2025年中考数学二次函数与特殊四边形专项练习

2025中考二次函数与特殊四边形专项练习 一．解答题（共28小题） 1．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在点左侧，点的坐标为，点的坐标为为． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若点是轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使以、、、为顶点且以为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线交轴于、两点，与直线交于、两点，直线与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）点在直线上方的抛物线上运动，若的面积最大，求此时点的坐标． （3）在平面直角坐标系中，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点的坐标． 3．如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，抛物线过点、，且与轴交于另一个点． （1）求点、的坐标； （2）求该抛物线的表达式及点的坐标； （3）点是线段上一点，过点作直线轴交该抛物线于点，当四边形是平行四边形时，求点的坐标． 4．二次函数的图象过点、，． （1）求此函数的解析式； （2）已知，点、分别在轴正半轴和抛物线上，且使四边形为平行四边形，求满足条件的点坐标． 5．综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，是直线下方抛物线上的一点． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）如图①，连接，，当△的面积最大时，求点的坐标； （3）如图②，抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，是线段上一动点（不与，两点重合），连接，设点的横坐标为，当为何值时，四边形为平行四边形？ 6．如图，抛物线与轴交于、两点点在点左侧），某直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为2． （1）求、两点的坐标及直线的函数表达式； （2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求三角形面积的最大值； （3）点是轴上的一个动点，抛物线上是否存在点，使、、、这四个顶点是以为边的平行四边形？如果存在，请求出满足条件的点坐标；如果不存在，说明理由． 7．如图，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，点是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在直线上方时，连接，，，交于点，令的面积为，的面积为，求的最大值； （3）点是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，一次函数图象与坐标轴交于点、，二次函数图象过、两点． （1）求二次函数解析式； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点是直线下方抛物线上一动点，连接，，当△的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点，使得以为边、以、、、和顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．综合与探究： 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点．直线与抛物线的对称轴交于点．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点，与抛物线的对称轴交于点． （1）求出点，，的坐标，并直接写出直线，的解析式； （2）当△是以为斜边的直角三角形时，求出的值； （3）直线上是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）若点在第一象限运动，当运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值； （3）连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数，且与轴交于点和点，与轴交于点，且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点（点在点的左侧），交轴于点，连接，．是抛物线上一动点． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）在直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积为，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （4）在轴上是否存在一点，平面内有一点，使得四边形为菱形，若存在，请说明理由，并写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 14．如图在平面直角坐标系中已知抛物线交轴于点、，交轴于点． （1）求线段的长； （2）点为第三象限内抛物线上一点，连接，过点作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，以轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点的对应点为点，点为对称后的抛物线对称轴上一点，为平面内一点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，则请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）经过点和点，点在此抛物线上，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在轴下方时，直接写出的取值范围； （3）当点在轴右侧时，将抛物线、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，设图象上最高点与最低点的纵坐标的差为． ①求与之间的函数关系式； ②点在此抛物线的对称轴上，点在坐标平面内，当时，以、、、为顶点的四边形为矩形，且为矩形的一边，直接写出点的坐标． 16．如图，二次函数的图象与轴的交点分别为和，与轴交于点，是直线上方二次函数图象上一动点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标； （3）如图2，设为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标． 17．如图1，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点、为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． 18．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，直线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，分别交直线，于点，． （1）求点，的坐标； （2）当时，连接，求的面积； （3）若点是轴上的一点，当四边形是矩形时，求出点的坐标． 19．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点． （1）求，两点的坐标，并直接写出直线，的函数表达式． （2）过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标． （3）在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，求出的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．有一张轴对称纸片，曲线部分为抛物线，如图1，以抛物线对称轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中点，在轴上，点在轴上，且． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）在纸片中裁剪出一个正方形，如图2，其中点，在该抛物线上，点，在轴上．求点的坐标． 22．如图，抛物线，经过点，轴，垂足为点，，、分别在轴，轴上，在对称轴右侧的抛物线上是否存在两点、，使四边形是正方形？若存在，求出点、的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点在该抛物线的对称轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标； （3）若为的中点，过点作轴于点，为抛物线上一动点，轴于点，为直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标． 24．如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点是直线上方的二次函数图象上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交于点． （1）求二次函数的解析式和点的坐标； （2）连接，交轴于点． ①当时，求点 的坐标； ②连接，四边形有可能是正方形吗？如果有可能，此时的正切值是多少？如果没可能，请说明理由． 25．如图，抛物线与轴交于、两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点，过点作轴的垂线交轴于点，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； （3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，其中，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点作于点，延长与直线交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）若将原抛物线绕原点旋转得到新的抛物线，是新抛物线上的一个动点，是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有的坐标． 28．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点，连接，，△的面积为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作直线轴交直线于点，于点，当时，求的值； （3）抛物线与关于轴对称，若点是抛物线上一点，点在直线上，点在坐标平面内，当四边形是正方形时，请求出点的横坐标． 2025中考二次函数与特殊四边形专项练习 参考答案与试题解析 一．解答题（共28小题） 1．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在点左侧，点的坐标为，点的坐标为为． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若点是轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使以、、、为顶点且以为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分点在轴上方和轴下方，两种情况进行讨论求解． 【解答】解：（1）抛物线过点，， ， 解得： 抛物线的函数关系式为； （2）在抛物线上存在点，使以，，，为顶点且以为一边的四边形是平行四边形．理由： ①如图1，当点在轴下方时，则：， 点的纵坐标为， 令，则， 解得，， 点的坐标为； ②如图2，当点在轴上方时， 平行四边形的对角线分平行四边形为面积相等的两个三角形，点到轴的距离为3， 点到轴的距离为3， 令，则， 解得， ，， 综上可得，在抛物线上存在点，使以，，，为顶点且以为一边的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 2．如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线交轴于、两点，与直线交于、两点，直线与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）点在直线上方的抛物线上运动，若的面积最大，求此时点的坐标． （3）在平面直角坐标系中，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点的坐标． 【分析】（1）令，求出点的坐标，根据抛物线的对称轴是直线，求出点的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设点，利用抛物线与直线相交，求出点的坐标，过点作轴交直线于点，利用，用含的式子表示出的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点的坐标； （3）求出点的坐标，然后求出直线、直线、直线的解析式，再根据以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，得到直线、直线、直线的解析式，即可求出交点坐标． 【解答】解：（1）令，可得：，解得：， 点， 抛物线的对称轴为直线， ，即点， ，解得：， 抛物线的解析式为：； （2）点在直线上方的抛物线上运动， 设点， 抛物线与直线交于、两点， ，解得：，， 点， 如图，过点作轴交直线于点， 点， ， ， 当时，的面积最大， 点，； （3）当时，， 点， 如图，直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， 直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为， 联立得， 同理可得，， 综上所述，符合条件的点的坐标为或或． 3．如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，抛物线过点、，且与轴交于另一个点． （1）求点、的坐标； （2）求该抛物线的表达式及点的坐标； （3）点是线段上一点，过点作直线轴交该抛物线于点，当四边形是平行四边形时，求点的坐标． 【分析】（1）令，求出的值，令，求出的值，从而求出、的坐标； （2）代入、的坐标，从而求得，令，求得点坐标； （3）设、的坐标，表示出长，由求得． 【解答】解：（1）当时，， ， 当时，， ， ； （2）由题意得： ， ， ， 由得： ，， ． （3）作， 设，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， 当时，， ． 4．二次函数的图象过点、，． （1）求此函数的解析式； （2）已知，点、分别在轴正半轴和抛物线上，且使四边形为平行四边形，求满足条件的点坐标． 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，用待定系数法即可求解析式． （2）由四边形为平行四边形可知，四个点的顺序是确定的，无需分类讨论，平行且等于，根据平移的性质，点平移到点的方向和距离与点平移到点是一致的，设点纵坐标为，则能通过平移规律得到用表示的坐标．把的坐标代入抛物线解析式即求出的值，进而求点坐标． 【解答】解：（1）二次函数的图象经过点、， 解得： 二次函数的解析式为 （2）设点坐标为， 四边形是平行四边形 ， 可看作平移得到的线段 向左平移1个单位而，向下平移3个单位得到点 向左平移1个单位而，向下平移3个单位得到点 点在抛物线上 点坐标为 5．综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，是直线下方抛物线上的一点． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）如图①，连接，，当△的面积最大时，求点的坐标； （3）如图②，抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，是线段上一动点（不与，两点重合），连接，设点的横坐标为，当为何值时，四边形为平行四边形？ 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）因为四边形为平行四边形，所以，，即可求解． 【解答】解：（1）对于，当时，， 令， 解得或8， 则，，； 由点、的坐标得，直线的解析式为； （2）过点作轴，交于点， 设，则． 则， 则， 因为，所以当时，△的面积最大，此时点的坐标为； （3）由题意，， 所以，对称轴为， 令，则，所以． 所以， 因为四边形为平行四边形，所以，， 由题意知，则． 所以， 则，解得，（不符合题意，舍去）． 所以当时，四边形为平行四边形． 6．如图，抛物线与轴交于、两点点在点左侧），某直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为2． （1）求、两点的坐标及直线的函数表达式； （2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求三角形面积的最大值； （3）点是轴上的一个动点，抛物线上是否存在点，使、、、这四个顶点是以为边的平行四边形？如果存在，请求出满足条件的点坐标；如果不存在，说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求出函数表达式； （2）根据点在上可设出点的坐标．点坐标可根据已知的抛物线求得．因为都在垂直于轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； （3）由数形集合的方法，画图即可求解． 【解答】解：（1）令，解得或， ，，， 将点的横坐标代入得， ， 直线的函数解析式是； （2）设点的横坐标为， 则、的坐标分别为：， ， 点在点的上方，， 当时，的最大值， 则△的面积的最大值是：； （3）存在，理由： ①如图，连接与抛物线和轴的交点，那么轴，此时，因此点的坐标是， 则点； ②如图，此时，两点的纵坐标互为相反数，因此点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出点的坐标为，， ③如图，同②可求出的坐标为，． 总之，符合条件的的坐标为：，或，或． 7．如图，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，点是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在直线上方时，连接，，，交于点，令的面积为，的面积为，求的最大值； （3）点是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据一次函数得到，代入，于是得到结论； （2）令，解方程得到，，求得，过作轴于，过作轴交于于，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据为边和为对角线，由平行四边形的性质即可得到点的坐标． 【解答】解：（1）令，得， 令，得， ，， 抛物线经过．两点， ， 解得：， ； （2）如图1，过作轴交于，过作轴交于， 令， 解得：，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ； 当时，的最大值是； （3）， 对称轴为直线， 设，，， ①若四边形为平行四边形， 则， ， 解得：，， 的坐标为，； ②若四边形为平行四边形， 则， ， 解得：，， 的坐标为，； ③若四边形为平行四边形， 则， ， 解得：，， 的坐标为，； 综上，的坐标为，或，或，． 8．如图，一次函数图象与坐标轴交于点、，二次函数图象过、两点． （1）求二次函数解析式； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由可求出，，代入二次函数即得二次函数解析式为； （2）由二次函数可得其对称轴为直线，设，，而与关于直线对称，可得， ①当、为对角线时，，可得，此时四边形是平行四边形，根据，，可得，即得此时；②、为对角线时，同理可得；③以、为对角线，同理可得． 【解答】解：（1）在中，令得，令得， ，， 二次函数图象过、两点， ，解得， 二次函数解析式为； （2）存在，理由如下： 由二次函数可得其对称轴为直线， 设，，而， 与关于直线对称， ， ①当、为对角线时，如图： 此时的中点即是的中点，即， 解得， 当，时，四边形是平行四边形， 由，，可得， ， 四边形是菱形， 此时； ②、为对角线时，如图： 同理、中点重合，可得， 解得， 当，时，四边形是平行四边形， 由，，可得， 四边形是菱形， 此时； ③以、为对角线，如图： 、中点重合，可得， 解得， ，时，四边形是平行四边形， 由，，可得， 四边形是菱形， 此时； 综上所述，的坐标为：或或． 9．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点是直线下方抛物线上一动点，连接，，当△的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点，使得以为边、以、、、和顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，，，得出当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【解答】解：（1）交轴于点和点， ， ， ； （2）当时，， ， 过点作轴交于点， ，， ， 设点，， ， ， ， 当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； （3），，，， ①以、为对角线，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线，， ， 或， ，或，； 综上所述：或，或，． 10．综合与探究： 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点．直线与抛物线的对称轴交于点．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点，与抛物线的对称轴交于点． （1）求出点，，的坐标，并直接写出直线，的解析式； （2）当△是以为斜边的直角三角形时，求出的值； （3）直线上是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别求出、、的坐标，再用待定系数法求直线的解析式即可； （2）先求平移后的直线解析式为，则，再由勾股定理可得方程，求出或（舍； （3）先求，，当、为邻边时，与为菱形的对角线，轴，可得，，再将点代入直线的解析式中求出的值，即可求；当为菱形的对角线时，，此时，，再由点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，则，，得到方程，求出的值即可求点坐标． 【解答】解：（1）当时，， 解得或， ，， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）， 抛物线的对称轴为直线， ， 平移后的直线解析式为， ， ，，， △是以为斜边的直角三角形， ， 解得或（舍； （3）存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，理由如下： 直线的解析式为， 直线平移后的函数解析式为， 当时，解得， ，， 抛物线的对称轴为直线， ， 当、为邻边时，与为菱形的对角线， ， 轴， ，， 的中点的纵坐标与中点的纵坐标相同， ， 解得， ； 当为菱形的对角线时，， ，， ， 点向左平移个单位，向上平移个单位得到点， ，， 点在直线上， ， 解得， ，； 综上所述：点坐标为或，． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）若点在第一象限运动，当运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值； （3）连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，求出直线的解析式为，设，得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）设点，交于点，若四边形是菱形，连接，则，，得到方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）将，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为． （2）设， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 设， ， 当时，的面积最大， ， 此时，点的坐标为，的面积最大值为． （3）存在．如图，设点，交于点， 若四边形是菱形，连接，则，， ， 解得，， ，或． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数，且与轴交于点和点，与轴交于点，且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得，， 则点、的坐标分别为：、， 则抛物线的表达式为：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，设点，点， 由、的坐标得，， 当为对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得：， 则点； 当或为对角线时， 由中点坐标公式和或得： 或， 解得：， 则点或， 综上，点的坐标为：或或． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点（点在点的左侧），交轴于点，连接，．是抛物线上一动点． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）在直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积为，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （4）在轴上是否存在一点，平面内有一点，使得四边形为菱形，若存在，请说明理由，并写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）利用三角形的面积公式求解即可； （3）过点作轴的平行线交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，根据，列式计算即可求解； （4）分、为边、当、为边、当为对角线，三种情况讨论，即可求解． 【解答】解：（1）令，则； 令，则， 解得，； ，，， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为； （2）由（1）得，，， ，，的面积为； （3）过点作轴的平行线交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， 依题意得，即， 整理得， 解得，， 点的坐标为或； （4），， ， 当、为菱形的边时， 则点的坐标为或； 当、为菱形的边时，此时， 则点的坐标为； 当为菱形的对角线时，此时， 设点的坐标为， ， 解得， 则点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 14．如图在平面直角坐标系中已知抛物线交轴于点、，交轴于点． （1）求线段的长； （2）点为第三象限内抛物线上一点，连接，过点作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，以轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点的对应点为点，点为对称后的抛物线对称轴上一点，为平面内一点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，则请说明理由． 【分析】（1）对于，当时，，即点，令，则或1，即点，即可求解； （2）证明，进而求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和，列出方程组即可求解；当为对角线时，由中点坐标公式和即可求解． 【解答】解：（1）对于，当时，，即点， 令，则或1，即点， 则； （2）过点作轴于点， ， ， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点的坐标为：，则点， 则， ， 面积的最大值为4，此时点的坐标； （3）存在，理由： 由题意得，点，对称后的抛物线的对称轴为， 故设点，，点， 当为对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点的坐标为：，和点重合，故舍去； 当为对角线时，由中点坐标公式和得： 或， 解得：或， 即点的坐标为：或或，或，． 综上，存在点，其坐标为：或或，或，． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）经过点和点，点在此抛物线上，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在轴下方时，直接写出的取值范围； （3）当点在轴右侧时，将抛物线、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，设图象上最高点与最低点的纵坐标的差为． ①求与之间的函数关系式； ②点在此抛物线的对称轴上，点在坐标平面内，当时，以、、、为顶点的四边形为矩形，且为矩形的一边，直接写出点的坐标． 【分析】（1）将点，代入之中得到关于，的方程组，解方程组求出，即可得到抛物线的解析式； （2）先求出抛物线与轴的两个交点，，再根据抛物线的开口向下可得出当点在轴下方的抛物线上时，的取值范围； （3）①先求出抛物线的点为，对称轴为，点，因此有以下三种情况，讨论如下：（ⅰ）时；（ⅱ）当时；（ⅲ）时，对于每一种情况，求出于的关系式即可； ②由①可知当时，，据此可求出点，再求出直线的解析式为，分两种情况进行讨论：（ⅰ）当点在轴上方时，先求出的解析式，再根据点在抛物线的对称轴上可求出点的坐标；（ⅱ）当点在轴的下方时，先求出的解析式为，再根据点在抛物线的对称轴上可求出点的坐标． 【解答】解：（1）将点，代入， 得：，解得：， 抛物线的解析式为：， （2）对于，当时，，解得：，， 抛物线与轴的两个交点，， 又抛物线的开口向下， 当点在轴下方的抛物线上时，的取值范围是：或． （3）①， 抛物线的点为，对称轴为， 点在轴右侧的抛物线上，且横坐标为， 点的坐标为， 又点， 点关于抛物线对称轴对称的点为； 分三种情况讨论如下： （ⅰ）当，， （ⅱ）当时，； （ⅲ）时，， 综上所述：与之间的函数关系式是：； ②点的坐标为：或． 理由如下： 由①可知：当时，， ，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为：， 将点，代入， 得：，解得：， 直线的解析式为：， 以、、、为顶点的四边形为矩形，且为矩形的一边， 有以下两种情况： （ⅰ）当点在轴上方时，设的解析式为：， ， ， 的解析式为：， 将点代入得：， 的解析式为：， 点在抛物线的对称轴上， 点的横坐标为2， 当是，， 此时点的坐标为， （ⅱ）当点在轴的下方时，设的解析式为：， 同理：的解析式为：， 将点代入得：， 的解析式为：， 当时，， 此时点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 16．如图，二次函数的图象与轴的交点分别为和，与轴交于点，是直线上方二次函数图象上一动点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标； （3）如图2，设为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）当时，此时轴，四边形是矩形，则，得到，即可求解；当时，点在轴上，证明△△，得到，即，即可求解． 【解答】解：（1）把，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）在中，令得， 解得或， ， 由，得直线解析式为， 设，则，，， ， ， 当时，取最大值， 此时，； （3）设，， 设的中点为，， 点、点的中点为， ， 点在坐标轴上， 或， 当时，此时轴， 四边形是矩形， ， ， ； 当时，点在轴上，如图， 过点作轴交于， ， ，， ， △△， ，即， 解得：， 点在直线上方， ， ，则，， 综上所述：点坐标为或，． 17．如图1，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点、为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设，则，进而得到，；再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分两种情况：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴，当为矩形一边时，且点在轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 【解答】解：（1）把和代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）抛物线与轴交于点，令，则， 点的坐标为，设直线的解析式为，把、点的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 点、为直线下方抛物线上的两点，设，则， ，， ，， ， 当时，， ； （3）由题意可得：， 的对称轴为直线， 抛物线与轴交于点． ， ， ，， 当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴，如图3所示： 在的对称轴为直线， ， ，，即点， 点向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点，则点向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到； 当为矩形一边时，且点在轴的上方，如图4所示： 设的对称轴为直线与轴交于， 在的对称轴为直线， ， ， ，即， ，即点， 点向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点，则点向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 综上分析可知，点的坐标为：或． 18．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，直线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，分别交直线，于点，． （1）求点，的坐标； （2）当时，连接，求的面积； （3）若点是轴上的一点，当四边形是矩形时，求出点的坐标． 【分析】（1）把代入抛物线中可得，然后令，再求解方程即可； （2）先求出直线的解析式为，然后由，则，从而得出，得出，，最后根据三角形面积公式即可解答； （3）根据矩形的性质，再结合可得，，由正切的定义可得，设，则，，，由列方程可得的值，从而得点的坐标． 【解答】解：（1）把代入抛物线中得：， 解得， 该抛物线的解析式为． 令，得， 解得，， ，． （2）设直线的解析式为． 把，代入，得 解得 直线的解析式为． 设， 则， ． 由，得， 解得， ，， ， 的面积为． （3）如图：四边形是矩形， ，． ， ． 直线的解析式为， ， ． ，， ，， ． 设，则，，， ． ，， ， 解得， ， ， 点的坐标为． 19．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点． （1）求，两点的坐标，并直接写出直线，的函数表达式． （2）过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标． （3）在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把先根据与轴的交点得到，的坐标，将坐标点代入即可得表达式； （2）设，根据轴，得出，的代数式，再根据为线段的中点，即可求点的坐标； （3）分情况讨论：①当，证明得△，根据比例即可；②当，证明得，根据比例即可． 【解答】解：（1）当时，．解得，． 点在点的左侧， ，， 设直线的表达式为： 将，代入得：， 解得：， 直线的函数表达式为， 同理将，代入，可得直线的函数表达式为． （2）设， 轴， ， ， ， 为线段的中点， ， ． 解得（舍去），， ； （3）存在，点的坐标为或， 分以下三种情况讨论： ①当时，如图，过点作轴于点， 过点作，交的延长线于点． 设，则， ， ． ， ， ． 又， △， ， ，， ，， ， 解得， ， ； ②当时，如图，过点作轴，过点作于点， 过点作交的延长线于点． 设，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 解得， ， ； ③当时，该情况不存在． 综上所述，点的坐标为或． 20．如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，求出的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出即可得到抛物线解析式； （2）根据题意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，从而建立起的函数表达式，最终利用函数法求最值； （3）先通过勾股定理求出点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算的坐标． 【解答】（1）解：设抛物线解析式为， 即， ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）由题意，，则为等腰直角三角形，， 设的解析式为，将与代入得，则， 点在抛物线上，轴交于点， 设，则，，其中， 如图，延长交于点，则， 且由题可知，为等腰直角三角形，由”三线合一“知，， ， ， 由二次函数的性质可得，当时，最大值为，此时，； （3）由平移可求得平移后函数解析式为，与原函数交点； ①以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ，，， ， ， 解得，即， 此时设，，由、、、四点的相对位置关系可得： ，解得：， ； ②同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，即， 此时设，，由、、、四点的相对位置关系可得： ，解得：， ； ③以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，，即，， 此时设，，由、、、四点的相对位置关系可得： ，解得：， ； 设，，由、、、四点的相对位置关系可得： ，解得：， ． 综上所述，点的坐标为或或或． 21．有一张轴对称纸片，曲线部分为抛物线，如图1，以抛物线对称轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中点，在轴上，点在轴上，且． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）在纸片中裁剪出一个正方形，如图2，其中点，在该抛物线上，点，在轴上．求点的坐标． 【分析】（1）设抛物线的表达式为，用待定系数法可得答案； （2）设正方形的边长为，则，，代入可解得或，又，故，． 【解答】解：（1）由题意得，，， 设抛物线的表达式为， 将代入得： ， 解得， ， 抛物线的函数关系式； （2）设正方形的边长为，则，， 点在抛物线上， ， 解得或， ， ， ，． 22．如图，抛物线，经过点，轴，垂足为点，，、分别在轴，轴上，在对称轴右侧的抛物线上是否存在两点、，使四边形是正方形？若存在，求出点、的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】将点代入抛物线，可求点的坐标，根据全等三角形的性质可得，，以为边在抛物线的右侧作正方形，过作轴，过作垂直轴于，不难得出三角形和三角形和三角形都全等，据此可求出，的坐标，然后将两点坐标代入抛物线的解析式中即可判断出、是否在抛物线上． 【解答】解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点、，使四边形是正方形． 把点代入抛物线， 则， 则点坐标为， ， ， ， 以为边在的右侧作正方形，过作于，轴于，可证， ，， 点坐标为，点坐标为． ，当时，；当时，． 、在抛物线上． 故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点、，使四边形是正方形． 23．如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点在该抛物线的对称轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标； （3）若为的中点，过点作轴于点，为抛物线上一动点，轴于点，为直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标． 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分、两种情况，利用等腰三角形腰相等求解即可； （3）计算出，，当以、、、为顶点的四边形是正方形时，则，即可求解． 【解答】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为； （2）由抛物线的表达式知，点，函数的对称轴为直线， 则设点的坐标为， 由点、、的坐标得：， 同理可得：，， 当时，则，解得； 当时，同理可得或0（舍去， 故点的坐标为或或； （3），故点的坐标为， 由点、的坐标得，点， 则点， 设点的坐标为，则点， 则，， 当以、、、为顶点的四边形是正方形时，则， 即， 当时，解得， 当时，解得， 故点的坐标为，或，或，或，． 24．如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点是直线上方的二次函数图象上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交于点． （1）求二次函数的解析式和点的坐标； （2）连接，交轴于点． ①当时，求点 的坐标； ②连接，四边形有可能是正方形吗？如果有可能，此时的正切值是多少？如果没可能，请说明理由． 【分析】（1）将点，点代入函数解析式中，即可求出和，得出二次函数解析式，当时，求出的值，得出点的坐标； （2）①求出的解析式，证明，通过解方程得出点的坐标；②先证明四边形是矩形，再得出当四边形是正方形时，的值，求出的正切值． 【解答】解：（1）二次函数的图象经过，， ， 解得， 二次函数的解析式为， 令，则， 解得，， ； （2）①，， 设直线的解析式为，代入，得，解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ，，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 解得（舍去）或， 点的坐标为； ②由①得， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， ， 解得， ，， ． 25．如图，抛物线与轴交于、两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点，过点作轴的垂线交轴于点，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： 设点， 当四边形是正方形，则， 而， ， 解得：（舍去）或或， 则点，或，． 26．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； （3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； （3）先求得直线的解析式为，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，证明△△，推出．，设，则，，由点在直线上，列式计算，可求得的值，利用平移的性质即可求解．当沿着点逆时针旋转得到，设，则点，然后表示出、的坐标，再代入一次函数即可解答． 【解答】解：（1）抛物线经过点和， 解得， 抛物线的解析式为； （2）点和． 设直线的解析式为，则， 解得． 直线的解析式为， 设，且，则， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 依题意得． 解得（舍去）或． ， （3）令，则， 解得或． ． 设直线的解析式为，将，代入， 解得，， 直线的解析式为， 四边形是正方形， ，，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，如图， ，． △△． ，． 设， 当点在轴左侧，轴下方时， 则，． ，， 点在直线上， ． 解得或（舍去）， 当时，，，，， 点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点， 则点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点， 当点在轴左侧，轴上方时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、， 则，． ，，点在直线上， ， 解得：（舍去），， ，，， 同理可得：，； 当点在轴右侧，轴下方时，作轴，轴，如图： 设，则点，则点， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为，； 当点在轴右侧，轴上方时，作轴，轴，如图： 则，， ，， 点在直线上，， 解得：，（舍去）， ，， 点的坐标为； 综上，点的坐标为，或，或，或． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，其中，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点作于点，延长与直线交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）若将原抛物线绕原点旋转得到新的抛物线，是新抛物线上的一个动点，是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有的坐标． 【分析】（1）根据题意得：，即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）证明△△，得到，．则点的坐标为或，，再分类求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得：， 抛物线的解析式为； （2）过点作直线于，交直线于， 轴， ， 抛物线与轴交于、两点，其中，与轴交于点． 令，则，解得，，令，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， 直线， ， ， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 设直线交轴于，，则， ， ，， ， 的最大值为，此时点的坐标为，； （3）如图， 根据旋转得抛物线过点，，， ， 设， 四边形为正方形， ，， ， 过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， △△， ，． ， 点的坐标为或，， ①当点的坐标为时， ，，，四边形为正方形， 点的坐标为； ②当点的坐标为时， ，，，四边形为正方形， 点的坐标为； 综上，存在，点的坐标为或． 28．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点，连接，，△的面积为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作直线轴交直线于点，于点，当时，求的值； （3）抛物线与关于轴对称，若点是抛物线上一点，点在直线上，点在坐标平面内，当四边形是正方形时，请求出点的横坐标． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据面积求出，将点代入函数解析式即可求的值，从而确定函数解析式即可； （2）由题可知，再分别求出，，，则，，根据，建立方程求出的值即可； （3）由对称性可求，分类讨论，①当点在轴下方，点在轴上方时，过作轴，过点作交于点，过点作交于点，证△△，从而得到，，代入抛物线求解即可；②当点在轴下方，点在轴下方时，同理可得，，代入抛物线求解即可；③当点和点均在轴上方时，同理可得，，代入抛物线求解即可；④当点在轴上方，点 在轴下方时，同理可得，，代入抛物线求解即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为， 、的中点为，， ， △的面积为， ， 解得， ， 将点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）点的横坐标为， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 轴， ， 轴， ，， ，， ， ， 解得或， ， 或或； （3）抛物线与关于轴对称， ， ①当点在轴下方，点在轴上方时，过作轴，过点作交于点，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， △△， ，， 设，，， ，， ，， 将点坐标代入抛物线解析式得，， 解得或（舍去）， ， 点的横坐标为； ②当点在轴下方，点在轴下方时， 同理可得，， ， 解得（舍或， 此时， 点的横坐标为； ③当点和点均在轴上方时， 同理可得，， ， 解得或（舍去）， ， 点的横坐标为； ④当点在轴上方，点 在轴下方时， 同理可得，， ， 解得（舍去）或， 此时， 点的横坐标为； 综上所述：点横坐标为或或或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/17 14:51:19；用户：姚书凯；邮箱：13940562786；学号：21341916 第81页（共82页） 学科网（北京）股份有限公司 $$