专题17.1 平面直角坐标系【十大题型】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

专题17.1 平面直角坐标系【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 用有序数对表示位置或路线】 1 【题型2 判断点所在的位置】 3 【题型3 平行于坐标轴的直线的表示】 3 【题型4 角平分线上的点的特征】 4 【题型5 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】 4 【题型6 平面直角坐标中对称点的坐标特征】 5 【题型7 平面直角坐标中求图形的面积】 5 【题型8 由平移方式求点的坐标】 7 【题型9 由图形的平移求点的坐标】 7 【题型10 平面直角坐标中规律探究】 8 知识点1：有序数对 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 【题型1 用有序数对表示位置或路线】 【例1】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)(    ) A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列倒数第3个，应表示为 ． 【变式1-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（    ）    A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F 【变式1-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B(+1，+4)，从B到A记为：B→A(-1，-4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C( ， )，B→C( ， )，C→ (+1， )； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程； （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3-a，b-4），M→N（5-a，b-2），则N→A应记为什么？ 知识点2：坐标平面内点的坐标特征 点的坐标: 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 坐标平面内点的坐标特征: ①坐标原点的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线） 【题型2 判断点所在的位置】 【例2】（23-24八年级·上海长宁·期末）已知a为实数，那么在平面直角坐标系中，下列各点中一定位于第四象限的点是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【变式2-2】（23-24八年级·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知点在x轴上，则点A的坐标是 ． 【变式2-3】（23-24八年级·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且为整数，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点3：平行于坐标轴的直线的表示 在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同. 【题型3 平行于坐标轴的直线的表示】 【例3】（23-24八年级·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标 (2)若点的纵坐标比横坐标大4，求点的坐标； (3)若点，且与坐标轴平行，求点的坐标． 【变式3-1】（23-24八年级·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，点A与点B纵坐标相同，横坐标不同，那么直线与y轴的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合． 【变式3-2】（23-24八年级·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，，两点在平行x轴的同一直线上，且B到y轴的距离为3，则点B的坐标是 ． 【变式3-3】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）已知点，点，直线与坐标轴平行且，则点的坐标是 . 知识点4：象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 【题型4 角平分线上的点的特征】 【例4】（23-24八年级·辽宁丹东·期中）若点在第二、四象限角平分线上，则a的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式4-1】（23-24八年级·河南周口·专题练习）若，表示同一个点，那么这个点一定在（   ） A．第二、四象限角平分线上 B．第一、三象限角平分线上 C．平行于x轴的直线上 D．平行于y轴的直线上 【变式4-2】（23-24八年级·全国·单元测试）已知坐标平面内一点，若、两点关于第一、三象限内两轴夹角平分线对称，则点的坐标为 ． 【变式4-3】（23-24八年级·广东惠州·期中）已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标． (1)若点P在y轴上，则点P的坐标为__________． (2)若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为__________． (3)若点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为__________． 知识点5：点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. 【题型5 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】 【例5】（23-24八年级·四川德阳·期末）已知的面积为6，且，两点的坐标分别为、，若点到轴距离是1，则轴上方的点的坐标为 ． 【变式5-1】（23-24八年级·重庆南岸·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是 ． 【变式5-2】（23-24八年级·广东江门·阶段练习）若点到x轴的距离为4，则点P坐标为 ． 【变式5-3】（23-24八年级·北京·期中）如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为2，则点的坐标为 ． 知识点6：平面直角坐标中对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 【题型6 平面直角坐标中对称点的坐标特征】 【例6】（23-24八年级·广东深圳·期末）如果点在第三象限，点关于原点的对称点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-1】（23-24八年级·北京·期中）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x= ，y= ．点A关于x轴的对称点的坐标是 ． 【变式6-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）已知点和点关于直线(直线上各点的纵坐标都是2)对称，若点的坐标是，则点的坐标是 ． 【变式6-3】（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【题型7 平面直角坐标中求图形的面积】 【例7】（23-24八年级·湖南娄底·期中）已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，的面积是10，则点C的坐标是（    ） A． B． C．或 D． 【变式7-1】（23-24八年级·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是 【变式7-2】（23-24八年级·浙江宁波·阶段练习）如图，，点在轴上，且． (1)求点的坐标，并画出； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【变式7-3】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知点，，点在轴上，且的面积是的面积的3倍，那么点的坐标可以为 ． 知识点7：平面直角坐标中点的平移 在平面直角坐标系中， 将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）；“左减右加” 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y-b）.“下减上加” 【题型8 由平移方式求点的坐标】 【例8】（23-24八年级·山东潍坊·期末）把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24八年级·天津·期中）在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移4个单位长度．再向下平移4个单位长度，得到的对应点A′的坐标为（　　） A．（-6，7） B．（-6，-1） C．（2，-1） D．（2，7） 【变式8-2】（23-24八年级·全国·专题练习）把图形M先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，如果平移后的图形上有一点A的坐标为，那么平移前该点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，第一象限内有两点，将线段平移使点分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【题型9 由图形的平移求点的坐标】 【例9】（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则c的值是 【变式9-1】（23-24八年级·四川南充·期中）如图所示，是由平移得到的，若，，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【变式9-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为 ． 【变式9-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段，点Q在四边形内，满足，，则点Q的坐标为 ．    【题型10 平面直角坐标中规律探究】 【例10】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图在平面直角坐标系中，有若干个点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，， 按照这个规律，可得第个点的坐标是 ． 【变式10-1】（23-24八年级·重庆江北·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的3×6的网格，动点P从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到长方形的边时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24八年级·广东惠州·期中）如图所示，长方形的两边、分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点的坐标为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17.1 平面直角坐标系【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 用有序数对表示位置或路线】 1 【题型2 判断点所在的位置】 5 【题型3 平行于坐标轴的直线的表示】 6 【题型4 角平分线上的点的特征】 9 【题型5 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】 12 【题型6 平面直角坐标中对称点的坐标特征】 14 【题型7 平面直角坐标中求图形的面积】 16 【题型8 由平移方式求点的坐标】 19 【题型9 由图形的平移求点的坐标】 22 【题型10 平面直角坐标中规律探究】 25 知识点1：有序数对 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 【题型1 用有序数对表示位置或路线】 【例1】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象一一判断即可解决问题． 【详解】A选项：由图象可知不能到达点A，正确． B选项：由图象可知能到达点A，与题意不符． C选项：由图象可知到达点A，与题意不符． D选项：由图象可知(到达点A正确，与题意不符． 故选：A． 【点睛】本题考查坐标确定位置、解题的关键是理解点与有序数对是一一对应关系，属于中考常考题型． 【变式1-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列倒数第3个，应表示为 ． 【答案】 【分析】根据战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，即可得到答案． 【详解】解：∵共有八列，每列8人，则战士乙站在第七列倒数第3个，则从前面数是第6个，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列倒数第3个，应表示为． 故答案为： 【点睛】此题考查了用有序数对表示位置，解题的关键是根据题意写出有序数对． 【变式1-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（    ）    A．目标A B．目标C C．目标E D．目标F 【答案】B 【分析】本题考查了有序数对表示位置，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键． 根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数写出即可． 【详解】解：目标用表示，目标用表示， 第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数， 表示为的目标是目标C． 故答案为：B． 【变式1-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B(+1，+4)，从B到A记为：B→A(-1，-4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C( ， )，B→C( ， )，C→ (+1， )； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程； （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3-a，b-4），M→N（5-a，b-2），则N→A应记为什么？ 【答案】（1）＋3；＋4；＋2；0；D；；（2）见解析；；应记为 【分析】（1）根据规定及实例可得答案； （2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可； （3）根据（1）列加法计算即可； （4）根据M→A，M→N可知5-a-（3-a）=2，b-2-（b-4）=2，从而得到点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，从而得到N→A应记为什么． 【详解】（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）； 故答案为（+3，+4），（+2，0），D； （2）P点位置如图1所示； （3）如图2，根据已知条件可知： A→B表示为：（＋1，＋4），B→C表示为：（+2，0），C→D表示为：（＋1，﹣2）； 则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10；             （4）由M→A（3﹣a， b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2）， 所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2， 所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N， 所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）． 【点睛】本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． 知识点2：坐标平面内点的坐标特征 点的坐标: 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 坐标平面内点的坐标特征: ①坐标原点的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线） 【题型2 判断点所在的位置】 【例2】（23-24八年级·上海长宁·期末）已知a为实数，那么在平面直角坐标系中，下列各点中一定位于第四象限的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，根据各象限点的坐标符号特征逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，为不属于任何象限，不符合题意； B、的值不确定， 不一定位于第四象限，不符合题意； C、， ， 一定位于第四象限，符合题意； D、， 当时，不属于任何象限，不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【答案】二 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题的关键．直接利用第二象限内的点：横坐标小于0，纵坐标大于0，即可得出答案． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点P在第二象限． 故答案为：二． 【变式2-2】（23-24八年级·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知点在x轴上，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标，解题的关键是根据横轴上点的纵坐标为0得出关于x的方程．由横轴上点的纵坐标为0可得，解之求出a的值，再代入点A的坐标可得答案． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， 则， ∴点A的坐标为， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且为整数，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，根据四个象限的符号特点列出不等式组，求出m的范围，确定出m的值，即可求出最后结果． 【详解】解：点在第二象限， ，， ， 为整数， ， ， 则点坐标为， 故选：B． 知识点3：平行于坐标轴的直线的表示 在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同. 【题型3 平行于坐标轴的直线的表示】 【例3】（23-24八年级·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标 (2)若点的纵坐标比横坐标大4，求点的坐标； (3)若点，且与坐标轴平行，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了，平面内点的坐标． （1）由点在轴上，得到，求解即可， （2）由，得到，代入，即可求解， （3）当轴时，得到，解得得到点的坐标，当轴时，得到，解得得到点的坐标， 【详解】（1）解：点在轴上， 点的纵坐标为零，即，解得， 则， ∴点的坐标为， 故答案为：， （2）解：， ， 点的坐标为， 故答案为：， （3）解：当轴时， 点和点的横坐标相等，即：，解得：， ∴， 点的坐标为， 当轴时点和点的纵坐标相等，即，解得， ∴， 点的坐标为， 故答案为：或． 【变式3-1】（23-24八年级·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，点A与点B纵坐标相同，横坐标不同，那么直线与y轴的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点A与点B纵坐标相同，横坐标不同，可得轴，则轴． 【详解】解：∵点A与点B纵坐标相同，横坐标不同， ∴轴， ∴轴， 故选：B． 【变式3-2】（23-24八年级·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，，两点在平行x轴的同一直线上，且B到y轴的距离为3，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是坐标系内平行x轴的直线上点的坐标特点，点到坐标轴的距离，先A和B点的纵坐标相等，可得，在结合到坐标轴的距离可得答案. 【详解】解：∵，两点在平行x轴的同一直线上， ∴A和B点的纵坐标相等，则， 又B到y轴的距离为3， ∴， 解得：或． ∴点B的坐标是或． 答案：或． 【变式3-3】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）已知点，点，直线与坐标轴平行且，则点的坐标是 . 【答案】，，或； 【分析】①直线AB∥y轴，由AB∥y轴和点A的坐标可得点B的横坐标与点A的横坐标相同，根据AB的距离可得点B的纵坐标可能的情况． ②直线AB∥x轴，由AB∥x轴和点A的坐标可得点B的纵坐标与点A的纵坐标相同，根据AB的距离可得点B的横坐标可能的情况． 【详解】解：①当直线AB∥y轴时， ∵A（−2，−1）， ∴点B的横坐标为−2， ∵AB＝3， ∴点B的纵坐标为−1＋3＝2或−1−3＝−4， ∴B点的坐标为（−2，2）或（−2，−4）． ②直线AB∥x轴时， ∵A（−2，−1）， ∴点B的纵坐标为−1， ∵AB＝3， ∴点B的横坐标为−2＋3＝1或−2−3＝−5， ∴B点的坐标为（1，−1）或（−5，−1）． 综上所述，点B的坐标是（−2，2）或（−2，−4）或（1，−1）或（−5，−1）． 故答案为（−2，2）或（−2，−4）或（1，−1）或（−5，−1）． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，平行于y（x）轴的直线上的点的横（纵）坐标相等；一条直线上到一个定点为定长的点有2个． 知识点4：象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 【题型4 角平分线上的点的特征】 【例4】（23-24八年级·辽宁丹东·期中）若点在第二、四象限角平分线上，则a的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，坐标轴夹角平分线的坐标特征等知识点，根据第二、四象限角平分线上点的坐标特征得到，然后解方程即可，解题的关键是利用坐标特征判断线段与坐标轴的位置关系． 【详解】∵点在第二、四象限角平分线上， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4-1】（23-24八年级·河南周口·专题练习）若，表示同一个点，那么这个点一定在（   ） A．第二、四象限角平分线上 B．第一、三象限角平分线上 C．平行于x轴的直线上 D．平行于y轴的直线上 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据题意得到，可得点的横纵坐标相等，即可解答，熟知第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等是解题的关键． 【详解】解：∵点，表示同一个点， ∴， ∴这个点一定在第一、三象限的角平分线上． 故选：B． 【变式4-2】（23-24八年级·全国·单元测试）已知坐标平面内一点，若、两点关于第一、三象限内两轴夹角平分线对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】画出相关图形可得纵横坐标交换位置即可． 【详解】解：由图中可得答案为（-2，1）． 故答案为（-2，1）． 【点睛】本题考查了两点关于坐标轴夹角平分线对称的关系；用到的知识点为：点（a，b）关于第一、三象限角平分线的对称点的坐标为（b，a）． 【变式4-3】（23-24八年级·广东惠州·期中）已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标． (1)若点P在y轴上，则点P的坐标为__________． (2)若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为__________． (3)若点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0即可求解； （2）根据相反数的意义即可求解； （3）根据通过原点的第一、三象限角平分线上横纵坐标相同即可求解． 【详解】（1）∵点在y轴上， ∴，则， ∴点P的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：，则 ∴点P的坐标为． 故答案为：； （3）∵点P在一、三象限角平分线所在直线上， ∴， 解得：．则． ∴点P的坐标为． 故答案为：． 知识点5：点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. 【题型5 由点到坐标轴的距离确定点的坐标】 【例5】（23-24八年级·四川德阳·期末）已知的面积为6，且，两点的坐标分别为、，若点到轴距离是1，则轴上方的点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】以为底，根据面积求出点C的纵坐标为4，再由C到y轴距离是1得到其横坐标为，由此即可求出C点的坐标． 本题考查三角形的面积，平面直角坐标系中点的坐标特点等；本题的关键是通过三角形面积求出点的纵坐标的绝对值，进而确定的点坐标． 【详解】解：∵A、B两点的坐标分别为、， ∴， 设C点纵坐标为y（），且的面积为6， ∴，即 ∴， ∵点C到y轴距离是1， ∴C点的横坐标为， ∴点C的坐标为或。 故答案为：或 【变式5-1】（23-24八年级·重庆南岸·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求平面直角坐标系点的坐标，象限的分类，根据题意点到轴的距离是纵坐标，到轴的距离是横坐标，再根据第四象限点的特征，横坐标为正，纵坐标为负，即可求解，理解平面直角坐标系的概念是解题的关键． 【详解】∵点在第四象限，且点到轴的距离为，则纵坐标，到轴的距离是，则横坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级·广东江门·阶段练习）若点到x轴的距离为4，则点P坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标与象限的关系，坐标与距离，根据点到x轴的距离为4，得到，计算即可． 【详解】解：点到x轴的距离为4， ， 解得， ，或 点的坐标为或 故答案为：或． 【变式5-3】（23-24八年级·北京·期中）如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为2，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，一元一次方程的应用，正确理解“美丽点”的定义是解题关键．设点的坐标为，根据点到轴的距离，得到，再分别代入“美丽点”公式，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 到轴的距离为2， 的横坐标为，即， 是“美丽点”， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 点的坐标为或， 故答案为：或 知识点6：平面直角坐标中对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 【题型6 平面直角坐标中对称点的坐标特征】 【例6】（23-24八年级·广东深圳·期末）如果点在第三象限，点关于原点的对称点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由点在第三象限，可得，点关于原点的对称点为，结合的范围即可判断出其对称点的象限； 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∵点关于原点的对称点为， ∴，， ∴点在第二象限； 故选择：B 【点睛】本题考查的是象限内点的坐标特点，关于原点对称的点的坐标特点，不等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键． 【变式6-1】（23-24八年级·北京·期中）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x= ，y= ．点A关于x轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 3 4 (3，﹣4) 【分析】根据点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵A(x，4)关于y轴的对称点是B(-3，y)， ∴x=3，y=4， ∴A点坐标为(3，4)， ∴点A关于x轴的对称点的坐标是(3，-4)． 故答案为：3；4；(3，-4)． 【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称的特点：点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数，由此即可求解． 【变式6-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）已知点和点关于直线(直线上各点的纵坐标都是2)对称，若点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】（2,7） 【分析】根据题意可知直线∥x轴，画出图形，根据题意可判定点B到m的距离也为5个单位长度，且A、B的横坐标相同，从而求出点B的坐标． 【详解】解：∵直线上各点的纵坐标都是2 ∴直线∥x轴，如下图所示 ∵点和点关于直线对称，点A到m的距离为2－（-3）=5 ∴点B到m的距离也为5个单位长度，且A、B的横坐标相同 ∴点B的坐标为（2,7） 故答案为：（2,7）． 【点睛】此题考查的是坐标与对称，掌握对称的性质和点的坐标关系是解决此题的关键． 【变式6-3】（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知：C、B关于直线m对称，即关于直线对称，即可得出答案． 【详解】∵关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称， ∴C、B关于直线m对称，即关于直线对称， ∵点的坐标为， ∴，解得：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形的变化，得出B、C关于直线m对称是解答本题的关键． 【题型7 平面直角坐标中求图形的面积】 【例7】（23-24八年级·湖南娄底·期中）已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，的面积是10，则点C的坐标是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形．设点C的坐标是，则，根据，即可求解． 【详解】解：设点C的坐标是，则， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴在x轴上，且， ∵的面积是10，， ∴， ∴， ∴点C的坐标是或． 故选：C 【变式7-1】（23-24八年级·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是 【答案】 【分析】该题主要考查了坐标与图形，解题的关键是将四边形的面积转换成三角形面积． 连接，根据即可求解； 【详解】连接， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-2】（23-24八年级·浙江宁波·阶段练习）如图，，点在轴上，且． (1)求点的坐标，并画出； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)点的坐标为，，画图见解析 (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质； （1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在点的右边时，， 点在点的左边时，， 所以，的坐标为（）或（）， 如图所示： （2）解：的面积 ； （3）解：设点到轴的距离为， 则 ， 解得 ， 点在轴正半轴时，（ ）， 点在轴负半轴时，（ ）， 综上所述，点的坐标为（ ）或（ ）． 【变式7-3】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知点，，点在轴上，且的面积是的面积的3倍，那么点的坐标可以为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；设点，则有，，然后根据与的面积关系可进行求解． 【详解】解：设点，则有，， ∵的面积是的面积的3倍， ∴ 解得：或， ∴点或； 故答案为或． 知识点7：平面直角坐标中点的平移 在平面直角坐标系中， 将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）；“左减右加” 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y-b）.“下减上加” 【题型8 由平移方式求点的坐标】 【例8】（23-24八年级·山东潍坊·期末）把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由坐标平移的规则得到点的坐标为，由点正好落在轴上求出的值，从而即可得到答案． 【详解】解：点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， 点的坐标为， 点正好落在轴上， ， ， ， 点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握坐标平移的规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减． 【变式8-1】（23-24八年级·天津·期中）在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移4个单位长度．再向下平移4个单位长度，得到的对应点A′的坐标为（　　） A．（-6，7） B．（-6，-1） C．（2，-1） D．（2，7） 【答案】C 【分析】根据坐标的平移规律解答即可． 【详解】解：将点A（-2，3）向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度， 那么平移后对应的点A′的坐标是（-2+4，3-4），即（2，-1）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【变式8-2】（23-24八年级·全国·专题练习）把图形M先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，如果平移后的图形上有一点A的坐标为，那么平移前该点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的平移，解题关键是掌握坐标平移的规律：上加下减，左减右加．根据坐标平移的规律求解即可得到答案． 【详解】解：在坐标系中，点先向右平移2个单位得，再把向下平移6个单位后的坐标为，则平移前该点的坐标为． 故选：A． 【变式8-3】（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，第一象限内有两点，将线段平移使点分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设平移后点、的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在轴上，在轴上；②在轴上，在轴上． 【详解】解：设平移后点、的对应点分别是、． 分两种情况： ①在轴上，在轴上， 则横坐标为0，纵坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； ②在轴上，在轴上， 则纵坐标为0，横坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点平移后的对应点的坐标是或． 故选：D． 【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【题型9 由图形的平移求点的坐标】 【例9】（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则c的值是 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握平移的性质是解的关键．由题意可知，由，得出，即可得出，解得或，根据平移的性质，得出，然后分或两种情况解方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， 或， 线段进行平移得到线段， ， 当时，则， 解得：， 当时，则， 解得， ∴c的值是12或4． 故答案为：12或4． 【变式9-1】（23-24八年级·四川南充·期中）如图所示，是由平移得到的，若，，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 判断出的值即可解决问题． 【详解】解：由平移变换的性质可知是由向上平移个单位，向右平移4个单位得到， 故． ， ， 故选：A． 【变式9-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：∵点O平移到点， ∴将沿x轴正方向向右平移4个单位长度， ∴点平移至点C的坐标为，即． 故答案为：． 【变式9-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，平移线段至线段，点Q在四边形内，满足，，则点Q的坐标为 ．    【答案】 【分析】设，由点平移可求，分别求出，，由已知可得，再分别求出，，再由已知可得，求出m即可求Q点坐标． 【详解】解：设， ，，， ， ∵平移线段至线段， ∴， ∵，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标图形变换，熟练掌握点平移的特点，再由三角形面积公式求出三角形面积，由面积建立等量关系求解是关键． 【题型10 平面直角坐标中规律探究】 【例10】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图在平面直角坐标系中，有若干个点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，， 按照这个规律，可得第个点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中点的规律探索，结合图象规律和数字规律探索是解题的关键．分别对横坐标和纵坐标结合图象的规律和数字的规律进行探究即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴结合图象可得对于纵坐标来说每6个一循环， ∵， ∴的纵坐标和的纵坐标相等，为， ∵，，，，， ∴结合图象可得对于对于横坐标来说，，， ∵， ∴正好满足此规律， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-1】（23-24八年级·重庆江北·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是平面直角坐标系中点的规律性问题，求出一些点的坐标并发现规律是解决此类问题的关键. 首先根据分析可求出点和点每秒相遇一次，再求出每次相遇点的坐标，可发现次一循环，从而可求出的坐标. 【详解】解：由题意可知即长方形的周长为, 分析可知，每一次相遇后出发到再相遇点和点所运动的路程和为， 设点与点每次相遇所需时间为秒， 则解得： 即每秒相遇一次， 则根据运动方式可求出 ……… 可以发现相遇点的坐标次一循环， 则的坐标与坐标一样， 即 故选:A. 【变式10-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的3×6的网格，动点P从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到长方形的边时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型中点的坐标．根据点的碰撞可得出：，，，，，，，…，根据点的坐标的变化可得出点的坐标6次一循环，再结合即可得出结论． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，，，，，，…， ∴点的坐标6次一循环． ∵， ∴当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为． 故选：C． 【变式10-3】（23-24八年级·广东惠州·期中）如图所示，长方形的两边、分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给变换方式发现每翻滚四次，点的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现是解题的关键． 根据所给运动方式，依次求出点A的对应点坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：根据所给翻滚方式可知， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； …， 由此可见，每翻滚四次，点的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现， 又因为， 所以， 所以点的坐标为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$