第9章 平面向量 易错训练与压轴训练（4易错+4压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第9章 平面向量 易错训练与压轴训练 01 目录 目录 易错题型一 忽视了零向量 1 易错题型二 忽视了向量数量积运算不满足结合律 3 易错题型三 忽视了向量求模要开根号 5 易错题型四 两个向量成锐角（或钝角）忽视排除共线的情况 6 压轴题型一 平面向量数量积（最值，范围） 9 压轴题型二 平面向量数量积（极化恒等式法） 14 压轴题型三 向量模（最值，范围） 19 压轴题型四 平面向量共线定理推论 22 02 易错题型 易错题型一 忽视了零向量 例题1：（23-24高一下·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、平面向量的概念与表示 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 故选：C 例题2：（多选）（23-24高一下·湖北·期中）下列叙述中错误的是（    ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】BC 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据向量的定义即可判断B；根据零向量与任意向量共线即可判断C；根据单位向量的定义即可判断D. 【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确； 对于B，向量无法比较大小，故B错误； 对于C，若是零向量，则不成立，故C错误； 对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同且模长为1的单位向量，故D正确． 故选：BC． 巩固训练 1．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平面向量的概念与表示、平行向量（共线向量） 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为 .（填序号） 【答案】②③ 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据平行向量的概念可判断①；根据单位向量的概念可判断②；根据相等向量的概念可判断③. 【详解】若，则向量不一定与向量平行，故①不正确； 单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点时， 终点都在以为圆心，1为半径的圆上，故②正确； 在菱形中，，与方向相同，故，故③正确. 故答案为：②③. 易错题型二 忽视了向量数量积运算不满足结合律 例题1：（多选）（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】用定义求向量的数量积、向量数乘的有关计算、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】选项A，利用数乘向量的定义知，，即可求解；选项B，由数乘向量及数量积的定义，即可求解；选项C，由数量积的定义即可求解；选项D，利用向量数量积的运算律，即可判断出选项D的正误. 【详解】对于A，因为，故A错误， 对于B，因为表示与共线的向量，表示与共线的向量， 但与不一定共线，故B错误， 对于C，因为，则，故C正确， 对于D，由数量积的运算知，故D正确. 故选：AB. 例题2：（多选）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）下列关于平面向量的说法中错误的是（    ） A．设，为非零向量，若，则 B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 C．设，， 为非零向量，则 D．若点为的外心，则 【答案】BCD 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、向量加法法则的几何应用、向量夹角的计算 【分析】利用向量的运算结合数量积公式即可判断选项ABC，结合向量的线性运算即可判断D. 【详解】对于A，若， 则，可得， 又，为非零向量，所以，A正确； 对于B，若，且，为非零向量， 所以，夹角为锐角或者同向，B错； 对于C，与共线，与共线，C错； 对于D，若点为的重心， 延长交于，可得为中点， 即有， 即有， 而为的外心，与重心性质不符，D错.    故选：BCD 巩固训练 1．（多选）（23-24高一下·河南周口·阶段练习）关于平面向量，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【知识点】数量积的运算律 【分析】由向量数量积的定义和运算律，对选项逐一进行判断即可. 【详解】对于A、B，根据向量的运算法则，及分配律，易知A、B正确； 对于C，当反向且都与垂直时满足题设，但，故C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，故D错误. 故选：CD. 2．（多选）（23-24高一下·浙江台州·期中）关于同一平面内的任意三个向量，下列四种说法错误的有（   ） A．若，且，则 B． C．若，则或 D． 【答案】ACD 【知识点】向量加法法则的几何应用、平行向量（共线向量）、数量积的运算律、向量减法法则的几何应用 【分析】若向量时，结合零向量的性质，可得判定A错误；根据向量模的三角不等式，可判定B正确；根据向量模的概念，可判定C错误；根据向量的数量积的运算不满足结合律，可判定D错误. 【详解】对于A中，若向量时，此时且，但不一定成立，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，若，但向量与不一定是共线同向或反向，所以C错误； 对于D中，由向量的数量积的运算不满足结合律，所以D错误. 故选：ACD. 易错题型三 忽视了向量求模要开根号 例题1：（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、向量夹角的计算、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由计算可得结果. 【详解】由可得 ， 所以. 故选：A. 例题2：（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知单位向量，的夹角为，则 ． 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】根据，结合题目条件计算即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：. 巩固训练 1．（2024·浙江宁波·一模）向量，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】利用，结合数量积的运算法则求解. 【详解】因为. 因为，所以. 故选：C 2．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】垂直关系的向量表示、已知模求数量积、已知数量积求模 【分析】首先根据向量的垂直关系得到，然后再将向量的模长转化为向量的数量积进行求解即可. 【详解】由，可知，得：，故. 再由，可得：， 将代入，可得：，解得：. 故选：B 易错题型四 两个向量成锐角（或钝角）忽视排除共线的情况 例题1：（23-24高一下·天津南开·开学考试）与的夹角为锐角，的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用数量积求参数、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】若向量与的夹角为锐角， 则且向量与不平行， ，得， 当向量与平行时，， 所以的取值范围为. 故答案为： 例题2：（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)； (2)若，求实数； (3)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)且 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算、已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】（1）利用数量积定义求，结合向量的模的性质和数量积运算律求； （2）根据向量垂直关系列方程，结合数量积运算律化简方程可求； （3）根据数量积性质由条件列不等式求的范围. 【详解】（1）∵， ∴， ∴ （2）∵, ∴ ，得 （3）由已知，且与不共线， 由可得，， 所以， 若与共线，则可得， 所以， 所以由与不共线可得， 所以且， 所以的取值范围为，且. 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏盐城·期中）设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】根据题意可知且不共线，结合向量的坐标运算列式求解. 【详解】因为的夹角为钝角，则且不共线， 可得，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，与的夹角为，当向量与的夹角为锐角时，求实数的取值范围. 【答案】. 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】由向量夹角为锐角等价于向量的数量积大于0且不同向共线，建立不等式，解不等式即可得解. 【详解】因为，，与的夹角为 所以， 因为与的夹角为锐角， 所以，即 所以，即，得 易知当时，与夹角为0°，所以， 综上所述，. 03 压轴题型 压轴题型一 平面向量数量积（最值，范围）　 例题1：（23-24高一下·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】向量与几何最值 【分析】作出图形，由图可得点在上运动，取的最大值，当在上运动，取的最小值，求得相应最值即可. 【详解】分别过，作的垂线，垂足为，，且，， 因为点在正八边形上运动，所以在上的投影向量的起点为，终点在线段上移动， 则当点在上运动，取的最大值，为， 则当点在上运动，取的最小值，为， 所以的取值范围是 故答案为： 例题2：（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】向量与几何最值、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】引入参数，利用向量数量积的运算律将所求式子表示为的函数即可求解. 【详解】连接，，，因为，为，的中点， 所以四边形为矩形，则，，． 设，则 ，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 例题3：（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知等边三角形的边长为4，为边的中点，是边上的动点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】向量与几何最值、数量积的坐标表示、数量积的运算律 【分析】取线段的中点，连接，以点为原点，、所在的直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，则，利用二次函数的基本性质结合平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【详解】取线段的中点，连接，则， 以点为原点，、所在的直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，设点，则， ，， 所以，， 因为函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，， 又因为，，所以，， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高一下·河南周口·期末）已知等边三角形的边长为2，点分别为边上不与端点重合的动点，且，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】向量与几何最值、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】根据向量线性运算，结合数量积的运算律可得，即可利用二次函数的性质求解最值. 【详解】设，其中，则 ，所以当时，取得最大值. 故答案为： 2．（23-24高一下·福建漳州·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形内角和为，若，则的值为 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量、向量与几何最值、用定义求向量的数量积、用基底表示向量 【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，得到方程组，求出，由投影向量的定义可知当在线段上时，取的最大值，当在线段上时，取的最小值，得到答案. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 设正八边形的边长为2， 则， ， 由得， 即，解得， 故； 由投影向量可知，当在线段上时，取的最大值， 最大值为， 当在线段上时，取的最小值， 最小值为， 故的取值范围是. 故答案为：， 3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国､各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF.已知正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 【答案】3 【知识点】向量与几何最值、用定义求向量的数量积 【分析】由已知，作，由正六边形的性质得，再由数量积公式，结合图形，当在处时，最大，计算可得答案. 【详解】由已知，正六边中，得， 作，垂足为， 要使最大，必须让， 所以， 如图可知，当在处时，最大，从而最大， 此时， 所以的最大值是3.      故答案为：3. 压轴题型二 平面向量数量积（极化恒等式法）　 例题1：（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 . 【答案】 6 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】易知正方形与正方形的中心为，然后将涉及到的向量用或来表示，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为， 所以，， 则； ， 显然，当为的中点时，， 所以 故答案为：6；． 例题2：（2024高三·全国·专题练习）正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆与分别交于于两点，若为劣弧上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】向量与几何最值 【分析】结合图形，可引入坐标运算，或者极化恒等式对待求表达式进行化简处理后即可求解. 【详解】解法1：建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设， 则，， ， 其中为某确定的锐角，， 故当时， 取得最小值为. 解法2：设中点为，由极化恒等式，， 由图可知， 所以. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为 . 【答案】6 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】取的中点，连接，，计算，求出，得出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】取的中点，连接，，，如图所示： 因为为中点，所以， 所以， 因为，所以最大值为； 所以的最大值为. 故答案为：6． 2．（23-24高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ． 【答案】3 【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的运算律、数量积的坐标表示、向量与几何最值 【分析】取中点，连接，根据和求出的表达式即可求解. 【详解】      如图，取中点，连接， ， ， 两式相减得 ， 要使有最大值，则最小， 当时，， 所以的最大值为. 故答案为：3. 3．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】利用向量的数量积运算即可求解. 【详解】因为正方形的边长为4，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 由于，，， 所以， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 压轴题型三 向量模（最值，范围）　 例题1：（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量与几何最值、轨迹问题——圆 【分析】根据题意建立直角坐标系，设，写出坐标，可得点的轨迹方程，进而可求出的最大值. 【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系， 设， 则， 故， ， 即； 故点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动， 所以的最大值为. 故选：D. 例题2：（23-24高三上·北京海淀·期中）在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标计算向量的模、向量与几何最值 【分析】根据向量的坐标运算即可得，进而将可看作是点到点的距离，即可求解. 【详解】以为圆心，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于所以， 由于点在，不妨设 ，, ，其中， , 所以， 可看作是上的点到点的距离， 由于点在线段上运动， 故当点运动到点时，此时距离最大，为, 当点运动到点时，此时距离最小为0， 综上可知：， 故选：A    巩固训练 1．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、向量与几何最值 【分析】根据圆的几何性质、向量运算以及向量绝对值三角不等式，求得答案. 【详解】连接，如下图所示： 因为 ，则为圆 O 的一条直径，故 O 为的中点， 所以 ， 所以 . 当且仅当 M 、O 、C 共线且 、 同向时，等号成立， 因此， 的最大值为 故选：C. 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量与几何最值 【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解即可． 【详解】等腰梯形ABCD中，，，， 故梯形的高为， 根据题意，以为坐标原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 则，，设，其中， ， 则， 则， 则当时，取得最小值27， 则的最小值． 故答案为：． 3．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面四边形中，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示、向量与几何最值 【分析】建立如图平面直角坐标系，设，利用垂直关系和模得坐标表示可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】以A为原点建立如图平面直角坐标系， 设，由， 得，所以， 故，又， 所以，则，即， 所以， 当时，. 故答案为： 压轴题型四 平面向量共线定理推论　 例题1：（2024·河南许昌·三模）在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点A、E、D共线得，，再根据“1”的代换,运用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为，，所以， 由A，E，D三点共线可得，且， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 例题2：（23-24高一下·广西·阶段练习）已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论 【分析】利用平面向量基本定理得到，然后由三点共线得到系数和为1，解出，用基本不等式求解最小值. 【详解】如图所示： 因为，所以 又，所以 ，所以 , 三点共线，，化简得； ，当且仅当，，取等； 故答案为：. 巩固训练 1．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】    设的中点为，连接，则， 故即，故为的中点， 因为三点共线，故存在实数，使得， 故，而， 因为不共线，故即， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：C. 2．（23-24高一下·湖南·期中）的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式求和的最小值、用基底表示向量 【分析】利用向量线性运算，结合三角形重心的性质及共线向量定理的推论得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】由O为的重心，得延长线必过的中点， 则，由，，得，， 即，又E，O，F三点共线，因此， 即，又，则， 即，当且仅当时取等号， 则xy的最小值是. 故选：C 3．（2024·宁夏银川·模拟预测）在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论、用基底表示向量 【分析】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为. 【详解】如下图所示： 因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 平面向量 易错训练与压轴训练 01 目录 目录 易错题型一 忽视了零向量 1 易错题型二 忽视了向量数量积运算不满足结合律 2 易错题型三 忽视了向量求模要开根号 3 易错题型四 两个向量成锐角（或钝角）忽视排除共线的情况 3 压轴题型一 平面向量数量积（最值，范围） 4 压轴题型二 平面向量数量积（极化恒等式法） 5 压轴题型三 向量模（最值，范围） 6 压轴题型四 平面向量共线定理推论 7 02 易错题型 易错题型一 忽视了零向量 例题1：（23-24高一下·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 例题2：（多选）（23-24高一下·湖北·期中）下列叙述中错误的是（    ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 巩固训练 1．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 2．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为 .（填序号） 易错题型二 忽视了向量数量积运算不满足结合律 例题1：（多选）（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2：（多选）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）下列关于平面向量的说法中错误的是（    ） A．设，为非零向量，若，则 B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 C．设，， 为非零向量，则 D．若点为的外心，则 巩固训练 1．（多选）（23-24高一下·河南周口·阶段练习）关于平面向量，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 2．（多选）（23-24高一下·浙江台州·期中）关于同一平面内的任意三个向量，下列四种说法错误的有（   ） A．若，且，则 B． C．若，则或 D． 易错题型三 忽视了向量求模要开根号 例题1：（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 例题2：（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知单位向量，的夹角为，则 ． 巩固训练 1．（2024·浙江宁波·一模）向量，满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．3 D． 易错题型四 两个向量成锐角（或钝角）忽视排除共线的情况 例题1：（23-24高一下·天津南开·开学考试）与的夹角为锐角，的取值范围为 ． 例题2：（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)； (2)若，求实数； (3)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏盐城·期中）设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 . 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，与的夹角为，当向量与的夹角为锐角时，求实数的取值范围. 03 压轴题型 压轴题型一 平面向量数量积（最值，范围）　 例题1：（23-24高一下·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 例题2：（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为 ． 例题3：（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知等边三角形的边长为4，为边的中点，是边上的动点，则的取值范围为 ． 巩固训练 1．（23-24高一下·河南周口·期末）已知等边三角形的边长为2，点分别为边上不与端点重合的动点，且，则的最大值为 . 2．（23-24高一下·福建漳州·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形内角和为，若，则的值为 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的取值范围为 ． 3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国､各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF.已知正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 压轴题型二 平面向量数量积（极化恒等式法）　 例题1：（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 . 例题2：（2024高三·全国·专题练习）正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆与分别交于于两点，若为劣弧上的动点，则的最小值为 . 巩固训练 1．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为 . 2．（23-24高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ． 3．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为 . 压轴题型三 向量模（最值，范围）　 例题1：（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高三上·北京海淀·期中）在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 3．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面四边形中，，则的最小值为 ． 压轴题型四 平面向量共线定理推论　 例题1：（2024·河南许昌·三模）在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高一下·广西·阶段练习）已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为 ． 巩固训练 1．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南·期中）的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（    ） A． B． C． D．4 3．（2024·宁夏银川·模拟预测）在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． / 学科网（北京）股份有限公司 $$