第12讲 勾股定理常考几何模型专项训练（8大题型）-（寒假衔接课堂）2025年暑假八年级数学寒假衔接讲义（人教版）

专题12 勾股定理常考几何模型专项训练 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的最值问题 题型八 勾股定理常考模型综合 【核心考点一 圆柱中的最短路径模型】 1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想得到上面处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为多少？（取）    2．（23-24八年级下·湖北恩施·期中）如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短路程是多少？(结果精确到，参考数据，)    3．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，一个圆柱体的底面周长为16cm，AB是下底面的直径，高BC为12cm，S为BC的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点S． (1)画出蚂蚁爬行的最短路线示意图； (2)求出蚂蚁爬行的最短路程． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上． (1)若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺． (2)若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺． 5．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米： (1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）； (2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 6．（23-24八年级下·云南昆明·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．    (1)定理证明： 图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决： 如图2，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π） 【核心考点二 长方体中的最短路径模型】 1．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖，已知长方体木块的长、宽、高分别为、、，试计算小蚂蚁爬行的最短距离． 2．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，求一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程． 3．（23-24八年级下·山东日照·期末）（1）如图1，矩形的两邻边长分别为5和3，某一动点从点A运动到点C的最短路线长是________； （2）如图2，在棱长分别为5，3，11的长方体模型中，若设定动点P从顶点以1个单位/秒的速度在长方体的外部沿向下匀速运动，同时动点Q从顶点A出发在长方体外部侧面上匀速运动，若要使动点Q在第5秒时恰好拦截到动点P，则动点Q的速度至少应设定为多少？ 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物． (1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注． (2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）． 5．（23-24八年级下·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 6．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】 （1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】 （2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】 （3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 【核心考点三 将军饮马型最短路径问题】 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，一个密封的圆柱形油罐底面的周长是，高是，一只壁虎在距底面的点处，油罐上底面与点相对的点处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到点处捕食，它爬行的最短路程为多少米？ 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答． 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4． (1)请作出使和最小的点P． (2)请求出最小值． 5．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？ 【分析问题】 如图，取点关于河岸线的对称点，连接，，当三点共线时，点为饮马的地方，，此时所走的路程就是最短的． 【解决问题】 （）当三点共线时路程最短的依据是 ； 【迁移应用】 （）如图，两个村庄在河岸 的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，(千米，现要在河岸上建一水厂，从处向铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管道长度和最少． ①请在河岸上作出水厂的位置，并写出作图过程； ②若铺设水管的工程费用为元/千米，求出铺设水管最节省的总费用． 6．（23-24八年级下·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【核心考点四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图所示，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，求的长． 2．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，，，点D是边上一点．若沿将翻折，点C刚好落在边上点E处，求的长．    3．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知在中，，，，点D，E分别在边，上，连结，．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一直线上，连结． (1)求证：是直角三角形； (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点H为边上的一点，，，，． (1)求的长； (2)已知点E为线段上一点，为等腰三角形，求线段的长度； (3)点P是直线上任意一点，把沿着直线翻折，直接写出当为何值时，点H翻折后的对应点恰好落在直线上． 5．（24-25八年级下·福建宁德·期中）问题提出： （1）如图1，在中，，是BC边上的高，，，则______． 方法探究： （2）如图2，在中，是边上的高，，，，求的长． 问题解决： （3）如图3，在中，是边上的高线，，，，以直线为对称轴将翻折后得到，连接，求的长． 6．（24-25八年级下·吉林长春·期中）在中，，射线交射线于D，过D作垂直射线于点E，点F在射线上，． (1)如图1，若是的角平分线，求证：； (2)如图2，若射线平分的外角，且点F在射线上，则线段和的数量关系是什么，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，把过沿翻折至处，若，直接写出的面积． 【核心考点五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形（长方形），，，将沿对角线翻折，使点B落在点处，与轴交于点D，求点D的坐标．    2．（23-24八年级下·江西赣州·期中）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：． 类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积． 3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形中，，，P为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点O，G，且． (1)试说明：； (2)求的长． 4．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形为一个长方形，，，动点自点出发沿方向运动至点后停止．以直线为轴翻折，点落到点的位置．设，与原纸片重叠部分的面积为．   　　   (1)当为何值时，直线过点？ (2)当为何值时，直线过的中点？ 5．（23-24八年级下·北京海淀·期末）通过学习特殊的四边形我们知道平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，所以平行四边形可以看成是一个三角形通过图形变换后与原三角形组成的．如图1，平行四边形可以看作是由绕的中点O旋转得后组成．小亮把以边所在直线为对称轴翻折得到，这两个三角形组成四边形（如图2），这也是一种特殊的四边形——筝形，请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形． (1)首先请你给出筝形的一种定义：___________； (2)通过观察、测量等探究，在边，角，对角线的关系方面写出两条对筝形性质的猜想（定义除外），并选取其中的一条猜想进行证明； (3)如图3，在筝形中，，求筝形的面积． 6．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图1，在长方形中，已知，，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． (1)填空：______；（用含t的代数式表示） (2)求证：； (3)如图2，射线恰好经过点B，试求此时t的值； (4)当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，直接写出所有符合题意t的值；若不存在，请说明理由． 【核心考点六 勾股定理中的线段的平方和模型】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）在中，两条直角边的长c，a满足． (1)求长的平方． (2)求的面积． 2．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）如图①,在直角三角形中， ,则有,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的“勾股定理”． 请利用上面的“勾股定理”，解决下面的问题: 如图②，在三角形中,,求的长； 如图③，线段垂直于数轴, ,请在数轴上找出表示的点． 3．（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）八年级下半学期的学习中，我们将接触到几何学上的明珠——勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．如图1是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，则可以通过等面积法验证得到：． (1)如图2，和都是等边三角形，点D在内部，连接、、．请求出与的数量关系，并写出证明过程； (2)若，，，利用勾股定理的结论，则的长为________． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）阅读材料：如图1，如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． (1)若直角三角形两直角边长分别为3和4，则斜边长为 ； (2)如图2，中，，设AC长为x，BC长为y，，中，，． ①请用含有x，y的代数式表示的面积 ； ②四边形CADB的面积是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 5．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若是中边上的高，且，则称为勾股高三角形，点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，是中边上的高，已知，，，请通过计算说明是否是勾股高三角形． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，且，是边上的高．探究线段与的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （3）如图3，为勾股高三角形，其中为勾股顶点，且，为边上的高，过点作，垂足分别为．若，求的值． 6．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）综合与应用 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）就巧妙地利用面积法证明了勾股定理．运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下： 如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，则：，化简得．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【类比探究】 （1）数学兴趣小组的同学也对勾股定理的证明进行了探究，他们惊喜地发现：将两个全等的直角三角形纸片如图2方式摆放，并连接，利用两种方法表示四边形的面积，也可以证明勾股定理，请你利用图2写出证明过程； 【应用拓展】 （2）兴趣小组的同学继续大胆探究，他们在几何图形中，通过构造直角三角形，并应用勾股定理，来研究一些线段之间的数量关系．如图3，是边上的高． ①请你证明：； ②在图3中，若，，M是上的任意一点，直接写出的值； （3）兴趣小组的同学进一步探究猜想：如图4，在四边形中，若，垂足为点P，则四条线段，，，之间也存在着等量关系，请你用式子表示这个等量关系（不用证明）． 【核心考点七 勾股定理中的最值问题】 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在网格上；      (1)在直线l上找一点P，使得的周长最小并写出最小值为 ； (2)的面积是 ． 2．（23-24八年级下·广东中山·期中）明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是，为固定张角α大小的锁链． (1)求锁链长度的最大值； (2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号） 3．（24-25八年级下·山东聊城·期中）（1）如图1，直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小，请作出示意图，在直线上画出点（要有必要的画图痕迹，不用写画法）：      （2）如图2，中，，，，是的中点，是边上的一动点，画出点，使得的值最小，并直接写出的最小值； （3）如图3，点在内部，点，分别在射线，上，若周长最小，画出示意图，标出点，点． 4．（24-25八年级下·重庆南岸·期中）在中，，D为平面内一点． (1)如图1，若点D在边上，延长到点E，使得，连接，，垂足为点F，，，求的长． (2)如图2，若点D在内，连接，，延长到点E，使，连接，，垂足为点H．猜想，，的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若点D为边上一动点，点E为边上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值． 5．（24-25八年级下·广西南宁·期中）【阅读材料】学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)如图1，由边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看作由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和等于大正方形的面积．即可得到一个乘法公式_____． (2)思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为，，，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到，，之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②问题解决：如图3，直线为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点到引水点的距离为12米，渠岸上点到引水点的距离为5米，且．现需在渠岸上选一点开沟，求水沟的最小值． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在中，，于点D．设． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a、b的代数式表示，则 ； 小颖说：也可以用含a、b、m的代数式表示，则 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则 ； 小亮说：可以用含a、b的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 ； （2）若的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【核心考点八 勾股定理常考模型综合】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级下册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程．· 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）“欲穷千里目，更上一层楼”下面我们利用数学知识计算，到底要登上多少层楼才能“穷千里目”，如图，圆弧代表地球剖面的一部分，圆心为O，为直立于地面的某高层建筑，A、B、O在同一条直线上，为站在楼顶处的视线，、与地球半径构成了．设，地球半径为，楼每层高约为，求楼至少要多少层才能“穷千里目”．（参考数据：） 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，中，是高，连接，取的中点F、G，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，的长． 4．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）为直角三角形，，点D为斜边的中点，点E，F分别为直线上的动点，运动过程中，始终保持． (1)如图1，当点F与点B重合（重合的点记为点B）时，连接，试判断，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，当射线交线段于点E时，求证：； (3)若，，在点E，F运动过程中，当时，求的面积． 5．（24-25八年级下·全国·期末）在解答几何题目时，常常用到“中线倍长法”． (1)证明体验：如图，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：． (2)迁移应用：如图，在中，，是的中点，是边上一点，连接交于点．若．求的长． 6．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）【发现问题】 小红在做题时遇到了下面的问题，请你帮小红完成下面的证明． （1）如图①，在和中，，，和的周长都等于12．求证：． 【提出问题】 小红于是想知道：两个直角三角形若满足一组直角边对应相等，并且周长也相等，那么这两个直角三角形全等吗？ 如图②，在和中，，，和的周长相等． 求证：． 【解决问题】 下面是小红对这个问题的探究过程． （2）根据小红的探究，请将下列过程补充完整； 设，的周长＝的周长＝，． 在中，根据勾股定理，得关于的方程______． 解得；同理可得．由此可得．又，根据______，可以知道． 小红进一步思考，除了可以用上面严谨的推理过程验证自己的猜想，也可以模仿教科书里利用“尺规作图”的方式来验证； 小红在作图时遇到了困难，偶然的机会，她阅读到下面方框的材料，受到了启发． 如图③，在和中，分别延长，至，，使得，，连接，． （3）如图④，已知线段，．用直尺和圆规求作一个，使，，的周长为．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 勾股定理常考几何模型专项训练 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的最值问题 题型八 勾股定理常考模型综合 【核心考点一 圆柱中的最短路径模型】 1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想得到上面处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为多少？（取）    【答案】15 【分析】本题考查了平面展开图－最短路径问题，勾股定理的应用；应先把圆柱展开即得其平面展开图，则，所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半为，蚂蚁经过的最短距离为连接，的线段长，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图所示，    圆柱展开图为长方形， 则，所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半为， 蚂蚁经过的最短距离为连接，的线段长， 由勾股定理得． 故蚂蚁经过的最短距离为． 2．（23-24八年级下·湖北恩施·期中）如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短路程是多少？(结果精确到，参考数据，)    【答案】 【分析】沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从 点爬到点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可． 【详解】解：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，如图所示，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从 点爬到点的最短路程，    ，，， 在中，， 从点爬到点的最短路程是多少 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程． 3．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，一个圆柱体的底面周长为16cm，AB是下底面的直径，高BC为12cm，S为BC的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点S． (1)画出蚂蚁爬行的最短路线示意图； (2)求出蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2)10cm 【分析】（1）根据画出圆柱体半个侧面的展开图，连接即可求解； （2）在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，蚂蚁爬行的圆柱的半个侧面的展开图为矩形ABCD，爬行的最短路程即线段AS的长． （2）由题意，得（cm），（cm），， 在中，由勾股定理，得（cm）． 答：蚂蚁爬行的最短路程为10cm． 【点睛】本题考查了勾股定理求最短距离，画圆柱体的侧面展开图，掌握勾股定理是解题的关键． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上． (1)若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺． (2)若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺． 【答案】(1)25 (2) 【分析】（1）根据题意画出图形，在Rt中，再根据勾股定理求解即可； （2）在Rt中根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 在Rt中，，， （尺） 答：葛藤长为25尺． 故答案为：25； （2）解：在Rt中，，， （尺）， 答：葛藤长为尺． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解决问题的关键． 5．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米： (1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）； (2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 【答案】(1)； (2)，图见解析 【分析】本题考查蚂蚁在圆柱侧面爬行最短路径问题，涉及圆柱侧面展开图、圆周长公式、两点之间线段最短及勾股定理求线段长，根据问题，作出图形求解是解决问题的关键． （1）根据的长为圆柱底面圆的周长，利用圆周长公式代值求解即可得到答案； （2）由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段，作出图形，再利用勾股定理求解即可得到最短路径的长度． 【详解】（1）解：由圆柱的侧面展开图可知，的长为圆柱底面圆的周长， 圆柱的底面直径为， ； （2）解：如图所示： 由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段， 由（1）知，高， ， 在中，由勾股定理可得． 6．（23-24八年级下·云南昆明·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．    (1)定理证明： 图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决： 如图2，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2)从点A爬到点B的最短路程是厘米 【分析】（1）利用阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积额即可得答案； （2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积， ， ， ； （2）画出圆柱侧面展开图：   根据圆柱底面半径为，得出， 高为， ， 从点爬到点的最短路程是厘米． 【点睛】本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键． 【核心考点二 长方体中的最短路径模型】 1．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖，已知长方体木块的长、宽、高分别为、、，试计算小蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理的应用，根据题意画出不同数值的三种情况，根据勾股定理求出每种情况的，再比较即可． 【详解】解：展开后有三种不同的情况如图， 如图1，， 如图2，， 如图3，， ， 小蚂蚁爬行的最短路线为． 2．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，求一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程． 【答案】米 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 3．（23-24八年级下·山东日照·期末）（1）如图1，矩形的两邻边长分别为5和3，某一动点从点A运动到点C的最短路线长是________； （2）如图2，在棱长分别为5，3，11的长方体模型中，若设定动点P从顶点以1个单位/秒的速度在长方体的外部沿向下匀速运动，同时动点Q从顶点A出发在长方体外部侧面上匀速运动，若要使动点Q在第5秒时恰好拦截到动点P，则动点Q的速度至少应设定为多少？ 【答案】（1）；（2）点Q的运动速度至少应设定为2个单位/秒 【分析】（1）连接AC，利用勾股定理求解； （2）把立体图形转化为平面图形解决即可． 【详解】解：（1）连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，BC＝AD＝3， ∴， 即从点A运动到点C的最短路线长为． 故答案为：． （2）把长方体展开，如图所示： t＝5秒时，C1P＝5， ∴CP＝CC1−C1P＝6， ∵AC＝AB＋BC＝5＋3＝8， ∴， ∴点Q的运动速度为（单位/秒）， 即点Q的运动速度至少应设定为2个单位/秒． 【点睛】本题主要考查平面展开−最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会把立体图形转化为平面图形，属于中考常考题型． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物． (1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注． (2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）． 【答案】(1)见解析 (2)小虫爬行的最短路线长为． 【分析】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解． （1）作关于的对称点，连接，与交于点，此时最短； （2）为的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 作点关于所在直线的对称点， 连接，与交于点， 则为最短路线； （2）解：因为，， 所以． 在中，，，， 所以． 由对称性可知， 所以：． 所以：小虫爬行的最短路线长为． 5．（23-24八年级下·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 【答案】(1)沿线段爬行；理由见解答过程 (2)D；6 (3)蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由见解答过程 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． （1）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可； （2）根据图形可得出最短路径为，进而得出答案即可； （3）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可． 【详解】（1）解：沿线段爬行；理由如下： 如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段爬行即可； （2）解：如图所示： 最短路径的长度为， ，即， 如图所示： ∴路线有6条， 故选：D；6； （3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由如下： 如图2.1和图2.2所示作图，分别连接， 图2.1中； 图2.2中； ， 图2.2中的路径最短． 6．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】 （1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】 （2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】 （3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）不正确； 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，勾股定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理． （1）根据小正方形面积求出，再根据含直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出结果即可； （2）根据正方形面积公式表示出小正方形的面积为，用大正方形面积减去4个直角三角形面积表示出小正方形面积为，即可证明勾股定理； （3）将长方体盒子侧面，展开成平面图形，求出此时，然后再比较大小即可． 【详解】解：（1）∵小正方形的面积为16， ∴， ∵每个直角三角形较小锐角为， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：． （2）∵小正方形的边长为c， ∴小正方形的面积为， ∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， ∵四个全等的直角三角形的面积为：； ∴小正方形的面积可以表示为： ， ∴； （3）不正确；理由如下： 将长方体盒子侧面，展开成平面图形，如图所示： 连接，在中， ， ∵ ， ∵， ∴， ∴， 即l的最小值为． 【核心考点三 将军饮马型最短路径问题】 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，一个密封的圆柱形油罐底面的周长是，高是，一只壁虎在距底面的点处，油罐上底面与点相对的点处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到点处捕食，它爬行的最短路程为多少米？ 【答案】它爬行的最短路线长为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把圆柱进行展开，得和的值，根据勾股定理进行列式，即可作答． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：，， 则 答：它爬行的最短路线长为． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答． 【答案】图见解析，蚂蚁爬行的最短路径长为． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 【答案】13公里 【分析】此题考查了轴对称中最短路径问题在生活中的应用，将此题转化为轴对称问题，作出点关于河岸的对称点，根据两点之间线段最短得出的长即为将军要走的最短路程，利用勾股定理解答即可． 【详解】作点关于河岸的对称点，连接交河岸与，连接，则， 则最短，故将军应将马赶到河边的地点． 作，且， ，，， 四边形是矩形， ， 在中， ， 答：将军最短需要走13公里． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4． (1)请作出使和最小的点P． (2)请求出最小值． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题以及勾股定理． （1）作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小； （2）由（1）可得的最小值，过点B作于点C，设与直线交于点O，再利用勾股定理求解，即可求得答案． 【详解】（1）解：作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小； （2）解：由（1）， ∴， 过点B作于点C，设与直线交于点O， 则， ∴， ∴， ∴最小值． 5．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？ 【分析问题】 如图，取点关于河岸线的对称点，连接，，当三点共线时，点为饮马的地方，，此时所走的路程就是最短的． 【解决问题】 （）当三点共线时路程最短的依据是 ； 【迁移应用】 （）如图，两个村庄在河岸 的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，(千米，现要在河岸上建一水厂，从处向铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管道长度和最少． ①请在河岸上作出水厂的位置，并写出作图过程； ②若铺设水管的工程费用为元/千米，求出铺设水管最节省的总费用． 【答案】（）两点之间线段最短；（）①作图见解析；②元． 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，两点之间线段最短，掌握轴对称的性质是解题的关键． （）根据两点之间线段最短即可求解； （）①如图，延长到点，使，连接交于点，点即为所求；②过点作的延长线于点，则，千米，千米，即得千米，利用勾股定理求出，即得到最短路线的长度，进而即可求解； 【详解】解：（）当三点共线时路程最短的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （）①如图，延长到点，使，连接交于点，点即为所求； ②过点作的延长线于点，则，千米，千米， ∴千米， ∴千米， ∴最短路线千米， ∴铺设水管最节省的总费用为元． 6．（23-24八年级下·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【答案】，，轴对称的性质，，三角形三边关系；【模型应用】17． 【分析】由轴对称的性质和三角形三边关系解答即可； 把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，由【归纳总结】可得出最短路程为，再结合勾股定理求解即可． 【详解】理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴，，（依据轴对称的性质） ∴． 在中，∵，（依据三角形三边关系）， ∴，即最小； 故答案为：，，轴对称的性质，，三角形三边关系； 【模型应用】解：把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，    ∴． 由【归纳总结】可知蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． ∵， ∴， ∴． 又∵圆柱形玻璃杯底面周长为， ∴， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． 故答案为：17． 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形三边关系的应用，勾股定理．理解题意，掌握轴对称的性质是解题关键． 【核心考点四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图所示，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，求的长． 【答案】 【分析】由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，，得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长．本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， 2．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，，，点D是边上一点．若沿将翻折，点C刚好落在边上点E处，求的长．    【答案】 【分析】由勾股定理求出，设，则，由折叠可得，，进而得出，由勾股定理列方程求出x即可. 【详解】解：∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 沿将翻折，点C刚好落在边上点E处， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理与折叠问题，利用勾股定理列方程是解题的关键. 3．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知在中，，，，点D，E分别在边，上，连结，．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一直线上，连结． (1)求证：是直角三角形； (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用折叠的性质，根据题意建立方程． （1）根据折叠的性质可得，，再根据平角的性质可得，从而推算出，最终得到； （2）根据和两种情况展开讨论，当，设可得,根据折叠的性质得,再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当，可得是的中点，设，,可得，根据折叠的性质得，建立方程解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：根据题意得，， ， ， ， 即， 是直角三角形； （2）①当时，设， 得， ， ， 在中， ， ∴； ②当时， ， 是的中点， ， ∴， 设，则， ∴， ， ∴， ∴， ∴当或时，是以为腰的等腰三角形． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点H为边上的一点，，，，． (1)求的长； (2)已知点E为线段上一点，为等腰三角形，求线段的长度； (3)点P是直线上任意一点，把沿着直线翻折，直接写出当为何值时，点H翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1)的长为10 (2)线段的长度为4或6或 (3)或 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，在根据勾股定理即可解答； （2）当时，根据等腰三角形的性质可解答；当点E在线段上，且时，根据可得答案；当时，根据勾股定理可得答案； （3）设，分别当点P在线段上时，或点P在延长线上时，根据，在中，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ，， 的长为10； （2）解：①当时： ，， H为中点， ， ； ②当点E在线段上，且时： ， ， ， ③当时：如图 在中 ，， ， 综上所述，线段的长度为6或4或； （3）①如图，当点P在线段上时： 设，则， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； ②如图，当点P在延长线上时，连接， 设，则，， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质和判定，翻折变换，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质、及分类讨论是解题的关键． 5．（24-25八年级下·福建宁德·期中）问题提出： （1）如图1，在中，，是BC边上的高，，，则______． 方法探究： （2）如图2，在中，是边上的高，，，，求的长． 问题解决： （3）如图3，在中，是边上的高线，，，，以直线为对称轴将翻折后得到，连接，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）根据勾股定理和等面积法即可求解； （2）根据勾股定理即可求解； （3）连接交于点，则，过点作交延长线于，先求出，再求出，设，则，由勾股定理得出，求出m的值，即得，最后再由勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设， 是边上的高， 在和中， 即， 解得， ； （3）如图，连接交于点，则，过点作交延长线于， 在中，， 垂直平分， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，， ． 6．（24-25八年级下·吉林长春·期中）在中，，射线交射线于D，过D作垂直射线于点E，点F在射线上，． (1)如图1，若是的角平分线，求证：； (2)如图2，若射线平分的外角，且点F在射线上，则线段和的数量关系是什么，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，把过沿翻折至处，若，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)18 【分析】（1）由角平分线的性质定理得，则可证明，从而有，则可得结论成立； （2）由角平分线的性质定理得，证明，从而有，则可得； （3）由（2）知，可证明，则，，由勾股定理求得；设，，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；由对称及知，，由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 即； （2）解：； 理由如下： ∵是的外角平分线，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 即； （3）解：由（2）知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得； 设，则， 在中，， 即， 解得：； 由对称知，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理，折叠的性质等知识点，主要考查了学生运用性质进行推理的能力，运用这些性质与定理是解题的关键． 【核心考点五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形（长方形），，，将沿对角线翻折，使点B落在点处，与轴交于点D，求点D的坐标．    【答案】D的坐标为 【分析】根据题意由折叠的性质可知，易得设则，在中，由勾股定理得，进一步求得D的坐标,并且主要考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用问题，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得：， ∴点D的坐标为： 2．（23-24八年级下·江西赣州·期中）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：． 类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积． 【答案】（1）见解析（2）13 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式； （1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案． 【详解】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为． ∴， ∴； （2）解：如图2，则空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积. 3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形中，，，P为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点O，G，且． (1)试说明：； (2)求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握各知识间的联系和运用是解答的关键． （1）首先由折叠的性质得到，，，然后证明出，得到，进而求解即可； （2）由（1）可知，设，则，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：因为四边形是长方形，，， 所以，，． 由翻折的性质，得，，， 所以． 在和中， 因为，，， 所以， 所以， 因为，， 所以； （2）解：由（1）可知， 设，则，， 所以， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以． 4．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形为一个长方形，，，动点自点出发沿方向运动至点后停止．以直线为轴翻折，点落到点的位置．设，与原纸片重叠部分的面积为．   　　   (1)当为何值时，直线过点？ (2)当为何值时，直线过的中点？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠得出，，， 在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理得出方程，求出x即可； （2）连接，求出，在中，根据勾股定理求出，进而求得，，在和中，根据勾股定理得出方程，求出x即可． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形为一个长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得， ，，， 直线过， ， 在中，， 则 在中， 即， 解得， 当时，直线过点； （2）如图，在图中位置，连接，    为的中点， ， 在中，, ，， ，， 在和中，由勾股定理得 ， 则， 解得， 当时，直线过的中点． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，长方形的性质、解一元一次方程等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，用了分类推理思想． 5．（23-24八年级下·北京海淀·期末）通过学习特殊的四边形我们知道平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，所以平行四边形可以看成是一个三角形通过图形变换后与原三角形组成的．如图1，平行四边形可以看作是由绕的中点O旋转得后组成．小亮把以边所在直线为对称轴翻折得到，这两个三角形组成四边形（如图2），这也是一种特殊的四边形——筝形，请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形． (1)首先请你给出筝形的一种定义：___________； (2)通过观察、测量等探究，在边，角，对角线的关系方面写出两条对筝形性质的猜想（定义除外），并选取其中的一条猜想进行证明； (3)如图3，在筝形中，，求筝形的面积． 【答案】(1)把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”； (2)见解析； (3)． 【分析】本题以平行四边形为几何背景，考查了特殊的四边形——筝形，涉及了折叠的性质以及勾股定理等知识点，旨在考查学生的知识迁移能力． （1）根据折叠的性质即可求解； （2）由折叠知，据此即可求解； （3）连接，过点A作交的延长线于H，可证得，根据、即可求解． 【详解】（1）解：根据折叠的性质得，， 即把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”， 故答案为：把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”； （2）解：如图2，①筝形的一条对角线平分一组对角； ②筝形的一组对角相等； 证明：①由折叠知，， ∴； 即筝形的一条对角线平分一组对角； ②由折叠知，， ∴； 即筝形的一组对角相等； （3）解：连接，过点A作交的延长线于H， 由折叠得， ∴， 在中，， ∴， ∴ 根据勾股定理得， ∴ ∴． 6．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图1，在长方形中，已知，，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． (1)填空：______；（用含t的代数式表示） (2)求证：； (3)如图2，射线恰好经过点B，试求此时t的值； (4)当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，直接写出所有符合题意t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)； (4)存在，或． 【分析】（1）根据，点P的运动速度即可得出代数式； （2）根据折叠的性质及平行线的性质即可得出结论 （3）先证，得，根据折叠性质得，根据勾股定理得，可得结论； （4）分两种情况：点E在矩形的内部时，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，先求解，求解，再建立方程求解即可；当点E在矩形的外部，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动， ， ， 故答案为：． （2）∵沿着翻折得到， ∴， ∵在长方形中，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵沿着翻折得到， ∴，，， ∴， ∴在中，，，， ∴， ∴ ∴； （4）存在，分两种情况： 当点E在矩形内部时， 如图，如图，过点P作于H，过点Q作于G， ， ∵， ， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ， ， ， ∴ ∴， ， 解得：； 经检验，符合题意， 当点E在矩形的外部时 如图， ∵， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，（此时P与C重合），      综上，存在这样的t值，使得，t的值为秒或5秒． 【点睛】本题考查长方形的性质、几何动点问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题． 【核心考点六 勾股定理中的线段的平方和模型】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）在中，两条直角边的长c，a满足． (1)求长的平方． (2)求的面积． 【答案】(1)41 (2)10 【分析】（1）先根据绝对值和平方的非负性求出c和a，再根据勾股定理即可求出答案； （2）直接利用三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ； （2）的面积． 【点睛】本题考查了完全平方式、非负数的性质和勾股定理，属于基础题，解题的关键是求出a和c的值． 2．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）如图①,在直角三角形中， ,则有,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的“勾股定理”． 请利用上面的“勾股定理”，解决下面的问题: 如图②，在三角形中,,求的长； 如图③，线段垂直于数轴, ,请在数轴上找出表示的点． 【答案】；见解析 【分析】（1）根据勾股定理即可求得AB的长； （2）以O为圆心，OM长为半径作弧，交数轴的正半轴与P，即为所求． 【详解】解： ； 由可知，以为圆心长为半径画圆，交轴正半轴一点,这个点就是点； . 【点睛】考查了实数与数轴，勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 3．（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）八年级下半学期的学习中，我们将接触到几何学上的明珠——勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．如图1是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，则可以通过等面积法验证得到：． (1)如图2，和都是等边三角形，点D在内部，连接、、．请求出与的数量关系，并写出证明过程； (2)若，，，利用勾股定理的结论，则的长为________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理， 根据题意得，，，则，利用证明，则有； 根据题意得，，利用勾股定理，即可知． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）阅读材料：如图1，如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． (1)若直角三角形两直角边长分别为3和4，则斜边长为 ； (2)如图2，中，，设AC长为x，BC长为y，，中，，． ①请用含有x，y的代数式表示的面积 ； ②四边形CADB的面积是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)①；②四边形CADB的面积为定值，为16 【分析】（1）直接根据勾股定理，即可求解； （2）①根据勾股定理可得，，可得，再由，即可求解；②根据，即可求解． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得：斜边长为； 故答案为：5 （2）解：①∵ ， ∴， ∵∠D=90°， ∴， ∵AD=BD， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ②四边形CADB的面积为为定值，理由如下： =16 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，明确题意，理解勾股定理是解题的关键． 5．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若是中边上的高，且，则称为勾股高三角形，点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，是中边上的高，已知，，，请通过计算说明是否是勾股高三角形． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，且，是边上的高．探究线段与的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （3）如图3，为勾股高三角形，其中为勾股顶点，且，为边上的高，过点作，垂足分别为．若，求的值． 【答案】（1）是勾股高三角形．证明见解析；（2），证明见解析；（3）． 【分析】本题考查的是新定义的含义，勾股定理的应用，二次根式的运算； （1）先计算，，再结合新定义可得结论； （2）由，可得结论； （3）设，则，结合（2）得：，，再求解，从而可得结论． 【详解】解：（1）∵是中边上的高，，，， ∴，， ∴， ∴是勾股高三角形． （2）由可得：， 而， ∴，即； （3）∵， 设，则， 结合（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 6．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）综合与应用 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）就巧妙地利用面积法证明了勾股定理．运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下： 如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，则：，化简得．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【类比探究】 （1）数学兴趣小组的同学也对勾股定理的证明进行了探究，他们惊喜地发现：将两个全等的直角三角形纸片如图2方式摆放，并连接，利用两种方法表示四边形的面积，也可以证明勾股定理，请你利用图2写出证明过程； 【应用拓展】 （2）兴趣小组的同学继续大胆探究，他们在几何图形中，通过构造直角三角形，并应用勾股定理，来研究一些线段之间的数量关系．如图3，是边上的高． ①请你证明：； ②在图3中，若，，M是上的任意一点，直接写出的值； （3）兴趣小组的同学进一步探究猜想：如图4，在四边形中，若，垂足为点P，则四条线段，，，之间也存在着等量关系，请你用式子表示这个等量关系（不用证明）． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析，②28；（3） 【分析】（1）连接，过点作边上的高，则由．，则，化简即可求证； （2）①在及中，，，等量代换即可求证；②，同①可得即可求解； （3）同上可得：,变形即可求证． 【详解】解：（1）证明：连接，过点作边上的高，则． ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ． 又 ； （2）①证明：是边上的高， 在及中， ，， ，即 ②解：∵， ∴， 同①可得， ∴； （3）∵， 同上可得：, ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，全等三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【核心考点七 勾股定理中的最值问题】 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在网格上；      (1)在直线l上找一点P，使得的周长最小并写出最小值为 ； (2)的面积是 ． 【答案】(1)见解析，的周长最小值为 (2) 【分析】本题考查了割补法求图形面积，两点间线段最短等知识，熟悉这些知识是解答本题的关键． （1）首先作出点A关于l的对称点，连接交直线l于点P，则点P即为所求作的点，然后利用勾股定理求出和，进而求解即可； （2）用割补法即可求得． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求；    ∴， ∴ ∴的周长最小值为． （2）解：的面积． 2．（23-24八年级下·广东中山·期中）明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是，为固定张角α大小的锁链． (1)求锁链长度的最大值； (2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)锁链长度的最大值为 (2)桑梯顶端D到地面的距离为 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等等； （1）根据当时，锁链长度的最大，可得是等边三角形，即可求解； （2）过点D作，垂足为E，在中，用勾股定理即可求解 【详解】（1）解：（1）由题意得：当时，锁链长度的最大， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴锁链长度的最大值为； （2）（2）过点D作，垂足为E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴此时桑梯顶端D到地面的距离为． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期中）（1）如图1，直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小，请作出示意图，在直线上画出点（要有必要的画图痕迹，不用写画法）：      （2）如图2，中，，，，是的中点，是边上的一动点，画出点，使得的值最小，并直接写出的最小值； （3）如图3，点在内部，点，分别在射线，上，若周长最小，画出示意图，标出点，点． 【答案】（1）见详解；（2）6；（3）见详解 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求； （2）作点E关于直线BC的对称点，连接，交于P，点P即为所求；． （3）分别作Q关于的对称点，连接，交于，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：（1）如图，点即为所求作的点．    （2）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，    在中，， ， ，， 因为点E是的中点，由对称性可得， ， 的最小值E′A的值为：． （3）作法：（Ⅰ）作Q关于的对称点C， （Ⅱ）作点Q关于的对称点D， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N， 则的周长最小．    【点睛】本题考查了轴对称的应用-最短距离问题，直角三角形的性质及勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 4．（24-25八年级下·重庆南岸·期中）在中，，D为平面内一点． (1)如图1，若点D在边上，延长到点E，使得，连接，，垂足为点F，，，求的长． (2)如图2，若点D在内，连接，，延长到点E，使，连接，，垂足为点H．猜想，，的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若点D为边上一动点，点E为边上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明为的垂直平分线，得，根据勾股定理求出，然后利用三角形的面积即可得解； （2）由“”可证得出，，从而推出，结合题意得出，最后由勾股定理即可得解； （3）作于B，且，连接交于E，证明，得出，从而得到，由两点之间，线段最短可得，此时的的值最小，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴三角形的面积， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，延长到F，使，连接，， ∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵ ∴， 由勾股定理可得：， ∴； （3）解：如图3，作于B，且，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，由两点之间，线段最短可得，此时的的值最小， 过点F作直线于点H，得四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的最小值是． 5．（24-25八年级下·广西南宁·期中）【阅读材料】学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)如图1，由边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看作由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和等于大正方形的面积．即可得到一个乘法公式_____． (2)思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为，，，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到，，之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②问题解决：如图3，直线为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点到引水点的距离为12米，渠岸上点到引水点的距离为5米，且．现需在渠岸上选一点开沟，求水沟的最小值． 【答案】(1)（完全平方和公式） (2)①，理由见详解；②水沟的最小值为米 【分析】本题主要考查乘法公式与几何图形面积的计算，全等三角形的性质，勾股定理的运用，理解图示中面积的计算，掌握乘法公式，勾股定理的计算是解题的关键． （1）根据大正方形的面积与图形中个部分面积的关系即可求解； （2）①根据题意可得，则有，，，，根据图形面积的计算方法得到，，，最后根据，代入计算即可求解；②运用勾股定理可得米，根据点到直线垂线段最短，过点作，此时的值最小，由，即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可得， 故答案为：（完全平方公式）； （2）解：①，理由如下， 有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为，，， ∴， ∴，，， ∴， ∵，，，， ∴， 整理得，； ②根据题意，（米），（米），， ∴（米）， 根据点到直线垂线段最短， ∴过点作，此时的值最小， ∵， ∴（米）， ∴水沟的最小值为米． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在中，，于点D．设． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a、b的代数式表示，则 ； 小颖说：也可以用含a、b、m的代数式表示，则 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则 ； 小亮说：可以用含a、b的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 ； （2）若的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【答案】（1），，；（2）（3）32 【分析】（1）利用勾股定理根据在直角三角形中，在直角三角形中分别得到和用，，表示的式子，相加即可得到的值；根据小明和小颖得到的结论，整理即可得到用，表示的式子；易得的斜边上的中线大于或与重合，可得与的大小关系； （2）根据的面积为6，用直角三角形的斜边和斜边上的高表示出的面积，进而根据（1）中最后一问得到的结论，用含的式子表示，即可得到的最大值； （3）设图2中与墙平行的边长，垂直于墙的边长．根据（1）中得到的结论：，那么，进而可得所有虚线的和为，根据，整理可得所有虚线和的最小值． 本题考查勾股定理及由勾股定理得到的新知识的应用．由勾股定理延伸得到结论，并对其进行应用是解决本题的关键． 【详解】解：（1）， ． ，． ． ， ． 整理得：． （取正值）． 设是的斜边上的中线． ①若为一般的直角三角形， 则． ②若为等腰直角三角形． 则． 综上． ． 故答案为：，，； （2）的面积为6， ． ． ， ． ， ． 的最大值为； （3） 设图2中与墙平行的边长，垂直于墙的边长． 面积为32平方米， ． 由（1）得：， ． ． ． ． 小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为32米． 【核心考点八 勾股定理常考模型综合】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级下册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程．· 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键．根据，列出等式并整理可证． 【详解】证明：连接， 由图形可知， 则 ． ∴． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）“欲穷千里目，更上一层楼”下面我们利用数学知识计算，到底要登上多少层楼才能“穷千里目”，如图，圆弧代表地球剖面的一部分，圆心为O，为直立于地面的某高层建筑，A、B、O在同一条直线上，为站在楼顶处的视线，、与地球半径构成了．设，地球半径为，楼每层高约为，求楼至少要多少层才能“穷千里目”．（参考数据：） 【答案】层 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意求得。即可求解 【详解】解：在直角三角形中， ，， ∴， ∵， ∴.， ∴楼的层数为. 答:楼至少要层才能“穷千里目”. 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，中，是高，连接，取的中点F、G，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等知识； （1）连接根据垂直定义可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答； （2）利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，再利用三角形内角和定理可得，同理，从而可得，最后利用平角定义可得从而可得为等边三角形．再利用等边三角形的性质可得，从而可得，再利用垂直定义可得，从而利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：． 理由如下：连接． ∵是高， ∴， 又∵F是的中点， ∴． 同理，， ∴． ∵，G是的中点， ∴． （2）∵F是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 同理． ∴． ∴． ∵，， ∴为等边三角形． ∴． ∵G是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）为直角三角形，，点D为斜边的中点，点E，F分别为直线上的动点，运动过程中，始终保持． (1)如图1，当点F与点B重合（重合的点记为点B）时，连接，试判断，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，当射线交线段于点E时，求证：； (3)若，，在点E，F运动过程中，当时，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)的面积为或11． 【分析】本题考查的是三角形全等、面积的计算、勾股定理的运用等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）在中，，垂直平分，则，即可求解； （2）证明，则，，则，进而求解； （3）当射线交线段于点E时，由，得到，当射线与直线的交点E在点C的右侧时，同理可解． 【详解】（1）解：，理由： 在中，， ∵垂直平分，则， 即； （2）证明：过点A作交的延长线于点M，连接， 则，，， 而， 则， 则，， 则， 则中，， 同理可得：， ∴； （3）解：当射线交线段于点E时， ∵， ∴， 而，即， 解得：， 则， 则的面积； 当射线与直线的交点E在点C的右侧时，如下图， 同理可得：，即， 解得：，则， 则的面积； 综上，的面积为或11． 5．（24-25八年级下·全国·期末）在解答几何题目时，常常用到“中线倍长法”． (1)证明体验：如图，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：． (2)迁移应用：如图，在中，，是的中点，是边上一点，连接交于点．若．求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用证明即可； （）延长到，使得，连接，同理（）可得，得到，，进而可证明，设，则，，在中由勾股定理得，解方程即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，延长到，使得，连接， 由（）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中由勾股定理得，， ， 解得， ． 6．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）【发现问题】 小红在做题时遇到了下面的问题，请你帮小红完成下面的证明． （1）如图①，在和中，，，和的周长都等于12．求证：． 【提出问题】 小红于是想知道：两个直角三角形若满足一组直角边对应相等，并且周长也相等，那么这两个直角三角形全等吗？ 如图②，在和中，，，和的周长相等． 求证：． 【解决问题】 下面是小红对这个问题的探究过程． （2）根据小红的探究，请将下列过程补充完整； 设，的周长＝的周长＝，． 在中，根据勾股定理，得关于的方程______． 解得；同理可得．由此可得．又，根据______，可以知道． 小红进一步思考，除了可以用上面严谨的推理过程验证自己的猜想，也可以模仿教科书里利用“尺规作图”的方式来验证； 小红在作图时遇到了困难，偶然的机会，她阅读到下面方框的材料，受到了启发． 如图③，在和中，分别延长，至，，使得，，连接，． （3）如图④，已知线段，．用直尺和圆规求作一个，使，，的周长为．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】（发现问题）答案见详解：（解决问题），，见详解，（3）见详解 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、尺规作图、解方程，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （发现问题）设，则，在中，根据勾股定理，解得；同理设，求得．由此可得．结合即可证明； （解决问题）（I）设，的周长的周长，．则，在中，根据勾股定理，解得；同理可得：．由此可得．又，根据可证 ； （II）根据已知得和，即可证明，有，进一步得和，那么，利用即可证明； （3）在线段上截取，过点B作，使得，连接，作线段的垂直平分线交于点C，连接，即为所求； 【详解】解：（发现问题）设， ∵，和的周长都等于12， ∴， 在中，根据勾股定理，得： ，即，解得； 同理可得：设，可得． 由此可得． ∵， ∴； （解决问题） （2）（I）设，的周长的周长，． ∴， 在中，根据勾股定理，得： ， ∴， 解得； 同理可得：． 由此可得．又， 根据，可以知道． 故答案为：，； （II）∵，且和的周长相等， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，即为所求； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$