预习第08讲 条件概率7种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

预习第08讲 条件概率7种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.结合古典概型，了解条件概率的定义. 2.掌握条件概率的计算方法. 3.了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式. 4.会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质． 5.结合古典概型，理解并掌握全概率公式，会利用全概率公式计算概率并了解贝叶斯公式 知识点1、条件概率公式 1、定义：一般地，设A，B为两个事件，， 我们称为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率， 记为，读作“发生条件下发生的概率”，即 2、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则. 3、条件概率的性质：设，则 （1）； （2） （3）如果、互斥，则； 4、两点说明 （1）一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件），求另一事件在此条件下发生的概率； （2）通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。 知识点2、全概率公式 1、全概率公式：若事件两两互斥，且它们的和，且，，则对于中的任何事件，有. 2、全概率公式的来由： 不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。 3、另一个角度理解全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是. （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。 （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。 知识点3、贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对于中的任何事件，，有，． 考点一：条件概率的理解 例1．下面几种概率是条件概率的是（    ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 C．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 【变式1-1】【多选】下面几种概率不是条件概率的是（    ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 【变式1-2】判断下列哪些是条件概率？ (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率； (2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率． 考点二：利用定义求条件概率 例2.为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次又抽到奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数，两次的点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知某同学投篮一次的命中率为，连续两次均投中的概率是，若该同学在投中一次后，随后一次也投中的概率是（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式2-5】某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲选手答对第一道题”，事件B表示“甲选手答对第二道题”，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式2-6】我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件为“两位游客选择的景点相同”，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-7】质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 考点三：条件概率的性质及应用 例3.设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列说法正确的是（ ） A． B．是可能的 C． D． 【变式3-2】设A，B是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则 A，B对立 C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则 【变式3-4】已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】已知，且若，，则 ． 考点四：概率的乘法公式 例4.10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率． 【变式4-1】10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率； (4)甲、乙、丙都抽到难签的概率． 【变式4-2】设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于（    ） A． B． C． D． 考点五：全概率公式及其应用 例5.书架上有3本语文书，2本数学书，甲、乙两位同学先后从书架上任取一本书，则乙取到语文书的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A，B，C三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A，B，C三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A，B，C三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（    ） A．0.24 B．0.14 C．0.077 D．0.067 【变式5-2】若事件A，B满足：，，，则（ ）． A． B． C． D． 【变式5-3】某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为______. 【变式5-4】“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ． 【变式5-5】为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是． (1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率； (2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率． 考点六：贝叶斯公式 例6.某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大？ 【变式6-1】根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 【变式6-2】“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，求： （1）它是不合格品的概率； （2）若它是不合格品，则它是由哪一部机器生产出来的可能性大．（计算说明理由） 考点七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 例7.在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人 (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率. 【变式7-1】第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 一、单选题 1．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 2．（2024·重庆·模拟预测）随机投掷一枚质地均匀的骰子，该骰子六个面分别刻有两个1，两个2，两个3共六个数字，若掷出的数字为，则再从数字中随机选取一个数字，则选出的数字为2的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南怀化·期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知播种用的盘锦水稻种子中混有60%的盐丰47种子，40%的辽盐2号种子，盐丰47种子的结实率为85%，辽盐2号种子的结实率为90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取一穗这一穗结实的概率为（    ） A．0.86 B．0.87 C．0.88 D．0.89 5．（2024·江苏南京·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·黑龙江·期末）春夏换季是流行性感冒爆发期，已知A，B，C三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是5:8:9，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是（   ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 10．（24-25高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·上海·期末）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（   ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.7 乙 0.7 0.6 0.3 丙 0.7 0.4 0.4 丁 0.3 0.7 0.6 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 12．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知随机事件，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 13．（2025高三·全国·专题练习）已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高三上·江苏·期末）第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（24-25高二上·广西·阶段练习）盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高三上·广西·阶段练习）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星分，二星分，三星分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图.根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法正确的是（   ） A．的值是 B．随机抽取名观众，则不一定有人评价五星 C．若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则 D．若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件 17．（24-25高二上·辽宁·期末）假设A，B是两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 18．（2024·江西新余·模拟预测）已知甲、乙两枚互不影响的骰子均能等概率掷出自然数1—6，某一次随机抛出这两枚骰子，记事件甲、乙掷出的点数和为6；事件甲掷出的点数为奇数，则：（     ）. A． B． C． D． (甲,乙) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数，，其中a，b分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数，设“函数的值域为”为事件A，“函数为偶函数”为事件B，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知事件，，为随机事件，且，则（    ） A．若事件与事件对立，则 B．若，则事件与事件对立 C．若事件与事件独立，则 D．若，则事件与事件独立 21．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（   ） A．“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B．若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C．若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D．“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 三、填空题 22．（天津市西青区2024-2025学年高三上学期期末学业质量检测数学试卷）袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是 ；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则 . 23．（24-25高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为 . 24．（2025高三·全国·专题练习）一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是 . 25．（24-25高三上·天津河西·期末）甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是 ；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是 . 26．（24-25高三上·天津河东·期末）某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ． 27．（2024·天津北辰·三模）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 四、解答题 28．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮．现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的． (1)求比赛需打三局的概率； (2)已知甲在比赛中获胜，求比赛进行三局的概率． 29．（24-25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 30．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率． 31．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 32．（24-25高二上·四川成都·期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲. (1)求第3次投篮者为乙的概率； (2)求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率. 33．（24-25高三上·河北唐山·期末）某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立．该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为p． (1)若，，，求p； (2)若，，求p取最大值时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习第08讲 条件概率7种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.结合古典概型，了解条件概率的定义. 2.掌握条件概率的计算方法. 3.了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式. 4.会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质． 5.结合古典概型，理解并掌握全概率公式，会利用全概率公式计算概率并了解贝叶斯公式 知识点1、条件概率公式 1、定义：一般地，设A，B为两个事件，， 我们称为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率， 记为，读作“发生条件下发生的概率”，即 2、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则. 3、条件概率的性质：设，则 （1）； （2） （3）如果、互斥，则； 4、两点说明 （1）一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件），求另一事件在此条件下发生的概率； （2）通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。 知识点2、全概率公式 1、全概率公式：若事件两两互斥，且它们的和，且，，则对于中的任何事件，有. 2、全概率公式的来由： 不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。 3、另一个角度理解全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是. （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。 （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。 知识点3、贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对于中的任何事件，，有，． 考点一：条件概率的理解 例1．下面几种概率是条件概率的是（    ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 C．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 【答案】C 【解析】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率． 选项A：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率； 选项B：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率； 选项C：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率； 选项D：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率． 故选：C 【变式1-1】【多选】下面几种概率不是条件概率的是（    ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 【答案】ACD 【解析】由条件概率的定义知B选项中的概率为条件概率，A，C，D中的不是条件概率． 故选：ACD． 【变式1-2】判断下列哪些是条件概率？ (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率； (2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率． 【解析】（1）由于高一的女生获得冠军的概率，是在一名女生获得冠军的条件求的概率， 所以所求概率是条件概率. （2）掷一个骰子出现有1，2，3，4，5，6的6个不同结果，求掷出的点数为3的概率是古典概率， 所以掷出的点数为3的概率不是条件概率. （3）由于求抽到梅花5的概率，是在抽到梅花的条件下求出的概率， 所以求抽到的是梅花5的概率是条件概率. 考点二：利用定义求条件概率 例2.为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率的公式计算. 【详解】令事件为甲被选中，事件为乙被选中，则，， 故. 【变式2-1】从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次又抽到奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在第1次抽到奇数的条件下，余下个奇数和个偶数， 再次抽取时，抽到奇数的概率为. 故选：C 【变式2-2】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数，两次的点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件共有种， 其中事件有种， 事件有共种， 所以. 故选：C. 【变式2-3】已知某同学投篮一次的命中率为，连续两次均投中的概率是，若该同学在投中一次后，随后一次也投中的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若为第次投篮并投中，则，， 所以.故选：D 【变式2-4】根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，设事件表示吹东风，事件表示下雨， 则，，， 所以在吹东风的条件下下雨的概率为．故选：D． 【变式2-5】某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲选手答对第一道题”，事件B表示“甲选手答对第二道题”，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 故选：D. 【变式2-6】我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件为“两位游客选择的景点相同”，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率公式即可求得的值. 【详解】由题意，知， 所以． 故选：A． 【变式2-7】质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不超过的自然数有个，其中素数有共个， 孪生素数有和，和，和，和，共组. 所以，， 所以. 故选：D 考点三：条件概率的性质及应用 例3.设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设有，根据条件概率公式有，结合，即可得答案. 【详解】由，则，故， 而，则，又， 所以. 故选：D 【变式3-1】下列说法正确的是（ ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】B 【解析】由，当，则，A错误； 当A或B为不可能事件时，，C错误； B：要使，即， 当恰好为A的子事件成立，正确； D：由，故错误.故选：B 【变式3-2】设A，B是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：由，而， 则， 即时成立，否则不成立，排除； B：当A，B是两个相互独立的事件，有，否则不成立，排除； C：由且， 故时成立，否则不成立，排除； D：由，而，则，符合；故选：D 【变式3-3】已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则 A，B对立 C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则 【答案】C 【解析】对A，，故A错误； 对B，若A，B对立，则，反之不成立，故B错误； 对C，根据独立事件定义，故C正确； 对D，若A，B互斥，则，故D错误；故选：C 【变式3-4】已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案. 【详解】由题意，，由，是互斥事件知，， 所以， 故选：A． 【变式3-5】已知，且若，，则 ． 【答案】/ 【分析】由，可得相互独立，再结合已知条件，根据独立事件的概率乘法公式，即可求解． 【详解】由可得相互独立， 又，， 又因为，所以， 所以 故答案为：． 考点四：概率的乘法公式 例4.10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率． 【解析】（1）记事件A表示甲抽到难签，抽签的试验有10个不同结果，它们等可能， 事件A含有4个不同结果，所以. （2）记事件B表示乙抽到难签，由于甲先抽、乙后抽，则，由（1）知，， 所以甲、乙都抽到难签的概率. （3）由（1）知甲没有抽到难签的概率，， 所以甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率. 【变式4-1】10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率； (4)甲、乙、丙都抽到难签的概率． 【解析】（1）甲抽到难签的概率为； （2）甲、乙都抽到难签的概率为； （3）甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为； （4）甲、乙、丙都抽到难签的概率为． 【变式4-2】设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可求出，再由即可求出. 【详解】， 由，得. 故选：B. 考点五：全概率公式及其应用 例5.书架上有3本语文书，2本数学书，甲、乙两位同学先后从书架上任取一本书，则乙取到语文书的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设表示“乙取到语文书”，表示“甲取到语文书”，再根据全概率公式即可求解. 【详解】用表示“乙取到语文书”，表示“甲取到语文书”， 则． 故选：B. 【变式5-1】小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A，B，C三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A，B，C三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A，B，C三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（    ） A．0.24 B．0.14 C．0.077 D．0.067 【答案】C 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】由题意，小明闯关失败的概率 . 故选：C. 【变式5-2】若事件A，B满足：，，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，， 得， 又， 所以，解得.故选：D. 【变式5-3】某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为______. 【答案】 【解析】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件， 学生选道类试题为事件， 设学生答对试题为事件， 则，，， ，，， 所以， 所以. 故答案为： 【变式5-4】“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ． 【答案】 【解析】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 【变式5-5】为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是． (1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率； (2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率． 【解析】（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为， 则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得， 乙、丙两人都回答正确的概率是，解得， 所以规定三名同学都需要回答这个问题， 则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率. （2）记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，记事件B为“这道题被答对”， 则，，， 且，，， 由全概率公式可得. 考点六：贝叶斯公式 例6.某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大？ 【解析】设“抽查的人患有癌症”为事件，“实验结果为阳性”为事件，则“抽查的人不患癌症”为事件, 已知，，，， 由贝叶斯公式. 所以此人是癌症患者的概率约为. 【变式6-1】根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可. 【详解】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B， 则本题所求． 故选：A． 【变式6-2】“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解. 【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”， 则，，，， 则， ， 故， 故. 故选：D 【变式6-3】根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出三个事件：失踪的飞机后来被找到、失踪的飞机后来未被找到、装有紧急定位传送器的概率，再用条件贝叶斯公式计算即可得出结论. 【详解】设“失踪的飞机后来被找到”，“失踪的飞机后来未被找到”，“安装有紧急定位传送器”， 则，， 安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为. 故选：C. 【变式6-4】三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，求： （1）它是不合格品的概率； （2）若它是不合格品，则它是由哪一部机器生产出来的可能性大．（计算说明理由） 【答案】（1）（2）它是由机器甲生产出来的可能性大，理由见解析 【解析】（1）设、、分别表示事件：任取的零件为甲、乙、丙机器生产的， B表示事件：抽取的零件是不合格品， 由题意可知，，， ，，， 则 ， 所以它是不合格品的概率为. （2）， ， ， 因为， 所以它是由机器甲生产出来的可能性大. 考点七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 例7.在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人 (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率. 【解析】（1）此人来自三个地区分别为事件，事件为这个人患流感， 所以， 因此 ； （2）. 【变式7-1】第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 【解析】（1）记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”， 则， 由全概率公式得： . （2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下： 该球是取自甲箱的概率 该球取自乙箱的概率 因为所以该球取自乙箱的可能性更大. 一、单选题 1．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 【答案】C 【分析】由条件概率公式、相互独立事件概率乘法公式与对立事件的概率关系可得. 【详解】因为事件与独立，且， 所以，故， 所以. 故选：C. 2．（2024·重庆·模拟预测）随机投掷一枚质地均匀的骰子，该骰子六个面分别刻有两个1，两个2，两个3共六个数字，若掷出的数字为，则再从数字中随机选取一个数字，则选出的数字为2的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式求解可得. 【详解】记掷出的数字为的事件为，选出数字为2为事件， 易知，， 由全概率公式得 . 故选：C 3．（24-25高三上·湖南怀化·期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据近视情况分为超过和低于两种可能，利用全概率公式计算可得． 【详解】某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，则有的学生每天玩手机不超过， 超过近视率约为，不超过近视率约为， 所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是． 故选：C． 4．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知播种用的盘锦水稻种子中混有60%的盐丰47种子，40%的辽盐2号种子，盐丰47种子的结实率为85%，辽盐2号种子的结实率为90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取一穗这一穗结实的概率为（    ） A．0.86 B．0.87 C．0.88 D．0.89 【答案】B 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】根据全概率公式可得，这一穗结实的概率为． 故选：B. 5．（2024·江苏南京·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 则，所以. 故选：A. 6．（2024高三·全国·专题练习）某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 7．（2024·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病，利用全概率公式求出的值，然后利用贝叶斯公式可求出的值，即为所求. 【详解】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病， 由题意可知，，，，， 所以，， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为， 故选：A. 8．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率和全概率的计算公式，求出各选项中的概率值，然后判断正误. 【详解】由题意：，，. 所以. . 又事件、为对立事件，所以. 故选：C 9．（24-25高二上·黑龙江·期末）春夏换季是流行性感冒爆发期，已知A，B，C三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是5:8:9，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是（   ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式，求得选取的人为A，B，C三个地区的概率，由题意，明确A，B，C三个地区患流感的条件概率，利用全概率公式求得患流感的概率，根据条件概率的定义，可得答案. 【详解】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”， 由题意可知，，， ，，， 则 故. 故选：C. 10．（24-25高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可. 【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，， 设“学生肥胖”为事件B，则，， 由全概率公式可得， 所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为. 故选：A 11．（24-25高二上·上海·期末）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（   ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.7 乙 0.7 0.6 0.3 丙 0.7 0.4 0.4 丁 0.3 0.7 0.6 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 【答案】B 【分析】分丙、丁的输赢情况，结合独立事件的乘法公式与全概率公式即可得解. 【详解】设为甲赢乙的概率，为甲赢丙的概率，为甲赢丁的概率， 分别为丙赢丁和丁赢丙的概率，为甲夺冠的概率， 则. 故选：B. 12．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知随机事件，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式及已知可得、，再由全概率公式及对立事件概率关系求. 【详解】由且，故， 由，故， 由于，则， 故． 故选：B 13．（2025高三·全国·专题练习）已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个事件的和事件的概率公式求出，利用全概率公式得到，再利用条件概率求解即可. 【详解】记事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游， 则，，， 因为，即，解得， 又因为，即，解得， 因为，所以， 所以. 故选：D. 14．（24-25高三上·江苏·期末）第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求. 【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得. 故选：A. 二、多选题 15．（24-25高二上·广西·阶段练习）盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用古典概型的概率公式及排列组合数，求出，，，，，，再利用条件概率公式即可判断各个选项. 【详解】对A，事件“第2次取球，取到正品”，，故A错误； 对B，，所以，故B正确； 对C，事件“第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”， 包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正）， 共有种情况，则， 又因为，故C正确； 对D，事件“第1次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”， 包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白）， 共有种情况，，故D错误； 故选：BC. 16．（24-25高三上·广西·阶段练习）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星分，二星分，三星分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图.根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法正确的是（   ） A．的值是 B．随机抽取名观众，则不一定有人评价五星 C．若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则 D．若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件 【答案】ABD 【分析】对A选项，由题意参与评价的观众中有的评价不低于二星，则二星及以上的频率加和为，即可求解；对B选项，由频率只能推出可能有人符合条件；对C选项，根据条件概率的性质即可得到答案；对D选项，“至多人评价五星”即为无人评价或人评价五星，依据互斥事件与对立事件定义判断即可. 【详解】对A选项，参与评价的观众中有的评价不低于二星， 则，所以，故A正确； 对B选项，随机抽取名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B正确； 对C选项，因为，则，故C错误； 对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知， 事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确. 故选：ABD. 17．（24-25高二上·辽宁·期末）假设A，B是两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合对立事件的概率公式，利用条件概率公式求解判断AC，根据独立事件概率乘法公式求解判断B，利用概率的基本性质求解判断D. 【详解】因为，，所以，， 对于选项A，因为，， 所以，错误； 对于选项B，因为，所以事件A与B相互独立， 所以A与相互独立，所以，正确； 对于选项C，因为，所以，正确； 对于选项D，，D正确. 故选：BCD. 18．（2024·江西新余·模拟预测）已知甲、乙两枚互不影响的骰子均能等概率掷出自然数1—6，某一次随机抛出这两枚骰子，记事件甲、乙掷出的点数和为6；事件甲掷出的点数为奇数，则：（     ）. A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】应用列举法求得、、，结合条件概率公式、概率的性质判断各项的正误. 【详解】 (甲,乙) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 A：由表格知种情况，总共种情况，则，A正确； C：由表格种情况，种情况，则，C正确； B：由上，则，B错误； D：由，D正确. 故选：ACD 19．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数，，其中a，b分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数，设“函数的值域为”为事件A，“函数为偶函数”为事件B，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，求出事件的所有可能结果，并求出概率，再结合事件的和与积、条件概率逐项分析即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次出现的点数共有种情况， 由函数的值域为， 则，即， 满足的有，，共2种情况， 则，. 由函数为偶函数，得， 满足的有，，，，，共6种情况， 则. 对于A，满足事件A，B同时发生的有，共1种情况， 则，故A错误； 对于B，事件包含的有，，，，，， ，共7种情况，因此，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，满足事件，B同时发生的有，，，，， 共5种情况，因此，则，故D错误． 故选：BC. 20．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知事件，，为随机事件，且，则（    ） A．若事件与事件对立，则 B．若，则事件与事件对立 C．若事件与事件独立，则 D．若，则事件与事件独立 【答案】ACD 【分析】由条件概率的计算公式即可判断A，举出反例，即可判断B，由相互独立事件的定义即可判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，抛掷两次骰子，事件：第一次抛掷骰子的点数为2， 事件：第二次抛掷骰子的点数为奇数，事件：第二次抛掷骰子的点数大于3， 则，可知，但，不是对立事件，故B错误； 对于C，若事件与事件独立，则， 则，故C正确； 对于D，，从而， 则事件与事件独立，故D正确. 故选：ACD 21．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（   ） A．“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B．若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C．若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D．“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 【答案】AB 【分析】A项由互斥事件概念可得；B项由概率乘法公式可得；C项由全概率公式求解即可判断；D项由全概率公式求概率，再结合相互独立事件的等价条件判断. 【详解】A项，事件“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”不可能同时发生，所以互斥，故A正确； B项，若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，. 则事件“小李获得0.4学分”即事件， 由概率乘法公式得， ，故B正确； C项，若第一次评定为合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 则由全概率公式得， ，故C错误； D项，由C项知； 若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 由全概率公式可得 ； 即； 所以，即第一次评定是否合格对第三次评定合格的概率有影响， 故“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”不相互独立，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 22．（天津市西青区2024-2025学年高三上学期期末学业质量检测数学试卷）袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是 ；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则 . 【答案】 / / 【分析】分别利用古典概型的概率和条件概率求解. 【详解】根据题意从3个红球和2个白球任取3个球，由种取法， 其中恰有一个白球的取法有种，其中恰有一个白球的概率是； 由题可知，“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件， 则，，所以. 故答案为：；. 23．（24-25高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，从而求得准点到站的概率. 【详解】设事件A为“A准点到站”，时间B为“B准点到站” 依题意，, 而， 而，则， 又，解得， 故答案为： 24．（2025高三·全国·专题练习）一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答. 【详解】随机抽取一个电子元件，设“抽取的电子元件不合格”，“抽取的电子元件来自生产线”，“抽取的电子元件来自生产线”，则，， ，. 由全概率公式得 故. 故答案为：. 25．（24-25高三上·天津河西·期末）甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是 ；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是 . 【答案】 【分析】根据题意可知应用古典概型及独立事件的概率乘积公式，利用全概率公式即可求解. 【详解】设从甲袋取出白球为事件A，再从乙袋取出白球为事件B， 若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球为事件 则，. ； 设“从甲袋中取出的一个球为白球”， “从甲袋中取出的一个球为黑球”， “从乙袋中取出的一个球为白球”， 根据全概率公式则有 . 故答案为：；. 26．（24-25高三上·天津河东·期末）某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ． 【答案】 【分析】答题空一：根据题意设出事件，利用全概率公式即可求解；答题空二：利用空一结果，根据贝叶斯公式即可求解. 【详解】设事件表示产品能出厂上市，事件表示产品不需要调试，表示产品需要调试， 则有，，，， 由全概率公式可得： ； 由贝叶斯公式可得： . 故答案为：； 27．（2024·天津北辰·三模）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 【答案】 【分析】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件，根据已知及条件概率，应用全概率公式、条件概率公式求、. 【详解】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件， 所以，，，则，， 所以第2次投篮人是甲的概率为， 在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为. 故答案为：；. 四、解答题 28．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮．现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的． (1)求比赛需打三局的概率； (2)已知甲在比赛中获胜，求比赛进行三局的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）“比赛只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都获胜”与“乙前三局都获胜”的和事件，可按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可； （2）根据条件概率公式求解. 【详解】（1）比赛进行了三局，即前两局比赛中甲乙各赢一局，设事件“比赛进行三局”， ； （2）设事件“甲获胜”， ． 29．（24-25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 【答案】(1) (2) (3) 【分析】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，. （1）分别求出第一次摸出红、黄、绿球的概率，以及第二次从红、黄、绿盒子里摸出红球的条件概率，再由全概率公式得到第二次摸出红球的概率； （2）由条件概率和（1）中的结果计算得出答案； （3）列出所有可能得情况，分别求出发生的概率再求和. 【详解】（1）记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 则，， 又由条件概率知，，， 由全概率公式知， （2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， （3）若小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得4块月饼的概率是. 30．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出事件后，利用全概率公式求解即可得； （2）设出相应事件后，借助组合数公式求出同学乙从箱中取出不同题目的不同概率，再利用全概率公式求解即可得. 【详解】（1）设事件表示“甲第次从箱中取到论述题”，， 则； （2）设事件为“丙从箱中取出的第一道题是选择题”， 事件为“乙从箱中取出2道选择题”， 事件为“乙从箱中取出1道选择题和1道论述题”， 事件为“乙从箱中取出2道论述题”， 则，，， 则 ， 即丙取出的第一道题是选择题的概率为. 31．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 【答案】(1)（i）；（i i） (2) 【分析】（1）（i）先求出没有女生档案的概率，再用1减去这个概率得到有女生档案的概率；（ii）分类讨论，结合条件概率公式计算即可； （2）要分从第一个档案袋取出的是男生档案和女生档案两种情况来计算概率，再求和即可. 【详解】（1）（i）设事件为“取出的人的档案中有女生档案”，则为“取出的人的档案中没有女生档案”. 第一个档案袋内有份男生档案和份女生档案，总共份档案. 第一次取到男生档案的概率为，因为不放回，此时剩下份档案， 其中男生有份，所以第二次取到男生档案的概率为，那么. 所以.   （ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率 设事件为“第次取出的档案是女生”，事件为“取出的人的档案中有女生档案”. 根据条件概率公式. 计算，即取出的人档案中有女生且第次取出的是女生的概率. 分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为； 第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为. 所以. 已知，则. （2）设事件为“从第二个档案中取出的档案是女生”. 分两种情况： 若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 所以. 32．（24-25高二上·四川成都·期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲. (1)求第3次投篮者为乙的概率； (2)求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据概率的乘法公式，结合并事件的概率加法公式即可求解， 【详解】（1）设事件"甲第次投篮投进"，事件"乙第次投篮投进"，事件"第三次投篮者为乙"， 根据题意可知，与互斥， ； （2）设事件"前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知： ， 事件互斥，且每次投篮的结果相互独立， . 33．（24-25高三上·河北唐山·期末）某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立．该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为p． (1)若，，，求p； (2)若，，求p取最大值时的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用分类思想及相互独立事件同时发生，即概率乘法公式来求解即可； （2）利用同（1）方法，引入变量，可得三次函数，再用导数来求最值即可. 【详解】（1）根据，，， 可得：该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为; （2）根据，， 可得：该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为 ， 求导得：， 当时， ，函数在上单调递增； 当时， ，函数在上单调递减； 所以当时，取到最大值，此时， 故取最大值时， ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$