第11讲 二次根式的80道混计算题专项训练（8大题型）-（寒假衔接课堂）2025年暑假八年级数学寒假衔接讲义（人教版）

第11讲 二次根式的80道混合运算专训 题型一 二次根式的化简求值 题型二 二次根式的加减计算 题型三 二次根式的乘除计算 题型四 二次根式的混合运算 题型五 复合二次根式的化简 题型六 分母有理化 题型七 二次根式中的新定义运算 题型八 二次根式中的规律计算 【核心考点一 二次根式的化简求值】 1．（24-25八年级下·北京顺义·期末）计算：． 2．（2024·浙江嘉兴·一模）（1）计算： （2）化简： 3．（24-25八年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 4．（23-24八年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，已知x2+x﹣=0． 5．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中 6．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）先化简，再求值：，其中． 7．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）（1）计算：； （2）化简：．           8．（2024九年级·辽宁·专题练习）（1）计算：； （2）化简：． 9．（23-24八年级下·陕西西安·期末）(1)计算：﹣12+(π﹣3.14)0﹣(﹣)﹣2+； (2)先化简，再求值：[(2x+y)(2x﹣y)+(x+y)2﹣2(2x2﹣xy)]÷(﹣x)，其中x、y满足+(y+4)2=0． 10．（23-24八年级下·湖北·阶段练习）（1）已知，如图所示，实数在数轴上的位置．化简：． （2）先化简，再求值：，其中分别为的整数部分和小数部分． 【核心考点二 二次根式的加减计算】 11．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）计算： 12．（24-25八年级下·贵州遵义·阶段练习）计算： 13．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 14．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）计算： (1) (2)． 15．（24-25八年级下·河南焦作·期中）计算． (1)； (2) 16．（24-25八年级下·河南南阳·期中）计算： (1)； (2)． 17．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 18．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)． 19．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． (3)； (4) 20．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）将边长分别为1，，，的正方形的面积依次记作，，，． (1)计算：_____；______；_____； (2)若把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，则从（1）中的计算结果，可猜出_______； (3)根据（1），（2），令，，，，，且，求T的值． 【核心考点三 二次根式的乘除计算】 21．（24-25八年级下·上海崇明·期中）计算：． 22．（24-25八年级下·上海·阶段练习）计算： 23．（24-25八年级下·上海·阶段练习） 24．（23-24八年级下·全国·课后作业）若，求的值． 25．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算∶ (1)； (2)． 26．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）计算： (1) (2) 27．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）（1）计算：； ． （2）解方程：；． 28．（24-25八年级下·四川成都·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 29．（24-25八年级下·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3) (4)． 30．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【核心考点四 二次根式的混合运算】 31．（24-25八年级下·全国·期末）已知，，求的值． 32．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算与解不等式组： (1)计算： (2)解不等式组： 33．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）计算： (1)． (2)解方程组：． 34．（24-25八年级下·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中． 35．（24-25八年级下·四川眉山·期中）化简求值：，其中，． 36．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 37．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1)． (2)． 8．（湖南省娄底市2024-2025学年上学期期末八年级数学试题）设，． (1)求的值． (2)求的值． 39．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）（1）解方程：； （2）计算：； （3）计算：． （4）先化简再求值：，其中x为 40．（24-25八年级下·四川成都·期中）（1）填空： ； ； （2）例题：化简 解：因为 所以． 仿照上例的方法，化简下列各式： ①     ② 【核心考点五 复合二次根式的化简】 41．（23-24八年级下·四川·阶段练习）计算： （1） （2） 42．（23-24八年级下·上海黄浦·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数、，使，，使得，，那么便有：（）． 由上述方法化简：． 43．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 44．（23-24八年级下·广东佛山·期中）先阅读材料，然后回答问题 (1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下， ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________ (2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒ 45．（23-24八年级下·山东日照·期末）某班数学兴趣小组在学习二次根式时进行了如下题目的探索研究： （1）填空　　；　　； （2）观察第（1）题的计算结果回答：一定等于　　 ．     ．      ．     ．不确定 （3）根据（1）、（2）的计算结果进行分析总结的规律，计算：． （4）请你参照数学兴趣小组的研究规律，化简：． 46．（23-24八年级下·北京门头沟·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 47．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）老师让同学们化简，两位同学得到的结果不同，请你检查他们的计算过程，指出哪位同学的做法是错误的及错误的步骤，并改正． 48．（23-24八年级下·上海·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，，由于， 即， ∴ （1）填空：= ，= ； （2）化简：． 49．（23-24八年级下·山东烟台·阶段练习）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是，求的取值范围． 解：原式= 当时，原式，解得 (舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： 当时，化简： 若等式成立，则的取值范围是 若，求的取值． 50．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[阅读材料] 材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于的式子，以达到化去分母中根号的目的． 例如，化简 解： 材料二：化简的方法，如果能找到两个实数使，并且，那么 例如，化简 解： 【理解应用】 填空：化简的结果等于 计算： ① ② 【核心考点六 分母有理化】 51．（上海市2023-2024学年八年级下学期期末自适应练习数学试卷）计算：． 52．（24-25八年级下·北京通州·期末）化简求值：，其中． 53．（23-24八年级下·四川广元·期末）先化简，再求值：，其中，． 54．（2024八年级下·四川成都·专题练习）用合适的方法求解： (1)； (2)； (3)计算：． 55．（24-25八年级下·四川眉山·期中）计算 (1) (2) 56．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 57．（24-25八年级下·广东佛山·期中）直接写出答案： ①_________②_________ ③__________ ④__________ ⑤_________⑥__________⑦__________⑧_________ ⑨__________⑩_________ 58．（24-25八年级下·江西九江·期中）南昌某中学八年级数学兴趣小组的小亮同学研究了这样一道在二次根式分母有理化中的问题： 已知，他是这样分析与解答的： ； 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：． 59．（24-25八年级下·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 60．（24-25八年级下·福建漳州·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______；______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【核心考点七 二次根式中的新定义运算】 61．（23-24八年级下·青海海东·阶段练习）对于任意的整数，，定义运算“☆”为：． 求：的值． 62．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 63．（23-24八年级下·河南信阳·期末）解答： (1)计算：； (2)用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．求． 64．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n，如：1※2． （1）求（﹣2）※； （2）若3※m＜－6，化简． 65．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）（1）新定义问题：已知实数a，b，定义“★”运算规则如下：，求的值． （2）先化简，再求值：，其中． 66．（23-24八年级下·福建福州·期中）（1）定义新运算：对于任意实数，，都有． 例如，．求的值； （2）请你模仿（1），定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2021．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 67．（23-24八年级下·河北承德·期末）定义新运算：，其中等号右边是常规的乘法和减法运算， 例如：． (1)计算：； (2)有同学说：若，则，你是否同意他的观点，请说明理由． 68．（23-24八年级下·河南·阶段练习）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求的值． 69．（23-24八年级下·陕西延安·期中）定义：形如“”，“”的根式，我们称之为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉．当分式的分母上含有根号时，我们可以分子，分母同时乘以分母的对偶式，这样就可以消除分母上的根式，这样的做法我们叫做“分母有理化”．同样的道理，我们可应用此法将分子上的根号去掉，这样的做法叫做“分子有理化”． 根据以上材料，解答下列问题． (1)利用分母有理化，计算：的值． (2)利用分子有理化，比较与的大小． 70．（23-24八年级下·全国·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求： ①________； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________； (3)计算：． 【核心考点八 二次根式中的规律计算】 71．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）观察下列各式：，，，… 请利用你所发现的规律计算：． 72．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面式子及其验证过程． ，验证：． (1)按照上面等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上面式子反映的规律，试用含n（n为任意自然数，且）的等式表示出来，并验证． 73．（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 74．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 75．（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）观察下列等式： ①；②；③；…… 利用你观察到的规律计算：． 76．（23-24八年级下·安徽·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 77．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）阅读下列解题过程： 请根据上面的解题过程解答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ① ② （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上面各式子的变形规律：_____________； （3）利用（2）中的结论，试求 的值． 78．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读下面的材料，并解答后面的问题： ； ； ； … (1)观察上面的等式，请直接写出（为正整数）的结果　　　； (2)计算　　　； (3)请利用上面的规律及解法计算：． 79．（23-24八年级下·广东东莞·期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是____； (2)化去分母中根号：____；____； (3)利用这一规律计算：的值． 80．（23-24八年级下·河南许昌·期中）阅读材料：像，，，……，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得______，将分母有理化得______． (2)观察下面的变形规律并解决问题． ①，，，…，若n为正整数，请你猜想：_____． ②计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 二次根式的80道混合运算专训 题型一 二次根式的化简求值 题型二 二次根式的加减计算 题型三 二次根式的乘除计算 题型四 二次根式的混合运算 题型五 复合二次根式的化简 题型六 分母有理化 题型七 二次根式中的新定义运算 题型八 二次根式中的规律计算 【核心考点一 二次根式的化简求值】 1．（24-25八年级下·北京顺义·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，零次幂，根据二次根式的化简与零次幂进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．（2024·浙江嘉兴·一模）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）0；（2）-1 【分析】（1）直接根据零指数幂、绝对值以及二次根式的运算方法进行计算即可； （2）直接通分，进行化简即可； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查了零指数幂、绝对值、二次根式以及分式方程的化简求值，正确掌握运算方法是解题的关键； 3．（24-25八年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的混合运算，实数的混合运算，二次根式的化简，正确计算是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘除法和幂的乘方计算即可； （2）先化简计算二次根式，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（23-24八年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，已知x2+x﹣=0． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，由已知确定出，再整体代入即可求出值． 【详解】（x﹣1﹣）÷ ， ∵， 即， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值、二次根式的化简等知识．先根据得到，再把原式进行化简得到，把代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时， 原式 6．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，11 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】题目主要考查实数的混合运算及平方差公式，整式的加减运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）先计算零次幂、负整数指数幂的运算、化简二次根式，然后计算加减法即可； （2）利用平方差公式及单项式乘以多项式计算，然后计算加减法即可． 【详解】解：（1）                      （2） ． 8．（2024九年级·辽宁·专题练习）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，再计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 9．（23-24八年级下·陕西西安·期末）(1)计算：﹣12+(π﹣3.14)0﹣(﹣)﹣2+； (2)先化简，再求值：[(2x+y)(2x﹣y)+(x+y)2﹣2(2x2﹣xy)]÷(﹣x)，其中x、y满足+(y+4)2=0． 【答案】(1)﹣3；(2)﹣2x﹣8y，22 【分析】(1)根据零指数幂、负整数指数幂可以解答本题； (2)根据平方差公式、完全平方公式和多项式除以单项式可以化简题目中的式子，再根据 +(y+4)2=0，可以得到x、y的值，然后将x、y代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：(1)﹣12+(π﹣3.14)0﹣(﹣ )﹣2+ =﹣1+1﹣9+6 =﹣3； (2)[(2x+y)(2x﹣y)+(x+y)2﹣2(2x2﹣xy)]÷(﹣x) =(4x2﹣y2+x2+2xy+y2﹣4x2+2xy)×(﹣ ) =(x2+4xy)×(﹣) =﹣2x﹣8y， ∵+(y+4)2=0， ∴x﹣5=0，y+4=0， 解得，x=5，y=﹣4， ∴当x=5，y=﹣4时，原式=﹣2×5﹣8×(﹣4)=﹣10+32=22． 【点睛】本题考查实数的混合运算、整式的混合运算、非负数的性质，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 10．（23-24八年级下·湖北·阶段练习）（1）已知，如图所示，实数在数轴上的位置．化简：． （2）先化简，再求值：，其中分别为的整数部分和小数部分． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据数轴判断，，的正负数，再根据绝对值的意义化简求解； （2）根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式和合并同类项的方法可以化简题目中的式子，然后根据、分别为的整数部分和小数部分，可以写出、的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）根据数轴可得：， ，，， ； （2） ， ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为， 、分别为的整数部分和小数部分， ，， 原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与求值，整式的化简求值、估算无理数的大小，绝对值的化简，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【核心考点二 二次根式的加减计算】 11．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的计算，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则；根据绝对值的化简，最简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 12．（24-25八年级下·贵州遵义·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值的性质、二次根式的性质、零指数幂、乘法的定义分别运算再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 13．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法和乘方运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 14．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算及立方根，熟练掌握二次根式的运算及立方根是解题的关键； （1）根据二次根式的加减乘运算可进行求解； （2）先利用二次根式及立方根的性质化简，然后再进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（24-25八年级下·河南焦作·期中）计算． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，根据加减法即可求解． （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（24-25八年级下·河南南阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式的减法运算，以及二次根式的混合运算，解题的关键在于掌握相关运算法则． （1）利用二次根式性质化简各项，再利用二次根式的减法运算法则计算，即可解题； （2）利用二次根式性质化简各项，再根据先乘除，后加减，有括号的先算括号的运算顺序计算，即可解题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，绝对值，二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的性质求解即可； （3）根据（2）先去绝对值，然后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：， （2）．； 故答案为：， （3）原式 ． 18．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除进行计算即可； （2）根据二次根式的加减以及零次方幂进行计算； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 19．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了立方根与算术平方根、解二元一次方程组，熟练掌握各运算法则和消元法是解题关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；； （2）利用平方差公式、绝对值和零指数幂进行计算即可； （3）利用代入消元法解二元一次方程组即可得； （4）利用代入消元法解二元一次方程组即可得． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， 由得，， 把代入得，， 解得：， 把代入中得，， 则方程组的解为； （4）解：， 由得，， 把代入得，， 解得：， 把代入中得，， 则方程组的解为． 20．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）将边长分别为1，，，的正方形的面积依次记作，，，． (1)计算：_____；______；_____； (2)若把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，则从（1）中的计算结果，可猜出_______； (3)根据（1），（2），令，，，，，且，求T的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，整式的加减中的化简求值等知识点，利用所发现的规律正确列式计算是解题的关键． （1）直接列式计算即可得出答案； （2）从（1）中的计算结果，即可猜出的值，然后列式计算说明理由即可； （3）将，，，，代入进行化简，得到，然后把和的值代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，，； （2）解：从（1）中的计算结果，可猜出， 理由如下： ， 故答案为：； （3）解： ， 的值是． 【核心考点三 二次根式的乘除计算】 21．（24-25八年级下·上海崇明·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 22．（24-25八年级下·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根号里面和外面分别计算，最后再化简二次根式即可求解． 【详解】解：由题意可得，，， ∴，， ∴ ． 23．（24-25八年级下·上海·阶段练习） 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的混合运算法则和二次根式性质化简求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ． 24．（23-24八年级下·全国·课后作业）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，能够理解平方数的非负性，并利用法则准确的计算化简是解决本题的关键． 先利用平方数的非负性及两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须为0的特点求出、的值，再将其代入二次根式求值即可． 【详解】解：． ，， ，． 当，时， 原式 ． 25．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 26．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，化简二次根式，实数的运算： （1）根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再计算负整数指数幂和零指数幂，接着去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）（1）计算：； ． （2）解方程：；． 【答案】（1）2；；（2）； 【分析】本题主要考查了零指数幂，立方根，平方根，二次根式的乘除法，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法法则计算即可；根据零次幂、乘方、平方根、立方根分别计算即可； （2）整理后开平方即可求解；开立方即可求解； 【详解】解：（1） ； ； （2）解方程： 移项得， 化简得：， 开平方得：； 开立方得：， 移项得， 解得． 28．（24-25八年级下·四川成都·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）先根据负整数指数幂运算法则，算术平方根、立方根的概念求解，然后合并即可； （）根据二次根式的乘法和除法法则计算即可； （）根据平方根的定义解方程即可； 此题主要考查了负整数指数幂运算，二次根式的运算，平方根与立方根的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： 或 或． 29．（24-25八年级下·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘法，再约分即可； （2）先化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先化简，然后合并同类二次根式即可； （4）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式 （3） 解：原式 （4） 解：原式 30．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 【核心考点四 二次根式的混合运算】 31．（24-25八年级下·全国·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的运算，掌握完全平方公式、二次根式的乘除法法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法、乘除法法则求出、，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：， ， 原式． 32．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算与解不等式组： (1)计算： (2)解不等式组： 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂、解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式的运算法则和不等式组的解法是解题关键． （1）先计算二次根式的除法与乘法、负整数指数幂，再计算加减法即可得； （2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 33．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）计算： (1)． (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组．熟知运算方法是正确解决本题的关键. （1）先根据二次根式的乘法法则计算，化简二次根式，再根据二次根式加减法则计算． （2）先将方程组化简得，再利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 整理得，， 得，， ∴， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程的解为． 34．（24-25八年级下·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算，二次根式的加减运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握整式混合运算的法则．先根据平方差公式，完全平方公式，整式混合运算的顺序和法则进行化简，然后再将的值代入即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 35．（24-25八年级下·四川眉山·期中）化简求值：，其中，． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是正确把分式化简；根据分式的运算法则先化简分式，再根据分母有理化求出x，y，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ． 36．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法分配律，立方根及绝对值，负指数幂，按照实数的混合运算法则计算即可． （1）按照有理数加减运算法则计算即可． （2）含乘方的有理数的混合运算，先算乘方，绝对值运算，再算乘除法，最后算加减法．． （3）先算立方根及绝对值，负指数幂，再进行实数的混合运算即可． （4）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 37．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，掌握代入消元法解方程组是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法和绝对值，最后计算加减即可； （2）先整理方程组，再用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 整理得， 即， 将代入得， 解得， 将代入得， ． 38．（湖南省娄底市2024-2025学年上学期期末八年级数学试题）设，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1012 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． （1）把，代入计算即可得到答案； （2）求出，将原式变形后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，则： 39．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）（1）解方程：； （2）计算：； （3）计算：． （4）先化简再求值：，其中x为 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了实数的运算、分式的化简求值、解分式方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． （1）按照解分式方程的步骤解答即可； （2）先根据立方根、算术平方根、绝对值的知识化简，然后再计算即可； （3）先运用二次根式的乘方法则和平方差公式计算，然后再运用二次根式的加减运算法则计算即可； （4）先运用分式的四则混合运算法则化简，然后代入计算即可． 【详解】（1）， ， ， ， 经检验，是原方程的解； （2） ； （3） ； （4） ， 当时，． 40．（24-25八年级下·四川成都·期中）（1）填空： ； ； （2）例题：化简 解：因为 所以． 仿照上例的方法，化简下列各式： ①     ② 【答案】（1）；；（2）①；② 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的混合运算、二次根式的性质． （1）根据完全平方公式计算即可得解； （2）①仿照题干所给例子计算即可得解；②仿照题干所给例子计算即可得解． 【详解】解：（1）， ； （2）①∵， ∴； ②∵， ∴． 【核心考点五 复合二次根式的化简】 41．（23-24八年级下·四川·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据有理数的乘方计算法则，绝对值的化简，二次根式的化简分别化简，再计算加减法； （2）根据完全平方公式及多项式乘以多项式法则得到结果，再计算加减法. 【详解】（1） ； （2） . 【点睛】此题考查计算能力—实数的混合运算，整式的混合运算，掌握二次根式的化简，有理数的乘方、绝对值的化简，整式的乘法法则及完全平方公式是解题的关键. 42．（23-24八年级下·上海黄浦·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数、，使，，使得，，那么便有：（）． 由上述方法化简：． 【答案】 【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42，再判断是选择加法还是减法． 【详解】解： 原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式． 43．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； （2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键． 44．（23-24八年级下·广东佛山·期中）先阅读材料，然后回答问题 (1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下， ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________ (2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒ 【答案】(1)④， (2) 【分析】（1）由于，则可知在第④步化简的时候出现错误，据此求出正确的化简结果即可； （2）仿照题意进行化简即可． 【详解】（1）解： ① ② ③ ④ ， ∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为， 故答案为：④，； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题的关键． 45．（23-24八年级下·山东日照·期末）某班数学兴趣小组在学习二次根式时进行了如下题目的探索研究： （1）填空　　；　　； （2）观察第（1）题的计算结果回答：一定等于　　 ．     ．      ．     ．不确定 （3）根据（1）、（2）的计算结果进行分析总结的规律，计算：． （4）请你参照数学兴趣小组的研究规律，化简：． 【答案】（1）3，5．（2）C．（3）b−a．（4）． 【分析】（1）依据被开方数即可计算得到结果； （2）观察计算结果不一定等于a，应根据a的值来确定答案； （3）原式利用得出规律计算即可得到结果． （4）直接利用完全平方公式，变形化简即可． 【详解】（1）3，＝5； 故答案为：3，5． （2）不一定等于a，也不一定等于−a，＝|a|， 故答案为：C． （3）∵a＜b， ∴a−b＜0， ∴＝b−a． （4） = = = =． 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键． 46．（23-24八年级下·北京门头沟·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键． 47．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）老师让同学们化简，两位同学得到的结果不同，请你检查他们的计算过程，指出哪位同学的做法是错误的及错误的步骤，并改正． 【答案】第3步； 【分析】根据二次根式的性质、分母有理化法则判断、改正即可． 【详解】解：小明同学的做法有误，错误步骤是第3步； 改正： 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质、分母有理化是解题的关键． 48．（23-24八年级下·上海·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，，由于， 即， ∴ （1）填空：= ，= ； （2）化简：． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）（2）由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对＝|a| 的形式化简后即可得出结论． 【详解】解：（1） = =； = =； 故答案为：，； （2）原式= = = = 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用． 49．（23-24八年级下·山东烟台·阶段练习）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是，求的取值范围． 解：原式= 当时，原式，解得 (舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： 当时，化简： 若等式成立，则的取值范围是 若，求的取值． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】（1）根据，得出；再将原式化为去绝对值即可得出答案； （2）先将原式化为再分，，三种情况解方程，得出符合条件的即可； （3）先将原式化为，再分，，三种情况解方程，即可求出a的值． 【详解】（1）解：当时， 原式=== （2）原式= 当时，原式，解得(舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是； （3）原式= 当时，原式，解得符合条件； 当时，原式，次方程无解，不符合条件； 当时，原式，解得 符合条件． 所以，的值是或． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，运用了数形结合的思想，在解答此类问题时要注意进行分类讨论． 50．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[阅读材料] 材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于的式子，以达到化去分母中根号的目的． 例如，化简 解： 材料二：化简的方法，如果能找到两个实数使，并且，那么 例如，化简 解： 【理解应用】 填空：化简的结果等于 计算： ① ② 【答案】（1）（2）①② 【分析】（1）根据分母有理化法则计算； （2）①根据完全平方公式、二次根式的性质化简； ②先把原式分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）＝==， 故答案为：； （2）①＝==； ② ＝ =． 【点睛】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简，掌握分母有理化法则、二次根式的性质是解题的关键． 【核心考点六 分母有理化】 51．（上海市2023-2024学年八年级下学期期末自适应练习数学试卷）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化．根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解： ． 52．（24-25八年级下·北京通州·期末）化简求值：，其中． 【答案】，． 【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 53．（23-24八年级下·四川广元·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的混合运算进行计算，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 54．（2024八年级下·四川成都·专题练习）用合适的方法求解： (1)； (2)； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及二次根式的混合运算． （1）利用代入法解二元一次方程组即可． （2）利用消元法解二元一次方程组即可． （3）先对二次根式进行分母有理化，再进行二次根式的乘法运算， 最后再进行二次根式的混合运算． 【详解】（1）解：，将②代入①得：， 解得． 将代入②可得：， 原方程组的解为． （2）解：， 得， 将代入②可得， 原方程组的解为：． （3）解：， 55．（24-25八年级下·四川眉山·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，负整数指数幂，分母有理化： （1）先分母有理化，再计算负整数指数幂，化简二次根式和绝对值，最后计算加减法即可； （2）先化简二次根式并计算二次根式加减法，再计算二次根式除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 56．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)5 (3) (4) 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后再进行二次根式的加法运算即可. （2）先根据二次根式的性质化简，再进行分母有理化即可. （3）先利用平方差公式以及完全平方公式展开，再进行二次根式的加减运算即可. （4）先计算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，然后再进行二次根式的混合运算即可. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，分母有理数化，零指数幂，负整数指数幂等知识，掌握这次运算法则以及公式是解题的关键. 57．（24-25八年级下·广东佛山·期中）直接写出答案： ①_________②_________ ③__________ ④__________ ⑤_________⑥__________⑦__________⑧_________ ⑨__________⑩_________ 【答案】①3；②；③；④4；⑤，⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，分母有理化．根据二次根式的性质和化简，分母有理化计算即可求解． 【详解】解：①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧； ⑨；⑩． 58．（24-25八年级下·江西九江·期中）南昌某中学八年级数学兴趣小组的小亮同学研究了这样一道在二次根式分母有理化中的问题： 已知，他是这样分析与解答的： ； 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，分子分母同乘以有理化因式是解题的关键． （1）分子分母分别乘以，，即得答案； （2）根据（1）的方法，分别化简，，，，，即得答案． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：，； （2）解： ． 59．（24-25八年级下·上海浦东新·期中）面对一些二次根式，其实可以用了因式分解中的分组分解法来解决问题： ， 则． 利用这种思想，解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式混合运算，找到有理化因式是解题的关键． （1）根据题意分母有理化即可 （2）根据题意分母有理化即可 （3）根据题意分母有理化，在合并同类二次根式即可 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 60．（24-25八年级下·福建漳州·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______；______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构是解题关键． （1）利用平方差公式进行二次根式的分母有理化计算即可； （2）把原式分母有理化，再计算即可； （3）由，可得，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． （3）解：∵ ， ． ，即． ． ∴． 【核心考点七 二次根式中的新定义运算】 61．（23-24八年级下·青海海东·阶段练习）对于任意的整数，，定义运算“☆”为：． 求：的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键． 先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可． 【详解】解：， ， 所以 ． 故答案为：2． 62．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)4 (2)x的值为 【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次方程，二次根式的混合运算，解题关键是掌握实数运算的方法和解一元一次方程的步骤． （1）直接利用新运算的规定列出算式运算即可； （2）先将左边根据规定变形，再解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴的值为4． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴x的值为． 63．（23-24八年级下·河南信阳·期末）解答： (1)计算：； (2)用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．求． 【答案】(1)4，详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查了二次根式混合运算和新定义下的实数运算， （1）根据二次根式四则混合运算法则计算即可； （2）根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减； 理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 64．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n，如：1※2． （1）求（﹣2）※； （2）若3※m＜－6，化简． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得； （2）根据新定义列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围即可得到最终答案． 【详解】解：（1） ； （2）由已知可得：3m<-6， 解之可得：m<-2，即-m>2， ∴2-m>4>0，-m-2>0， ∴． 【点睛】本题考查实数运算的综合应用，熟练掌握新定义运算的解题方法、一元一次不等式的求解及二次根式的性质是解题关键． 65．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）（1）新定义问题：已知实数a，b，定义“★”运算规则如下：，求的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2；（2），． 【分析】（1）先根据新运算的定义化简所求式子，再根据二次根式的运算法则进行计算即可得； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将的值代入即可得． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， ， 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、二次根式的运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． 66．（23-24八年级下·福建福州·期中）（1）定义新运算：对于任意实数，，都有． 例如，．求的值； （2）请你模仿（1），定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2021．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【答案】（1）-13；（2）见解析 【分析】（1）新定义的运算法则等于第一个数与这两个数的和积减去1，模仿计算即可； （2）注意到这两个数的积为1，所以再加2020即为2021． 【详解】解：（1）原式 ； （2）定义新运算：对于任意实数，，都有． ． 【点睛】本题考查了实数的运算，（2）问注意到这两个数的积为1是解题的关键． 67．（23-24八年级下·河北承德·期末）定义新运算：，其中等号右边是常规的乘法和减法运算， 例如：． (1)计算：； (2)有同学说：若，则，你是否同意他的观点，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】（1）根据定义的新运算结合平方差公式计算即可； （2）首先根据条件可得a＝−b，再结合所给的新定义运算公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）同意； 理由如下：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴这位同学说的正确，同意他的观点． 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，整式的运算，关键是掌握相关运算法则，理解所给运算公式． 68．（23-24八年级下·河南·阶段练习）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ∴． 69．（23-24八年级下·陕西延安·期中）定义：形如“”，“”的根式，我们称之为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉．当分式的分母上含有根号时，我们可以分子，分母同时乘以分母的对偶式，这样就可以消除分母上的根式，这样的做法我们叫做“分母有理化”．同样的道理，我们可应用此法将分子上的根号去掉，这样的做法叫做“分子有理化”． 根据以上材料，解答下列问题． (1)利用分母有理化，计算：的值． (2)利用分子有理化，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （）根据分母有理化即可求解； （）根据分子有理化即可求解； 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 70．（23-24八年级下·全国·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求： ①________； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________； (3)计算：． 【答案】(1)①2；② (2)，10，2 (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）利用原题的过程，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴； 故答案为：2 ② 由①得，已知，两式相加得到， ， 即， 则，解得， 经检验，满足题意， 即方程的解是； （2）解：由二根式有意义的条件得到， 解得， 即的取值范围是，x的最大值是10，x的最小值是2； 故答案为：，10，2 （3） 【点睛】此题考查了二次根式的性质和混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【核心考点八 二次根式中的规律计算】 71．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）观察下列各式：，，，… 请利用你所发现的规律计算：． 【答案】 【分析】本题考查与实数运算有关的规律题、二次根式的加减运算，能发现等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键．根据前几个等式发现的变化规律进行求解即可． 【详解】解：∵ … ∴， ∴ =++ ） ． 72．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面式子及其验证过程． ，验证：． (1)按照上面等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上面式子反映的规律，试用含n（n为任意自然数，且）的等式表示出来，并验证． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（n为任意自然数，且） 【分析】本题考查了二次根式的规律计算，根据根式特点，探索规律是解题的关键 （1）仿照阅读内容提供的方法，验证解得即可； （2）根据两次验证，归纳猜想计算即可． 【详解】（1）． （2）结论：． ． 73．（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ． 74．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的关键． （1）根据所给算式的规律可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得 （或或） （2）解：根据题干所给算式的规律，可得 （3）解： 75．（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）观察下列等式： ①；②；③；…… 利用你观察到的规律计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，根据题目中给出的式子，找到规律进行计算即可． 【详解】解： ． 76．（23-24八年级下·安徽·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： （2）第n个式子为：； （3） ． 77．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）阅读下列解题过程： 请根据上面的解题过程解答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ① ② （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上面各式子的变形规律：_____________； （3）利用（2）中的结论，试求 的值． 【答案】（1）①，②；（2）；（3）． 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题例运算即可求解； （2）根据题例即可得出一般规律； （3）原式各项分母有理化后，合并即可得出答案． 【详解】解：（1）依题意可得： ① ②； （2）根据题意，观察式子的规律可得： ， 故答案为：； （3） ． 78．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读下面的材料，并解答后面的问题： ； ； ； … (1)观察上面的等式，请直接写出（为正整数）的结果　　　； (2)计算　　　； (3)请利用上面的规律及解法计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查分母有理化，二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则． （1）分子，分母都乘以，再化简即可； （2）直接利用平方差公式计算即可； （3）先计算括号内的运算，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 79．（23-24八年级下·广东东莞·期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是____； (2)化去分母中根号：____；____； (3)利用这一规律计算：的值． 【答案】(1) (2)， (3)2008 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则幂是解决问题的关键．也考查了平方差公式、数字变化规律问题的解决方法． （1）根据有理化因式和平方差公式求解； （2）把的分子分母有乘以，再根据二次的性质化简即可；把的分子分母有乘以，然后利用平方差公式计算； （3）先分母有理化，再把括号内合并，然后利用平方差公式计算． 【详解】（1）∵ ∴的有理化因式是； 故答案为： （2）， ； 故答案为：，； （3）原式 80．（23-24八年级下·河南许昌·期中）阅读材料：像，，，……，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得______，将分母有理化得______． (2)观察下面的变形规律并解决问题． ①，，，…，若n为正整数，请你猜想：_____． ②计算：． 【答案】(1)，， (2)①；②2022 【分析】（1）根据题目所给互为有理化因式的定义，以及平方差公式，即可求解； （2）①根据题目所给等式观察得出规律，即可进行解答；②根据①中总结的一般规律，先将第一个括号化简，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与互为有理化因式； ； ； 故答案为：，，； （2）解：①∵， ， ， …… ； 故答案为：； ② ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式和分母有理数，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握平方差公式． 学科网（北京）股份有限公司 $$