1.1.1锐角三角函数（正切课件）-2024-2025学年北师大版数学九年级下册

1.1.1 锐角三角函数-正切 第一章 直角三角形的边角关系 直角三角形 两锐角关系 三边关系 互余 勾股定理 边角关系 30 角所对的直角边等于斜边的一半 复习检查:(2分钟) 学习目标:(1分钟) 1.通过生活中梯子倾斜的引例,经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义,并会用正切值来判断梯子或斜坡的陡与缓. 2.会用正切表示直角三角形中两直角边的比,并能进行简单的计算. 自学指导1:(7分钟) 2m 3m 梯子是我们日常生活中常见的物体. 在图(1)、(2)中,同一图中梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法? (1) (2) 点拨:从角度,直角边的比值分析 图(1)梯子AB更陡,图(2)梯子EF更陡 若小明不能顺利测量梯子顶端到墙脚BC的高度,进而无法刻画梯子的倾斜程度,他该怎么办? A C1 B1 C B C2 B2 C2 B2 B1 C1 A B C 证明:∵∠A=∠A ∠ACB = ∠AC1B1=∠AC2B2 ∴ Rt ACB ∽ Rt AC1B1∽Rt AC2B2 定义:在Rt ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比随之确定,这个比叫做∠A的正切(tangent).记作:tanA B A C ∠A的邻边 ∠A的对边 tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 tanA的值越大,梯子越陡。 = BC AC 定义中的几点说明: 1.初中阶段,正切是在直角三角形中定义的, ∠A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA﹥0 且没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比(注意顺序: ). 4.tanA不表示“tan”乘以“A ”. 5.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. (2分钟) 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 A B C 锐角A的正切值可以等于1吗?为什么?可以大于1吗? 对于锐角A的每一个确定的值,tanA都有唯一的确定的值与它对应. 解:可以等于1,此时为等腰直角三角形;也可以大于1,甚至可逼近于无穷大. 议一议 自学检测1:(8分钟) 1. 在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=7,BC=5,则 tan A=_,tan B =_. 互余两锐角的正切值互为倒数. 2.下图中∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边. A B C D (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC 4.如图,在Rt ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值( ) A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 A B C C 3.已知∠A,∠B为锐角, (1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B. = = 5.下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 【解析】: 乙 5m 13m 6m 8m 甲 ∵ tan > tan , ∴甲梯更陡. 6.如图,点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为 ,tan =,则t的值是( ) A.1 B.1.5 C.2 D.3 7.如图,将∠AOB放置在5 5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是( ) A. B. C. D. C B 自学指导2:(2分钟) A B D 坡度越大,坡面越陡。 即坡度等于坡角的正切 坡面与水平面夹角称为坡角。 60米 100米 A C B C 正切通常也用来描述山坡的坡度. i=tan A= = 0.6 自学检测2:(8分钟) 1.如下图,某人从山脚A处走了1000米爬到了山顶B处,该山顶到达的高度h为500米,则该山坡的坡度是 2.河堤横断面如上图所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡度是 1: 3 ,则AC 的长是( ) A. 米 B.10米 C.15米 D. 米 A B C A B C A A B C. 3.如图, 位于6 6的方格纸中, 则 = . D E 4.如图所示,梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3,坝高BC=2米,则斜坡AB的长是多少? 解:∵∠ACB=90 ,坡度为1∶3, ∵BC=2米,∴AC=3BC=3 2=6(米). 答:斜坡AB的长是 米。 当堂训练:(10分钟) B C A (1)在Rt ABC中∠C=90 ,BC=5, AC=12,tanA=( ). (2)在Rt ABC中∠C=90 ,BC=5, AB=13,tanA=( ),tanB=( ). (3)在Rt ABC中∠C=90 ,BC=5,tanA= , AC=( ). 1.完成下列填空: 2.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中, ABC的三个顶点均在格点上,则tanA= ( ) A. B. C. D. D 这个图呢? 3.如图,P是 的边 OA 上一点,点 P的坐标为 ,则 =_. M 记得构造直角三角形哦! 4.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m). A B C 解:根据题意,可知 AB=200m,BC=55m, ∴AC==≈192(m) ∴tan∠BAC=≈0.286 答:山的坡度是0.286 5.在Rt ABC中,∠C=90 , AB=15,tanA= ,求AC和BC. 4k A C B 15 3k 6.如图,在平面直角坐标系中,P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点, 点A(5,0),O是坐标原点, PAO 的面积为S. (1)求S与x的函数关系式; (2)当S=10时,求tan∠PAO 的值. M 解:(1)过点P作PM⊥OA于点M, (2)当S=10时,求tan∠PAO 的值. M 解: 又∵点P在直线y=-x+6上, ∴x=2. ∴AM=OA-OM=5-2=3. 1.在Rt ABC中,∠A=90 ,AC=12,BC=13,那么tanB的值是( ) A. B. C. D. 中考链接 B 2.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点A的坐标为(0,3),tan∠ABO=,则菱形ABCD的周长为( ) A.6 B.6 C.12 D.8 D 3.在Rt ABC中,∠C=90 ,若斜边AB是直角边BC的3倍,则 tanB的值是_. 2 4.如图,锐角 ABC中,AB=10cm,BC=9cm, ABC的面积为 27cm 。求tanB的值。 解:如图,过点A作AH⊥BC于H, ∵=27 ∴ 9 AH=27 ∴AH=6 ∵AB=10 ∴BH===8 ∴tanB= = = 5.在 ABC中,D是AB的中点,DC⊥AC,tan∠BCD=0.5,AB=4,求AC. ∵点D为AB的中点,DF∥AC ∴DF为 ABC的中位线 ∴2DF=AC ∵2DF=AC,CD=2DF ∴AC=CD ∵ ACD是直角三角形 ∴CD +AC =AD ∵AC=CD,AD=BD=2,CD +AC =AD ∴AC= 解:∵AC⊥CD ∴∠ACD=90 ∵DF∥AC,∠ACD=90 ∴∠CDF=∠ACD=90 ∴ CDF和 ACD是直角三角形 ∴tan∠BCD= ∵tan∠BCD=0.5= ∴= ,即 CD=2DF ∵点D为AB的中点,AB=4 ∴AD=DB=2 小结: 一个方法 用定义求正切值 三个结论 1.等角的正切值相等 2.互余两角的正切值互为倒数 3.当锐角 越来越大时, 的正切值也越来越大. $$