精品解析：广东省龙涛教育集团2024--2025学年上学期九年级数学期末试卷

广东龙涛教育集团2024学年度第一学期 九年级数学科目考试题 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名，同时填写考生号、座位号，再用2B铅笔把对应的号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（　　） A. 不可能事件发生的概率为0 B. 随机事件发生的概率为 C. 概率很小的事件不可能发生 D. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 3. 如图，中，弦、相交于，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 5. 下列四个命题：（1）垂直于弦的直径平分弦；（2）全等的三角形是相似三角形；（3）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（4）等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 下列关于的函数中，当时，函数值随的值增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 7. 若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ） A. 16 B. 17 C. D. 8. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是圆的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 平分 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 下列方程中，属于一元二次方程的有______（填题号）． ①；②；③；④；⑤． 12. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线解析式为_________． 13. 若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝_____． 14. 如果一元二次方程有一个根为0，则的值为_____________． 15. 如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是__________． 16. 如图，若是正方形外一点，，，，则的度数为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，，求证：． 19. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点、、在同一条直线上，且，求及的度数． 20. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 22. 如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 23. 某网店销售一种小商品，成本为每件20元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为30元时，平均月销售量240件；若每件商品的售价上涨1元，则月销售量就减少10件．设每件商品的售价为元，月销售数量为件，月销售利润为元． （1）求与、与的函数关系式； （2）若月销售利润2640元，求的值； （3）月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时值． 24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点． （1）求，两点的坐标． （2）求该二次函数解析式． （3）若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 25. 已知⊙O中，弦AB=AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PA，PB． （1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：∠ACP+∠ACQ=180°； （2）如图②，若∠BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系． （3）若∠BAC=120°时，（2）中结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东龙涛教育集团2024学年度第一学期 九年级数学科目考试题 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名，同时填写考生号、座位号，再用2B铅笔把对应的号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴． 2. 下列说法中，正确的是（　　） A. 不可能事件发生的概率为0 B. 随机事件发生的概率为 C. 概率很小的事件不可能发生 D. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：不可能事件发生的概率为0，故A正确； 随机事件发生的概率为在0到1之间，故B错误； 概率很小的事件也可能发生，故C错误； 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，D错误； 故选A． 考点：随机事件． 3. 如图，中，弦、相交于，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等可知，即可利用外角性质求出． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 故选：C． 4. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标的含义，求解代数式的值，熟练掌握抛物线与轴的交点特征是解决问题的关键．把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解∶抛物线与x轴的一个交点为， ， 故选C． 5. 下列四个命题：（1）垂直于弦的直径平分弦；（2）全等的三角形是相似三角形；（3）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（4）等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握相似三角形的定义，圆周角定理 ，垂径定理． 【详解】解：（1）垂直于弦的直径平分弦，此选项正确，故符合题意； （2）全等的三角形是相似三角形，相似比为1，此选项正确，故符合题意； （3）两条弦相等，它们所对的弧不一定相等，因为弦对两条弧，由可能是弦一个对优弧，一个对劣弧，此选项错误，故不符合题意； （4）等弧所对的圆心角相等，此选项正确，故符合题意， 故选：B． 6. 下列关于的函数中，当时，函数值随的值增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，掌握它们各自的图像与性质是解题的关键． 根据二次函数，一次函数，正比例函数的图象的性质解答即可． 【详解】解：A．∵二次函数中二次项系数为 ∴图象开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而增大，故本选项错误； B．一次函数中一次项系数为， ∴y随x的增大而增大，故本选项错误； C．正比例函数中一次项系数为， ∴y随x的增大而增大，故本选项错误； D．∵二次函数中二次项系数为 ∴图象开口向下，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而减小，故本选项正确； 故选：D． 7. 若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ） A. 16 B. 17 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2，根据题意列出方程求解即可 【详解】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2；因为它们的积为63，所以，解得，；所以当时，另一个数为9，其和为16，当时，另一个为﹣7，其和为﹣16 故答案为C选项 【点睛】本题主要考查了一元二次方程中连续奇数或偶数等的运用，正确表示出各个数建立方程是关键 8. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性．由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图象开口向上，在对称轴右边，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为，开口向上， 在对称轴右边，y随x的增大而增大， 关于对称轴的对称点为， ，，两点在对称轴右边，y随x的增大而增大， ， ， 故选：B． 9. 如图，是圆直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD＝0B，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系，可对A选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP为△ACD的中位线，则CD＝20P，原式可对B选项进行判断；同时得到OB＝2OP，则可对D选项进行判断. 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 在中，， ∴， 在中，，所以A选项的结论错误； ∵，， ∴，所以C选项的结论正确； ∴， ∴为的中位线， ∴，所以B选项结论正确； ∴， ∴平分，所以D选项的结论正确． 故选A． 【点睛】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和平行四边形的性质. 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 下列方程中，属于一元二次方程的有______（填题号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】根据一元二次方程的定义，得②③⑤是一元二次方程，①④不是． 故答案为：②③⑤． 12. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：根据题意， ∵将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度， ∴所得抛物线解析式为：； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 13. 若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而即可求解． 【详解】解：∵点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称， ∴b=-3，a-2=-a， ∴a=1， ∴a+b=-2． 故答案是：-2． 【点睛】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键． 14. 如果一元二次方程有一个根为0，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及其根，熟练掌握定义即形如的方程，使得方程左右两边相等的未知数的值是方程的根是解题的关键．根据一元二次方程有一个根为0，得到计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得（舍去）． 故答案为：． 15. 如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了切线长定理．直接利用切线长定理得出，进而求出的长． 【详解】解：∵切于点A，B，切于点E， ， 的周长是20， ， ， ， ， 故答案为：10． 16. 如图，若是正方形外一点，，，，则的度数为______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理的运用．将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，从而得到为等腰直角三角形，根据勾股定理的逆定理得到，计算出，从而即可得到答案． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ， 则，，，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 为直角三角形， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程：正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用直接开平方法解一元二次方程，即可作答； （2）运用因式分解法解一元二次方程，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∴， 即或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴． ∴或， ∴，． 18. 如图，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，反之亦成立． 首先得到，然后得到，进而得到． 【详解】证明：∵ ∴ ∴，即 ∴． 19. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点、、在同一条直线上，且，求及的度数． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形外角的性质．根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，所以，得，根据三角形外角性质可得度数，又，则可求． 【详解】解：根据旋转的性质可知，且， 所以是等腰直角三角形． 所以； 根据旋转的性质可得， ． ． ． ∴． 20. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 【答案】（1）k≤3；（2）． 【解析】 分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点， 得到A1B1C1即为所求； （2）如图所示，分别确定旋转后的对应点， 得到A2B2C2即为所求； （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 22. 如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 【详解】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 23. 某网店销售一种小商品，成本为每件20元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为30元时，平均月销售量240件；若每件商品的售价上涨1元，则月销售量就减少10件．设每件商品的售价为元，月销售数量为件，月销售利润为元． （1）求与、与的函数关系式； （2）若月销售利润2640元，求的值； （3）月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】（1），； （2）的值为32元或42元； （3）当定价为37元时可使月销售利润最大，最大月利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用每月的销售量每个小商品上涨的价格，即可用含x的代数式表示出每件商品售价定为x元时的月销售量；利用月销售利润=每个小商品的销售利润×月销售量，列出函数解析式； （2）由（1）中解析式，令，即可得出关于一元二次方程，解之即可得出x的值； （3）根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：每件商品的售价为元， 由题意得：， ； 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：，． ∴的值为32元或42元； 【小问3详解】 解：由题意得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值， ∴当定价为37元时可使月销售利润最大，最大月利润是元； 24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点． （1）求，两点的坐标． （2）求该二次函数的解析式． （3）若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，，，使是以为腰的等腰三角形 【解析】 【分析】（1）令直线的x=0，y=0，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标； （2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式； （3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标． 【小问1详解】 解：对直线，当时，，时，， ，． 【小问2详解】 解：设二次函数为， 二次函数图象经过，， ， 把点代入得： ， 解得：， ． 【小问3详解】 解：二次函数图象经过，， 对称轴为， ， ， ， 如图，当时， ， ，， 如图，当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是用一般式或者两点式结合待定系数法求解，求点P的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P点，注意这里只要用“两圆”即可． 25. 已知⊙O中，弦AB=AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PA，PB． （1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：∠ACP+∠ACQ=180°； （2）如图②，若∠BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系． （3）若∠BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）PA=PB+PC．理由见解析；（3）若∠BAC=120°时，（2）中的结论不成立， PA=PB+PC． 【解析】 【详解】试题分析：（1）如图①，连接PC．根据“内接四边形的对角互补的性质”即可证得结论； （2）如图②，通过作辅助线BC、PE、CE（连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE）构建等边△PCE和全等三角形△BEC≌△APC；然后利用全等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得PA=PB+PC； （3）如图③，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AG⊥PC于点G．利用全等三角形△ABP≌△AQP（SAS）的对应边相等推知AB=AQ，PB=PG，将PA、PB、PC的数量关系转化到△APC中来求即可． 试题解析：（1）如图①，连接PC． ∵△ACQ是由△ABP绕点A逆时针旋转得到的， ∴∠ABP=∠ACQ． 由图①知，点A、B、P、C四点共圆， ∴∠ACP+∠ABP=180°（圆内接四边形的对角互补）， ∴∠ACP+∠ACQ=180°（等量代换）； （2）PA=PB+PC．理由如下： 如图②，连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE． ∵弦AB=弦AC，∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形（有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形）． ∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC=180°（圆内接四边形的对角互补）， ∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠BAC=∠CPE=60°， ∵PE=PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE=PC，∠E=∠ECP=∠EPC=60°； 又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP（等量代换）, 在△BEC和△APC中， ，∴△BEC≌△APC（SAS），∴BE=PA， ∴PA=BE=PB+PC； （3）若∠BAC=120°时，（2）中的结论不成立， PA=PB+PC．理由如下： 如图③，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AG⊥PC于点G． ∵∠BAC=120°，∠BAC+∠BPC=180°，∴∠BPC=60°． ∵弦AB=弦AC，∴∠APB=∠APQ=30°． 在△ABP和△AQP中， ，∴△ABP≌△AQP（SAS）， ∴AB=AQ，PB=PQ（全等三角形的对应边相等），∴AQ=AC（等量代换）． 在等腰△AQC中，QG=CG． 在Rt△APG中，∠APG=30°，则AP=2AG，PG=AG, ∴PB+PC=PG﹣QG+PG+CG=PG﹣QG+PG+QG=2PG=2AG， ∴PA=2AG，即PA=PB+PC． 【点睛】本题考查了圆的综合题，解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关系，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $