第一单元：圆柱与圆锥（单元复习讲义）（14大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+变式训练+课后同步练习）-2024-2025学年六年级数学下册（北师大版）

【单元复习讲义】2024-2025学年北师大版六年级数学下册 第一单元：圆柱与圆锥 （14大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+课后同步练习） 知识点01：面的旋转 1、点动成线，线动成面，面动成体。 2、圆柱和圆锥都有底面、侧面和高。 3、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 知识点02：圆柱的表面积 1、圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 S侧＝Ch＝2πrh＝πdh 2、圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋底面圆的面积×2 S表＝Ch＋2πr2 3、计算圆柱的表面积要注意联系实际，弄清表面积包括几个面，再灵活运用公式进行计算。知识点03：圆柱的体积 圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高 V圆柱＝Sh＝πr2h 知识点04：圆锥的体积 圆柱的体积＝底面积×高 V锥＝ S底h＝ πr²h 易错点01：混淆圆柱和圆锥的底面、侧面特征。 圆柱有两个完全相同的圆形底面，侧面是一个曲面，展开后是一个长方形（特殊情况是正方形），且长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高；而圆锥只有一个圆形底面，侧面也是一个曲面，展开后是一个扇形。 易错点02：对圆柱和圆锥高的定义理解不清晰，将圆柱斜着的长度当作高，或者不知道圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离。 圆柱的高是指两个底面之间的距离，并且圆柱有无数条高，这些高的长度都相等；圆锥的高是从圆锥的顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 易错点03：在计算圆柱表面积时，忘记加上两个底面的面积，只计算了侧面积。 圆柱的表面积是由侧面积和两个底面积组成的。 易错点04：在实际问题中，对于圆柱表面积的计算没有根据具体情况进行分析，不能准确判断哪些面需要计算，哪些面不需要计算。 无盖圆柱形水桶的表面积是由侧面积和一个底面积组成的。通风管的表面积只需要计算侧面积，不需要计算两端的面积。 易错点05：计算圆柱切割后表面积的变化时，容易忽略新增加的面的面积。 圆柱切割后增加的两个面是长方形，并且这两个长方形的长就是圆柱的底面直径，宽就是圆柱的高。 易错点06：当把两个或多个相同的圆柱拼接成一个新的圆柱时，在计算表面积变化时出错。 拼接后表面积减少的部分是两个圆柱的底面面积。 易错点07：圆柱或圆锥切割或拼接后体积会发生变化。 物体的体积是指物体所占空间的大小，在切割和拼接过程中，物体本身并没有增加或减少，只是形状发生了变化，所以物体所占空间的大小，即体积是不会发生变化的。 考点1：点、线、面、体之间的联系 【例1】下列小棒上都粘有一定形状的纸板。以小棒为轴旋转一周，能形成圆柱的是（    ）。 A． B． C． D． 考点2：圆柱的认识及特征 【例2】亮亮用一个长是8厘米，宽是4厘米的长方形绕长所在直线旋转一周，得到一个（ ），所得立体图形的高是（ ）厘米，底面半径是（ ）厘米。 考点3：圆锥的认识及特征 【例3】如下图所示，若以此三角形的短边为轴旋转一周，可以得到一个（    ），它的底面直径是（    ）cm，高是（    ）cm。 考点4：圆柱的展开图 【例4】一个圆柱侧面展开后是一个边长37.68分米的正方形，这个圆柱的底面半径是（    ）分米。 A．6 B．12 C．36 考点5：圆柱的侧面积 【例5】用一张边长是5厘米的正方形纸卷成一个圆柱，这个圆柱的高是（ ）厘米，侧面积是（ ）平方厘米。 【例6】如图，一个圆柱形广告柱，底面直径是1.2米，高2米，现在需要给它的侧面涂上油漆，每千克油漆可以涂3平方米，要涂完这个广告柱大约需要多少千克油漆？（得数保留一位小数） 考点6：圆柱的表面积 【例7】按如图所示的方法剪下两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱（接头处忽略不计），计算这个圆柱的表面积。 【例8】一个无盖的圆柱形铁皮水桶，高50厘米，底面直径40厘米，做这个水桶至少需要多少平方厘米的铁皮？ 考点7：组合体的表面积 【例9】三个半径分别是3cm，2cm，1cm，高都是2cm的圆柱体，粘接成如图的立体图形，则表面积是多少平方分米？ 考点8：圆柱的体积（容积） 【例10】一个圆柱形城堡，底面周长是125.6米，高是15米，这个城堡的体积是多少立方米？ 【例11】医生建议：儿童每天喝水量应不少于1500毫升。乐乐水杯是一个无盖的圆柱形玻璃杯，从里面量得直径是6厘米，高是10厘米。每次盛水量大约是杯子高度的，乐乐今天喝了6杯水，算一算，他达到要求了吗？ 考点9：圆锥的体积（容积） 【例12】某建筑工地有一堆圆锥形沙土，底面直径是10米，高是1.2米，如果每立方米沙土重1.6吨，这堆沙土重多少吨？ 考点10：圆柱与圆锥体积的关系 【例13】用一个高27厘米的圆锥体容器装满水，将这个容器里的水倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是（    ）。 A．10厘米 B．9厘米 C．13厘米 考点11：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【例14】一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 考点12：立体图形的切拼 【例15】如下图，把一个底面半径为1.5cm，高为6cm的圆柱，竖着切成两个完全一样的半圆柱后，表面积增加了（ ）。 考点13：组合体的体积 【例16】求下面图形的体积。 考点14：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【例17】在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 【例18】在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 一、选择题 1．下面图形绕轴旋转一周，形成圆锥的是（ ）。 A． B． C． D． 2．下面的立体图形，不能通过平面图形旋转而得到的是（    ）。 A．球 B．正方体 C．圆锥 D．圆台 3．李师傅准备用左图卷成一个圆柱的侧面，再从右图的几个图形中选一个做底面，可直接选用的底面有（    ）。（接缝处忽略不计，无盖） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．用长16厘米、宽10厘米的长方形纸围成尽量大的圆柱，两种不同围法所得到的圆柱（    ）相等。 A．高 B．体积 C．底面积 D．侧面积 5．把一根2米长的圆柱形木料截成3段小圆柱后，表面积之和比原来增加了10平方分米，原来这根圆柱形木料的体积是（    ）立方分米。 A．50 B．60 C．90 D．100 6．把一根长3米的圆柱形木料截成3段小圆柱后，表面积比原来增加了0.6平方米，原来这根木料的体积是（    ）立方米。 A．0.3 B．0.4 C．0.45 D．0.6 7．用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面直径是10分米，高比底面直径多50%，制作这个油桶至少需要铁皮（    ）平方分米。 A．314 B．502.4 C．471 D．628 8．要制作一个无盖圆柱形水桶，以下几种型号的铁皮，可选择（    ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 二、填空题 9．手工课上，湛湛用一块75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9厘米的圆锥，它的体积是（ ）立方厘米，底面积是（ ）平方厘米。 10．一个从里面量底面半径为3cm，高为10cm的圆柱形水杯，里面装了4cm的深的果汁，这时果汁的容积是（ ）mL。 11．把一个圆柱形纸盒的侧面沿高剪开，得到下面的图形，这个圆柱形纸盒的底面半径是（    ）cm，它的侧面积是（ ）cm2。 12．做一节直径12cm、长15cm的圆柱形铁管，至少需要一块长（ ）cm、宽（ ）cm 的长方形铁皮。 13．一个圆柱形木料的高是12dm，底面半径是3dm，把它锯成2个相等的小圆柱后，表面积增加了（ ）dm2。 14．如下图是一个圆柱形茶叶罐，底面半径是3cm，高是15cm。给这个茶叶罐侧面贴上商标纸，高度如图所示，至少需要（ ）的商标纸。    15．一个圆柱形铁皮水桶的底面直径是6dm，高是10dm，把这个圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，这个长方形的面积是（ ）dm2。（铁皮厚度忽略不计） 16．一个圆柱的侧面积是157cm2，高是5cm，它的底面半径是（ ）cm，表面积是（ ）cm2。 17．明明想用纸板做一个高是10cm，底面直径也是10cm的圆柱形无盖笔筒，将它的侧面全部缠上一圈胶带，缠胶带的面积至少是（ ），做这个笔筒至少需要纸板（ ）。 18．若把一个圆柱体铁块熔铸成一个等体积的圆锥形铁块，它们底面半径的比是3∶2，圆柱的高是圆锥的（ ）。 19．将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的容器中，水面变化情况如图所示。已知圆锥形铁块的底面积为15cm2，则圆锥形铁块的高是（ ）cm。       20．把一个圆柱体的侧面展开，得到一个正方形，已知正方形的周长是25.12厘米，那么这个圆柱体的表面积是（ ）平方厘米。（结果保留两位小数） 三、判断题 21．一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，它的表面积扩大到原来的4倍。（ ） 22．体积相等的两个圆柱，一定是等底等高的。（ ） 23．将一个实心圆柱锻造成一个底面积与它相等的实心圆锥，这个实心圆锥的高是这个圆柱的3倍。（ ） 四、计算题 24．求出立体图形的体积。（单位：cm） 五、解答题 25．一个圆锥形麦堆，底面积是3.14平方米，高是1.5米，按每立方米小麦的质量为700千克计算，这堆小麦的质量有多少千克？ 26．小亮家来了3位客人，用一种长方体盒子包装的果汁招待（如图），如果给每位客人都倒满一杯，够吗？请你用计算的方法说明理由。（数据是从容器里面测量得到的）    27．修建一个底面直径6米、深2米的圆柱形沼气池。要在池的四壁和底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ 28．用铁皮做一个底面半径为2分米，高为5分米的无盖圆柱形油桶。（接头处、铁皮厚度忽略不计）。 （1）做这个油桶至少要用多少平方分米的铁皮？ （2）如果1升汽油重0.7千克，这个油桶最多能装多少千克汽油？ 29．妙想家经常用一种空心圆柱形状的卷纸（如图），测得这种卷纸的底面外直径是12厘米，内直径是6厘米，高是10厘米。若要给这种卷纸的内、外侧和上、下底面包上一层塑料膜，至少需要多少平方厘米的塑料膜？    30．一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【单元复习讲义】2024-2025学年北师大版六年级数学下册 第一单元：圆柱与圆锥 （14大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+课后同步练习） 知识点01：面的旋转 1、点动成线，线动成面，面动成体。 2、圆柱和圆锥都有底面、侧面和高。 3、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 知识点02：圆柱的表面积 1、圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 S侧＝Ch＝2πrh＝πdh 2、圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋底面圆的面积×2 S表＝Ch＋2πr2 3、计算圆柱的表面积要注意联系实际，弄清表面积包括几个面，再灵活运用公式进行计算。知识点03：圆柱的体积 圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高 V圆柱＝Sh＝πr2h 知识点04：圆锥的体积 圆柱的体积＝底面积×高 V锥＝ S底h＝ πr²h 易错点01：混淆圆柱和圆锥的底面、侧面特征。 圆柱有两个完全相同的圆形底面，侧面是一个曲面，展开后是一个长方形（特殊情况是正方形），且长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高；而圆锥只有一个圆形底面，侧面也是一个曲面，展开后是一个扇形。 易错点02：对圆柱和圆锥高的定义理解不清晰，将圆柱斜着的长度当作高，或者不知道圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离。 圆柱的高是指两个底面之间的距离，并且圆柱有无数条高，这些高的长度都相等；圆锥的高是从圆锥的顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 易错点03：在计算圆柱表面积时，忘记加上两个底面的面积，只计算了侧面积。 圆柱的表面积是由侧面积和两个底面积组成的。 易错点04：在实际问题中，对于圆柱表面积的计算没有根据具体情况进行分析，不能准确判断哪些面需要计算，哪些面不需要计算。 无盖圆柱形水桶的表面积是由侧面积和一个底面积组成的。通风管的表面积只需要计算侧面积，不需要计算两端的面积。 易错点05：计算圆柱切割后表面积的变化时，容易忽略新增加的面的面积。 圆柱切割后增加的两个面是长方形，并且这两个长方形的长就是圆柱的底面直径，宽就是圆柱的高。 易错点06：当把两个或多个相同的圆柱拼接成一个新的圆柱时，在计算表面积变化时出错。 拼接后表面积减少的部分是两个圆柱的底面面积。 易错点07：圆柱或圆锥切割或拼接后体积会发生变化。 物体的体积是指物体所占空间的大小，在切割和拼接过程中，物体本身并没有增加或减少，只是形状发生了变化，所以物体所占空间的大小，即体积是不会发生变化的。 考点1：点、线、面、体之间的联系 【例1】下列小棒上都粘有一定形状的纸板。以小棒为轴旋转一周，能形成圆柱的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方形或正方形绕一边旋转一周得到一个圆柱，由此解答即可。 【详解】以小棒为轴旋转一周，能形成圆柱的是。 故答案为：C 考点2：圆柱的认识及特征 【例2】亮亮用一个长是8厘米，宽是4厘米的长方形绕长所在直线旋转一周，得到一个（ ），所得立体图形的高是（ ）厘米，底面半径是（ ）厘米。 【答案】 圆柱 8 4 【分析】根据圆柱的特征，长方形绕长所在直线旋转一周，可以得到一个底面半径为4厘米，高为8厘米的圆柱。 【详解】亮亮用一个长是8厘米，宽是4厘米的长方形绕长所在直线旋转一周，得到一个圆柱，所得立体图形的高是8厘米，底面半径是4厘米。 考点3：圆锥的认识及特征 【例3】如下图所示，若以此三角形的短边为轴旋转一周，可以得到一个（    ），它的底面直径是（    ）cm，高是（    ）cm。 【答案】 圆锥 8 2 【分析】以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周可以得到一个圆锥；在此题中，是以短边为轴旋转，则短边的长就是圆锥的底面半径，高为另一条直角边长度，据此解答。 【详解】以此三角形的短边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，它的底面直径是4×2＝8（cm），高是2cm。 所以，以三角形的短边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，它的底面直径是8cm，高是2cm。 考点4：圆柱的展开图 【例4】一个圆柱侧面展开后是一个边长37.68分米的正方形，这个圆柱的底面半径是（    ）分米。 A．6 B．12 C．36 【答案】A 【分析】圆柱展开后是个正方形，圆柱的底面周长和高等于正方形的边长，根据底面周长公式，求出底面半径，即可解答。 【详解】37.68÷3.14÷2 ＝12÷2 ＝6（分米） 故答案为：A 考点5：圆柱的侧面积 【例5】用一张边长是5厘米的正方形纸卷成一个圆柱，这个圆柱的高是（ ）厘米，侧面积是（ ）平方厘米。 【答案】 5 25 【分析】因为这个圆柱的侧面展开后是一个正方形，所以这个圆柱的底面周长和高都是5厘米，圆柱的侧面积＝底面周长×高，由此计算即可。 【详解】纸筒的底面周长和高都是5厘米 侧面积：5×5＝25（平方厘米） 这个圆柱的高是5厘米，侧面积是25平方厘米。 【例6】如图，一个圆柱形广告柱，底面直径是1.2米，高2米，现在需要给它的侧面涂上油漆，每千克油漆可以涂3平方米，要涂完这个广告柱大约需要多少千克油漆？（得数保留一位小数） 【答案】2.5千克 【分析】根据圆柱的侧面积公式：S＝，把数据代入公式求出涂油漆的面积，然后用涂油漆的面积除以3即可求出需要油漆的重量，结果保留一位小数，要看小数点后面第二位，根据“四舍五入”原则取近似值。 【详解】3.14×1.2×2÷3 ＝3.768×2÷3 ＝7.536÷3 ≈2.5（千克） 答：要涂完这个广告柱大约需要2.5千克油漆。 考点6：圆柱的表面积 【例7】按如图所示的方法剪下两个圆和一个长方形刚好可以围成一个圆柱（接头处忽略不计），计算这个圆柱的表面积。 【答案】7.85平方厘米 【分析】观察图形可知，圆柱的底面直径等于长方形的宽的一半，由此求出圆柱的底面直径，再根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出圆柱的底面周长，圆柱的高等于长方形的宽；用圆柱的底面周长×圆柱的高，即可求出这个圆柱的侧面积；根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答。 【详解】2÷2＝1（厘米） 3.14×（1÷2）2×2＋3.14×1×2 ＝3.14×0.52×2＋3.14×2 ＝3.14×0.25×2＋6.28 ＝0.785×2＋6.28 ＝1.57＋6.28 ＝7.85（平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是7.85平方厘米。 【例8】一个无盖的圆柱形铁皮水桶，高50厘米，底面直径40厘米，做这个水桶至少需要多少平方厘米的铁皮？ 【答案】7536平方厘米 【分析】已知圆柱形铁皮水桶无盖，也就是只有侧面和底面；求做这个水桶需要铁皮的面积，就是求圆柱的侧面积与一个底面积之和，根据S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×40×50＋3.14×（40÷2）2 ＝3.14×2000＋3.14×400 ＝6280＋1256 ＝7536（平方厘米） 答：做这个水桶至少需要7536平方厘米的铁皮。 考点7：组合体的表面积 【例9】三个半径分别是3cm，2cm，1cm，高都是2cm的圆柱体，粘接成如图的立体图形，则表面积是多少平方分米？ 【答案】1.3188平方分米 【分析】这个立体图形的表面积包含最下面圆柱的完整表面积，中间圆柱的侧面积和上边圆柱的侧面积，据此列式解答。 【详解】3.14×3×2＋3.14×3×2×2＋3.14×2×2×2＋3.14×1×2×2 ＝56.52＋37.68＋25.12＋12.56 ＝131.88（平方厘米） ＝1.3188平方分米 答：表面积是1.3188平方分米。 考点8：圆柱的体积（容积） 【例10】一个圆柱形城堡，底面周长是125.6米，高是15米，这个城堡的体积是多少立方米？ 【答案】18840立方米 【分析】先根据圆的周长公式：C＝2r，代入数值求出底面半径，再根据圆的面积公式：S＝r2，代入数值求出底面面积，最后根据圆柱体积公式：V＝Sh，求出城堡的体积即可。 【详解】由分析可得： （125.6÷3.14÷2）2×3.14×15 ＝（40÷2）2×3.14×15 ＝202×3.14×15 ＝400×3.14×15 ＝1256×15 ＝18840（立方米） 答：这个城堡的体积是18840立方米。 【例11】医生建议：儿童每天喝水量应不少于1500毫升。乐乐水杯是一个无盖的圆柱形玻璃杯，从里面量得直径是6厘米，高是10厘米。每次盛水量大约是杯子高度的，乐乐今天喝了6杯水，算一算，他达到要求了吗？ 【答案】没达到要求。 【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出乐乐水杯的体积，再乘，求出水杯盛水的体积，再乘6，求出乐乐今天喝6杯水的体积，再和医生建议：儿童每天喝水量不少于1500毫升进行比较，即可解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×10××6 ＝3.14×32×10××6 ＝3.14×9×10××6 ＝28.26×10××6 ＝282.6××6 ＝235.5×6 ＝1413（立方厘米） 1413立方厘米＝1413毫升 1413＜1500，乐乐今天喝了6杯水，他没达到要求。 答：没达到要求。 考点9：圆锥的体积（容积） 【例12】某建筑工地有一堆圆锥形沙土，底面直径是10米，高是1.2米，如果每立方米沙土重1.6吨，这堆沙土重多少吨？ 【答案】50.24吨 【分析】要求这堆沙子的重量，先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式V＝πr2h求得体积，进一步再求沙堆的重量，问题得解。 【详解】沙堆的体积： ×3.14×（10÷2）2×1.2 ＝×3.14×52×1.2 ＝×3.14×25×1.2 ＝3.14×25×0.4 ＝3.14×10 ＝31.4（立方米） 沙堆的重量： 1.6×31.4＝50.24（吨） 答：这堆沙子大约重50.24吨。 考点10：圆柱与圆锥体积的关系 【例13】用一个高27厘米的圆锥体容器装满水，将这个容器里的水倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是（    ）。 A．10厘米 B．9厘米 C．13厘米 【答案】B 【分析】根据题意，把圆锥体容器里的水倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的体积不变；根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是是圆柱高的3倍；据此解答。 【详解】27÷3＝9（厘米） 圆柱形容器中水的高度是9厘米。 故答案为：B 考点11：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【例14】一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 【答案】9.42厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积，圆锥铁块熔铸成长方体，体积不变，用圆锥的体积除以长方体的宽，再除以长方体的高，即可求出长方体的长。 【详解】3.14×32×20×÷5÷4 ＝3.14×9×20×÷5÷4 ＝28.26×20×÷5÷4 ＝565.2×÷5÷4 ＝188.4÷5÷4 ＝37.68÷4 ＝9.42（厘米） 答：长方体的长是9.42厘米。 考点12：立体图形的切拼 【例15】如下图，把一个底面半径为1.5cm，高为6cm的圆柱，竖着切成两个完全一样的半圆柱后，表面积增加了（ ）。 【答案】36 【分析】将圆柱竖着切成两个完全一样的半圆柱后，表面积增加两个长是圆柱的高，宽是底面直径的长方形的面积；据此将数据代入长方形面积公式计算即可。 【详解】6×（1.5×2）×2 ＝6×3×2 ＝36（cm2） 表面积增加了36。 考点13：组合体的体积 【例16】求下面图形的体积。 【答案】21980立方厘米 【分析】由图知：图形的体积是圆柱体和圆锥体体积的组合。圆柱和圆锥等底，它们的高均已知。根据圆柱的体积公式及圆锥的体积公式，将数值代入计算各自的体积后再相加即可求得组合图形的体积。据此解答。 【详解】（厘米） ＝ ＝ ＝ ＝21980（立方厘米） 组合图形体积是21980立方厘米。 考点14：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【例17】在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 【答案】1570立方厘米 【分析】由题意知：铅锤取出来后，下降的水的体积就是圆锥的体积；根据圆柱的体积V＝Sh可求出下降的水的体积，即铅锤的体积，注意单位换算，据此解答即可。 【详解】1分米＝10厘米 铅锤体积： （立方厘米） 答：这个铅锤的体积是1570立方厘米。 【例18】在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 【答案】27厘米 【分析】根据题意，把圆锥形钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，那么水下降的体积等于这个圆锥形钢材的体积；水下降部分是一个底面半径为30厘米、高1厘米的圆柱体，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水下降部分的体积，也就是圆锥的体积； 已知圆锥形钢材的底面半径为10厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出钢材的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形钢材的高。 【详解】水下降部分的体积（圆锥的体积）： 3.14×302×1 ＝3.14×900×1 ＝2826（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 圆锥的高： 2826×3÷314 ＝8478÷314 ＝27（厘米） 答：这个圆锥形钢材的高是27厘米。 一、选择题 1．下面图形绕轴旋转一周，形成圆锥的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的特征可得：直角三角形沿一条直角边旋转一周后得到圆锥，据此分析各选项即可. 【详解】选项A，此图形绕轴旋转一周，形成一个圆柱； 选项B，此图形绕轴旋转一周，形成一个圆锥； 选项C，此图形绕轴旋转一周，形成一个圆台； 选项D，此图形绕轴旋转一周，形成一个球体. 故答案为B. 2．下面的立体图形，不能通过平面图形旋转而得到的是（    ）。 A．球 B．正方体 C．圆锥 D．圆台 【答案】B 【分析】绕半圆的半径旋转一周得到球；绕直角三角形的一条直角边旋转一周得到圆锥，绕直角梯形的一条直角边旋转一周得到圆台，正方体无法旋转得到，据此解答即可。 【详解】由分析可知：正方体不能通过平面图形旋转得到。 故答案为：B。 3．李师傅准备用左图卷成一个圆柱的侧面，再从右图的几个图形中选一个做底面，可直接选用的底面有（    ）。（接缝处忽略不计，无盖） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】圆柱的底面不是正方形，正方形不能选择；要选择周长与长方形的长或宽相等的圆形作为圆柱的底面。 【详解】①3.14×4×2＝25.12（cm），与长方形的长相同，可以选择； ②正方形不能作为圆柱的底面，不能选择； ③3.14×4＝12.56（cm），与长方形的宽相同，可以选择； ④3.14×3×2＝18.84（cm），不可以选择。 故答案为：B 4．用长16厘米、宽10厘米的长方形纸围成尽量大的圆柱，两种不同围法所得到的圆柱（    ）相等。 A．高 B．体积 C．底面积 D．侧面积 【答案】D 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长、宽等于圆柱的高，由此可知：用一张长方形的纸围成一个圆柱（不能有重合部分），有两种围法，这两种围法所得到圆柱的侧面积相等，据此解答。 【详解】用长16厘米、宽10厘米的长方形纸围成尽量大的圆柱，两种不同围法所得到的圆柱侧面积相等。 故答案为：D 5．把一根2米长的圆柱形木料截成3段小圆柱后，表面积之和比原来增加了10平方分米，原来这根圆柱形木料的体积是（    ）立方分米。 A．50 B．60 C．90 D．100 【答案】A 【分析】每截一次就增加2个圆柱的底面，截成3段需要截（3－1）＝2次，那么就增加了2×2＝4个底面，由此可求得圆柱的底面积，然后利用圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】2米＝20分米 （3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 10÷4×20 ＝2.5×20 ＝50（立方分米） 把一根2米长的圆柱形木料截成3段小圆柱后，表面积之和比原来增加了10平方分米，原来这根圆柱形木料的体积是50立方分米。 故答案为：A 6．把一根长3米的圆柱形木料截成3段小圆柱后，表面积比原来增加了0.6平方米，原来这根木料的体积是（    ）立方米。 A．0.3 B．0.4 C．0.45 D．0.6 【答案】C 【分析】根据题意可知，把这根圆柱形木料横截成3段，表面积比原来增加4个截面的面积，据此可以求出一个截面的面积，然后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【详解】0.6÷4×3 ＝0.15×3 ＝0.45（立方米） 原来这根木料的体积是0.45立方米。 故答案为：C 7．用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面直径是10分米，高比底面直径多50%，制作这个油桶至少需要铁皮（    ）平方分米。 A．314 B．502.4 C．471 D．628 【答案】D 【分析】根据题意可知，先把底面直径看作单位“1”，则高是底面直径的（1＋50%），单位“1”已知，用乘法，用10乘（1＋50%），求出高，再根据圆柱的表面积公式：，代入数据即可求出答案。 【详解】高：10×（1＋50%） ＝10×1.5 ＝15（分米） 2×3.14×＋3.14×10×15 ＝2×3.14×＋3.14×10×15 ＝6.28×25＋3.14×10×15 ＝157＋31.4×15 ＝157＋471 ＝628（平方分米） 制作这个油桶至少需要铁皮628平方分米。 故答案为：D 8．要制作一个无盖圆柱形水桶，以下几种型号的铁皮，可选择（    ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】将数据代入圆的周长公式，分别求出②、④的周长，也就是水桶的底面周长，再结合①、③的长及实际情况即可选择。 【详解】②3.14×4＝12.56（dm） ④3.14×3＝9.42（dm） 所以②③组合能制作一个底面直径是4dm，高5dm的无盖圆柱形水桶，①④能制作一个底面直径是3dm，高1dm的无盖圆柱形水桶。 故答案为：C 二、填空题 9．手工课上，湛湛用一块75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9厘米的圆锥，它的体积是（ ）立方厘米，底面积是（ ）平方厘米。 【答案】 75.36 25.12 【分析】将圆柱形橡皮泥捏成圆锥形状，橡皮泥的大小不变，那么这个圆锥的体积也是75.36立方厘米。圆锥体积＝底面积×高÷3，那么圆锥底面积＝圆锥体积×3÷高，将数据代入求出这个圆锥的底面积即可。 【详解】75.36×3÷9 ＝226.08÷9 ＝25.12（平方厘米） 所以，它的体积是75.36立方厘米，底面积是25.12平方厘米。 10．一个从里面量底面半径为3cm，高为10cm的圆柱形水杯，里面装了4cm的深的果汁，这时果汁的容积是（ ）mL。 【答案】113.04 【分析】求果汁的容积，就是求底面半径3cm，高是4cm的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出体积，再换成mL，即可解答。 【详解】3.14×32×4 ＝3.14×9×4 ＝28.26×4 ＝113.04（cm3） 113.04cm3＝113.04mL 一个从里面量底面半径为3cm，高为10cm的圆柱形水杯，里面装了4cm的深的果汁，这时果汁的容积是113.04mL。 11．把一个圆柱形纸盒的侧面沿高剪开，得到下面的图形，这个圆柱形纸盒的底面半径是（    ）cm，它的侧面积是（ ）cm2。 【答案】 2 100.48 【分析】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高。底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【详解】12.56÷3.14÷2＝2（cm） 12.56×8＝100.48（cm2） 这个圆柱形纸盒的底面半径是2 cm，侧面积是100.48 cm2。 12．做一节直径12cm、长15cm的圆柱形铁管，至少需要一块长（ ）cm、宽（ ）cm 的长方形铁皮。 【答案】 37.68 15 【分析】因为圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高（长），由圆的周长公式C＝πd解答即可。 【详解】3.14×12＝37.68（cm） 至少需要一张长37.68cm、宽15cm的长方形铁皮。 13．一个圆柱形木料的高是12dm，底面半径是3dm，把它锯成2个相等的小圆柱后，表面积增加了（ ）dm2。 【答案】56.52 【分析】把一个圆柱锯成2个相等的小圆柱，表面积增加了2个底面积，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，求出底面积，乘2即可。 【详解】3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（dm2） 表面积增加了56.52dm2。 14．如下图是一个圆柱形茶叶罐，底面半径是3cm，高是15cm。给这个茶叶罐侧面贴上商标纸，高度如图所示，至少需要（ ）的商标纸。    【答案】188.4 【分析】由题意可知：商标纸的面积等于底面半径是3cm，高是10cm的圆柱的侧面积，将数据代入圆柱的侧面积公式：S＝2πrh计算即可。 【详解】3.14×3×2×10 ＝9.42×2×10 ＝18.84×10 ＝188.4（cm2） 即至少需要188.4的商标纸。 15．一个圆柱形铁皮水桶的底面直径是6dm，高是10dm，把这个圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，这个长方形的面积是（ ）dm2。（铁皮厚度忽略不计） 【答案】188.4 【分析】长方形面积就是圆柱的侧面积。圆柱的侧面积＝底面周长×高＝6×3.14×10＝188.4 dm2。据此解答。 【详解】6×3.14×10 ＝18.84×10 ＝188.4 （dm2） 这个长方形的面积是（188.4）dm2。 16．一个圆柱的侧面积是157cm2，高是5cm，它的底面半径是（ ）cm，表面积是（ ）cm2。 【答案】 5 314 【分析】根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高；底面周长＝侧面积÷高，代入数据，求出圆柱的底面周长；再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出底面半径；再根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×＋侧面积。代入数据，即可解答。 【详解】157÷5÷3.14÷2 ＝31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 3.14×52×2＋157 ＝3.14×25×2＋157 ＝78.5×2＋157 ＝157＋157 ＝314（cm2） 一个圆柱的侧面积是157cm2，高是5cm，它的底面半径是5cm，表面积是314cm2。 17．明明想用纸板做一个高是10cm，底面直径也是10cm的圆柱形无盖笔筒，将它的侧面全部缠上一圈胶带，缠胶带的面积至少是（ ），做这个笔筒至少需要纸板（ ）。 【答案】 314 392.5 【分析】根据题意，结合圆柱的侧面积公式：以及圆柱的表面积公式：，代入数据即可求出答案。 【详解】 3.14×10×10 ＝31.4×10 ＝314（） ＝ ＝3.14×25＋314 ＝78.5＋314 ＝392.5（） 所以缠胶带的面积至少是314，做这个笔筒至少需要纸板392.5。 18．若把一个圆柱体铁块熔铸成一个等体积的圆锥形铁块，它们底面半径的比是3∶2，圆柱的高是圆锥的（ ）。 【答案】 【分析】已知圆柱和圆锥的体积相等，圆柱和圆锥的半径之比是3∶2，则假设圆柱的底面半径为3，圆锥的底面半径为2，它们的体积都是36π，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h代入数据解答出圆柱的高和圆锥的高，进而根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用圆柱的高除以圆锥的高，即可求出圆柱的高是圆锥的几分之几。 【详解】假设圆柱的底面半径为3，圆锥的底面半径为2，它们的体积都是36π， 圆柱的高：36π÷π÷32 ＝36π÷π÷9 ＝36÷9 ＝4 圆锥的高：36π×3÷π÷22 ＝36π×3÷π÷4 ＝108π÷π÷4 ＝108÷4 ＝27 4÷27＝ 圆柱的高是圆锥的。 19．将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的容器中，水面变化情况如图所示。已知圆锥形铁块的底面积为15cm2，则圆锥形铁块的高是（ ）cm。       【答案】6 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，这里可以把圆锥的体积看成1份，那么圆柱的体积为3份，因为把圆柱和圆锥都放入盛有水的容器中，所以容器中上升的水的体积等于圆柱和圆锥的体积之和，先求出上升的水的体积，然后再除以圆柱和圆锥体积和的总份数，即可得到1份的体积，即圆锥的体积。根据圆锥的体积公式：，可推出：，据此即可求出圆锥形铁块的高。 【详解】920－800＝120（mL） 120mL＝120 120÷（1＋3） ＝120÷4 ＝30（） ＝3×30÷15 ＝6（cm） 所以圆锥形铁块的高是6cm。 20．把一个圆柱体的侧面展开，得到一个正方形，已知正方形的周长是25.12厘米，那么这个圆柱体的表面积是（ ）平方厘米。（结果保留两位小数） 【答案】45.72 【分析】根据题意，把一个圆柱体的侧面展开，得到一个正方形，说明这个圆柱的底面周长和高都等于正方形的边长； 已知正方形的周长是25.12厘米，根据正方形的边长＝周长÷4，求出正方形的边长，也是圆柱的底面周长和高； 根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径； 根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝Ch，S底＝πr2，代入数据计算即可求解。 【详解】正方形的边长（圆柱的底面周长）： 25.12÷4＝6.28（厘米） 圆柱的底面半径： 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 圆柱的表面积： 6.28×6.28＋3.14×12×2 ＝39.4384＋6.28 ＝45.7184 ≈45.72（平方厘米） 这个圆柱体的表面积是45.72平方厘米。 三、判断题 21．一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，它的表面积扩大到原来的4倍。（ ） 【答案】× 【分析】根据圆柱的表面积公式：S表＝S侧＋S底×2，圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，圆的面积公式：S＝πr2，据此判断。 【详解】圆柱的表面积＝2πr2＋2rπh（r为半径，h为高） h不变，半径扩大到到原来的2倍，即r变为2r 表面积变为： 2πr2＋2rπh ＝2π（2r）2＋2（2r）πh ＝2π4r2＋4rπh ＝8πr2＋4rπh （2πr2＋2rπh）×4 ＝8πr2＋8rπh≠8πr2＋4rπh 故答案为：× 22．体积相等的两个圆柱，一定是等底等高的。（ ） 【答案】× 【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；由此可知，等底等高的两个圆柱的体积相等；两个圆柱体积相等，底面和高不一定相等，据此举例说明。 【详解】如一个圆柱的底面积是6，高是3； 体积：6×3＝18 另一个圆柱的底面积是9，高是2； 体积：9×2＝18 6≠9；3≠2。 体积相等的两个圆柱，不一定是等底等高。 原题干说法错误。 故答案为：× 23．将一个实心圆柱锻造成一个底面积与它相等的实心圆锥，这个实心圆锥的高是这个圆柱的3倍。（ ） 【答案】√ 【分析】锻造前后体积不变，圆柱的体积公式为：V＝Sh，圆锥的体积公式为V＝Sh，设圆柱的体积为V，底面积为S，则圆锥的体积为V，底面积是S，由此分别表示出圆柱、圆锥的高，进而得出圆锥高是圆柱高的几倍；据此解答。 【详解】假设圆柱的体积为V，底面积为S，则圆锥的体积为V，底面积是S； 圆柱的高为：h圆柱＝ 圆锥的高为：h圆锥＝ 圆锥的高是圆柱高的÷＝×＝3倍，原说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 24．求出立体图形的体积。（单位：cm） 【答案】13256cm3 【分析】根据对图片的分析，该立体图形体积为下面的长方体加上上面的圆柱体的体积之和。 长方体体积公式：V＝长×宽×高，圆柱体积公式为：V＝r2h，将数据代入求解即可。 【详解】由分析可得： 长方体体积为： 40×30×10 ＝1200×10 ＝12000（cm3） 圆柱底面半径为：8÷2＝4（cm） 圆柱体积为： 3.14×42×25 ＝3.14×16×25 ＝50.24×25 ＝1256（cm3） 立体图形的体积为：12000＋1256＝13256（cm3） 五、解答题 25．一个圆锥形麦堆，底面积是3.14平方米，高是1.5米，按每立方米小麦的质量为700千克计算，这堆小麦的质量有多少千克？ 【答案】1099千克 【分析】根据圆锥体积公式：V＝Sh，先求出麦堆的体积，然后用每立方米小麦的质量×麦堆的体积＝这堆小麦的总质量，据此列式解答。 【详解】×3.14×1.5×700 ＝×1.5×3.14×700 ＝0.5×3.14×700 ＝1.57×700 ＝1099（千克） 答：这堆小麦的质量有1099千克。 26．小亮家来了3位客人，用一种长方体盒子包装的果汁招待（如图），如果给每位客人都倒满一杯，够吗？请你用计算的方法说明理由。（数据是从容器里面测量得到的）    【答案】够；理由见详解 【分析】长方体的容积＝长×宽×高，据此代入数据求出一盒果汁的体积。圆柱的容积＝底面积×高，据此求出1杯果汁的体积，再乘3求出3杯果汁的体积之和。比较一盒果汁和3倍果汁的体积即可解答。 【详解】10×12×6＝720（立方厘米） 26×8×3 ＝208×3 ＝624（立方厘米） 720＞624 答：如果给每位客人都倒满一杯，够。 27．修建一个底面直径6米、深2米的圆柱形沼气池。要在池的四壁和底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ 【答案】65.94平方米 【分析】由题意可知：抹水泥的面积等于圆柱的一个底面积＋侧面积，将数据代入圆的面积公式：S＝πr2及圆柱的侧面积公式S侧＝πdh计算即可。 【详解】3.14×（6÷2）2＋3.14×6×2 ＝3.14×32＋3.14×12 ＝3.14×9＋3.14×12 ＝3.14×（9＋12） ＝3.14×21 ＝65.94（平方米） 答：抹水泥部分的面积是65.94平方米。 28．用铁皮做一个底面半径为2分米，高为5分米的无盖圆柱形油桶。（接头处、铁皮厚度忽略不计）。 （1）做这个油桶至少要用多少平方分米的铁皮？ （2）如果1升汽油重0.7千克，这个油桶最多能装多少千克汽油？ 【答案】（1）75.36平方分米 （2）43.96千克 【分析】（1）求做这个油桶就是求这个无盖油桶的表面积，根据无盖圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积。代入数据，即可解答； （2）根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱形油桶的体积，再换成升，再乘0.7即可解答。 【详解】（1）3.14×22＋3.14×2×2×5 ＝3.14×4＋6.28×2×5 ＝12.56＋12.56×5 ＝12.56＋62.8 ＝75.36（平方分米） 答：做这个油桶至少要用75.36平方分米。 （2）3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） 62.8立方分米＝62.8升 62.8×0.7＝43.96（千克） 答：这个油桶最多能装43.96千克。 29．妙想家经常用一种空心圆柱形状的卷纸（如图），测得这种卷纸的底面外直径是12厘米，内直径是6厘米，高是10厘米。若要给这种卷纸的内、外侧和上、下底面包上一层塑料膜，至少需要多少平方厘米的塑料膜？    【答案】734.76平方厘米 【分析】观察题意可知，塑料膜的面积＝内侧面积＋外侧面积＋上、下底的圆环面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，用3.14×12×10＋3.14×6×10即可求出内外侧的面积和，再根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2），用3.14×[（12÷2）2－（6÷2）2]×2即可求出上下底的面积，最后把内外侧的面积和加上上下底的面积，即可求出塑料膜的面积。 【详解】3.14×12×10＋3.14×6×10 ＝376.8＋188.4 ＝565.2（平方厘米） 3.14×[（12÷2）2－（6÷2）2] ×2 ＝3.14×[62－32] ×2 ＝3.14×[36－9] ×2 ＝3.14×27×2 ＝169.56（平方厘米） 565.2＋169.56＝734.76（平方厘米） 答：至少需要734.76平方厘米的塑料膜。 30．一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】785立方厘米 【分析】由题可知，高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，减少部分就是高4厘米的圆柱的侧面积，利用侧面积＝底面周长×高，即可求得这个圆柱的底面周长，从而求得这个圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式求得减少部分的体积；再把原来圆柱的体积看作单位“1”，根据减少部分的体积是原来圆柱体积的，利用分数除法计算即可求得这个圆柱原来的体积。 【详解】圆柱的底面半径为：125.6÷2÷3.14÷4 ＝62.8÷3.14÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 减少部分的体积为：3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 原来圆柱的体积为：314÷（1－） ＝314÷ ＝314× ＝785（立方厘米） 答： 这个圆柱形零件原来的体积是785立方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$