预习第09讲 离散型随机变量及其分布列15种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

预习第09讲 离散型随机变量及其分布列 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.能列出随机变量的取值所表示的事件． 2.掌握离散型随机变量概率分布的表示方法和性质 3.理解两点分布 4.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 5.掌握超几何分布的均值的计算. 6.了解二项分布同超几何分布的区别与联系． 知识点1、随机变量与离散型随机变量 （1）随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. （2）离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 【注意】离散型随机变量的特征： （1）可以用数值表示； （2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值； （3）试验结果能一一列出． 知识点2、离散型随机变量的分布列 (1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量． (2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质： ①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 知识点3、两点分布 如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为成功概率． 注：两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 知识点4、超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)．即 X 0 1 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 注：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是： 1考察对象分两类； 2已知各类对象的个数； 3从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 知识点5、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点6、离散型随机变量的均值 （1）定义：一般地，若离散型随机变量的分布列如下表所示， …… …… 则称为随机变量的均值或数学期望，简称期望。 （2）意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，刻画的是取值的“中心位置”，反映或刻画了随机变量取值的平均水平。由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位。 （3）两点分布的均值：一般地，如果随机变量服从两点分布，那么（为成功概率） （4）离散型随机变量均值的性质：如果是一个离散型随机变量，（其中为常数）也是随机变量，则 知识点7、离散型随机变量的方差与标准差 （1）定义：如果离散型随机变量的分布列如表所示， …… …… 则称为随机变量的方差，有时也记为，并称为标准差，记为。 在方差计算中，利用结论经常可以使计划简化。 （2）意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。 （3）性质：，（C为常数） 注：对方差、标准差概念的几点说明 （1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的； （2）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的的取值的稳定与波动、集中与分散程度； （3）越小，随机变量的取值就越稳定，波动就越小； （4）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 考点一：随机变量与离散型随机变量 例1．下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】在下列表述中不是离散型随机变量的是（    ） ①某机场候机室中一天的旅客数量；    ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数； ③某篮球下降过程中离地面的距离；    ④某立交桥一天经过的车辆数X． A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的 【变式1-2】给出下列各量： ①某机场候机室中一天的游客数量； ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数； ③某同学离开自己学校的距离； ④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次； ⑤体积为8的正方体的棱长. 其中是离散型随机变量的是（ ） A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④ 【变式1-3】袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（　　） A．甲赢三局 B．甲赢两局 C．甲、乙平局两次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 考点二：离散型随机变量的分布列的性质 例2.设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 则p为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】已知随机变量的分布列为 0 1 则实数（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】设随机变量的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m 则（ ） A． B． C． D． 【变式2-5】若随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三：求离散型随机变量的分布列 例3.全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下： 分数 0 1 2 3 4 5 人数 0 1 3 12 20 4 现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列． 【变式3-1】某班举行“党史知识”竞赛，共12个填空题，每题5分，满分60分.李明参加该竞赛，其中前9个题能答对，后3个题能答对的概率分别为，，. （1）求李明最终获得满分的概率； （2）设李明的最终得分为，求的分布列. 【变式3-2】红旗中学某班级元旦节举行娱乐小游戏.游戏规则：将班级同学分为若干游戏小组，每一游戏小组都由3人组成，规定一局游戏，“每个人按编排好的顺序各掷一枚质量均匀的骰子一次，若骰子向上的面是1或6时，则得分（为3人的顺序编号，，2，3，若得分为负值时即为扣分），否则，得分，各人掷骰子的结果相互独立”.记游戏小组一局游戏所得分数之和为. （1）求的分布列； （2）若游戏小组进行两局游戏，各局相互独立，求至少一局得分的概率. 【变式3-3】某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人． (1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率； (2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列． 【变式3-4】袋中装有4个大小相同的小球，编号为，现从袋中有放回地取球2次. （1）求2次都取得3号球的概率； （2）记这两次取得球的号码的最大值为，求的分布列. 考点四：两点分布的判断及应用 例4.【多选】下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ） A．抛掷一枚均匀的骰子，所得点数为 B．某运动员罚球命中的概率为0.8，命中得1分，不中得0分，为罚球一次的得分 C．从装有大小完全相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球， D．从含有3件次品的100件产品中随机抽取一件，为抽到的次品件数 【变式4-1】设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则（ ） A．0 B． C． D． 【变式4-2】已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 考点五：求离散型随机变量的均值 例5.已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知随机变量的分布列为： 1 2 3 0.2 0.5 则的均值是（    ） A．2 B．2.1 C．2.3 D．随的变化而变化 【变式5-2】已知随机变量X的分布列如下表，若，则（ ） X 3 a P b A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5-3】设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A． B． C． D． 【变式5-4】设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4．．又的数学期望，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（    ） A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 考点六：离散型随机变量均值的性质 例6.已知随机变量服从参数为的两点分布，若，（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知随机变量的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 则 ； . 【变式6-4】已知随机变量满足，则（ ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【变式6-5】将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（ ） A．、 B．、 C．、 D．、 考点七：求离散型随机变量的方差与标准差 例7.若随机变量X的概率分布表如下： X 0 1 P 0.4 则（ ） A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 【变式7-1】已知随机变量满足为常数），则的方差（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式7-2】某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为 .若记取出3个球中黑球的个数为，则 . 【变式7-3】某篮球运动员进行投篮训练，若投进的概率是，用表示他投篮3次的进球数，则随机变量的标准差为（ ） A． B． C． D． 【变式7-4】已知随机变量的分布为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-5】已知随机变量X的分布列如下表所示 X 0 1 2 P 则当取最大值时，a的值为（ ） A． B． C． D． 考点八：离散型随机变量方差的性质 例8.已知随机变量，满足，且，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【变式8-1】离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 . 【变式8-2】已知的分布列如下表所示，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】随机变量的取值为，若，，则 ． 【变式8-4】设，若随机变量ξ的分布列如下： ξ −1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差值中最大的是（ ） A． B． C． D． 考点九：均值与方差的综合应用 例9.甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求随机变量的概率分布、数学期望和方差． 【变式9-1】有3男､2女共5位学生，从中随机选取3人参加创建文明城区宣传活动，用随机变量X､Y分别表示被选中的男生､女生人数. (1)写出的分布，并求的值； (2)求的值. 【变式9-2】某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为， （1）求的概率即 （2）求取出白球的数学期望和方差 【变式9-3】超市试销某种商品一个月，获得如下数据： 日销售量（件） 频率 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），超市决定正式营销这种商品.设某天超市开始营业时有该商品件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于件，则当天进货补充至件，否则不进货.将频率视为概率. 求当天商品进货的概率. 记为第二天开始营业时该商品的件数. 求得分布列. 求得数学期望与方差. 【变式9-4】为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 考点十：n重伯努利试验的判断 例10.重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【变式10-1】【多选】下列事件不是n重伯努利试验的是（ ） A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 【变式10-2】【多选】下列说法正确的是（ ） A．设为重伯努利试验中事件发生的次数，则 B．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响 C．对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同 D．如果在次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中，这个事件恰好发生次的概率， 考点十一：n重伯努利试验概率的求法 例11.在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知袋中有2个白球、3个红球、1个蓝球，采取有放回的方式从袋中依次摸出3个球，则至少有1个白球被摸出的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】甲、乙两位同学进行围棋比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 考点十二：服从二项分布的概率最值 例12.若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（ ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【变式12-1】某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式12-2】已知，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式12-3】技术员小李对自己培育的新品种蔬菜种子进行发芽率的试验，每个试验组3个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 【变式12-4】某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 考点十三：求二项分布的分布列、均值与方差 例13.从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，河南电视台推出的“中国节日”系列节目被年轻人列入必看节目之一.从某平台“中国节日”系列节目的粉丝与游客（未注册的访客）中各随机抽取200人，统计他们的年龄（单位：岁，年龄都在内），并按照，，，，分组，得到粉丝年龄频率分布直方图及游客年龄频数分布表如下所示. 年龄/岁 频数 10 60 50 45 35 （1）估计粉丝年龄的平均数及游客年龄的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）以频率估计概率，从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝与游客中各随机抽取2人，记这4人中年龄在内的人数为，求的分布列与期望. 【变式13-1】某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品． (1)一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率； (2)任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及． 【变式13-2】“男男女女向前冲”是一项热播的闯关类电视节目．该节目一共设置了四关，由以往的数据得，男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是．男生甲、乙，女生丙、丁四人小组前往参加闯关挑战（个人赛）． (1)求甲闯过四关的概率； (2)设随机变量为该四人小组闯过四关的人数，求． 【变式13-3】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是． （1）设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差； （2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布； （3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 【变式13-4】驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为，科目二：平均通过的概率为，科目三平均通过的概率为．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试． (1)记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X，求X的分布列和数学期望及方差； (2)根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生） 参考数据：， 考点十四：求超几何分布的概率 例14.设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ） A． B． C． D． 【变式14-1】某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则 . 【变式14-2】在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 【变式14-3】某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这些产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为 . 考点十五：超几何分布的分布列、均值与方差 例15.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为： ． 0 1 2 【变式15-1】某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生．推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． （1）求高一至少有1名学生入选代表队的概率； （2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列． 【变式15-2】为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选择4人参加比赛. （1）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率； （2）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【变式15-3】每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]，(14，16]，(16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值； （2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在(14，16]内的学生人数为X，求X的分布列及. 【变式15-4】为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 2．（2025高三·全国·专题练习）下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 P a b c 其中成等差数列，则的值与公差d的取值范围分别是（    ） A．； B．； C．； D．； 4．（2024高三上·山东济南·专题练习）农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.1，小郅与小祥同学有一把探测器可识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀土元素的矿石作出反应）.在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但是否真的含有该元素则需进一步检验，再回实验室途中，小祥提出用2000元向小郅卖出所有矿石，若矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同学出钱购买，则他获得利润的均值约为：（     ）元. A．-2200 B．-1100 C．2200 D．7000 6．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 7．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列为下表且，则（ ） X 0 1 P A．1 B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（    ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 9．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 10．（四川省雅安市等8市2024-2025学年高三上学期（12月）第一次诊断性考试数学试题）某项智力测试共有，，，，五道试题，测试者需依次答完五道试题且至少答对其中三道试题才算通过测试．小明答对，，三道试题的概率均为，答对，两道试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立，则小明在答错试题的条件下通过测试的概率为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 12．（24-25高三上·湖北·期末）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（   ） 3 4 5 6 7 A． B． C． D． 13．（2024·广东·模拟预测）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024高三·全国·专题练习）某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为，期望方差分别为；试验二： 逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 0 1 2 16．（24-25高二上·辽宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 二、多选题 17．（24-25高二上·辽宁·期末）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高三上·广东汕头·期中）设离散型随机变量X的分布列如下表； X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量，且，则正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高三上·湖南长沙·期中）盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高三上·甘肃白银·期中）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024高三·全国·专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（   ） A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布 C． D． 22．（2024高三·全国·专题练习）（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（   ） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 23．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）从中随机取一个数记为，从中随机取一个数记为，则下列说法正确的是（    ） A．事件“为偶数”的概率为 B．事件“为偶数”的概率为 C．设，则的数学期望为 D．设，则在的所有可能的取值中最有可能取到的值是12 24．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（   ） A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 25．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高三上·山西·阶段练习）某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件，加工后的零部件先由智能检测系统进行检测，智能检测系统能检测出不合格零部件，但会把的合格零部件判定为不合格，所以智能检测系统检测出的不合格零部件需要进行人工第二次检测，人工检测可以准确检测出合格与不合格的零部件，通过统计需要人工进行第二次检测的零部件中，零部件的合格率为，则（    ） A．该零部件的合格率为 B．从该代工厂加工的零部件中任取100个，则取到的合格品个数的均值为96 C．从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，若至少有1个为合格品，则第1次取到合格品的概率为 D．从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，取到5件或6件合格品的概率最大 三、填空题 27．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则 . 28．（24-25高二上·黑龙江·期末）若随机变量，则的值为 . 29．（24-25高三上·天津北辰·期末）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为 ；他在一年内参加考试次数的数学期望为 . 30．（24-25高三上·天津和平·期末）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 31．（24-25高三上·天津西青·阶段练习）已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球.若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则恰有次摸到红球的概率为 ；若有放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则摸到红球的次数的期望为 . 32．（24-25高二上·四川成都·期末）A，两名乒乓球选手进行决赛，根据赛前两位选手的统计数据，在一局比赛中获胜的概率是，若采用“五局三胜制”，则选手获胜的概率为 . 33．（24-25高二·全国·假期作业）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数为6的概率是 . 四、解答题 34．（24-25高三上·重庆·期末）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. (1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 35．（2025高三·全国·专题练习）某商场为了吸引顾客，举办了一场抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个，规定顾客每次消费满500元即可获得一次抽奖机会，每次抽奖从抽奖箱中随机摸出3个球，然后根据摸出的球的颜色获得相应的奖金（单位：元）：若摸出的3个球颜色完全相同，则获得一等奖，奖金100元；若摸出的3个球颜色均不相同，则获得二等奖，奖金50元；若摸出的3个球中有2个球的颜色相同，则获得三等奖，奖金20元. (1)记随机变量为顾客抽奖一次获得的奖金金额，求的分布列及数学期望（数学期望精确到0.01）； (2)假设每位顾客最多只抽奖一次，现从所有参与抽奖的顾客中随机抽取3人，求3人中恰有2人的奖金金额为20元的概率. 36．（24-25高三上·北京房山·期末）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计结果如下： 1店 2店 3店 4店 5店 6店 7店 8店 新能源汽车销售量 10 8 16 23 20 18 22 11 燃油汽车销售量 14 11 13 19 21 25 23 26 (1)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率； (2)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望； (3)新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和.试比较和的大小.（结论不要求证明） 37．（2024高三·全国·专题练习）新高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求．在某次数学测评中，第11题（6分制多选题）得分的学生有100人，其中的学生得部分分，的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个书签．假设每个学生在第11题得分情况相互独立． (1)从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为个，求的分布列和数学期望； (2)从第11题得分的100名学生中随机抽取人，记这人得到书签的总数为个的概率为，求的值； (3)已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，请问王老师应该提前准备多少个书签比较合理？ 38．（24-25高三上·北京丰台·期末）为弘扬社会主义核心价值观，加强校园诚信文化建设，提升中小学生的信息技术素养，某市开展了“中小学诚信主题短视频征集展示活动”，入围短视频在某公共平台展播.其中A，B，C，D，E，F，G这7个入围短视频展播前7天的累计播放量如下表： 短视频 A B C D E F G 前7天累计播放量（万次） 2.9 3.5 4.5 2.5 4.1 1.4 5.6 (1)从这7个入围短视频中随机选取1个，求该短视频前7天的累计播放量超过4万次的概率； (2)某学生从这7个入围短视频中随机选取3个观看，记X为选取的3个短视频中前7天的累计播放量超过4万次的个数，求X的分布列和数学期望； (3)若这7个入围短视频第8天的单日播放量如下表： 短视频 A B C D E F G 第8天单日播放量（万次） 0.4 0.4 0.6 0.3 0.5 0.1 0.8 记这7个入围短视频展播前7天的累计播放量的方差为，前8天的累计播放量的方差为，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 39．（广西桂林市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷）设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. (1)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； (2)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 40．（2025高三·全国·专题练习）甲､乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲､乙投进的次数相同，则甲､乙需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，若3次投篮甲､乙投进的次数相同，则判定甲､乙平局.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，各次投进与否相互独立. (1)求甲､乙需要进行第3次投篮的概率； (2)若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得分的分布列与数学期望. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习第09讲 离散型随机变量及其分布列 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.能列出随机变量的取值所表示的事件． 2.掌握离散型随机变量概率分布的表示方法和性质 3.理解两点分布 4.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 5.掌握超几何分布的均值的计算. 6.了解二项分布同超几何分布的区别与联系． 知识点1、随机变量与离散型随机变量 （1）随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. （2）离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 【注意】离散型随机变量的特征： （1）可以用数值表示； （2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值； （3）试验结果能一一列出． 知识点2、离散型随机变量的分布列 (1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量． (2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质： ①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 知识点3、两点分布 如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为成功概率． 注：两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 知识点4、超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)．即 X 0 1 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 注：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是： 1考察对象分两类； 2已知各类对象的个数； 3从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 知识点5、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点6、离散型随机变量的均值 （1）定义：一般地，若离散型随机变量的分布列如下表所示， …… …… 则称为随机变量的均值或数学期望，简称期望。 （2）意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，刻画的是取值的“中心位置”，反映或刻画了随机变量取值的平均水平。由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位。 （3）两点分布的均值：一般地，如果随机变量服从两点分布，那么（为成功概率） （4）离散型随机变量均值的性质：如果是一个离散型随机变量，（其中为常数）也是随机变量，则 知识点7、离散型随机变量的方差与标准差 （1）定义：如果离散型随机变量的分布列如表所示， …… …… 则称为随机变量的方差，有时也记为，并称为标准差，记为。 在方差计算中，利用结论经常可以使计划简化。 （2）意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。 （3）性质：，（C为常数） 注：对方差、标准差概念的几点说明 （1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的； （2）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的的取值的稳定与波动、集中与分散程度； （3）越小，随机变量的取值就越稳定，波动就越小； （4）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 考点一：随机变量与离散型随机变量 例1．下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可. 【详解】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③． 故选：B． 【变式1-1】在下列表述中不是离散型随机变量的是（    ） ①某机场候机室中一天的旅客数量；    ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数； ③某篮球下降过程中离地面的距离；    ④某立交桥一天经过的车辆数X． A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念即可一一判断，得出答案. 【详解】①②④中的随机变量可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量. 故选：C 【变式1-2】给出下列各量： ①某机场候机室中一天的游客数量； ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数； ③某同学离开自己学校的距离； ④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次； ⑤体积为8的正方体的棱长. 其中是离散型随机变量的是（ ） A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④ 【答案】A 【解析】由题意，①②④是离散型随机变量，③是连续型随机变量， ⑤中体积为8的正方体的棱长是一个常量，不是随机变量.故选：A. 【变式1-3】袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取， 若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球， 第5次取到了红球，故.故选：B. 【变式1-4】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（　　） A．甲赢三局 B．甲赢两局 C．甲、乙平局两次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【分析】根据题意，由的得分为，结合选项，即可求解. 【详解】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 则有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次． 故选：D. 考点二：离散型随机变量的分布列的性质 例2.设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 则p为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质，即可求解. 【详解】由分布列的性质可知，，得. 故选：B 【变式2-1】已知随机变量的分布列为 0 1 则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：， 可得：.故选：D. 【变式2-2】设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列中所有概率和为1求解． 【详解】由题意，． 故选：A． 【变式2-3】随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，，，， 则，解得， 所以，， 所以.故选：A 【变式2-4】设随机变量的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m 则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，即事件的对立事件是的事件， 所以.故选：C 【变式2-5】若随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可由分布列的性质直接求解. 【详解】由随机变量的分布列知: ， 则当时，实数的取值范围是. 故选：C. 考点三：求离散型随机变量的分布列 例3.全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下： 分数 0 1 2 3 4 5 人数 0 1 3 12 20 4 现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列． 【答案】答案见解析 【分析】根据古典概率公式求，然后可得分布列. 【详解】解：由题意可得，， ，， ，． 因此，随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 4 5 P 0 0.025 0.075 0.3 0.5 0.1 【变式3-1】某班举行“党史知识”竞赛，共12个填空题，每题5分，满分60分.李明参加该竞赛，其中前9个题能答对，后3个题能答对的概率分别为，，. （1）求李明最终获得满分的概率； （2）设李明的最终得分为，求的分布列. 【答案】（1）；（2）分布列见解析 【解析】（1）李明最终获得满分的概率为. （2）前个题得分分；后个题，得分可能是， 所以的可能取值为， 所以， ， ， . 所以的分布列为： 【变式3-2】红旗中学某班级元旦节举行娱乐小游戏.游戏规则：将班级同学分为若干游戏小组，每一游戏小组都由3人组成，规定一局游戏，“每个人按编排好的顺序各掷一枚质量均匀的骰子一次，若骰子向上的面是1或6时，则得分（为3人的顺序编号，，2，3，若得分为负值时即为扣分），否则，得分，各人掷骰子的结果相互独立”.记游戏小组一局游戏所得分数之和为. （1）求的分布列； （2）若游戏小组进行两局游戏，各局相互独立，求至少一局得分的概率. 【答案】（1）分布列见解析；（2） 【解析】（1）由条件可知： 当一组中三人都掷出1或6面向上时的取值为 当一组中两人掷出1或6面向上时的取值为 当一组中一人掷出1或6面向上时的取值为 当一组中都没有掷出1或6面向上时的取值为 掷一次骰子，向上的面是1或6的概率为， 向上的面不是1或6的概率为. ∴，， ，. ∴的分布列为 0 30 60 （2）由（1）可知，游戏小组一局游戏 . 记“游戏小组两局游戏，至少一局游戏得分”为事件.则 . 故答案为： 【变式3-3】某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人． (1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率； (2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再求出“选出的数学老师人数多于语文老师的人数”的基本事件数，利用古典概型计算公式可求得结果. （2）根据题意，列出的所有可能的取值，求出对应的概率，即可列出分布列. 【详解】（1）从6名老师中选3人的方法种数有：. 数学老师多于语文老师的选法有： ①1名数学，2名英语的选法：种； ②2名数学的选法有：种. 所以数学老师多于语文老师的选法有：种. 故数学老师多于语文老师的概率为：. （2）由题意，的可能取值为：0，1，2. ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 0.2 0.6 0.2 【变式3-4】袋中装有4个大小相同的小球，编号为，现从袋中有放回地取球2次. （1）求2次都取得3号球的概率； （2）记这两次取得球的号码的最大值为，求的分布列. 【答案】（1）；（2）分布列见解析 【解析】（1）由题意从袋中有放回地取球2次，每次取到3号球概率为， 故2次都取得3号球的概率. （2）随机变量的取值为，则， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 考点四：两点分布的判断及应用 例4.【多选】下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ） A．抛掷一枚均匀的骰子，所得点数为 B．某运动员罚球命中的概率为0.8，命中得1分，不中得0分，为罚球一次的得分 C．从装有大小完全相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球， D．从含有3件次品的100件产品中随机抽取一件，为抽到的次品件数 【答案】BCD 【解析】由两点分布的定义可知： 对于A，X=1，2，3，4，5，6，所以不属于两点分布； 对于B，X=0，1，属于两点分布； 对于C，X=0，1，属于两点分布； 对于D，抽取一次，则或为正品或为次品，故X=0，1，属于两点分布； 故选：BCD. 【变式4-1】设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则（ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得的所有可能取值为0，1，且， 代入，得， 所以，故选:D． 【变式4-2】已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点分布得，与条件联立解得结果. 【详解】因为的分布列服从两点分布，所以， 又，所以， 所以，所以. 故选：A. 【变式4-3】设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】根据两点分布概率性质可得解. 【详解】随机变量服从两点分布，， 根据两点分布概率性质可知：， 解得， 故选：C. 【点睛】本题考查了两点分布概率性质的简单应用，属于基础题. 考点五：求离散型随机变量的均值 例5.已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合表格可知， 即，解得：， 所以. 故选:D. 【变式5-1】已知随机变量的分布列为： 1 2 3 0.2 0.5 则的均值是（    ） A．2 B．2.1 C．2.3 D．随的变化而变化 【答案】B 【解析】由得， ∴. 故选：B 【变式5-2】已知随机变量X的分布列如下表，若，则（ ） X 3 a P b A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由且，故， 所以，即.故选：C 【变式5-3】设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由分布列的性质可得，，即①， ，，即②， 联立①②解得，， 故．故选：A． 【变式5-4】设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4．．又的数学期望，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数学期望计算公式及概率和为，构造方程组求得，进而得到结果. 【详解】， ①； 又②， 由①②可解得：，，. 故选：A. 【变式5-5】某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（    ） A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 【答案】A 【解析】依题意得，的可能取值为0，1，2， ， ， ． 可得X的分布列如表所示： 0 1 2 0.3 0.5 0.2 . 故选：A． 考点六：离散型随机变量均值的性质 例6.已知随机变量服从参数为的两点分布，若，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】随机变量服从参数为的两点分布，则， .故选：C 【变式6-1】元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】的可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以， 故． 故选：A． 【变式6-2】已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，先计算出，再表示，建立等式，解出即可. 【详解】结合题意：， 因为，所以，解得：， 故选：A. 【变式6-3】已知随机变量的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 则 ； . 【答案】 2.8 10.4 【分析】由期望的计算公式及即可得. 【详解】, . 故答案为：2.8；10.4. 【变式6-4】已知随机变量满足，则（ ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，所以， 解得或（舍去）,故选：D 【变式6-5】将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（ ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【解析】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 所以，， 因此，.故选：B. 考点七：求离散型随机变量的方差与标准差 例7.若随机变量X的概率分布表如下： X 0 1 P 0.4 则（ ） A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 【答案】C 【解析】根据概率的性质可得，所以， 所以，故选:C. 【变式7-1】已知随机变量满足为常数），则的方差（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】， ，解得， 所以， 所以， ，故选：D 【变式7-2】某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为 .若记取出3个球中黑球的个数为，则 . 【答案】 3 /0.36 【解析】设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，可得，该事件服从超几何分布， 由题可知，取出3个球中黑球的个数的可能取值为1，2，3， 由超几何分布事件分别计算对应概率， ， ， 可得分布列如下： 1 2 3 则， . 故答案为：; 【变式7-3】某篮球运动员进行投篮训练，若投进的概率是，用表示他投篮3次的进球数，则随机变量的标准差为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，随机变量，得出随机变量分布列： 0 1 2 3 所以， 方差， 故标准差.故选：D. 【变式7-4】已知随机变量的分布为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的期望公式求出，再根据公式求得结果. 【详解】由题意知， ， 故选：D. 【变式7-5】已知随机变量X的分布列如下表所示 X 0 1 2 P 则当取最大值时，a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由概率的性质知，，即，则， 且， ， 所以当时，取得最大值，此时．故选：D． 考点八：离散型随机变量方差的性质 例8.已知随机变量，满足，且，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【分析】由方差的性质求解即可. 【详解】由题可知. 故选：B. 【变式8-1】离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 . 【答案】 【解析】由题意及方差定义知，所以. 故答案为： 【变式8-2】已知的分布列如下表所示，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出的值，结合方差的性质可求得的值. 【详解】由分布列可得， 所以，， 又因为，则. 故选：A. 【变式8-3】随机变量的取值为，若，，则 ． 【答案】10 【解析】设， 因为随机变量的取值为， ，， 所以，解得， 所以， 所以， 故答案为：10 【变式8-4】设，若随机变量ξ的分布列如下： ξ −1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差值中最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，， ，， ， ． ，，． 其中最大．故选：C． 考点九：均值与方差的综合应用 例9.甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求随机变量的概率分布、数学期望和方差． 【答案】分布列见解析，均值为，方差为. 【分析】求出的可能取值以及对应的概率，进而列出分布列，根据期望与方差的概念即可求出结果. 【详解】依题意，的所有可能取值为0,1,2， ；；， 所以的概率分布为： 0 1 2 P 数学期望， 方差. 【变式9-1】有3男､2女共5位学生，从中随机选取3人参加创建文明城区宣传活动，用随机变量X､Y分别表示被选中的男生､女生人数. (1)写出的分布，并求的值； (2)求的值. 【答案】(1)分布列见解析，， (2) 【分析】（1）根据超几何分布求的分布和，并利用期望的性质求； （2）根据的分布列求，并利用方差的性质求. 【详解】（1）根据题意可知：的可能取值为1，2，3，则有： ，，， 可得的分布为 1 2 3 所以， 又因为，即，所以. （2）由（1）可知：， 且，可知. 【变式9-2】某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为， （1）求的概率即 （2）求取出白球的数学期望和方差 【解析】（1）因为，所以 （2）的可能取值为 ，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以 【变式9-3】超市试销某种商品一个月，获得如下数据： 日销售量（件） 频率 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），超市决定正式营销这种商品.设某天超市开始营业时有该商品件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于件，则当天进货补充至件，否则不进货.将频率视为概率. 求当天商品进货的概率. 记为第二天开始营业时该商品的件数. 求得分布列. 求得数学期望与方差. 【解析】设事件表示当天商品需要进货，则事件包含当天该商品的销售量为件或件，所以. 由题意得，的所有可能的取值为，，. 表示前一天的销售量为，所以， 表示前一天的销售量为，所以， 表示前一天的销售量为或或，所以. 所以随机变量的分布列为： 由的分布列可知， . 【变式9-4】为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 【解析】（1）依题意，，解得， 乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 乙射中7环的概率为， 的概率分布为： X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的概率分布为： Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 （环）， （环）， ， ， 由于，说明甲平均射中的环数比乙高， 又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定， 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. 考点十：n重伯努利试验的判断 例10.重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【解析】只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验， 故重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的； 故选：C 【变式10-1】【多选】下列事件不是n重伯努利试验的是（ ） A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 【答案】ABC 【解析】AC符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是独立重复试验； B是相互独立事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环” 的概率不一定相同， 因此不是独立重复试验； D中在相同的条件下，甲射击10次，是独立重复试验故选：ABC 【变式10-2】【多选】下列说法正确的是（ ） A．设为重伯努利试验中事件发生的次数，则 B．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响 C．对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同 D．如果在次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中，这个事件恰好发生次的概率， 【答案】ABD 【解析】一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验为重伯努利试验． 在重伯努利试验中，各次试验的结果相互之间没有影响， 各次试验中事件发生的概率相同．故B正确，C错误． 二项分布的定义为：在重伯努利试验中， 设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数， 则这个事件恰好发生次的概率，． 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布， 记作．故A正确，D正确．故选：ABD． 考点十一：n重伯努利试验概率的求法 例11.在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意设摸球一次中奖的概率为，则， 所以摸球三次仅中奖一次的概率为. 故选：A. 【变式11-1】已知袋中有2个白球、3个红球、1个蓝球，采取有放回的方式从袋中依次摸出3个球，则至少有1个白球被摸出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，摸球一次摸出白球的概率， 有放回摸出3个球，没有摸到白球的概率为， 所以至少有1个白球被摸出的概率为. 故选：D 【变式11-2】甲、乙两位同学进行围棋比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，甲获胜包括三种情况，即. 若甲获胜，则概率为； 若甲获胜，则概率为； 若甲获胜，则概率为； 所以甲胜的概率为. 故选：D 考点十二：服从二项分布的概率最值 例12.若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（ ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【答案】B 【解析】， 则，得， 所以当时，， 当时，， 从而时，取得最大值．故选：B． 【变式12-1】某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】因为 ，若最大， 则 ，化简得： ， . 代入已知数值得： ，所以 时最大.故选：C. 【变式12-2】已知，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知， 因为，所以， 整理得，即， 又，且，所以，故选：B 【变式12-3】技术员小李对自己培育的新品种蔬菜种子进行发芽率的试验，每个试验组3个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为X，根据题意得出，利用二项分布进而求解即可. 【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为， 设每组不发芽的坑数为X，则，所以每组没有发芽的坑数的平均数为， 解得，所以每个种子的发芽率为. 故选：C. 【变式12-4】某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据二项分布的概率公式来解. 【详解】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则， 故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为. 故选：B. 考点十三：求二项分布的分布列、均值与方差 例13.从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，河南电视台推出的“中国节日”系列节目被年轻人列入必看节目之一.从某平台“中国节日”系列节目的粉丝与游客（未注册的访客）中各随机抽取200人，统计他们的年龄（单位：岁，年龄都在内），并按照，，，，分组，得到粉丝年龄频率分布直方图及游客年龄频数分布表如下所示. 年龄/岁 频数 10 60 50 45 35 （1）估计粉丝年龄的平均数及游客年龄的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）以频率估计概率，从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝与游客中各随机抽取2人，记这4人中年龄在内的人数为，求的分布列与期望. 【答案】（1），；（2）分布列见解析，数学期望 【解析】（1）由粉丝年龄频率分布直方图知， 由游客年龄频数分布表知， 所以，解得. （2）从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝中随机抽取1人， 该粉丝年龄在内的概率为， 从该平台“中国节日”系列节目的所有游客中随机抽取1人， 该游客年龄在内的概率为， 由题可得的所有可能取值为0，1，2，3，4， 且， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 . 【变式13-1】某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品． (1)一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率； (2)任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及． 【解析】（1）令M为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则是A，B都不达标的事件， 因此， 所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为. （2）依题意，A，B两类元素含量指标都达标的概率为， 的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然， 因此，，， ，， 所以的概率分布为： 0 1 2 3 4 P 数学期望. 【变式13-2】“男男女女向前冲”是一项热播的闯关类电视节目．该节目一共设置了四关，由以往的数据得，男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是．男生甲、乙，女生丙、丁四人小组前往参加闯关挑战（个人赛）． (1)求甲闯过四关的概率； (2)设随机变量为该四人小组闯过四关的人数，求． 【解析】（1） 记事件A为“男生闯过四关”，则， 故甲闯过四关的概率为． （2）的所有可能取值为0，1，2，3，4， 记事件B为“女生闯过四关”，则， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 ， 故的值为． 【变式13-3】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是． （1）设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差； （2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布； （3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3） 【解析】（1）由题意可知，可取，且服从二项分布，则 ，， ，， ，． 由此得的分布如下： 所以，. （2）由于为这名学生在首次停车前经过的路口数，显然是随机变量， 其取值为且 ，，， ，，， 由此得的分布如下： （3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件， 所求概率. 【变式13-4】驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为，科目二：平均通过的概率为，科目三平均通过的概率为．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试． (1)记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X，求X的分布列和数学期望及方差； (2)根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生） 参考数据：， 【解析】（1）1名学员通过考试并领取驾驶证的概率为，根据题意可知， X的取值分别为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ，； （2）增加k（k为正整数）天学习后， 每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为， 若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有， 有，有，有， 又由 ． 可得， 故这4名学员至少要增加6天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证． 考点十四：求超几何分布的概率 例14.设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以表示取出的3件中的不合格的件数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据超几何分布的概率公式有,故选:D. 【变式14-1】某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则 . 【答案】/0.5 【解析】因 . 故答案为：. 【变式14-2】在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 【答案】 【解析】随机选择3个专业，基本事件总数为， 填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为， 由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为． 故答案为：. 【变式14-3】某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这些产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为 . 【答案】 【解析】根据题意可知，任意抽取个共有种抽法， 则其中恰好有个二等品的抽法共有种， 因此任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为. 故答案为： 考点十五：超几何分布的分布列、均值与方差 例15.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为： ． 0 1 2 【答案】见解析 【解析】根据题意由等可能事件的概率计算公式可知： ， 故答案为： 0 1 2 【变式15-1】某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生．推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． （1）求高一至少有1名学生入选代表队的概率； （2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列． 【答案】（1）；（2）分布列见解析 【解析】（1）高一高二共推荐名男生和名女生， 高一没有学生入选代表队的概率为， 所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为. （2）根据题意得知，X的所有可能取值为1、2、3． ，，， 所以X的分布列为 【变式15-2】为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选择4人参加比赛. （1）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率； （2）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 【解析】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法； 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 则，所以事件发生的概率为； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4. ，，， ，， 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以，随机变量的数学期望为（人） 【变式15-3】每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]，(14，16]，(16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值； （2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在(14，16]内的学生人数为X，求X的分布列及. 【答案】（1）；（2）分布列见解析； 【解析】（1）由概率和为1得：， 解得：； （2）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在 ，，，，，三组内的学生人数分别为：人， 人，人， 由分层抽样性质知，从阅读时间在中抽取5人， 从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人， 从该10人中抽取3人，则的可能取值为0,1,2,3， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以 【变式15-4】为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差 【解析】（1）由题意知：所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： （2）期望； 又， 方差. 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质可求的值. 【详解】由，解得， 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 P a b c 其中成等差数列，则的值与公差d的取值范围分别是（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【分析】由题意可知，进而可求，所以，，由分布列性质即可求出公差d的取值范围. 【详解】由题意，因为成等差数列，所以， 又由，解得， 则，，， 根据分布列的性质，得，， 所以. 故选：A 4．（2024高三上·山东济南·专题练习）农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为，根据题意得出，利用二项分布进而求解即可. 【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为， 设每组不发芽的坑数为，则， 所以每组没有发芽的坑数的平均数为， 解得，所以每个种子的发芽率为. 故选：C. 5．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.1，小郅与小祥同学有一把探测器可识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀土元素的矿石作出反应）.在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但是否真的含有该元素则需进一步检验，再回实验室途中，小祥提出用2000元向小郅卖出所有矿石，若矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同学出钱购买，则他获得利润的均值约为：（     ）元. A．-2200 B．-1100 C．2200 D．7000 【答案】B 【分析】分别计算小郅同学盈利和亏损的概率，再根据均值公式求解. 【详解】由题意可知：小郅同学要想盈利，必须在所有矿石含有稀有元素的条件下，探测器还能检测出来， 所以小郅同学盈利的概率，且盈利额为元， 小郅同学亏损的概率，且亏损额为元， 所以利润的均值元. 故选：B 6．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 7．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列为下表且，则（ ） X 0 1 P A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列求出，，再根据条件得，计算答案即可. 【详解】由X的分布列得， 则， 因为， 则. 故选：D. 8．（2024高三·全国·专题练习）某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（    ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 【答案】D 【分析】根据题意可知服从二项分布，利用可得结果. 【详解】由题意得，，的取值为， ∵. ∴. 故选：D. 9．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 10．（四川省雅安市等8市2024-2025学年高三上学期（12月）第一次诊断性考试数学试题）某项智力测试共有，，，，五道试题，测试者需依次答完五道试题且至少答对其中三道试题才算通过测试．小明答对，，三道试题的概率均为，答对，两道试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立，则小明在答错试题的条件下通过测试的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出答对三道试题和答对四道试题的概率，相加即可. 【详解】小明已经答错了试题,故要通过测试需在，，，四道试题中至少答对其中三道试题. ∵至少答对其中三道试题包括恰好答对三道试题和答对四道试题两种情况， ∴至少答对其中三道试题的概率为. 所以小明在答错试题的条件下通过测试的概率为. 故选：D. 11．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质可得，根据对立事件运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 12．（24-25高三上·湖北·期末）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（   ） 3 4 5 6 7 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解. 【详解】由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列， 则，即，则. 故选：D 13．（2024·广东·模拟预测）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的期望、方差列方程，从而求得. 【详解】根据分布列方差的性质得：， 依题意知，满足二项分布， 所以，， 所以，解得，或（舍去）. 故选：D. 14．（2024高三·全国·专题练习）某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方差的计算即可求解，结合排列组合求解概率，即可根据期望和方差，结合选项即可逐一求解. 【详解】由题知的所有可能取值为，则，. 且，，， 所以，故A错误； 由于，故C错误； ，故B错误； ，则，故D正确． 故选：D 15．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为，期望方差分别为；试验二： 逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出2件产品、从中随机地有放回摸出2件产品的期望、方差，再做比较可得答案． 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出2件产品，记次品的件数为， 则的可能取值是0，1，2， 则， ， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出2件产品，则每次摸到次品的概率为， 则， 故， 方差为： ， 所以， 故，． 故选：A． 16．（24-25高二上·辽宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率之和为可得，再借助期望的性质计算可得，则可得，最后计算方差即可得. 【详解】由题意知，解得， 因为，则， 则，解得， 则 . 故选：C. 二、多选题 17．（24-25高二上·辽宁·期末）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据超几何分布的概念和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，从6名女生和8名男生中任选5人， 则所选5人中女生的人数和男生的人数Y服从超几何分布， 即，所以选项A错误，选项B错误； 又由超几何分布的均值公式，可得: ,, 所以, ,所以选项C，D正确. 故选：CD 18．（24-25高三上·广东汕头·期中）设离散型随机变量X的分布列如下表； X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量，且，则正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据分布列的性质和期望公式可得和的值，再逐项判断即可. 【详解】由题意知，所以， 因为，所以，即， 综上，解得，，故A不正确，B正确； 因为，所以，故C正确； ，，所以，故D正确. 故选：BCD. 19．（24-25高三上·湖南长沙·期中）盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据概率乘法公式可得的分布列，即可求解,进而判断AB,利用方差和期望的性质即可求解CD. 【详解】 表示停止取球时没有取到黄球，所以 ，故 A 正确; 又随机变量 的所有可能取值为0，1，2，则 ， ， 故的分布列为 0 1 2 所以 ，故 B 正确; 由 ，故 C 错误; ，故 D 正确. 故选：ABD 20．（24-25高三上·甘肃白银·期中）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可知每次取到红色卡片的概率为，则，对选项逐一判断即可. 【详解】由题意可知每次取到红色卡片的概率为，则，故A项错误； ，故B项正确； ，故C项正确； ，故D项错误. 故选：BC 21．（2024高三·全国·专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（   ） A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布 C． D． 【答案】ABD 【分析】由二项分布的定义判断A，由超几何分布的定义判断B，根据二项分布与超几何分布的均值公式求得均值判断D，利用概率与均值的关系可通过D来反证说明C． 【详解】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确； 对于D选项，该批产品有M件，员工A有放回地抽取一件产品为次品的概率为，抽取3件产品，次品数，则， 员工B无放回地随机抽取3件，因此次品数服从超几何分布，，（）， ，因此D正确； 对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误． 故选：ABD. 22．（2024高三·全国·专题练习）（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（   ） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 【答案】CD 【分析】根据二项分布和超几何分布的概念判断BC，由超几何分布的概率公式计算各概率，再由期望公式计算出期望，从而判断AD． 【详解】由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确； X的取值分别为0，1，2，3，4，则，，，，， ∴，故A错误，D正确． 故选：CD． 23．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）从中随机取一个数记为，从中随机取一个数记为，则下列说法正确的是（    ） A．事件“为偶数”的概率为 B．事件“为偶数”的概率为 C．设，则的数学期望为 D．设，则在的所有可能的取值中最有可能取到的值是12 【答案】ACD 【分析】由古典概型的概率模型求解概率即可判断A，B选项；求出的分布情况，利用公式求解数学期望即可判断C选项；求出的所有可能的取值的概率即可判断D选项. 【详解】从中随机取一个数记为，从中随机取一个数记为， 则样本空间为：， 对于A：所以为偶数有：四种，所以概率为，故A正确； 对于B：为偶数的有：七种情况，所以概率为，故B错误； 对于C：设，则， ，，，，， 所以，故C正确； 对于D：设，则， , ，所以在的所有可能的取值中最有可能取到的值是，故D正确； 故选：ACD 24．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（   ） A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 【答案】AD 【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用计数原理结合古典概型的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用超几何分布的期望公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，若每次取出的球放回，则每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 所以，连续摸取次，恰好两次取出红球的概率为，A对； 对于B选项，若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为，B错； 对于C选项，若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下， 则袋子中还有个红球，个白球，则第三次抽到红球的概率为，C错； 对于D选项，若每次取出的球不放回，则取出红球的次数服从超几何分布， 且袋中的红球个数为个，白球的个数为个，共个球，且共摸球次， 由超几何分布的期望公式可得，D对. 故选：AD. 25．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别计算出和的分布列，然后逐项进行计算即可求得. 【详解】由题意，，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个或选择个错误选项；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个，再从个正确选项中选一个，概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； 对于A选项，， A错误； 对于B选项，； ；所以， B正确； 对于C选项，， ，C正确； 对于D选项，，D正确. 故选：BCD. 26．（24-25高三上·山西·阶段练习）某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件，加工后的零部件先由智能检测系统进行检测，智能检测系统能检测出不合格零部件，但会把的合格零部件判定为不合格，所以智能检测系统检测出的不合格零部件需要进行人工第二次检测，人工检测可以准确检测出合格与不合格的零部件，通过统计需要人工进行第二次检测的零部件中，零部件的合格率为，则（    ） A．该零部件的合格率为 B．从该代工厂加工的零部件中任取100个，则取到的合格品个数的均值为96 C．从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，若至少有1个为合格品，则第1次取到合格品的概率为 D．从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，取到5件或6件合格品的概率最大 【答案】BCD 【分析】设零部件的合格率为，由题意解方程，判断A；记取到的合格品个数为，则可判断B；根据条件概率公式判断C；记取到件合格品，则求概率的最大值判断D. 【详解】设零部件的合格率为，由题意可得，解得，故A错误； 从该代工厂加工的零部件中任取100个，记取到的合格品个数为， 则，故B正确； 从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个， 至少有1个为合格品的概率为， 所以所求概率为，故C正确； 从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，记取到件合格品， 则 ， 所以当时，，当时，， 当时，，所以或最大，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：D选项中根据求概率最大值. 三、填空题 27．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则 . 【答案】4 【分析】由分布列的期望公式解得. 【详解】， 即，解得. 故答案为：4. 28．（24-25高二上·黑龙江·期末）若随机变量，则的值为 . 【答案】 【分析】根据二项分布方差的计算方式以及方差的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，. 故答案为：. 29．（24-25高三上·天津北辰·期末）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为 ；他在一年内参加考试次数的数学期望为 . 【答案】 0.94 1.7 【分析】利用概率的乘法与加法，根据数学期望的计算公式，可得答案. 【详解】， 设一年内参加考试次数为，则的可能取值为， ，， ， 所以数学期望. 故答案为：；. 30．（24-25高三上·天津和平·期末）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 【答案】 【分析】①用全概率事件来求解即可；②用二项分布概率公式来求解即可. 【详解】①设事件表示使用已校正的气枪，事件表示射中10环， 则， 故任取一支气枪射中10环的概率是； ②4次射击中恰有2次射中10环的概率为：. 故答案为：①；②. 31．（24-25高三上·天津西青·阶段练习）已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球.若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则恰有次摸到红球的概率为 ；若有放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则摸到红球的次数的期望为 . 【答案】 / 【分析】利用计算原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；分析可知，，由二项分布的期望公式可求得的值. 【详解】一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球. 若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次， 恰有次摸到红球的概率为； 若有放回地摸球，每次摸个球，每次摸到红球的概率为， 摸取次，则摸到红球的次数，由二项分布的期望公式可得. 故答案为：；. 32．（24-25高二上·四川成都·期末）A，两名乒乓球选手进行决赛，根据赛前两位选手的统计数据，在一局比赛中获胜的概率是，若采用“五局三胜制”，则选手获胜的概率为 . 【答案】 【分析】根据独立事件概率乘法公式结合独立重复试验概率公式，分三种情况讨论即可求解. 【详解】若比赛进行了3局，则A获胜的概率是； 若比赛进行了4局，A获胜的概率是； 若比赛进行了5局，A获胜的概率是. 故选手获胜的概率为. 故答案为：. 33．（24-25高二·全国·假期作业）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数为6的概率是 . 【答案】/0.0625 【分析】记为甲、乙、丙在第局获胜，写出对应的基本事件，应用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求概率即得. 【详解】分别记为甲、乙、丙在第局获胜，则. 由已知，可取，其中表示事件为“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜丙胜”或 “乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜丙胜”或“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜甲胜”， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 34．（24-25高三上·重庆·期末）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. (1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图计算均值即可； （2）根据二项分布可得，再根据二项分布求解概率分布列与期望即可. 【详解】（1）， 故均值为29． （2）设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为， 则，则， ； ， 列的分布列如下： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 35．（2025高三·全国·专题练习）某商场为了吸引顾客，举办了一场抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的红、黄、蓝、绿四种颜色的球各5个，规定顾客每次消费满500元即可获得一次抽奖机会，每次抽奖从抽奖箱中随机摸出3个球，然后根据摸出的球的颜色获得相应的奖金（单位：元）：若摸出的3个球颜色完全相同，则获得一等奖，奖金100元；若摸出的3个球颜色均不相同，则获得二等奖，奖金50元；若摸出的3个球中有2个球的颜色相同，则获得三等奖，奖金20元. (1)记随机变量为顾客抽奖一次获得的奖金金额，求的分布列及数学期望（数学期望精确到0.01）； (2)假设每位顾客最多只抽奖一次，现从所有参与抽奖的顾客中随机抽取3人，求3人中恰有2人的奖金金额为20元的概率. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望： (2) 【分析】（1）求出的所有可能取值对应的概率，写出分布列，然后计算的数学期望； （2）根据（1）的结论得到相应事件的概率，利用独立重复试验的概率求得结果. 【详解】（1）由题意可知随机变量的所有可能取值为. ， ， ， 故随机变量的分布列为 100 50 20 随机变量的数学期望. （2）由（1）知若从所有参与抽奖的顾客中随机抽取1人，则这个人的奖金金额为20元的概率为，奖金金额为50元或100元的概率为， 故若从所有参与抽奖的顾客中随机抽取3人，这3人中恰有2人的奖金金额为20元的概率为. 36．（24-25高三上·北京房山·期末）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计结果如下： 1店 2店 3店 4店 5店 6店 7店 8店 新能源汽车销售量 10 8 16 23 20 18 22 11 燃油汽车销售量 14 11 13 19 21 25 23 26 (1)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率； (2)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望； (3)新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和.试比较和的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，利用古典概型概率公式求解即可. （2）的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出随机变量对应的概率即可得到分布列，然后利用数学期望公式求解即可； （3）根据表格中数据，计算样本数据的平均数，再利用方差公式求出样本方差，然后直接判断即可. 【详解】（1）由题可知：8家门店中新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，分别是：门店3，门店4， 所以若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率 （2）12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数为3，分别是：门店4，门店5，门店7， 从样本门店中随机抽取3个，12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，的所有可能取值为：0，1，2，3 所以， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 求的分布列和数学期望 ； （3）新能源汽车销售量的样本平均数 新能源汽车销售量的样本方差 燃油汽车销售量的样本平均数 燃油汽车销售量的样本方差 所以 37．（2024高三·全国·专题练习）新高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求．在某次数学测评中，第11题（6分制多选题）得分的学生有100人，其中的学生得部分分，的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个书签．假设每个学生在第11题得分情况相互独立． (1)从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为个，求的分布列和数学期望； (2)从第11题得分的100名学生中随机抽取人，记这人得到书签的总数为个的概率为，求的值； (3)已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，请问王老师应该提前准备多少个书签比较合理？ 【答案】(1)分布列见解析，5 (2) (3)25个 【分析】（1）列出的所有可能取值，利用二项分布的概率公式求出分布列，再根据分布列求数学期望即可； （2）由题意可得这人中只有1人得到2个书签，所以，利用错位相减法求和即可； （3）设得到1个书签的人数为，则得到书签的总个数，利用二项分布的概率公式列不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意得书签的总数的所有可能取值为4，5，6，7，8， 其中，， ，， ， 所以的分布列为 4 5 6 7 8 . （2）因为这人得到书签的总数为个（）， 所以其中只有1人得到2个书签， 所以， 则 所以 两式相减得 ， 所以． （3）在这20名学生中，设得到1个书签的人数为，则得到2个书签的人数为， 所以得到书签的总个数， 此时得到书签的总个数为的概率为， 所以，整理得，解得， 而，，所以，所以， 所以需要赠送书签总个数概率最大为依据，王老师应该提前准备25个书签比较合理． 38．（24-25高三上·北京丰台·期末）为弘扬社会主义核心价值观，加强校园诚信文化建设，提升中小学生的信息技术素养，某市开展了“中小学诚信主题短视频征集展示活动”，入围短视频在某公共平台展播.其中A，B，C，D，E，F，G这7个入围短视频展播前7天的累计播放量如下表： 短视频 A B C D E F G 前7天累计播放量（万次） 2.9 3.5 4.5 2.5 4.1 1.4 5.6 (1)从这7个入围短视频中随机选取1个，求该短视频前7天的累计播放量超过4万次的概率； (2)某学生从这7个入围短视频中随机选取3个观看，记X为选取的3个短视频中前7天的累计播放量超过4万次的个数，求X的分布列和数学期望； (3)若这7个入围短视频第8天的单日播放量如下表： 短视频 A B C D E F G 第8天单日播放量（万次） 0.4 0.4 0.6 0.3 0.5 0.1 0.8 记这7个入围短视频展播前7天的累计播放量的方差为，前8天的累计播放量的方差为，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用“古典概型”的计算公式求解. （2）明确的可能取值，求出相应事件的概率，可得分布列，在利用期望的概念求. （3）分别计算与，比较它们的大小. 【详解】（1）这7个入围短视频中，前7天的累计播放量超过4万次的有3个. 设事件“从这7个入围短视频中随机选取1个，该短视频前7天的累计播放量超过4万次”， 则. （2）X的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P . （3）前7天累计播放量的平均数为：， 所以. 前8天累计播放量的平均数为： 所以 所以. 39．（广西桂林市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷）设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. (1)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； (2)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，求出、，求出甲、乙中恰有一款车通过实验室测试的概率； （2）求出随机变量可能的取值，分别求出概率，求出数学期望. 【详解】（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试， 则，， 则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为： ； （2）随机变量可能的取值为：， 由题意，甲、乙车投产的概率分别为， 所以， ， ， X 0 1 2 P 所以数学期望． 40．（2025高三·全国·专题练习）甲､乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲､乙投进的次数相同，则甲､乙需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，若3次投篮甲､乙投进的次数相同，则判定甲､乙平局.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，各次投进与否相互独立. (1)求甲､乙需要进行第3次投篮的概率； (2)若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得分的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析，数学期望： 【分析】（1）分析可得进行第3次投篮的前提条件是前2次甲、乙投进的次数相同，应分为前2次都投进2次、1次、0次三种情况计算概率，利用互斥事件概率的加法公式可得结果. （2）由题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，计算每一种情况下对应的概率即可得到分布列和数学期望. 【详解】（1）设甲第次投进为事件，乙第次投进为事件， 则，． 设甲、乙需要进行第3次投篮为事件，则事件包括以下两两互斥的三个事件： ① “甲、乙前2次都投进2次”，其概率为， ②“甲、乙前2次都投进1次”，其概率为， ③“甲、乙前2次都投进0次”，其概率为． 则由互斥事件的概率加法公式，可得． （2）由题意可得的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， （提示：此时有三种情况，①甲前2次投进1次，乙前2次投进0次或2次； ②甲、乙前2次均投进1次，第3次甲未投进；③甲、乙前2次均未投进，第3次甲投进） ， ． 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$