第01讲 正弦、余弦、正切、余切（6大知识点+5种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第01讲 正弦、余弦、正切、余切 课程标准 学习目标 1. 弧度制 2. 扇形弧长与面积 3. 单位圆 4. 正弦、余弦、正切及余切的定义 5. 同角三角公式 6. 诱导公式 1.理解任意角的概念．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．掌握终边相同角的含义及其表示．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3.了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 4．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点) 6.借助单位圆理解任意角三角比(正弦、余弦、正切、余切)的定义．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用。会利用同角三角比的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(重点、难点) 6．掌握任意角三角比(正弦、余弦、正切、余切)在各象限的符号．(易错点) 7.了解诱导公式的推导方法． 8．能够准确记忆诱导公式．(重点、易混点) 9．掌握诱导公式并能灵活应用．(难点) 知识点01.弧度制 弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制． 1.角度与弧度的换算：弧度 弧度，弧度 2.应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系 角度 弧度 3.象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合： 【即学即练1】（23-24高一上·上海·期末）角顺时针旋转后所得角的弧度数是 . 【即学即练2】（22-23高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 知识点02扇形弧长与面积 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为 扇形的弧长，扇形的面积. 【即学即练3】（23-24高一下·上海黄浦·期末）若扇形的圆心角为，半径为4，则其弧长为 ． 【即学即练4】（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为 ． 【即学即练5】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 知识点03单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 知识点04 正弦、余弦、正切及余切的定义 在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 【即学即练6】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角的终边上的一点，则 . 知识点05 同角三角公式： （1）平方关系： （2）商数关系：；； （3）倒数关系：； 【注意】（1）“同角”的概念与角的表达形式无关，如：，. （2）利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，应尽可能少用，若使用时，要注意讨论符 号. 【即学即练7】（23-24高一下·上海松江·期末）若，则 ． 【即学即练8】（23-24高一上·上海·期末）设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【即学即练9】（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知，求角的正弦和余弦值． 知识点06诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 【即学即练10】（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 【即学即练11】（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【即学即练12】（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 题型一：任意角与弧度的有关概念 1．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）当手表比标准时间慢10分钟时，只需将分针旋转 弧度就可以调节准确 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 4．（23-24高一下·上海·期中）在0到范围内，与角终边相同的角是 . 5．（22-23高一下·上海长宁·期末）将弧度化为角度：弧度= °． 6．（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 7．（23-24高一上·上海·期末）设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值为 ． 8．（23-24高一上·上海·期末）设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值是 （填写序号） ①         ②       ③         ④0 题型二：扇形弧长公式与面积公式的应用 9．（24-25高一上·上海奉贤·期末）下图①为一窗子，设此窗子所在的扇形半径为（下图②．已知，圆心角为，且为的中点，则该窗子的面积为 ． 10．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad，则扇形的弧长是 cm． 11．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 12．（23-24高一上·上海·期末）已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为 . 13．（23-24高一上·上海·期末）已知某扇形的弧长为厘米，半径为厘米，则该扇形的圆心角的弧度数为 ． 14．（23-24高一上·上海·期末）已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为 . 15．（23-24高一上·上海奉贤·期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条与的夹角为，的长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为 . 16．（23-24高一下·上海·期中）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是 ． 题型三：利用同角三角基本关系化简求值 17．（23-24高一下·上海松江·期末）若，则 ． 18．（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 19．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 题型四：利用诱导公式化简求值 20.（23-24高一下·上海·开学考试）化简的结果为（    ） A． B．1 C． D． 21．（22-23高一下·上海浦东新·期末）化简 . 22．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 23．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 题型五：利用诱导公式与同角三角关系求值 24．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 25．（22-23高一上·上海浦东新·期末）化简下列各式： (1)； (2). 26．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）设，求的值． 一、填空题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知扇形的弧长为4cm，面积为，则该扇形的圆心角的大小为 . 2．（22-23高一下·上海嘉定·期中）与角终边重合的角的集合是 . 3．（22-23高一下·上海浦东新·期中）在单位圆中，圆心角为的弧长为 ． 4．（22-23高一下·上海长宁·期末）将弧度化为角度：弧度= °． 5．（23-24高一下·上海·期中）在0到范围内，与角终边相同的角是 . 6．（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 7．（23-24高一下·上海黄浦·期中）当手表比标准时间慢10分钟时，只需将分针旋转 弧度就可以调节准确 8．（23-24高一上·上海·期末）方程的解是 . 9．（23-24高一上·上海·期末）已知角的终边过点，且，则角的弧度数是 . 10．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知，则的值等于 ； 11．（22-23高一下·上海浦东新·期中）集合 ． 12．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知，则的值为 ； 二、单选题 13．（22-23高一下·上海嘉定·期中）对于诱导公式中的角，下列说法正确的是（    ） A．一定是锐角 B．是使公式有意义的任意角 C．一定是正角 D． 14．（23-24高一上·上海·期末）设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 15．（22-23高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 三、解答题 17．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴． (1)若角的终边过点，求的值； (2)若，求的值． 18．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知. (1)求； (2)若角为第二象限角，且，求的值. 19．（22-23高一上·上海杨浦·期末）已知、是关于的方程的两个根. (1)求实数的值， (2)求的值. 20．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角始边与轴的正半轴重合，终边与一次函数的图像交于点. (1)当时，求的值； (2)若，求点的坐标. 21．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 正弦、余弦、正切、余切 课程标准 学习目标 1. 弧度制 2. 扇形弧长与面积 3. 单位圆 4. 正弦、余弦、正切及余切的定义 5. 同角三角公式 6. 诱导公式 1.理解任意角的概念．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．掌握终边相同角的含义及其表示．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3.了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 4．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点) 6.借助单位圆理解任意角三角比(正弦、余弦、正切、余切)的定义．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用。会利用同角三角比的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(重点、难点) 6．掌握任意角三角比(正弦、余弦、正切、余切)在各象限的符号．(易错点) 7.了解诱导公式的推导方法． 8．能够准确记忆诱导公式．(重点、易混点) 9．掌握诱导公式并能灵活应用．(难点) 知识点01.弧度制 弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制． 1.角度与弧度的换算：弧度 弧度，弧度 2.应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系 角度 弧度 3.象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合： 【即学即练1】（23-24高一上·上海·期末）角顺时针旋转后所得角的弧度数是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】任意角的概念、弧度的概念 【分析】根据角的定义即可求解. 【详解】角顺时针旋转后所得角为， 故答案为： 【即学即练2】（22-23高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】根据象限角的概念判断即可. 【详解】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误. 故选：C. 知识点02扇形弧长与面积 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为 扇形的弧长，扇形的面积. 【即学即练3】（23-24高一下·上海黄浦·期末）若扇形的圆心角为，半径为4，则其弧长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】代入弧长公式，即可求解. 【详解】扇形弧长. 故答案为： 【即学即练4】（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形面积公式求解即可. 【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角.则该扇形的面积为. 故答案为： 【即学即练5】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】借助扇形面积公式与弧长公式计算即可得. 【详解】设该扇形半径为，弧长为，圆心角为，面积为， 则，即，即， 又，则. 故答案为：. 知识点03单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 知识点04 正弦、余弦、正切及余切的定义 在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 【即学即练6】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角的终边上的一点，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用三角函数的定义即可求解. 【详解】因为钝角的终边上的一点，所以，则，故， 故答案为： 知识点05 同角三角公式： （1）平方关系： （2）商数关系：；； （3）倒数关系：； 【注意】（1）“同角”的概念与角的表达形式无关，如：，. （2）利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，应尽可能少用，若使用时，要注意讨论符 号. 【即学即练7】（23-24高一下·上海松江·期末）若，则 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】将分式中的分子分母同时除以即弦化切即可求解. 【详解】由题. 故答案为：. 【即学即练8】（23-24高一上·上海·期末）设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用平方关系求参数、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由解得或，然后对、分别进行讨论，即可得出结果. 【详解】因为，，且， 所以，解得或， 若，则，，此时所在象限是第四象限； 若，则，，此时所在象限是第二象限， 所以为第二象限或第四象限角. 故选：C. 【即学即练9】（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知，求角的正弦和余弦值． 【答案】,或， 【难度】0.85 【知识点】由条件等式求正、余弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用同角三角函数关系式联立方程组解出即可. 【详解】由，① 又，② 由①得：代入②有 ， 所以， 即， 当时，， 当时，. 知识点06诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 【即学即练10】（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】正切函数的诱导公式、诱导公式二、三、四 【分析】直接利用诱导公式计算即可. 【详解】根据诱导公式知：. 故答案为：2. 【即学即练11】（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】/0.4 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据诱导公式和弦化切即可得到答案. 【详解】， 则， 故答案为：. 【即学即练12】（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意知，因为角的终边与角的终边关于直线对称， 则， 故答案为： 题型一：任意角与弧度的有关概念 1．（23-24高一下·上海·期末）在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（  ）. A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角、任意角的概念 【分析】根据题意得到，即可求解. 【详解】由题意，角和的终边关于y轴对称， 则. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）当手表比标准时间慢10分钟时，只需将分针旋转 弧度就可以调节准确 【答案】 【难度】0.94 【知识点】任意角的概念、角度化为弧度 【分析】根据角的定义和弧度制和角度制的转化即可. 【详解】由题意，分针需要顺时针旋转，即弧度数为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 【答案】一 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据终边相同的角的性质即可求解. 【详解】由于，且为第一象限角， 故的角属于第一象限角， 故答案为：一 4．（23-24高一下·上海·期中）在0到范围内，与角终边相同的角是 . 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边相同的角的表达，结合题目中取值范围，可得答案. 【详解】与角终边相同的角的集合为， 取，可得． 在0到范围内，与角终边相同的角是. 故答案为：. 5．（22-23高一下·上海长宁·期末）将弧度化为角度：弧度= °． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】弧度化为角度 【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解. 【详解】. 故答案为： 6．（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可. 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：B. 7．（23-24高一上·上海·期末）设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数关系的判断、函数图象的应用、弧度的概念 【分析】画出函数的图像，由图可知，当函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，曲线不是一个函数的图像，由此求出答案. 【详解】画出函数的图像，如图，在轴正半轴上取一点，则， 由图可知，当函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，旋转所得的图像与垂直于轴的直线就有两个交点，曲线不是一个函数的图像， 故的最大值是 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海·期末）设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值是 （填写序号） ①         ②       ③         ④0 【答案】② 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断、弧度的概念 【分析】先阅读理解题意，则问题可转化为圆上有12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，再结合函数的定义逐一检验即可. 【详解】由题意可得，问题可转化为圆上有12个点为一组， 每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合， 则通过代入和赋值的方法，当时，此时得到圆心角为， 然而此时或时，都有2个与之对应， 根据函数的定义，自变量与应变量只能“一对一”或“多对一”，不能“一对多”， 因此，只有当时，此时旋转，满足一个对应一个， 所以的可能值只能是. 故答案为：② 题型二：扇形弧长公式与面积公式的应用 9．（24-25高一上·上海奉贤·期末）下图①为一窗子，设此窗子所在的扇形半径为（下图②．已知，圆心角为，且为的中点，则该窗子的面积为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算得解. 【详解】依题意，， 所以该窗子的面积为（）. 故答案为： 10．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad，则扇形的弧长是 cm． 【答案】10 【难度】0.94 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据弧长的定义求解即可. 【详解】由题意，弧长是cm. 故答案为：10 11．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】借助扇形面积公式与弧长公式计算即可得. 【详解】设该扇形半径为，弧长为，圆心角为，面积为， 则，即，即， 又，则. 故答案为：. 12．（23-24高一上·上海·期末）已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为 . 【答案】25 【难度】0.85 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】由扇形的弧长公式及面积公式即可求得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，面积为， 则，所以该扇形的面积为. 故答案为：. 13．（23-24高一上·上海·期末）已知某扇形的弧长为厘米，半径为厘米，则该扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】弧长的有关计算 【分析】利用扇形的弧长、圆心角以及半径三者之间的关系可求得该扇形圆心角的弧度数. 【详解】因为扇形的弧长为厘米，半径为厘米，则该扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 14．（23-24高一上·上海·期末）已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】利用扇形的弧长及面积公式带入即可. 【详解】扇形面积， 解得. 再通过弧长公式. 故答案为： 15．（23-24高一上·上海奉贤·期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条与的夹角为，的长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】依题意可知求得大、小两部分扇形面积相减即可得出贴纸部分的面积. 【详解】易知整个扇形纸扇完全打开后的面积为， 未贴纸部分的扇形半径的长为，该部分面积为； 所以贴纸部分的面积为. 故答案为： 16．（23-24高一下·上海·期中）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是 ． 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算 【分析】易得每次旋转的轨迹都为圆的一部分，算出每次旋转的圆心角和半径即可求出答案. 【详解】第一次是以为旋转中心， 以为半径旋转， 此次点走过的路径是. 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是. 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是， 点三次共走过的路径是. 故答案为:. 题型三：利用同角三角基本关系化简求值 17．（23-24高一下·上海松江·期末）若，则 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】将分式中的分子分母同时除以即弦化切即可求解. 【详解】由题. 故答案为：. 18．（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）显然，故则，解得. （2） 19．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）先求出的值，在分式的分子分母中同时除以，实现弦化切，再将的值代入分式计算即可； （2）首先将原式变形为，再将齐次分式化简为表示，计算求值 【详解】（1）由， 所以 （2） 题型四：利用诱导公式化简求值 20.（23-24高一下·上海·开学考试）化简的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】借助诱导公式计算即可得. 【详解】原式= 故选：C. 21．（22-23高一下·上海浦东新·期末）化简 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四、诱导公式一 【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 22．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】/0.4 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据诱导公式和弦化切即可得到答案. 【详解】， 则， 故答案为：. 23．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意知，因为角的终边与角的终边关于直线对称， 则， 故答案为： 题型五：利用诱导公式与同角三角关系求值 24．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、正、余弦齐次式的计算、已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）将两边平方得到，进而求得，与联立求出、，即可得解； （2）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】（1）因为， 所以，即， 即，所以， 又，则，所以，所以， 所以， 则 ， 所以，， 则． （2）因为， 所以 . 25．（22-23高一上·上海浦东新·期末）化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)0； (2). 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简计算作答. （2）根据给定条件，利用诱导公式、同角公式化简计算作答. 【详解】（1）. （2）. 26．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）设，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、特殊角的三角函数值 【分析】利用三角函数的诱导公式与同角的平方关系化简可得，再代入计算即可得解. 【详解】因为 ， 所以. 一、填空题 1．（23-24高一上·上海·期末）已知扇形的弧长为4cm，面积为，则该扇形的圆心角的大小为 . 【答案】 【分析】根据弧长和面积求出扇形的半径，进而求出扇形的圆心角的大小. 【详解】设扇形的半径为，圆心角的大小为，其中cm， 则，解得cm， 则. 故答案为： 2．（22-23高一下·上海嘉定·期中）与角终边重合的角的集合是 . 【答案】 【分析】根据终边相同角的概念直接求解即可. 【详解】与角终边重合的角的集合是. 故答案为： 3．（22-23高一下·上海浦东新·期中）在单位圆中，圆心角为的弧长为 ． 【答案】/ 【分析】直接利用弧长公式求解即可 【详解】在单位圆中，圆心角为的弧长为， 故答案为： 4．（22-23高一下·上海长宁·期末）将弧度化为角度：弧度= °． 【答案】 【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解. 【详解】. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·期中）在0到范围内，与角终边相同的角是 . 【答案】/ 【分析】根据终边相同的角的表达，结合题目中取值范围，可得答案. 【详解】与角终边相同的角的集合为， 取，可得． 在0到范围内，与角终边相同的角是. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 【答案】一 【分析】根据终边相同的角的性质即可求解. 【详解】由于，且为第一象限角， 故的角属于第一象限角， 故答案为：一 7．（23-24高一下·上海黄浦·期中）当手表比标准时间慢10分钟时，只需将分针旋转 弧度就可以调节准确 【答案】 【分析】根据角的定义和弧度制和角度制的转化即可. 【详解】由题意，分针需要顺时针旋转，即弧度数为. 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海·期末）方程的解是 . 【答案】或 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以或， 即方程的解是或. 故答案为：或. 9．（23-24高一上·上海·期末）已知角的终边过点，且，则角的弧度数是 . 【答案】 【分析】首先判断角为第二象限角，再根据三角函数的定义及诱导公式得到，即可得解. 【详解】因为角的终边过点， 又，所以，，所以角为第二象限角， 因为，所以， 所以， 又，所以. 故答案为： 10．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知，则的值等于 ； 【答案】4 【分析】在所求分式的分子和分母中同时除以，将分式变形为只含的代数式，代值计算即可. 【详解】． 故答案为：4. 11．（22-23高一下·上海浦东新·期中）集合 ． 【答案】 【分析】由求出的取值范围，然后解方程，可得出的值，即可得解. 【详解】当时，，则， 由，可得，所以，， 因为，则或，因此，. 故答案为：. 12．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知，则的值为 ； 【答案】 【分析】利用诱导公式求出和的值,再求得的值,即可得到的值. 【详解】， ， ， ， . 故答案为：. 二、单选题 13．（22-23高一下·上海嘉定·期中）对于诱导公式中的角，下列说法正确的是（    ） A．一定是锐角 B．是使公式有意义的任意角 C．一定是正角 D． 【答案】B 【分析】由诱导公式成立条件直接判断即可. 【详解】诱导公式中的角是使公式有意义的任意角，故B正确. 故选：B. 14．（23-24高一上·上海·期末）设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【答案】C 【分析】由解得或，然后对、分别进行讨论，即可得出结果. 【详解】因为，，且， 所以，解得或， 若，则，，此时所在象限是第四象限； 若，则，，此时所在象限是第二象限， 所以为第二象限或第四象限角. 故选：C. 15．（22-23高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据象限角的概念判断即可. 【详解】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误. 故选：C. 16．（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 【答案】B 【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可. 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：B. 三、解答题 17．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴． (1)若角的终边过点，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用三角函数的定义求解即可； （2）先利用诱导公式求出，再将目标式分子分母同除得到关于的式子，再代入的值计算即可. 【详解】（1）由三角函数的定义可得，若角的终边过点， 则； （2）， ，即， . 18．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知. (1)求； (2)若角为第二象限角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用诱导公式整理得，进而代入求解即可； （2）根据同角三角关系可得，进而可得结果. 【详解】（1）因为， 所以. （2）若角为第二象限角，且，则， 可得， 所以. 19．（22-23高一上·上海杨浦·期末）已知、是关于的方程的两个根. (1)求实数的值， (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）计算，根据韦达定理得到，解得答案； （2）根据三角恒等变换化简得到原式为，代入数据计算即可. 【详解】（1）、是关于的方程的两个根， ，解得或，则，， ， 解得或（舍），故； （2） . 20．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角始边与轴的正半轴重合，终边与一次函数的图像交于点. (1)当时，求的值； (2)若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得，结合齐次式问题分析求解； （2）根据诱导公式结合同角三角关系可得，结合三角函数的定义分析求解. 【详解】（1）由题意可得：，可得 若，则， 所以. （2）因为， 可得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 21．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 【答案】(1) (2)，或. (3)答案见解析 【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得到表达式； （2）利用恒等式将转化为关于的二次函数，再使用二次函数知识求解； （3）先证明，然后利用得到，最后根据证明过程即可研究出取到等号时的值. 【详解】（1）过作，垂足为， 由题意可得：，，故，. 所以矩形的面积，. （2）此时， 故 . 等号取到当且仅当，即，所以. 解得或. 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. （3）由于，故， 且. 从而由，知，所以对任意有 ， 所以，得. 根据上面的证明过程，知等号成立当且仅当. 由于时必有或，故，从而一定有. 所以取等条件又可等价转化为， 这就意味着当时，取等条件是； 当时，取等条件是. 所以的最大值是，当取得最大值时，若，则所对应的的值是或；若，则所对应的的值是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对三角函数相关恒等式的运用. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$