 【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】 【题型6 命题的判定】 【题型7 真假命题的判断】 【题型8 命题的改写】 【题型9 写出命题的逆命题】 考点1：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【题型1 利用平行线性质求角度】 【典例1】（2024·江苏南京·中考真题）如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·海南海口·期末）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】 【典例2】（海南省三亚市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）已知，现将一个含角的直角三角尺按如图方式放置，其中顶点F、G分别落在直线，上，交于点H，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级上·海南海口·期末）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级上·河南南阳·期末）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 【典例3】（23-24七年级下·黑龙江鸡西·阶段练习）手工课上小亮将一张长方形纸片沿折叠，若，则度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则 ． 【变式3-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，若，则的度数为 ． 【变式3-3】（23-24九年级下·黑龙江·期中）把一张对边平行的纸条（）按照如图所示的方式折叠，为折痕，，则的度数为 °． 【题型4 平行线性质的实际应用】 【典例4】（2023·四川绵阳·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23七年级下·江苏·阶段练习）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（     ） A．第一次向左拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【变式4-3】（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则 度． 【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】 【典例5】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的高，点在上，，垂足是点，点在上，连接，若．求证： 【变式5-1】（24-25七年级上·海南海口·期末）如图，四边形中，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．若，，． (1)试说明； 解：（1）∵，（已知） ∴．（_______） (2)与的位置关系如何？为什么？ 解：与的位置关系是：，理由如下： ∵，（已知） ∴_______．（_______） ∵，（已知） ∴_______．（_______） ∵，（已知） ∴， 即______________， ∴_______．（等量代换） ∴．（_______） (3)与相等吗？请说明理由． 【变式5-2】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【变式5-3】（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，若，求的度数． 考点2：：命题 内容 定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。 组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项 表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题 题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。 【题型6 命题的判定】 【典例6】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③对顶角不相等；④内错角相等吗？⑤同角的余角相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】（23-24七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【变式6-2】（23-24八年级下·广东湛江·期中）下列语句是命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线 C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等 【变式6-3】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【题型7 真假命题的判断】 【典例7】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下面命题中： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②对于所有自然数的值都是质数； ③同位角相等，两直线平行； ④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．若，则 B．任何一个角都比它的余角小 C．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【变式7-2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．同角的余角相等 C．两个锐角的和是锐角 D．如果，则 【变式7-3】（24-25八年级上·福建泉州·期中）下列命题中，是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等 【题型8 命题的改写】 【典例8】（2024八年级上·广西·专题练习）把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【变式8-1】（23-24七年级下·湖北·期中）把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是 ． 【变式8-2】（24-25八年级上·湖南常德·期中）将命题“对顶角相等”改写为如果 ，那么 ． 【变式8-3】（23-24七年级下·广西南宁·期中）将命题“邻补角互补”写成“如果……，那么……”的形式 ． 【题型9 写出命题的逆命题】 【典例9】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 ． 【变式9-1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）命题“等边三角形的各个内角都等于”，其逆命题是 ． 【变式9-2】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是 ； 【变式9-3】（23-24八年级下·陕西安康·期中）命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 一、单选题 1．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，，其中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）下列说法：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若，，则；④若，，则．正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）如图，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图，下列推理过程及括号中所注明的推理依据正确的是（    ） A．如∵，∴（内错角相等，两直线平行） B．∵，∴（两直线平行，内错角相等） C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补） D．∵，∴（同位角相等，两直线平行） 6．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列命题是真命题的是（   ） A．互补的两个角是邻补角 B．同位角相等 C．1的平方根是1 D．平行于同一条直线的两条直线平行 7．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，已知直线，点E在和之间，连接，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）如图所示，若，，和互余，则 ， ． 9．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，，则的度数为 ． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁，使．如果， ． 11．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 三、解答题 12．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 13．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）如图，点D，E，F在的三边上，，．求证：． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，，求的度数．请将解题过程填写完整． 解：∵（已知） ∴ （ ） 又∵已知） ∴ ∴ （ ） ∴ （ ） ∵（已知） ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平行线的性质 【题型1 利用平行线性质求角度】 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 【题型4 平行线性质的实际应用】 【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】 【题型6 命题的判定】 【题型7 真假命题的判断】 【题型8 命题的改写】 【题型9 写出命题的逆命题】 考点1：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【题型1 利用平行线性质求角度】 【典例1】（2024·江苏南京·中考真题）如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及对顶角相等的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，由，得出，进而得出，由，即可求出答案． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级上·海南海口·期末）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， 又， ． 故选：D． 【变式1-3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平分线的定义、平行线的性质．首先根据两直线平行内错角相等，可得，再根据角平分线的定义可知． 【详解】解：如下图所示， ， ， 平分， ． 故选：C． 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】 【典例2】（海南省三亚市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）已知，现将一个含角的直角三角尺按如图方式放置，其中顶点F、G分别落在直线，上，交于点H，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等是解题的关键．由可得，结合可得出的度数，再由得出，即可得出结论． 【详解】解：， ， 由含角的直角三角尺可得，， ， ， ． 故选：D． 【变式2-1】（24-25七年级上·海南海口·期末）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与三角板有关的计算，先证明，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式2-2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，由垂直的定义得到，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：如图： ， ， ， ． 故选：B． 【变式2-3】（24-25七年级上·河南南阳·期末）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 【典例3】（23-24七年级下·黑龙江鸡西·阶段练习）手工课上小亮将一张长方形纸片沿折叠，若，则度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、翻折变换等知识，如图，设B的对应点为K．由，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图设B的对应点为K． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则 ． 【答案】130 【分析】根据平行线的性质可得，根据邻补角的性质可得，即可求出的度数． 本题主要考查了平行线的性质和邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质和邻补角的性质是 解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故答案为：130． 【变式3-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据折叠性质得出，根据的度数求出，即可得出，再根据平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：， ， ， ， ， ，， ． ． 故答案为：． 【变式3-3】（23-24九年级下·黑龙江·期中）把一张对边平行的纸条（）按照如图所示的方式折叠，为折痕，，则的度数为 °． 【答案】/68度 【分析】本题考查平行线的性质及翻折变换，由，根据邻补角定义可得，由折叠得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质及其应用，涉及翻折变换，解此题的关键是掌握平行线的性质． 【题型4 平行线性质的实际应用】 【典例4】（2023·四川绵阳·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 【变式4-1】（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等，可知，进而得出结果． 【详解】解：如图， ∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4-2】（22-23七年级下·江苏·阶段练习）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（     ） A．第一次向左拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】D 【分析】首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向不同，故本选项错误，不符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项错误，不符合题意； C、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向不同，故本选项错误，不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 故本选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，难度不大，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 【变式4-3】（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则 度． 【答案】150 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．过点B作，可得，进而得到，由即可得出答案． 【详解】解：过点B作，如图， ∵平行地面， ∴， ∵， ∴ ∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：150． 【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】 【典例5】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的高，点在上，，垂足是点，点在上，连接，若．求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键． 根据可判定，利用平行线的性质可知，再结合，运用等量代换得即可证明结论． 【详解】证明：∵是的高， ∴， ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 【变式5-1】（24-25七年级上·海南海口·期末）如图，四边形中，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．若，，． (1)试说明； 解：（1）∵，（已知） ∴．（_______） (2)与的位置关系如何？为什么？ 解：与的位置关系是：，理由如下： ∵，（已知） ∴_______．（_______） ∵，（已知） ∴_______．（_______） ∵，（已知） ∴， 即______________， ∴_______．（等量代换） ∴．（_______） (3)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2)；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行 (3)相等，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据同位角相等两直线平行即可判定． （2）根据平行线的判定和性质求解即可． （3）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，（已知） ∴．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：同位角相等，两直线平行． （2）解：与的位置关系是：，理由如下： ∵，（已知） ∴．（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴．（等量代换） ∵，（已知） ∴． 即， ∴,（等量代换） ∴.（内错角相等，两直线平行） 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行 （3）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式5-2】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）由两直线平行，同旁内角互补，得到，进而得出，即可证明结论； （2）由平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，得出，即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 【变式5-3】（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义； （1）根据可得，从而证明，根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据平行线的性质和角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：． 理由：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 考点2：：命题 内容 定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。 组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项 表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题 题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。 【题型6 命题的判定】 【典例6】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③对顶角不相等；④内错角相等吗？⑤同角的余角相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义：判断一件事情的语句称为命题，据此逐个判断即可解答． 【详解】解：①全等三角形对应边相等，是命题； ②过一点画已知直线的平行线，不是命题； ③对顶角不相等，是命题；； ④内错角相等吗？不是命题； ⑤同角的余角相等，是命题； 综上，不是命题的是②④，共2个． 故选：B 【变式6-1】（23-24七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间线段最短，是命题； B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题； C．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题； D．对顶角相等，是命题． 故选：C． 【变式6-2】（23-24八年级下·广东湛江·期中）下列语句是命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线 C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的概念，根据命题是能具有判定的语句，由题设和结论组成进行判定即可，掌握命题的概念是解题的关键． 【详解】解：A、两直线被第三条直线所截是陈述句，不是命题，不符合题意； B、过直线外一点作这条直线的垂线是陈述句，不是命题，不符合题意； C、百家争鸣思想活跃是陈述句，不是命题，不符合题意； D、内错角相等，题设是内错角，结论是相等，是命题，符合题意； 故选： D． 【变式6-3】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可． 【详解】解：A、对顶角相等，符合命题的概念，故本选项符合题意； B、a，b两条直线平行吗，是问句，未做判断，故本选项不符合题意； C、画一个角等于已知角，不符合命题的概念，故本选项不符合题意， D、过一点画已知直线的垂线，不符合命题的概念，故本选项不符合题意； 故选A． 【题型7 真假命题的判断】 【典例7】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下面命题中： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②对于所有自然数的值都是质数； ③同位角相等，两直线平行； ④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以①为假命题； ②当时，不是质数，所以②为假命题； ③同位角相等，两直线平行，所以③为真命题． ④一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补， 所以④为假命题． 综上所述，真命题有1个， 故选：A． 【变式7-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．若，则 B．任何一个角都比它的余角小 C．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理. 根据一元一次方程的解法、余角、角的和差、平行线的判定逐项进行判断即可. 【详解】解：A.若，则，故选项是假命题； B. 任何一个角不一定都比它的余角小，故选项是假命题； C. 一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，故选项是假命题； D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故选项是真命题； 故选：D． 【变式7-2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．同角的余角相等 C．两个锐角的和是锐角 D．如果，则 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据平行公理的推论、同角的余角相等、角的概念等判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意； B、同角的余角相等，故本选项说法是真命题，符合题意； C、两个锐角的和可能是锐角，也可能是钝角，故本选项说法是假命题，不符合题意； D、如果，则、异号，则或，故本选项说法是假命题，不符合题意； 故选：B． 【变式7-3】（24-25八年级上·福建泉州·期中）下列命题中，是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，对顶角的性质，两点之间，线段最短，垂线的定义，平行线的性质等等，根据对顶角的性质，两点之间，线段最短，垂线的定义，平行线的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、两点之间，线段最短，原命题是真命题，不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D 【题型8 命题的改写】 【典例8】（2024八年级上·广西·专题练习）把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键． 根据命题的条件与结论即可改写即可． 【详解】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 【变式8-1】（23-24七年级下·湖北·期中）把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个角是锐角，那么这个角的余角是锐角 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个角是锐角，放在“如果”的后面，结论是这个角的余角是锐角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：条件为：一个角是锐角，结论为：这个角的余角是锐角， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是锐角的，那么这个角的余角是锐角． 故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角的余角是锐角． 【变式8-2】（24-25八年级上·湖南常德·期中）将命题“对顶角相等”改写为如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面． 【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等． 【变式8-3】（23-24七年级下·广西南宁·期中）将命题“邻补角互补”写成“如果……，那么……”的形式 ． 【答案】如果两个角是邻补角，那么它们互补 【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果…那么…”的形式，关键是找准题设和结论．分清题目的已知与结论，即可解答． 【详解】解：把命题“邻补角互补”改写为“如果…那么…”的形式是：如果两个角是邻补角．那么它们互补， 故答案为：如果两个角是邻补角．那么它们互补． 【题型9 写出命题的逆命题】 【典例9】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 ． 【答案】在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，根据题意写出命题的逆命题即可． 【详解】解：命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数， 故答案为：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数． 【变式9-1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）命题“等边三角形的各个内角都等于”，其逆命题是 ． 【答案】三个内角都是的三角形是等边三角形 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的结论和条件互换作为新命题的条件和结论并写出对应的命题即可． 【详解】解：命题“等边三角形的各个内角都等于”，其逆命题是：三个内角都是的三角形是等边三角形 故答案为：三个内角都是的三角形是等边三角形． 【变式9-2】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是 ； 【答案】如果两个角的余角相等，那么这两个角是等角 【分析】本题主要考查了逆命题的定义，正确理解原命题与逆命题的关系是关键．题设是：两个角是等角，结论是：它们的余角相等．把题设与结论互换即可得到逆命题． 【详解】解：命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等． 故答案是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等． 【变式9-3】（23-24八年级下·陕西安康·期中）命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补，因为逆命题符合两直线平行的性质故是真命题． 【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补． 它是真命题， 故答案为：真． 一、单选题 1．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，，其中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质及邻补角互补，先根据两直线平行同位角相等求出的同位角大小，再根据邻补角互补求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据两直线平行，同位角相等即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，， ∴， 故选：D． 3.（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）下列说法：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若，，则；④若，，则．正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定与性质、垂直的性质，熟练掌握平行线的判定与性质及垂直的性质是解题的关键．利用平行线的判定与性质、垂线的性质逐一判断即可． 【详解】解：①中，应为：两直线平行，同位角相等，故错误； ②中，应为：在同一平面内，过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误； ③中，若，，则，故正确； ④中，应为：在同一平面内，若，，则，故错误． 综上所述，正确的有③，共个． 故选：A． 4．（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）如图，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由同旁内角互补，两直线平行得到，再由平行线的性质即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 根据现有条件无法得到A、C、D三个选项中的结论， 故选：B． 5．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图，下列推理过程及括号中所注明的推理依据正确的是（    ） A．如∵，∴（内错角相等，两直线平行） B．∵，∴（两直线平行，内错角相等） C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补） D．∵，∴（同位角相等，两直线平行） 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质逐项进行判定即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故原选项错误，不符合题意； B、∵， ∴（两直线平行，内错角相等），故原选项正确，符合题意； C、∵与相交，且不平行， ∴与的数量关系不确定，故原选项错误，不符合题意； D、∵， ∴，故原选项错误，不符合题意； 故选：B ． 6．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列命题是真命题的是（   ） A．互补的两个角是邻补角 B．同位角相等 C．1的平方根是1 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据邻补角、同位角、平方根、平行线的判定判断即可． 【详解】解：A、两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，原命题是假命题，故A不符合题意； B、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，故B不符合题意； C、1的平方根是，原命题是假命题，故C不符合题意； D、平行于同一条直线的两直线平行，是真命题，故D符合题意． 故选：D． 7．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，已知直线，点E在和之间，连接，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 如图所示，过点作，则，根据两直线平行，内错角相等得到，再求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 8．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）如图所示，若，，和互余，则 ， ． 【答案】 【分析】由平行线的性质可知，根据和互余可求得，最后根据平行线的性质可求得．本题主要考查的是平行线的性质、余角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵和互余， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：；． 9．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线性质，可得． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁，使．如果， ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，同位角相等．直接根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解： ， ， 故答案为： 11．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质．作辅助线构建平行关系是解题的关键． 过点作，则有，由两直线平行，同旁内角互补，可知，通过角的等量代换可得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 12．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 13．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）如图，点D，E，F在的三边上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，证明可得，由得，根据等量代换可得结论． 【详解】证明：， ， ． ， ， ． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，，求的度数．请将解题过程填写完整． 解：∵（已知） ∴ （ ） 又∵已知） ∴ ∴ （ ） ∴ （ ） ∵（已知） ∴ 【答案】；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质与判定定理结合已给求解过程求解即可． 【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） ∴． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 学科网（北京）股份有限公司 $$