天津市五区县重点校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题

2024～2025学年度第一学期期末重点校联考 高三数学参考答案 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答 案 B D B B A C C D D 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分，双空只对1个空得3分） 10．； 11． ； 12． ； 13． ,； 14． ，； 15．. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为． 由正弦定理得 ． 又因为，所以， 从而得． ……………………2分 又因为， 因此， 又因为， 所以． ……………………4分 （Ⅱ）因为的面积为， 即， 所以 ①． ……………………5分 又由余弦定理，， 得 ②． ……………………6分 因为．由①②解得，． ……………………8分 （Ⅲ）由余弦定理得 ， 所以 ……………………10分 ，， ……………………12分 ． ……………………14分 17．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）依题意，以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系 (如图)， 可得，. ……………………1分 因为平面，且平面， 所以， 又，且， 所以平面， 故是平面ADE的一个法向量， ……………………3分 又， 所以， ……………………4分 又因为平面 所以平面. ……………………5分 （注：其他方法平行给分） （Ⅱ）设为平面BDF的一个法向量，则， 又， 所以. 不妨令y=1，可得. ……………………7分 又因为是平面ADE的一个法向量 设平面ADE与平面BDF夹角为 则 所以平面ADE与平面BDF夹角的余弦值为. （设角和结论至少写其一，否则扣1分） ……………………10分 （Ⅲ）因为, 所以点E到平面的距离 ……12分 在中：，, 所以 所以 所以 ……………………14分 所以四面体体积 ……………………15分 （注：其他方法平行给分） 18．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）∵ 所以. ……………………1分 又因为，即，所以， ……………………2分 所以. ……………………3分 故椭圆的方程为. ……………………4分 （Ⅱ）由题得： 设直线为：，直线为： 设，， 由消去，得， 则，， ……………………6分 由消去，得， 由，可知，（此步不写扣1分，若求出后验证，则不扣分） 设，又， 则，. ……………………9分 因为四边形为平行四边形， 所以， 即， ……………………10分 故. 所以. 得. ……………………12分 此时直线为：，直线为：， 两平行线距离 又因为 ……………………14分 所以四边形的面积 所以存在直线，使得四边形为平行四边形，此时四边形的面积为 （注：其他方法平行给分） ……………………15分 19．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）由，得， ……………………1分 当时，由，得， 整理得 又因为 ， ……………………3分 又因为 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 因此，数列的通项公式为.…………………5分 （Ⅱ）（i）， 所以， ， 两式相加可得 故数列的通项公式为； ……………………8分 所以 又 将以上两式相减得 所以.（注：其他方法平行给分） ……………10分 （ⅱ）由题， 数列满足， 即， 则， 所以， 两式相减得 …………12分 所以， ……………………14分 当时，，所以． ……………………15分 （注：其他方法平行给分） 20．（本小题满分16分） 解：（Ⅰ）， ①当，恒成立，无极值； ……………………1分 ②当时，令，解得， 当时，所以在单调递减； 当时，所以在单调递增. 所以极小值为；无极大值. ……………………3分 综上，当时，无极值； 当时，极小值为，无极大值. ……………………4分 （Ⅱ）因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 设，且， ，令， ………5分 则在为增函数，且， 所以恒成立，即在单调递增， 其中， ……………………6分 若，则恒成立，此时单调递增，又， 所以恒成立， 即在上恒成立，即结论成立； ……………………8分 若，则， 又， 故由零点存在性定理可知，在内存在，使得， （若直接写：当时，.则存在，使时，接下方答案，则不扣分） 当时，，所以单调递减，又， 所以当时，，即，不合题意，舍去； 综上：实数的取值范围是. （注：其他方法平行给分） ……………………10分 （Ⅲ）构造函数，， ， 令， 则， 当时，恒成立， 所以在上单调递增， 所以，故在单调递增， ，即，……………………12分 构造函数，， ， 所以在上为单调递增， 所以，即，……………………14分 又因为时，，，，， 所以， 即时，， 即证毕. （注：其他方法平行给分） ………………16分 重点校期末高三数学参考答案 第 1 页（共 8 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第一学期期末重点校联考 高三数学 出题学校：宝坻一中 蓟州一中 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1．已知集合，,，则 A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知具有线性相关关系的变量，，设其样本点为（），经验回归方程为，若，，则 A． B． C． D． 4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A． B． C． D． 5．已知，，，则三者的大小关系是 A． B．　　　 C． D． 6．在数列中，已知，则的前10项和为 A． B． C． D． 7．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是 A． B．关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称 D．在区间上的最大值为 8．已知双曲线为的左顶点，抛物线的准线与轴交于.若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围为 A． B． C． D． 9．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是 A．正八面体的体积为 B．正八面体的表面积为 C．正八面体的外接球体积为 D．正八面体的内切球表面积为 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10．复数（其中为虚数单位），则的虚部为 . 11．的展开式中，的系数为 . 12．已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为 ． 13．中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为5%、4%、4%．现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是 ，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ． 14．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 ，的最小值为 . 15．已知函数，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16.（本小题满分14分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，的面积为，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 17.（本小题满分15分） 如图，平面，，，，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值； （Ⅲ）求四面体的体积. 18．（本小题满分15分） 已知椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率. 过且斜率为的直线交椭圆于、两点，的周长为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点且垂直于的直线与椭圆的一个交点为(在轴上方)，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问：是否存在直线，使得四边形为平行四边形？若存在，求出此时四边形的面积；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分15分） 已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 20．（本小题满分16分） 已知函数（），. （Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）求证：时，. 重点校期末高三数学 第 1 页（共 8 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$