第8章整式的乘法单元测试（能力提升卷）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（苏科版）

第8章整式的乘法单元测试（能力提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共28题，其中选择8道、填空10道、解答10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式，利用单项式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选B 2．（23-24七年级下·江苏南京·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了整式的混合运算．根据多项式乘多项式的方法，以及完全平方公式和平方差公式，逐项判断即可． 【详解】解：， 选项A符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； ， 选项D不符合题意． 故选：A． 3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如果与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键． 根据与的乘积中不含的一次项，可得，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：D． 4．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式．运用平方差公式时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 【详解】解：A、不存在相反数的项，不能运用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、，符合平方差公式的要求，故此选项符合题意； C、不存在相同的项，不能运用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D、，不能运用平方差公式计算，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．（2024七年级下·江苏·专题练习）当时，代数式的值是（　　） A． B． C． D．98 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 先根据整式乘法法则算乘法，再合并同类项，再把a的值代入计算即可求出答案． 【详解】 当时， 原式 故选：A． 6．（18-19八年级上·全国·单元测试）观察如图所示的两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（　　） A．， B．，4 C．3， D．3，4 【答案】A 【分析】本题主要考查完了多项式乘多项式的法则的运用，多项式与多项式相乘，根据题意，即可得出，，进而得到，的值可能分别是，． 【详解】解：根据题意，知：，， ∴，的值可能分别是，， 故选：A． 7．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）对任意自然数n，关于代数式的值，下列说法错误的是（    ） A．总能被6整除 B．总能被5整除 C．总能被4整除 D．总能被3整除 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵n是自然数， ∴也是自然数 ∴一定能被3，被4和被6整除，不一定能被5整除， 故选：B． 8．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（     ） A．24 B．29 C．41 D．45 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，设甲正方形的边长为x，乙正方形的边长为y，根据题意得，，两式相加可得，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积，代入计算即可． 【详解】解：设甲正方形的边长为x，乙正方形的边长为y， 则，，， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵图2的阴影部分面积为， ∴， ∴， ∴图1的阴影部分面积为， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 9．（23-24七年级下·江苏徐州·期中） ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则和同底数幂相乘的运算法则是解题的关键． 运用单项式乘以单项式法则计算即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键．首先根据，可得，把代入，然后把代入化简后的算式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 11．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）如果是个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键． 根据完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵是个完全平方式， ∴， ∴或， 解得，或， 故答案为：或 ． 12．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知 ，代数式 ，则的值是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． 先把进行平方，再根据，得到的值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故． 故答案为：2. 13．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，进而求出的值，进一步求出代数式的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 14．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）已知，，则M，N的大小关系是M N（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】利用求差法比较大小即可．本题考查整式的加减，配方法的应用，非负数的性质：偶次方等知识，解题的关键是学会利用求差法比较大小． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ∴． 故答案为：> 15．（2024七年级下·全国·专题练习）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了；结果得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加法，整式的乘除法，准确熟练地进行整式的运算是解题的关键． 根据题意可得，从而求出，然后再计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来，即．例如：当时，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式求和，恒等式的问题，根据，把代入，然后通过法则进行计算对比即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，且中二次项系数为， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）大家一定熟知杨辉三角形（I），观察下列等式（Ⅱ）． 根据以上规律，的展开式中的系数是 ． 【答案】15 【分析】此题考查了整式类规律探索问题，解题的关键是理解题意，找到式子之间的规律是解题的关键．观察杨辉三角和已知等式，得出规律，求得每一项的系数，确定为第几项，即可求解． 【详解】解：观察杨辉三角和已知等式，可得有6项，每项系数分别为 、、、、、， 有7项，每项系数分别为： 、、、、、、， 而为第三项，所以系数为15． 故答案为：15． 18．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）将两个边长分别为a和b的正方形按图1所示方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为．若，，则 ． 【答案】77 【分析】此题考查了整式混合运算的应用，先计算出，，，，根据完全平方公式变形计算的值，正确理解图形及掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由图可知：，； ∴， ∵ ∴ ∴， ∴； 故答案为77． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可． （2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 20．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式、平方差公式和完全平方公式，正确运用乘法公式计算是解题关键． （1）直接利用平方差公式计算得出答案； （2）首先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算得出答案． 【详解】（1） ； （2） ． 21．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）变形求值： (1)化简求值，其中． (2)已知．求代数式的值． 【答案】(1)，10 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算一化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）解：由条件可知， ， 得， ∴． 22．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，单项式乘上多项式，根据算成了加上，得到的结果是，算出该多项式是，再根据正确的乘法运算进行计算化简，即可作答． 【详解】解：∵算成了加上，得到的结果是， ∴这个多项式： ∴乘积为： 23．（七年级下·全国·课后作业）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的、的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：． 请你用上述方法解决问题：已知，求的值． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案． 本题考查了单项式乘多项式，整体代入是解题关键． 【详解】解： ． 24．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法的规律，根据题意找到规律是解题的关键. （1）根据题意得到规律即可； （2）由即可得到答案； （3）设①，则②，①＋②后即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意可得， 故答案为： （2）由题意可得， ， ∴ 故答案为： （3）设① 则② ①＋②得， ∴ 25．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】(1)， ； (2)216． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当，时， ； 26．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)________． (2)的商是________，余式是________． (3)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图3）．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长（用只含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式乘法和除法；根据题意找出规律是解决此题的关键． （1）根据题意，结合法则找规律计算即可； （2）结合题意，根据多项式除以多项式的法则列竖式计算即可； （3）利用面积关系求长方形的边长即可． 【详解】（1）解：， 用竖式计算如下： 故答案为：； （2）解：．用竖式计算如下， 的商是，余式是， 故答案为：； （3）长方形的周长为：， 长方形的周长为：， ∵长方形的周长是周长的2倍， ， ， ∴长方形的面积为：， ∴长方形的面积为：， ∴长方形的另一边长为：， ∴长方形的另一边长为：． 27．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”．我们通过拼图观察、感受整式乘法和因式分解，体现了“数形结合”的数学思想下．面，我们一起来探索其中的规律． 如图1，有若干张A，B，C三种不同型号的纸片，其中A型纸片是边长为a的正方形，B型纸片是长为a、宽为的长方形，C型纸片是边长为b的正方形．    (1)用上述三种卡片拼出图2，通过两种方法计算图2的面积，可以得到一个等式： ； (2)现有A，B，C三种型号的纸片共6张，用这6张纸片拼成一边长为的长方形，每种卡片至少选一张，请画出两种符合条件的示意图； (3)现有A，B，C三种型号的纸片若干张，用这些纸片拼成一边长为的长方形，每种卡片至少选一张，设需要A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张（x、y、z是正整数），写出x、y、z之间满足的等量关系是 ，并请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积： （1）一种方法为拼出图形的长和宽相乘，另一种方法为几种卡片面积之和； （2）1张A型卡片和1张B型卡片拼接，可使长方形的一边长为，再加2个B型、2个C型，或再加2个B型、1个A型、1个C型，即可得到符合条件的图形； （3）观察（2）中图形可得每1个A型或C型卡片，一定需要配合1张B型卡片，才能拼出满足条件的图形，由此可得答案． 【详解】（1）解：图2的面积可以表示为，也可以表示为， 故答案为： ； （2）解：      （3）解：x、y、z之间满足的等量关系是，理由如下： 由（2）中图形可得每1个A型或C型卡片，一定需要配合1张B型卡片，才能拼出满足条件的图形， 因此． 28．（21-22七年级下·江西抚州·期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 【答案】(1)5(2)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，平方差公式．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，则，再根据进行求解即可； （2）①正方形边长为x，则，再由结合图形可以表示出与； ②设，则，据此可得，则，阴影部分面积，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴ ； （2）解：①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、 ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是4 8 ， ， 设， ∴，     ， ， 又， ， ∴阴影部分面积 即阴影部分的面积是 ． 14 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章整式的乘法单元测试（能力提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共28题，其中选择8道、填空10道、解答10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏南京·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如果与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024七年级下·江苏·专题练习）当时，代数式的值是（　　） A． B． C． D．98 6．（18-19八年级上·全国·单元测试）观察如图所示的两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（　　） A．， B．，4 C．3， D．3，4 7．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）对任意自然数n，关于代数式的值，下列说法错误的是（    ） A．总能被6整除 B．总能被5整除 C．总能被4整除 D．总能被3整除 8．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（     ） A．24 B．29 C．41 D．45 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 9．（23-24七年级下·江苏徐州·期中） ． 10．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若，代数式的值是 ． 11．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）如果是个完全平方式，那么的值是 ． 12．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知 ，代数式 ，则的值是 ． 13．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若，则 ． 14．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）已知，，则M，N的大小关系是M N（填“>”、“<”或“=”）． 15．（2024七年级下·全国·专题练习）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了；结果得，则 ． 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来，即．例如：当时，．若，则 ． 17．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）大家一定熟知杨辉三角形（I），观察下列等式（Ⅱ）． 根据以上规律，的展开式中的系数是 ． 18．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）将两个边长分别为a和b的正方形按图1所示方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为．若，，则 ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 20．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 21．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）变形求值： (1)化简求值，其中． (2)已知．求代数式的值． 22．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 23．（七年级下·全国·课后作业）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的、的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：． 请你用上述方法解决问题：已知，求的值． 24．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 25．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积． 26．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)________． (2)的商是________，余式是________． (3)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图3）．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长（用只含有的代数式表示）． 27．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”．我们通过拼图观察、感受整式乘法和因式分解，体现了“数形结合”的数学思想下．面，我们一起来探索其中的规律． 如图1，有若干张A，B，C三种不同型号的纸片，其中A型纸片是边长为a的正方形，B型纸片是长为a、宽为的长方形，C型纸片是边长为b的正方形．    (1)用上述三种卡片拼出图2，通过两种方法计算图2的面积，可以得到一个等式： ； (2)现有A，B，C三种型号的纸片共6张，用这6张纸片拼成一边长为的长方形，每种卡片至少选一张，请画出两种符合条件的示意图； (3)现有A，B，C三种型号的纸片若干张，用这些纸片拼成一边长为的长方形，每种卡片至少选一张，设需要A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张（x、y、z是正整数），写出x、y、z之间满足的等量关系是 ，并请说明理由． 28．（21-22七年级下·江西抚州·期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 4 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$