专题6.4 平面向量的基本定理及坐标运算（7类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.4 平面向量的基本定理及坐标运算 【考点1：平面向量的基本定理】 1 【考点2：向量线性运算的坐标表示】 3 【考点3：向量模的坐标表示】 4 【考点4：向量数量积运算的坐标表示】 6 【考点5：向量平行的坐标表示】 7 【考点6：向量垂直的坐标表示】 10 【考点7：向量夹角的坐标表示】 11 【考点1：平面向量的基本定理】 【知识点：平面向量的基本定理】 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2. 其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [方法技巧] 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　　 1．（2024·湖南益阳·一模）在平行四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）在中，点在边上，且，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 4．（2024·河南商丘·三模）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（四川省雅安市等8市2024-2025学年高三上学期（12月）第一次诊断性考试数学试题）在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数 ． 6．（24-25高三上·安徽·期中）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． (1)令，，用，表示； (2)求线段的长． 【考点2：向量线性运算的坐标表示】 【知识点：向量线性运算的坐标表示】 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则： ＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 1．（2025高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（   ）    A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，以为基底，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【考点3：向量模的坐标表示】 【知识点：向量模的坐标表示】 模 ||＝ ||＝ [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式||＝. (2)若向量，是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式||2＝2＝·，或|±|2＝(±)2＝2±2·＋2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．　　 1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 2．（24-25高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 3．（24-25高一下·江西·期中）如图，在梯形中，，，，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．3 D． 4．（24-25高三上·山西忻州·开学考试）已知向量，，若，则k= . 5．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·河南洛阳·开学考试）已知向量．若，则实数（    ） A．2 B．-2 C． D． 7．（2024高一·全国·竞赛）如图，在矩形中放置了如图所示的5个大小相同的正方形，其中，，设，考虑向量与可得正方形边长为（    ）    A． B． C． D． 【考点4：向量数量积运算的坐标表示】 【知识点：向量数量积运算的坐标表示】 （1） 向量数量积的坐标表示：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2； （2） 在上的投影向量为=. 1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知向量，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（24-25高二上·四川德阳·期末）已知，若则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东济南·二模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上·云南文山·期末）若向量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 6．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量，则 ， ． 7．（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【考点5：向量平行的坐标表示】 【知识点：向量平行的坐标表示】 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0，则∥⇔x1y2－x2y1＝0. [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 1．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 . 2．（24-25高一·全国·课后作业）已知，则与平行且模为5的向量是 ． 3．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）（1）已知点，求证：； （2）已知向量不共线，且，求证：三点共线. 5．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证：（1）； （2）D，M，B三点共线. 7．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，， （1）求点的坐标； （2）求证：四边形为等腰梯形． 【考点6：向量垂直的坐标表示】 【知识点：向量垂直的坐标表示】 ⊥ ·＝0 x1x2＋y1y2＝0 [方法技巧] 平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直 第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [提醒]　注意x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．　　 1．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知平面向量，且，则 ． 2．（24-25高三上·北京顺义·期末）已知向量，，若与垂直，则的值为（   ） A． B．0 C． D．2 3．（安徽省阜阳市2024-2025学年高三上学期期末教学质量统测数学试卷）已知向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，.若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，若向量且，则（    ） A． B． C． D．4 7．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）已知，向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高三上·吉林长春·期末）已知向量，，满足，，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 【考点7：向量夹角的坐标表示】 【知识点：向量夹角的坐标表示】 夹角 cos θ＝ cos θ＝ [答案]　(1)D　(2) [方法技巧]　求解两个非零向量之间的夹角的步骤 第一步 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积 第二步 分别求出这两个向量的模 第三步 根据公式cos θ＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值 第四步 根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角 1．（24-25高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 4．（24-25高三上·河北·期中）已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 5．（24-25高二下·河北·期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖南怀化·期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 7．（2025·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 8．（2024·四川眉山·一模）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.4 平面向量的基本定理及坐标运算 【考点1：平面向量的基本定理】 1 【考点2：向量线性运算的坐标表示】 5 【考点3：向量模的坐标表示】 9 【考点4：向量数量积运算的坐标表示】 13 【考点5：向量平行的坐标表示】 17 【考点6：向量垂直的坐标表示】 22 【考点7：向量夹角的坐标表示】 25 【考点1：平面向量的基本定理】 【知识点：平面向量的基本定理】 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2. 其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [方法技巧] 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　　 1．（2024·湖南益阳·一模）在平行四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算求出即可求出. 【详解】由题意如图所示： 因为 ， 所以， 所以， 故选：B. 2．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，取为平面的一个基底，再利用向量的线性运算计算即得. 【详解】正方形ABCD中，M是BC的中点，则，则， 于是，而， 所以. 故选：C 3．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）在中，点在边上，且，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据三点共线得出，再由向量的线性运算得出. 【详解】三点共线，，解得或（舍去）， ， ， 故选：C. 4．（2024·河南商丘·三模）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到，，从而，，得到，得到答案. 【详解】连接DE， 由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则， 故. 又，所以，则. 故选：A 5．（四川省雅安市等8市2024-2025学年高三上学期（12月）第一次诊断性考试数学试题）在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数 ． 【答案】4 【分析】利用定比分点将化简，由平面向量共线定理计算可得结果. 【详解】根据题意可得， 所以， 由与平行可得， 即，又不共线， 所以，解得. 故答案为：4 6．（24-25高三上·安徽·期中）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． (1)令，，用，表示； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的线性运算求解； （2）利用三点共线，三点共线，求得，同时证明是等边三角形，然后把平方可得． 【详解】（1）∵，分别为，的中点， ∴； （2）设， ∵，分别为，的中点， 所以， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得， 即， 由已知与平行且相等，因此是平行四边形， 所以，是等边三角形， 所以． 【考点2：向量线性运算的坐标表示】 【知识点：向量线性运算的坐标表示】 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则： ＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 1．（2025高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定比分点公式求解即可. 【详解】依题意，由定比分点公式得， 所以，即, 所以， 故选:C 2．（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】由向量可得 . 故选：B 3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据定义求出的坐标可得答案. 【详解】，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到 ， 设，则， 解得，即. 故选：C. 4．（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图，    则, 所以， 由可得， 即，解得，所以. 故选：C 5．（2025高三·全国·专题练习）已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算和坐标运算，即可求解. 【详解】 由向量的减法得：，则，， 设，则，， 由，得，解得， 所以. 故选：A. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，以为基底，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量线性运算的性质，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 设与轴正方向相同的单位向量为，与轴正方向相同的单位向量为，则， 设 因为不共线，所以有， 故选：C 【考点3：向量模的坐标表示】 【知识点：向量模的坐标表示】 模 ||＝ ||＝ [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式||＝. (2)若向量，是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式||2＝2＝·，或|±|2＝(±)2＝2±2·＋2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．　　 1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，再求模长. 【详解】因为向量， 所以向量， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据题图写出向量坐标，再进行坐标运算即可. 【详解】根据题图，以题图向量起点为原点，该点横纵方向为轴， 则，，所以， 则. 故选：. 3．（24-25高一下·江西·期中）如图，在梯形中，，，，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】建系后写出点的坐标，再求出向量坐标，最后应用向量模长公式求解即可. 【详解】 如图建系可得, , ,. . 故选:D. 4．（24-25高三上·山西忻州·开学考试）已知向量，，若，则k= . 【答案】 【分析】利用平面向量的坐标运算求得的坐标，根据求模公式建立方程，解出即可. 【详解】因为向量，， 所以， 则， 解得. 故答案为： 5．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可. 【详解】易知 ,故 ，当时，最小， 此时由二次函数性质得，故， 故的最小值为，故A正确. 故选：A 6．（24-25高三下·河南洛阳·开学考试）已知向量．若，则实数（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标运算和模的计算即可求解. 【详解】解析：根据题意，向量，则， 则． 若，则有， 两边平方得到，再平方得到， 解得． 故选：． 7．（2024高一·全国·竞赛）如图，在矩形中放置了如图所示的5个大小相同的正方形，其中，，设，考虑向量与可得正方形边长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形用给定的向量坐标表示出，再借助矩形长宽建立方程组求解即得. 【详解】依题意，，， 由图形观察，得向量的横坐标为7，的纵坐标为8， 即，解得， 所以正方形的边长为. 故选：A    【考点4：向量数量积运算的坐标表示】 【知识点：向量数量积运算的坐标表示】 （1） 向量数量积的坐标表示：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2； （2） 在上的投影向量为=. 1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知向量，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标运算求解. 【详解】，， ， . 故选：B. 2．（24-25高二上·四川德阳·期末）已知，若则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积运算列方程，化简求得的值. 【详解】. 故选：D 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的坐标运算可得，即可利用三角函数的性质求解. 【详解】由题知， 因为，所以，即， 因为，所以． 故选：B. 4．（2024·山东济南·二模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得为的中点，建立直角坐标系利用向量的坐标法即得. 【详解】在线段上，且， . 又为线段上一点，若与的面积相等， ，为的中点. 如图，建立平面直角坐标系，则，，，，， ，， . 故选：D. 5．（多选）（24-25高二上·云南文山·期末）若向量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 【答案】AD 【分析】根据向量坐标形式的数量积定义、投影向量概念和模长、夹角公式直接计算即可判断. 【详解】A，由题，， 所以，故A错误； B，又，故B正确； C，，所以在上的投影向量为，故C正确； D，因为， 又，所以，故D错误. 故选：AD. 6．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量，则 ， ． 【答案】 0 3 【分析】建立坐标系，写出每个向量坐标，转化为坐标运算从而便于求解. 【详解】 不妨以的起点为原点建立如图所示坐标系， 由图可得，，， 则，. 故答案为：0；3. 7．（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求得最值． 【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 【考点5：向量平行的坐标表示】 【知识点：向量平行的坐标表示】 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0，则∥⇔x1y2－x2y1＝0. [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 1．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 . 【答案】 【分析】在梯形中，，．得到，设点D的坐标为，根据向量相等得到方程组，可得答案. 【详解】解：∵在梯形中，，，，，． ∴．设点D的坐标为． 则，． ∴，即， ∴解得故点的坐标为． 故答案为：． 2．（24-25高一·全国·课后作业）已知，则与平行且模为5的向量是 ． 【答案】 【分析】利用向量共线的坐标表示及向量模长公式即得. 【详解】由题设所求向量为， 则， 解得， 故与平行且模为5的向量是. 故答案为： 3．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求向量模长，再分两种情况求单位向量即可. 【详解】, 则与共线的单位向量为或. 故选:D. 4．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）（1）已知点，求证：； （2）已知向量不共线，且，求证：三点共线. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标公式证明，即可得证； （2）利用平面向量共线定理证明，即可得证. 【详解】（1）点， ， ， ，又直线不重合，故； （2）， ，即， 有共同的起点， 三点共线. 5．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故. 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证：（1）； （2）D，M，B三点共线. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证 【详解】以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . （1）因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 7．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，， （1）求点的坐标； （2）求证：四边形为等腰梯形． 【答案】（1）；；（2）证明见解析． 【分析】（1）先根据，，求得B的坐标，再加上向量的坐标即得点C的坐标； （2）利用向量的坐标可得,计算模可得，从而证得. 【详解】解：（1）设，则， ， ， ， ； （2）证明：连接, ，， ，且， 又，， , 四边形为等腰梯形. 【考点6：向量垂直的坐标表示】 【知识点：向量垂直的坐标表示】 ⊥ ·＝0 x1x2＋y1y2＝0 [方法技巧] 平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直 第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [提醒]　注意x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．　　 1．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知平面向量，且，则 ． 【答案】5 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得，进而结合平面向量线性运算及模的坐标表示计算即可. 【详解】由，得， 即，解得， 所以，则， 所以. 故答案为：5. 2．（24-25高三上·北京顺义·期末）已知向量，，若与垂直，则的值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标形式可求的值. 【详解】因为且与垂直， 故，故， 故选：A 3．（安徽省阜阳市2024-2025学年高三上学期期末教学质量统测数学试卷）已知向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】我们先根据向量垂直求出的值，再根据向量模的计算公式求出. 【详解】已知，，则. 因为，即. 即,解得. 由，则.所以. 故选：C. 4．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由数量积的性质等价转化关系，结合充分条件必要条件的定义确定结论. 【详解】由，， 若，则， 解得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 5．（24-25高一下·广东广州·期中）已知向量，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】由向量，，得，， 由，得， 即，所以. 故选：D 6．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，若向量且，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由向量垂直的坐标表示求得，再由向量的模长公式即可求解. 【详解】由题知，又因为，所以，解得， 所以，所以． 故选：A． 7．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）已知，向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合向量垂直关系可得，再利用基本不等式求结论. 【详解】根据题意，向量，， 则，即， 变形可得， 则 又由，则， 当且仅当时等号成立， 则， 则的最小值为 故选：B. 8．（多选）（24-25高三上·吉林长春·期末）已知向量，，满足，，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【分析】根据向量坐标运算及模的定义判断A，根据向量平行可得坐标关系判断B，根据垂直向量的数量积为0判断C，根据投影向量的概念判断D. 【详解】对A，，，，所以，故A错误； 对B，，，当时，，即，故B正确； 对C，，由可得，即，故C正确； 对D，在的投影向量为，故D错误. 故选：BC 【考点7：向量夹角的坐标表示】 【知识点：向量夹角的坐标表示】 夹角 cos θ＝ cos θ＝ [答案]　(1)D　(2) [方法技巧]　求解两个非零向量之间的夹角的步骤 第一步 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积 第二步 分别求出这两个向量的模 第三步 根据公式cos θ＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值 第四步 根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角 1．（24-25高一下·广西玉林·期中）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合向量的坐标运算，根据投影向量公式求得，进而求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦值公式计算即可. 【详解】因为，，所以在上的投影向量为， 故，则，， 所以与夹角的余弦值为． 故选：A 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示列式计算即得. 【详解】向量，，， 由，得，即， 因此，所以. 故选：C 4．（24-25高三上·河北·期中）已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据向量夹角为钝角，可得两向量的数量积小于0且两向量不平行，可求的值. 【详解】由， 由. 所以向量与夹角为钝角时，且. 故选：B 5．（24-25高二下·河北·期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角为锐角列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】若，则，解得． ∵与的夹角为锐角，∴． 又，与的夹角为锐角， ∴，即，解得． 又∵，∴． 故选：B 6．（24-25高三上·湖南怀化·期中）已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据两向量夹角为锐角得且不共线，列出不等式求解即可. 【详解】与的夹角为锐角， 且与不共线， ，解得：且， 故答案为： 7．（2025·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，即可得解. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 在平行四边形中，已知，，，点在边上，， 则、、、，则，， 所以，. 故答案为：. 8．（2024·四川眉山·一模）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线得，列方程组解出，再利用向量垂直的坐标表示证明即可； （2）利用及向量数量积和模长的坐标表示求解即可； （3）利用向量数量积的运算律求解即可 【详解】（1）因为向量与共线，所以， 则，解得， 所以，， 因为， 所以. （2）由（1）得， 所以， 即与夹角的余弦值为. （3）因为，，， 所以，解得. 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $$