精品解析：湖南省衡阳市祁东县2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷

湖南省衡阳市祁东县2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的每个点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 若对任意恒成立，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若矩形的周长为4，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 9 D. 4.5 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列判断正确的是（ ） A. B. 若一个扇形的圆心角为2，半径也为2，则该扇形的弧长为4 C. D. 若一个扇形的圆心角为2，半径也为2，则该扇形的面积为4 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 的最小正周期为 D. 的图象关于点对称 11. 已知函数且在上单调递减，则的值可能为（ ） A. 2 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 关于，这两个函数，小郑和小李有各自不同的判断，小郑认为这两个函数都不是幂函数，小李认为是幂函数.若小郑和小李的判断都是错误的，则的值为_____________. 13. 若集合，，则的取值范围为_____________. 14. 如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求在上的值域. 16. 已知函数的定义域为，集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）证明：的图像关于直线对称. （2）求的单调递减区间. （3）若，求的值. 18. 已知命题，. （1）写出命题的否定； （2）判断命题的真假，说明你的理由. （3）若，比较与的大小. 19. （1）求函数的值域. （2）已知. ①求的最大值； ②已知函数在上单调递减，在上单调递增，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市祁东县2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式，结合角的范围可得. 【详解】由， 解得. 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合充分条件与必要条件的定义判断. 【详解】因为， 所以“”不能推出“”，“”能推出“” 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的每个点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换和伸缩变换求函数的解析式. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 可得函数的图象， 将函数的图象的每个点的纵坐标变为原来的倍，横坐标保持不变， 可得函数的图象， 所以. 故选：A. 4. 若对任意恒成立，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】赋值可解. 【详解】由对任意恒成立， 令，得， 解得. 故选：B. 5. 若矩形的周长为4，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 9 D. 4.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求最值可得. 【详解】由矩形的周长为4，得，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由两角和正切公式展开求出，再利用“”的代换转化为齐次比式，化弦为切求解可得. 【详解】由，解得； 则 . 故选：D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析指对函数的底数，知道对应函数的单调性，由单调性估计的值的范围，从而知道它们之间的大小关系. 【详解】∵且，函数在上单调递减， ∴； ∵且，函数在上单调递减， ∴，∴； ∵幂函数恒大于0，∴； ∴， 故选：C. 8. 已知函数恰有个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数恰有个零点，等价于与的图像有四个交点，根据奇偶性以及单调性和最值，作出的草图，即可求得结果. 【详解】对于函数，显然为偶函数， 不妨令，则， 且当时，， 当时，， 所以根据函数图像的翻折变换与对称变换可作草图如下， 因为恰有个零点， 所以方程有四个不同的解， 即与的图像有四个交点， 所以或. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列判断正确的是（ ） A. B. 若一个扇形的圆心角为2，半径也为2，则该扇形的弧长为4 C. D. 若一个扇形的圆心角为2，半径也为2，则该扇形的面积为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项由诱导公式可知错误；BD项由扇形弧长与面积公式可得；C项由指对运算性质可求. 【详解】A项，由诱导公式，故A错误； BD项，扇形的圆心角为2，半径也为2， 则由扇形弧长公式可得弧长； 由扇形面积公式可得，故BD正确； C项，，故C正确； 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 的最小正周期为 D. 的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义判断A，根据正弦函数和正切函数的单调性判断B，证明是函数的周期判断C，证明为奇函数，由此判断D. 【详解】函数的定义域为，， 定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数，A正确； 由可得，， 所以函数，在上单调递增， 所以在上单调递增，B正确； 因为， 所以是函数的周期，C错误； 因为， 函数的定义域为，， 定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，故的图象关于原点对称， 所以的图象关于点对称，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数且在上单调递减，则的值可能为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分和，根据复合函数单调性结合对数函数性质分析求解即可. 【详解】由于函数且在上单调递减，设， 当时，关于在定义域内单调递增，则 在上单调递减，且在上恒成立， 即，解得，综上可知. 当时，关于在定义域内单调递减，则在上 单调递增，即，解得，与矛盾，因此这种情况不成立. 由此可知，因此和符合题意. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 关于，这两个函数，小郑和小李有各自不同的判断，小郑认为这两个函数都不是幂函数，小李认为是幂函数.若小郑和小李的判断都是错误的，则的值为_____________. 【答案】4 【解析】 【分析】由小李判断是错误的得到不是幂函数，由小郑和小李的判断都是错误得到是幂函数.由幂函数的定义得到的值 【详解】由题意可知，不是幂函数，则一定是是幂函数. 所以，即. 故答案为：4 13. 若集合，，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求集合A，由题意，列出不等式组，求出取值范围. 【详解】，有， 所以集合， 又，所以， 解得：. 故答案为：. 14. 如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】设线段长，写出矩形的面积，由三角函数得到，然后写出的面积，从而表示出该风景区面积的表达式，由换元法将表达式化简为二次函数，由二次函数的对称轴求出最大值. 【详解】设，则，， 则， 则， 设该风景区面积为，则， 令，则， 即 函数对称轴， 即当时，面积取最大值，此时. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦型函数的图象，结合代入法，余弦型函数的周期公式进行求解即可； （2）结合余弦型函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 设的周期，在区间的长度为的，故， 计算得：，故，， 即，，解得，，又因为，故. 所以. 【小问2详解】 在上，，故， 因此，即在上的值域. 16. 已知函数的定义域为，集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）且 （2）的取值范围为或 【解析】 【小问1详解】 由有意义可得， 解得且， 所以函数的定义域为且， 所以且， 又，，故， 所以且. 【小问2详解】 由（1）或，， 当时，即时，，此时， 当时，，由可得， 或， 解得，， 所以的取值范围为或. 17. 已知函数. （1）证明：的图像关于直线对称. （2）求的单调递减区间. （3）若，求的值. 【答案】（1）， ， ， 令，解得，令，则， 即的图像关于直线对称. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用三角函数的性质即可求解； （2）令解析式中的三角函数的角属于正弦函数的单调递减区间，解出自变量的取值范围即为函数单调递减区间； （3）代入函数解析式求得的值，通过判断的取值范围结合“平方和为1”求得的值，利用正弦函数的和差角公式求得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令， 解得， 的单调递减区间： 【小问3详解】 由题意知， ∵，∴ ∴， ∴ ∴ 18. 已知命题，. （1）写出命题的否定； （2）判断命题的真假，说明你的理由. （3）若，比较与的大小. 【答案】（1）， （2）真命题 （3） 【解析】 【分析】(1)根据全称量词命题的否定是特称量词命题即可写出； (2)对不等式左边进行配凑后再利用基本不等式即可证明； (3)设进行换元，由(2)可知，整理比较即可. 【小问1详解】 命题的否定：，； 【小问2详解】 命题为真命题，因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以命题为真命题； 【小问3详解】 设，所以比较与大小即可， 由(2)可知当，，故时，， 故，即 ，等式在，即时也成立， 因此对于，. 19. （1）求函数的值域. （2）已知. ①求的最大值； ②已知函数在上单调递减，在上单调递增，求的最小值. 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式可得，令，换元可得，，判断函数单调性，利用单调性求值域； （2）①由已知，方程左右两侧的特点构造函数，判断函数的单调性，由此可得，再求的最大值； ②由①可得，故，结合所给函数单调性求的最小值. 【详解】（1）因为， 令，则， 所以，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为， （2）①因为，所以， 根据方程左右两侧的结构特点考虑构造函数， 则， 因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以， 所以的最大值为，此时，， ②由①知，，故， 所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 所以当，即时，取最小值，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $